試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年廣東省深圳市第二外國語學校高一下學期開學考試數(shù)學試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合集合交集的定義即可.【詳解】由題意知，故選：2．已知角的頂點與平面直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用三角函數(shù)的定義得到答案.【詳解】終邊經(jīng)過點，則故選：【點睛】本題考查了三角函數(shù)值的計算，屬于簡單題.3．函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理即可得解.【詳解】由題意，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，，，所以函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是.故選：B.4．計算的值為A．5 B．3 C．2 D．0【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質(zhì)解答.【詳解】解：故選：【點睛】本題考查對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.5．已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點.若點在冪函數(shù)的圖象上，則冪函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出函數(shù)過定點的坐標，再求出冪函數(shù)的解析式，即可判斷.【詳解】解：（，且）令，則，即，故函數(shù)（，且）的圖象恒過定點.設(shè)則解得，故的圖象大致是故選：【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)過定點問題，待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式以及冪函數(shù)的圖象的識別，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，及余弦函數(shù)的性質(zhì)解答.【詳解】解：，，，綜上可得故選：【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7．已知，若，則的值為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算出，再由誘導公式計算可得.【詳解】解：，故選：【點睛】本題考查同角三角函的基本關(guān)系及誘導公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，且滿足，則的值組成的集合為A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上的增函數(shù)，求出的取值范圍，再由，得到或分類討論計算可得.【詳解】解：是上的增函數(shù)，且解得或當時，即解得當時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為不符題意；當時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為不符題意；當時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為符合題意；當時，即解得當時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為符合題意；當時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為符合題意；綜上可得的值組成的集合為故選：【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論思想，屬于難題.二、多選題9．下列結(jié)論不正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．“，”是假命題C．內(nèi)角，，的對邊分別是，，，則“”是“是直角三角形”的充要條件D．命題“，”的否定是“，”【答案】BC【分析】利用充分條件與必要條件的定義判斷AC；利用特例法判斷B；利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題判斷D.【詳解】自然數(shù)一定是有理數(shù)，有理數(shù)不一定是自然數(shù)，所以“”是“”的充分不必要條件，A正確；，所以“，”是真命題，B錯誤；由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味著，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要條件，C錯誤；根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，可得命題“，”的否定是“，”，D正確.故選：BC.【點睛】方法點睛：斷充分條件與必要條件應注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.10．已知函數(shù)，，則（）A．是增函數(shù) B．是偶函數(shù) C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，先分別判斷單調(diào)性，以及奇偶性，再求函數(shù)值，即可得出結(jié)果.【詳解】對于函數(shù)當時，顯然單調(diào)遞增；當時，是開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；A正確；又，所以，故C錯；對于函數(shù)，，所以是偶函數(shù)，B正確；又，所以，D正確；故選：ABD.11．將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖像，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．最小正周期為C．的圖象關(guān)于對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，對A，函數(shù)，故A錯誤；對B，最小正周期為，故B正確；對C，當，求得為最小值，故的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故D正確，故選：BCD．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．12．若集合A具有以下性質(zhì)：①集合中至少有兩個元素；②若，則xy，，且當時，，則稱集合A是“緊密集合”以下說法正確的是（）A．整數(shù)集是“緊密集合”B．實數(shù)集是“緊密集合”C．“緊密集合”可以是有限集D．若集合A是“緊密集合”，且x，，則【答案】BC【分析】根據(jù)“緊密集合”具有的性質(zhì)逐一排除即可.【詳解】A選項：若，，而，故整數(shù)集不是“緊密集合”，A錯誤；B選項：根據(jù)“緊密集合”的性質(zhì)，實數(shù)集是“緊密集合”，B正確；C選項：集合是“緊密集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C正確；D選項：集合是“緊密集合”，當，時，，D錯誤．故選：BC.【點睛】新定義題目的關(guān)鍵在于正確理解定義，從題意入手.三、填空題13．設(shè)函數(shù)，則的值為______.【答案】1【分析】直接根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入求值即可.【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.14．汽車從地出發(fā)直達地，途中經(jīng)過地.假設(shè)汽車勻速行駛，后到達地.汽車與地的距離（單位：）關(guān)于時間（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則汽車從地到地行駛的路程為______.【答案】500【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出汽車的速度，從而得到路程.【詳解】解：依題意知，汽車小時行駛了，故汽車的速度為汽車全程勻速行駛，從地到地共行駛了，故總路程為故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)圖象的應用，屬于基礎(chǔ)題.15．函數(shù)，的最大值為________.【答案】.【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】∵，且，∴當時，取最大值16.故答案為：1616．已知，是函數(shù)圖象上縱坐標相等的兩點，線段的中點在函數(shù)的圖象上，則點的橫坐標的值為______.【答案】【分析】依題意畫出函數(shù)圖象，如圖設(shè)的橫坐標分別為，，的中點的橫坐標為，根據(jù)題意得到方程組，解得.【詳解】解：因為則可畫函數(shù)圖象如下圖所示：設(shè)的橫坐標分別為，，的中點的橫坐標為，依題意可得①，②，③，①減②得④①乘②得即⑤將④代入⑤得即故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，指數(shù)的運算，屬于中檔題.四、解答題17．計算下列各式：（1）（2）【答案】（1）2；（2）3.【分析】（1）直接利用指數(shù)冪的運算法則化簡求解；（2）直接利用對數(shù)的運算法則和性質(zhì)化簡求解.【詳解】（1）=2（2）=.【點睛】易錯點睛：是奇數(shù)),是偶數(shù)).使用上面的公式時，一定要注意的奇偶性，再化簡.18．已知，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由已知可得，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.（Ⅱ）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可得解.【詳解】解：（Ⅰ）由，得.∴.（Ⅱ）∵，又，∴.∵，∴.∴.∴.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.19．已知函數(shù)（1）當時，解關(guān)于的不等式；（2）當時，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）當時，不等式的解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式的解集為.【分析】（1）利用因式分解法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得不等式的解集；（2）利用十字叉乘法分解因式后，根據(jù)函數(shù)的零點的大小關(guān)系對的不同取值（范圍）分類討論，在各種不同情況下求得不等式的解集.【詳解】（1）當時，不等式可化為，即，解得，所以不等式的解集為.（2）當時，不等式可化為，即，則，當時，，則不等式的解集為；當時，不等式化為，此時不等式解集為；當時，，則不等式的解集為.【點睛】本題考查不含參數(shù)和含有參數(shù)一元二次不等式的解法，關(guān)鍵在于（2）中根據(jù)函數(shù)零點的大小關(guān)系對實數(shù)進行分類討論，屬中檔題，難度一般.20．近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進的運載火箭技術(shù).據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭（除推進劑外）的質(zhì)量，是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”.已知型火箭的噴流相對速度為.（Ⅰ）當總質(zhì)比為330時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求型火箭的最大速度；（Ⅱ）經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進后，型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼模粢够鸺淖畲笏俣戎辽僭黾樱笤诓牧细潞图夹g(shù)改進前總質(zhì)比的最小整數(shù)值.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）279【分析】（Ⅰ）代入計算可得；（Ⅱ）由題意，經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進后，型火箭的噴流相對速度為，總質(zhì)比變?yōu)?要使火箭的最大速度至少增加，則需.再根據(jù)對數(shù)的運算及性質(zhì)計算可得.【詳解】（Ⅰ）當總質(zhì)比為330時，.由參考數(shù)據(jù)得，∴當總質(zhì)比為330時，型火箭的最大速度約為.（Ⅱ）由題意，經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進后，型火箭的噴流相對速度為，總質(zhì)比變?yōu)?要使火箭的最大速度至少增加，則需.化簡，得.∴，整理得.∴，則.由參考數(shù)據(jù)，知.∴.∴材料更新和技術(shù)改進前總質(zhì)比的最小整數(shù)值為279.【點睛】本題考查對數(shù)型函數(shù)模型的應用，對數(shù)的運算，屬于中檔題.21．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）當時，試由實數(shù)的取值討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為0；當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為1；當時，函數(shù)的零點個數(shù)為2.【分析】（Ⅰ）由圖可得，再根據(jù)最小正周期求出，最后由函數(shù)過點代入計算可得.（Ⅱ）在內(nèi)的零點個數(shù)即函數(shù)與的圖象在時公共點的個數(shù).求出的單調(diào)區(qū)間及對應的函數(shù)值取值范圍，再分類討論可得.【詳解】解：（Ⅰ）由圖，可知.函數(shù)最小正周期，則.∴.又，則，.∴，.又，∴.∴函數(shù)的解析式為.（Ⅱ）由題意，在內(nèi)的零點個數(shù)即函數(shù)與的圖象在時公共點的個數(shù).由（Ⅰ），知，.∵，，，由圖，知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（i）當或時，與的圖象在時沒有公共點，（ii）當或時，與的圖象在時恰有一個公共點；（iii）當時，與的圖象在時恰有兩個公共點.綜上可知，當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為0；當或時，函數(shù)的零點個數(shù)為1；當時，函數(shù)的零點個數(shù)為2.【點睛】本題考查已知函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，函數(shù)的零點，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.22．設(shè)，若函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個都滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；反之，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個都滿足.已知函數(shù).（Ⅰ）證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，當時，.若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意計算可得；（Ⅱ）首先求出的值域，若對任意的，總存在，使得成立，則函數(shù)值域為函數(shù)的值域的子集，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得.【詳解】（Ⅰ）∵，，∴.∴.即對任意的，都有成立.∴函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.（Ⅱ）∵，易知在上單調(diào)遞增.∴在時的值域為.記函數(shù)，的值域為.若對任意的，總存在，使得成立，則.∵時，，∴，即函數(shù)的圖象過對稱中心.（i）當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.由對稱性知，在上單調(diào)