第04講導數與函數的極值、最值

（5類核心考點精講精練）

1%.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新I卷，第10題,6分求已知函數的極值點利用導數求函數的單調區間

利用導數研究具體函數單調性

函數對稱性的應用

2024年新H卷，第11題,6分極值與最值的綜合應用

利用導數研究函數的零點

判斷零點所在的區間

求在曲線上一點處的切線方程

2024年新H卷，第16題,15分根據極值求參數

利用導數研究含參函數單調性

2023年新I卷，第11題,5分函數極值點的辨析函數的性質、奇偶性的定義與判斷

基本（均值）不等式的應用、求平面軌跡

2023年新I卷,第22題,12分由導數求函數的最值（不含參）

方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長

2023年新II卷,第11題,5分根據極值求參數根據二次函數零點的分布求參數的范圍

利用導數求函數的單調區間（不含參）

2023年新H卷，第22題,12分根據極值點求參數利用導數研究不等式恒成立問題

利用導數研究函數的零點

錐體體積的有關計算球的體積的有關計算

2022年新I卷，第8題,5分由導數求函數的最值（不含參）

多面體與球體內切外接問題

求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

2022年新I卷，第10題,5分求已知函數的極值點

利用導數研究函數的零點

2022年新I卷,第22題,12分由導數求函數的最值（含參）利用導數研究方程的根

2021年新I卷，第15題,5分由導數求函的最值（不含參）無

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較大，分值為5-13-15分

【備考策略】1.借助函數的圖象,了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件

2能夠利用導數求函數的極大值、極小值以及在給定閉區間上的最大值、最小值

3體會導數與極大(小)值、最大(小)值的關系

【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，會結合導數來判斷或證明函數的單調性，從而求得函數的

極值或給定區間上的最值，熱點內容，需綜合復習

知識點1函數的極值與導數

考點4由函數最值求參數值或范圍

考點5選填小題中極值的應用與求解

知識講解

1.函數的極值與導數

(1)函數的極小值與極小值點

若函數人《)在點x=a處的函數值八比它在點x=a附近其他點的函數值都小，/'伍)=0,

而且在點x=a附近的左側/V)<0,右側/'(X)〉0,則點a叫做函數的極小值點，加)叫做函

數的極小值.

(2)函數的極大值與極大值點

若函數人x)在點x=b處的函數值人3比它在點x=b附近其他點的函數值都大，fg=0,

而且在點x=b附近的左側/'(x)〉0,右側/'(X)<0,則點6叫做函數的極大值點，加)叫做函

數的極大值.

(3)極值與導數的關系

/(x)是極值點nf\x)=0

八x)=0?/(x)是極值點，即：/(x)=0是/(x)為極值點的必要非充分條件

2.函數的最值與導數

(1)函數人》)在［。，回上有最值的條件

如果在區間［。，切上函數y=Ax)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求7=加)在口,句上的最大(小)值的步驟

①求函數了=Ax)在(。，6)內的極值；

②將函數y=Xx)的各極值與端點處的函數值真。)，寅6)比較，其中最大的一個是最大值，

最小的一個是最小值.

考點一、求函數的極值或極值點

典例引領

1.(2024?全國?高考真題)已知函數/(x)=(l-辦)ln(l+x)-x.

⑴當a=-2時，求〃x)的極值；

(2)當xNO時，/(x)>0,求。的取值范圍.

2.(2023?北京?高考真題)設函數〃無)=x-無它+J曲線尸在點(1J⑴)處的切線方程為片-x+l.

⑴求。力的值；

(2)設函數g(x)=/'(x),求g(x)的單調區間；

⑶求/(x)的極值點個數.

3.(2021?天津?高考真題)己知a>0,函數/(x)=ax-xe”.

(|)求曲線y=/(x)在點(o,”o))處的切線方程：

(II)證明〃x)存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得/(x)Va+b對任意xeR成立，求實數b的取值范圍.

??即時啊

1.(2024?湖南長沙■三模)已知函數〃x)=x+ln(ax)+Le*(a<0).

(1)求函數的極值；

(2)若集合H〃x)2-1｝有且只有一個元素，求.的值.

2.(2024?浙江溫州?三模)設函數/(x)=xlnx-〈x3的導函數為g(x).

⑴求函數g(x)的單調區間和極值；

(2)證明：函數“X)存在唯一的極大值點升,且

(參考數據:In2ao.6931)

3.(2024?陜西商洛?模擬預測)已知函數〃x)=xlnx-x-lnx+1的導函數為r(x).

⑴證明：函數/(x)有且只有一個極值點；

(2)若M'Tx)-恒成立，求實數機的取值范圍.

考點二、根據函數極值或極值點求參數值或范圍

典例引領

■——

1.(2024?全國?高考真題)已知函數/'(x)=e'-ax-/.

⑴當a=1時，求曲線V=/(%)在點(1,/(1))處的切線方程；

⑵若/(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

2.(2023?全國?高考真題)⑴證明：當0<x<l時，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數〃x)=cosax-ln(l-若x=0是/(%)的極大值點，求a的取值范圍.

3.(2023?全國?高考真題)已知函數〃x)=C+a1n(l+x).

⑴當a=-l時，求曲線>=在點(1,/。))處的切線方程；

(2)是否存在a,6,使得曲線關于直線x=b對稱，若存在，求0,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若“X)在(0,+8)存在極值，求a的取值范圍.

4.(2021?全國?高考真題)設函數〃x)=ln(a-x),已知x=0是函數丁=獷n)的極值點.

⑴求a；

(2)設函數g(x)=，.證明:g(x)<L

XJ(%)

即時檢測

1.(2024?陜西銅川?模擬預測)已知函數”%)=2/+3苫2-12'+加(加eR)的一個極值為一2.

⑴求實數加的值；

~3-

(2)若函數”x)在區間k,-上的最大值為18,求實數上與加的值.

2.(2024.重慶.模擬預測)已知/(x)=e，+aln(l-x)

(1)若/(x)在x=0處的切線平行于x軸，求。的值；

(2)若/(x)存在極值點，求a的取值范圍.

3.(2023?湖南郴州?一模)已知函數/(X)=21nx+gax2_(2a+l)x.

⑴若曲線V=/(x)在(1J。))處切線與x軸平行，求。；

(2)若/(x)在x=2處取得極大值，求。的取值范圍.

e'2t

4.(2024?山東泰安?模擬預測)已知函數〃x)==，g(x)=-+Zlnx.

⑴求函數g(x)單調區間；

⑵若函數H(x)=/(x)-g(x)在(0,2)有兩個極值點，求實數t的取值范圍.

考點三、利用導數求函數最值

典例引領

■________

1.(2024?安徽?三模)已知函數〃x)=2(x-l)e，-辦2.

⑴求曲線y=〃x)在x=0處的切線方程；

(2)若a=e2,求函數〃x)在［1,3］上的最值.

2.(2024?廣東東莞?模擬預測)已知函數/(x)=gx2+(l-a)x-alnx(aeR).

⑴求函數〃x)的單調區間；

⑵當。＞0時，求函數〃x)在區間［1間上的最大值.

即時檢測

■一

1.(2024?山東泰安三模)已知函數/(工)=苫，-竽｝。＞0).

(1)討論/(x)的最值；

(2)若”=1,且竺求左的取值范圍.

X

2.(2024?山西晉中?模擬預測)已知函數/(x)=lnx+sinx+sin歷.

⑴求函數/(%)在區間［1?上的最小值；

⑵判斷函數〃X)的零點個數，并證明.

3.(2021?北京?高考真題)已知函數

(1)若a=0,求曲線>=/(x)在點(1J。))處的切線方程；

(2)若/(x)在x=-l處取得極值，求/(x)的單調區間，以及其最大值與最小值.

考點四、由函數最值求參數值或范圍

典例引領

1.(2022?全國?高考真題)己知函數/(X)=/-G和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

(2)證明：存在直線丁=6,其與兩條曲線V=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標成等差數列.

2.(2024?海南?模擬預測)已知函數/卜)=/-alnx+1,。eR.

⑴當a=1時，求曲線V=/(x)在點(1,/■⑴)處的切線方程；

(2)當a>0時，若函數/(x)有最小值2,求。的值.

3.(2024?四川?模擬預測)已知函數/(x)=xe-2ax(a>0).

⑴若函數/(x)在x=l處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為羨，求。的值；

(2)若函數/(x)的最小值為-e,求。的值.

即時檢測

I___________________

1.(2024?湖北武漢?模擬預測)已知函數/(x)=6e*(x>0).

⑴求函數〃x)的單調區間；

(2)若函數/(x)有最大值：，求實數。的值.

a,

2.(2024?陜西西安?一模)已知函數/(x)=ex---2ax.

⑴若/⑴在［0,+8)上單調遞增，求。的取值范圍；

⑵若>=/(%)的最小值為1，求。?

3.(2024高三下?全國?專題練習)已知函數/(x)=；(lnx『—。五.

⑴若/(%)在(0，+。)上單調遞減，求實數。的取值范圍；

（2）若的最小值為6,求實數。的值.

4.（2024?全國?模擬預測）已知函數〃x）=?和函數g（x）=最有相同的最大值.

⑴求a的值；

⑵設集合/={x|/（x）=6},3={尤忖（尤）=6}（6為常數）.證明：存在實數6,使得集合NuB中有且僅有3

個元素.

考點五、選填小題中極值的應用與求解

典例引領

1.（2022?全國?高考真題）函數/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在區間［0,2兀］的最小值、最大值分別為（

3兀兀兀兀C3兀兀.

B.,一C.——，一+2D.—,—+2

222222

2.（2021?全國?高考真題）設若。為函數/（x）=a（x-a）2（x-6）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a1D.ab>a2

3.(2024?全國，高考真題)(多選)設函數/(x)=2d-3"Z+1,則()

A.當。>1時，有三個零點

B.當。<0時，x=0是Ax）的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/（x）的對稱軸

D.存在°,使得點（1J⑴）為曲線>=/（x）的對稱中心

4.（2022?全國?高考真題）已知、=再和、=工2分別是函數/（x）=2a"-ex2（〃〉0且awl）的極小值點和極

大值點.若為<%2，則Q的取值范圍是.

即噌遇

1.（2021?全國?高考真題）函數/（x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

AC

2.（2023?全國?高考真題）（多選）若函數〃x）=alnx+1+3（aw0）既有極大值也有極小值，則（）.

A.bc>QB.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

3.（2024?全國?高考真題）（多選）設函數/（X）=（X-1）2（X-4）,則（）

A.x=3是/（x）的極小值點B.當0<x<l時，/(x)</(x2)

C.當l<x<2時，一4</(21-1)<0D.當一l<x<0時，/(2-x)>/(x)

4.（2022?全國?高考真題）（多選）已知函數/（x）=d—x+1,則（）

A./(x)有兩個極值點B./(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=的切線

IA.好題沖關

基礎過關

一、單選題

1.(2024?河北承德?二模)設。為實數，若函數在x=l處取得極小值，貝Ija=()

A.1B.C.0D.-1

2

2.(2024?重慶?模擬預測)若函數〃x)=d-x+alnx有極值，則實數〃的取值范圍是(

1

A.B.C.-00,D.—co—

*88

二、多選題

3.(2024?遼寧?模擬預測)已知函數/■(6=-5,則下列說法正確的是()

A.7(x)的極值點為卜

B.f(x)的極值點為1

C.直線了=!》-：是曲線＞=〃x)的一條切線

ee

D./(x)有兩個零點

三、填空題

4.(2024.安徽?二模)已知函數/(x)=(x-l)sinx+(x+l)cosx,當xe[0,可時〃x)的最大值與最小值的和

為.

四、解答題

5.(2024?陜西銅川?模擬預測)已知函數/(x)=ln(2x+l)-4aeX+(a-2)x(aeR).

⑴當a=0時，求/(x)的最大值；

(2)若g(x)=/(x)+3ae，對定義域內任意實數x都有g(x)W0,求。的取值范圍.

6.(2024?山東濰坊?二模)已知函數/(x)=(x-l)e，-辦2+6,曲線y=/(x)在點(1J0))處的切線方程為

y=(e-2)x+3-e.

⑴求實數a，6的值；

(2)求/(x)的單調區間和極值.

7.(23-24高二下?廣東佛山?階段練習)己知函數/(x)=(x2-2x+a)e，,aeR.

(1)若”=1,求函數/(x)在xe[0,3]上的最大值和最小值；

⑵討論函數/(x)的單調性.

8.(2024?河南?三模)已知函數/(x)=G-lnx,且/(x)在x=1處的切線方程是x-y+6=0.

⑴求實數。，6的值；

(2)求函數/(x)的單調區間和極值.

9.(2022高三上?河南?專題練習)已知函數/(x)=xe*-"?x2.

⑴求曲線了=/(無)在(0J(。))處的切線方程；

(2)若函數g(x)=/(x)-e*在x=0處取到極小值，求實數機的取值范圍.

10.(2024?重慶?模擬預測)已知函數/(x)=/-5x+alnx在x=2時取得極值.

⑴求實數。；

⑵若xegf,求的單調區間和極值.

能力是升

一、單選題

1.(2024?福建泉州?一模)已知％I，%，是函數/(x)=(xT)3兩個極值點，則()

A.項+工2=—2B.+x2=1C./(玉)+/(%2)=一2D./(占)+/(%2)=2

2.(2024?廣東深圳?模擬預測)已知函數〃x)=a?：：°。")+x在(0㈤上恰有兩個極值點,則實數。的取

值范圍是()

(71A,兀、

e2(6e2(41-\

2I2)2\2J

k7k7

二、多選題

3.(2024?全國?模擬預測)設函數/(x)=x-i-3hu,記“X)的極小值點為多，極大值點為X2,則()

A.玉+工2=3B.當＜%2

c./(X)在(X2，xj上單調遞減D./（再）+/（工2）=-31n2

4.(2024?重慶?三模)若函數/(無)=ahw-2x2+6元既有極小值又有極大值，則()

A.ab<0B.a<0C.b1+\6a>QD.耳<4

三、填空題

5.(2024?新疆喀什?三模)已知函數〃切=巴產和g(x)=6(6-x)1>0)有相同的最大值.則"的

最小值為.

四、解答題

6.(2024?廣東茂名?二模)已知函數/'(%)=e*sinx-ax.

⑴若曲線y="X)在點(0,/(0))處的切線方程為x+y=0,求實數。的值；

(2)若a=1,求函數在區間［。,外上的最大值.

7.(2024?河南開封?三模)已知函數/(x)=x3-31nx,/'(x)為〃x)的導函數.

⑴求曲線J=〃x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)求函數g(尤)=〃尤)-⑺的單調區間和極值.

8.(2024?陜西西安?模擬預測)已知函數/(x)=G-lnx-a,若/*)的最小值為0,

⑴求。的值；

(2)若g(x)=M(x),證明:g(x)存在唯一的極大值點看,且g(xo)<；.

9.(2024?福建泉州?一模)設函數/(x)=ax-a-lnx.

⑴討論f(x)的單調性;

ac

⑵當a>0時，若8。)=獷(工)一］工2+》的值域為［0,+<?),證明：2-a=ln2-lna.

10.(2024?青海西寧?模擬預測)已知函數/(x)=x2+axlnx-x

(1)當a=l時，求的零點；

(2)若/(x)恰有兩個極值點，求。的取值范圍.

堡題感理—

1.(2023?全國?高考真題)(多選)己知函數〃x)的定義域為R,/(xy)=y7(x)+x7(j),則().

A./(0)=0B./(1)-0

C.〃尤)是偶函數D.x=0為〃x)的極小值點

2.(2022?全國?高考真題)已知函數/(xhax-'-Q+Dlnx.

x

(1)當。=