專題01講勾股定理（考點清單）

【聚焦考點】

題型一:用勾股定理解三角形

題型二:勾股數問題

題型三:以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

題型四:勾股定理和網格問題

題型五:勾股定理和折疊問題

題型六:利用勾股定理求兩條線段的平方和

題型七：以炫圖為背景的計算題

題型八:勾股定理的應用

題型九:勾股定理的證明

題型十:勾股定理的綜合問題

【題型歸納】

題型一:用勾股定理解三角形

【典例1】（2022下.廣東廣州?八年級?？计谀┤鐖D，在RtZXABC中，ZC=90°,若BC=2,AC=3,則AB的

A.V13B.75C.1D.5

【答案】A

【分析】根據勾股定理解答即可.

【詳解】解：,在中，NC=9O。，BC=2,AC=3,

AB=yjAC2+BC2=A/22+32=屈，

故選：A.

【專訓1-1】（2023下?河南新鄉?八年級?？计谀┤鐖D，在中，?B90?,AB=6,AC=10,以邊

為直徑作一個半圓，則半圓（陰影部分）的面積為（

A.4兀B.871C.1271D.16TI

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出BC，再求出半圓面積即可.

【詳解】解：?.?N3=90。，AB=6,AC=10,

\BC=VAC2-AB2=7io2-62=8>

陰影部分的面積=g倉尢4?=8兀.

故選：B.

【專訓1-2】（2023下?四川宜賓?八年級統考期末）如圖，菱形。鉆C的邊長為2,ZAOC=45°,則點8的坐標是（）

A.（272,2）B.（2+及，塔C.（虛,2+應）D.（2+a,0）

【答案】D

【分析】過點B作x軸的垂線，可證為等腰直角三角形，然后可求得與繼而可求得的長，則

?！芭c就是點B的橫坐標與縱坐標.

【詳解】過點8作x軸的垂線，垂足為點H,則/皿4=90°.如圖.

因為菱形ORC的邊長為2,

OA=AB=2.

由菱形的對邊AB〃OC可得：ZBAH=ZAOC=45°,

又NBHA=90°,

：.ZABH=90°-Z45°=45°.

/.AH=BH.

.?.在中，AH'+BH2=AB2

即2AH?=2BH?=方

AH=BH=42.

OH=OA+BH=2+y/2.

因此，點8的坐標為（2+&,&）.

故選：D.

題型二：勾股數問題

【典例2］（2023下?河南駐馬店?八年級統考期末）在下列四組數中，屬于勾股數的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.6,7,8D.1,0,6

【答案】B

【分析】利用勾股數的定義進行分析即可.

【詳解】解：A、0.3,0.4,0.5不是整數，不是勾股數；

B、V92+402=41\二9、40、41是勾股數；

C、62+72^82,A6,7,8不是勾股數；

D、夜，心均不是整數，1,0,g不是勾股數；

故選：B.

【專訓2-1】（2023下?安徽合肥?八年級統考期末）下列各組a,b,c是勾股數的是（）

A.a=30,b=40,c=50B.<7=1,b=\,c=y/2

C.a=5/3,b=,\/4，c==s/5D.a=7,￡?=14,c—15

【答案】A

【分析】根據勾股數的概念對各選項進行逐一分析即可.

［詳解］解：A、302+402=502,

；?能構成勾股數，符合題意；

B、???應不是整數，

不能構成勾股數，不符合題意；

C、：如,正不是整數，

；?不能構成勾股數，不符合題意；

D、V72+142^152,

???不能構成勾股數，不符合題意.

故選：A.

【專訓2-2］（2023下?貴州銅仁?八年級統考期末）成書于大約公元前1世紀的《周髀算經》是中國現存最早的一

部數學典籍，里面記載的勾股定理的公式與證明相傳是在西周由商高發現，故又稱之為商高定理.觀察下列勾股

數：3,4,5；5,12,13；7,24,25；這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為1；古希臘哲學家

柏拉圖（公元前427年一公元前347年）研究了勾為（m>3,根為正整數），弦與股相差為2的一類勾股數，

如：6,8,10；8,15,17；…，若此類勾股數的勾為12,則其股為（）

蛤麗然聚帙周

天

其

地端熏洪

A事之巨

衰而

以埋里

露幽

X生可

天

一樽工等

地，

之素知

跋可或理

%化

董

以妻

^

直

??

r

7

D.3

5

C.3

6

B.1

14

A.

】C

【答案

值.

出尤的

即可求

股定理

根據勾

-2,

股為x

,則

為x

斜邊

，設

題意

】依

【分析

,

x-2

股為

，則

為尤

斜邊

，設

題意

：依

】解

【詳解

2

2

2

X,

2）=

+（X-

.,.12

37,

：x=

解得

5,

2=3

=37-

為x-2

二股

：C.

故選

積

圖形面

邊長的

三邊為

三角形

以直角

三：

題型

和9,

別為

積分

°的面

形若

正方

三個

上有

線/

圖，直

末）如

考期

級統

八年

河?

南紅

?云

23下

3]20

【典例

6

（）

積為

的面

則6

0

D.2

5

C.1

2

B.1

A.9

】c

【答案

2

2

2

C,

+B

AB

AC=

可得

定理

勾股

,根據

C中

tAAB

,在R

=DE

BC

此得

,由

DE

^C

ABC

明A

S證

據AA

詵根

[分析

面積.

6的

求出

即可

2,

+OE

AB2

C2=

可得A

代換

等量

【詳解】

如圖，???△至。中//鉆。=90。，

/.ZACB+ZBAC=90°.

???NACE=90。，

.?.ZACB+NECD=90。,

，NBAC=NECD.

又?.?ZABC=Z.CDE=90°,AC=CE,

/.△ABC/石(AAS),

/.BC=DE.

-,?△ABC,ZABC=90°,

AC2=AB2+BC2,

AC2=AB2+DE2,

BPS,=5a+Sc=6+9=15.

故選：C

【專訓3-1](2023下?安徽馬鞍山?八年級?？计谀?AABC中，ZACB=90°,分別以AABC的三邊作為邊長向形

外作正方形，并把各正方形的面積分別記作S。,S3,如圖，若，=26,S?=9,貝"的值為（）

【答案】B

【分析】由Afi2=26,BC2=9,再根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】解：：S]=26,邑=9,

AB-=26,BC"=9,

'：ZACB=90°,

AC2=AB2-BC2=26-9=17,

2

s3=AC=17.

故選：B.

【專訓3-2]（2023下?廣西柳州?八年級統考期末）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,分別以AC、BC為邊作

正方形，若AB=12,則正方形ADEC和正方形3CFG的面積和為（）

A.144B.120C.100D.無法計算

【答案】A

【分析】根據勾股定理即可進行解答.

【詳解】解：；四邊形ADEC和四邊形3cpG為正方形,

,"S正方形"EC=A。＞S正方形BCFG=BC,

:在中，NC=90。，

AC2+BC2=AB-=122=144,

,,S正方舷4￡（EC+S正方;彩CBFG=BC+AC=144,

故選：A.

題型四：勾股定理和網格問題

【典例4]（2023下?河北保定?八年級統考期末）如圖，在3x4的正方形網格（每個小正方形的邊長都是1）中,

D.線段

【分析】根據勾股定理分別求解AB,BC,AC,BD,從而可得答案.

【詳解】解：由勾股定理可得：

AB=A/12+22=A/5,

BC=+3?=版,

AC=Vl2+42=717>

SD=V22+32=713-

故選：B.

【專訓4-1]（2023下?湖北武漢?八年級統考期中）如圖，由單位長度為1的4個小正方形拼成的一個大正方形網

格，連接三個小格點，可得AABC,則AC邊上的高是（）

372口3石「3石n4石

AA.---D.----C.---U.----

21055

【答案】C

113_____ACh

【分析】設AC邊上的高為心由題意知S4ABC=2x2-5*2*卜2-5、卜1=5,AC=df+*=5則1的。=——

即畫=3,計算求解即可.

22

【詳解】解：設AC邊上的高為力，

113/_____

由題思知右.。=2x2-]X2xlx2-]xlxl=2,AC=\12+22/

._AC,hy/5h3

??—-'―，即-Z—二-，

解得讓w，

AC邊上的高為封1,

5

故選：C.

【專訓4-2】（2022上?山西運城?八年級統考期末）如圖，A/RC的頂點A,B,C在邊長為1的正方形網格的格點

上，則BC邊上的高為（）

D,巫

C.1A/5

2

【答案】C

【分析】利用圖形的面積計算即可.

【詳解】如圖，設BC邊上的高為/?,

根據題意,得AABC的面積為：4x3-^xlx2-lx4x2-lx3x2=4,

222

BC=A/22+42=2A/5>

所以：BCx〃=4,

解得h--^―=84石

BC2層

故選C.

題型五：勾股定理和折疊問題

o

【典例5】（2023下?湖北荊州?八年級統考期末）如圖，在Rt^WC中，ZA=90,AB=8,AC=6（將“1BC沿8

翻折，使點A與3C邊上的點E重合，則C。的長是（）

C

A.5B