南京市2025屆高三年級學情調研

數學

2024.09.19

注意事項：

1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規定的位置，否則不給分.

3.答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答

題卡上.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

1.已知集合/={x|x—3>0},5={x|x2—5x+4>0},則為（~18二

A.(-00,1)B.(-00,3)C.(3,+oo)D.(4,+oo)

2.已知a%=4,logfl3—y,貝！Iax+y=

A.5B.6C.7D.12

3.已知同|6|—1.若(a+2〃)_La,則cos<a,b>=

R_近c迫D.坐

A.3J3

4.已知數列{與}為等差數列，前〃項和為若$3=6,a=3,則Sg=

A.-18B.-9C.9D.18

5.若。是第二象限角，4sin2a=tan?,貝1]tana=

A.一B.-C.D.巾

6.甲、乙、丙、丁共4名同學參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次）.甲、

乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾,

你沒有得到第1名”.從這個回答分析，4人的名次排列情況種數為

A.4B.6C.8D.12

7.若正四棱錐的高為8,且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側面積為

A.24B.32C.96D.128

8.已知拋物線C：y2=8x的焦點為尸，準線為/,點尸在C上，點。在/上.若PF=2QF,

PF±QF,則△尸尸。的面積為

2555

A.不B.25C.D.55

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數z,下列命題正確的是

A.若z+lGR,則zGRB.若z+iGR,則z的虛部為一1

C.若匕|=1,則2=±1D.若Z2GR,則zGR

231

10.對于隨機事件B,若P(力)=亍尸(8)=5,P(B\A)=^貝1]

A.P（AB）=-^B.P（A\B）=^91

C.尸（4+8）=而D.P（N5）=,

1Q

1L設函數加尸刖+國，貝U

A.y（x）的定義域為｛x|x/竽，4GZ｝B./）的圖象關于x=今對稱

C."）的最小值為5小D.方程｛x）=12在（0,2兀）上所有根的和為8兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

12.（2口+：）4展開式中的常數項是一人

13.與圓柱底面成45。角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體.截面上的點到圓柱底面距離

的最大值為4,最小值為2,則該幾何體的體積為▲

（第13題圖）

14.已知橢圓C的左、右焦點分別為尸尸2,上頂點為3,直線2正2與。相交于另一點/.當

cosN/NB最小時，。的離心率為▲.

四、解答題；本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要

的文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

小王早晨7：30從家出發上班，有48兩個出行方選擇，他統計了最近100天分別選

擇4,2兩個出行方案到達單位的時間，制成如下表格:

8點前至U（天數）8點或8點后到（天數）

A方案2812

8方案3030

（1）判斷并說明理由：是否有95%的把握認為在8點前到單位與方案選擇有關;

（2）小王準備下周一選擇N方案上班，下周二至下周五選擇8方案上班，記小王下周一

至下周五這五天中，8點前到單位的天數為隨機變量X.若用頻率估計概率，求尸（X=3）.

n（ad—bc）2

附：*2=（a+6）（c+（7）（a+c）S+的,，、中"="+“+。+乩

尸（7汽）0.100.050.0250.0100.001

%2.7063.8415.0246.63510.828

16.（本小題滿分15分）

如圖，在四面體48cZ）中，△4CD是邊長為3的正三角形，△45。是以45為斜邊的

等腰直角三角形，E,尸分別為線段48,3c的中點，AM^IMD,CN=2ND.

（1）求證：￡尸〃平面AGVB；

（2）若平面/CD_L平面4BC,求直線3D與平面ACV3所成角的正弦值.

（第16題圖）

17.(本小題滿分15分)

已知數列｛5｝,｛bn｝,%=(—1)”+2”,b=an+-2.an(X>0),且｛6,｝為等比數列.

(1)求力的值;

(2)記數列也尸2｝的前n項和為r.若r..r+2=i5r+1(zeN*),求i的值.

18.(本小題滿分17分)

已知尸J尸2是雙曲線線。展一長6>。)的左、右焦點，尸1尸2=2/，點R2乖,

g)在C上.

(1)求C的方程；

(2)設直線/過點。(1,0),且與。交于/,3兩點.

①若亢4=3方8,求△尸］五/的面積；

②以線段N3為直徑的圓交x軸于P,0兩點，若|尸。=2,求直線/的方程.

19.（本小題滿分17分）

已知函數y（x）=ex-a+ox2—3辦+1,adR.

（1）當a=l時，求曲線）=危）在x=l處切線的方程；

（2）當。＞1時，試判斷負x）在［1,+oo）上零點的個數，并說明理由;

（3）當x20時，加）20恒成立，求°的取值范圍.

A

南京市2025屆高三年級學情調研

教學參考答案2024.09

一,逸擇■：木大震共X小，每小?5分，共40分.在備小■找出的四個遺事中，只有一項

是符合■目要求的.請把答案填涂在答II卡相應位置上.

DDABACCB

二、選獐也，本大題共3小*,?小題6分,其IX分.在?小題齡出的四個選項中，有多項符

合篇目要求，讀足簧家填涂在*■卡相應:位■上.全修選對得6分，部分選對播部分分.

不選成有鉆透的相。分.

910II

ABBCDACD

三、填空■:本大?共3小?，每小屋S分，共15分.清元答案填寫在答?卡幗座位一上.

12.24013.丸1%坐

四'集答題；本大廄共3小?，扶力分.請在答照卡指定運糠內作誓，解答時應寫出必要的文

字說明，注明過程豉演算闞！.

15.(本小崔海分13分)

<1>枳設〃°：R點也到俄也與方案選持無關.

100X(28X30-12X301：.........................................................................................

40X60X42X58萬

|MWk

=而^03.M>3.841.................................................-..............................................4分

所以有為知的杷堀認為8點前軻單位與路線選擇有為...........................6分

(2)達樣［才案上班.8點前到單位的愣率為0.7?

選擇履方案上ML￡點前到相位的微車為05..............................................................8分

當彳二J時，則分兩種情況：

①若同一8點前到單位，

則"=0.7Xd(I-0.5)2X。夕=念..........................................10分

②若周一8點前沒有到單位，

則嗎=(L0.7)xCi(l-0$)X06』白.........................................12分

A

蝶上，Wf=3）-A+晝?而-.................................................】3分

IS（本小題湍分15分）

監《I》因為品產分別為線段/①8U中點.

所以EF//AC...................................................................................................................2分

陽為癡=2誦，CN=l^i）,^^7=DC=1,

所以MM〃/C所以口〃MM.......................................................................................4分

又.MVu平面MMB.￡政平向MNB,

所以EF“平面，MV5.........................................................................................................6分

（2）取/C叩點。，連接DO,0E.

因為A/e為正二角形，所以ro_L/c.

因為平面/0）］_平面/NC平曲JC/JA平面ABC=

AC.DO匕平面48.

所以“O_L平面X8C.......................................

因為O,E分別為/C.43中點,HiJOEUBC.

又因為4c_LBC,所以。及LdC

以D為坐標原點，QE,OC,0。所企直線分別為工，.■，，；精建立空問百年坐標系，

...........................................................................................1Q分

期RQ.Q-之冷1以3,51°），“⑼一小小*州弧515K

ttaw=（-3.-2.0）,而二（0.I.01.麗=（-3.-1.哈.

設平面MNB的法向*為■=",yr小H圾B力與平面MNB所成角為名

uJ“曲=。，即［一標_2廠75產=0，

br*.J-

取■=1/,0.3）............................................................................................................12分

I-年+。+嗜羊5

則5in8=<XMT：礪."=_tq_==.5~ft=乎?

國惻叱斗斗.38mR

所以9D與干面MNB所成角的正弦位15分

A

門.（本小且㈱分15分）

解；⑴因為g=（-1/+2*,Iffloi-I.G=5,ax.=7,04-17.

又A?=a..1—

則a=做一<Uii=S—九比=。）一加1=7-5>，/b）=a4~/Ji｝=I7_7A.........................2分

因為｛A｝為等比勒比,則后=加?加.所映（7-必>=（5-初17-7司.??…*..........4分

劭理聞萬一1-2=0,解御J=-l或2.

因為，>（h故人=2.

4，，

當;1=2時.Zh,=a^1-2aw=C-lf+2*-2[(-ir+2T

=(-i)x(-ir4-2^,-2x(-t/-r^'=-3x(-ir........................?…6分

則與u=H筆=-1，故(A｝為好比數列?

■°nJ人IIf

所以42符SH總.............................................7分

(2)A,*=TX4T)?八

當內為倡教時，兀=-3M[—Hf22-32+42_*+。-----

10分

當四為奇數時,兀=7；“一兒"M+lA=-1of+l）（0+21+%B+lA

PH?+1).12分

。為奇It,

掾匕

用為力7lr>Q，又方力r=IS7Hp

故Kr>d所以，為偈故........................13分

所以［一夕什1）卜【一如物（/+劃=15乂如IXi+2）.

明理得P4M-I0=0.弊用」=2或,一一火分），

所以/=2?................................................................15分

1機（木小理滿分17分）

螃1<1>11低點可知。=病.點3T在C上.根據雙曲級的定義可知7F1I一%|=2a.

即2a—W3不尸+（恒￥—7（胸?（標P=>%所以d?Z................................2分

3

A

則^=/一爐-2,

所以C的方"好................................................3分

（2》①耍旗.M卜DA=（x?T?7.

因為。/1=3。8,所以ZM=（3R—3.』喻.

所以/點坐標為（虹。?2?加）.................................................，少

憚工］,

因為兒B正雙曲煩C上，所叩空）」

孤存利-3,加?士^^,...................................................7分

所以4點坐標為（7,±鳴

所以%￡*=:>^1X爐|川=；X考叵X2五=3小3.............................................8分

②當鹵線，與,，軸垂口時.叱時股=4不滿足條件.

近0發/的方桿為x="+L^（.wi?>'i）.Bixi.,vj）?Pls0）.改f0,0）.

I堂土■1

在tU與C聯立|7一2”消去與，拈QI-2］+為-3=0,

Ix-a+i.

所以戶4M=一^^?y^=-7^2,........................,..............—10分

4JA=3+I2（戶-2）>外出.3..

唯—22*得4嚴n以2,

以.力?為聲徑的附方程為（x-M*r-m）+6-AXy-”）?o，

令F=j可引產一（44*［戶+*.+加^=，則盯，卬為方程的兩個楸，

所以*，+刊=*1+n?xj*Q=/q+j'u，?.....................-...............................|3分

所以"二燈?孫川口/+口/?4n叼=>/（1|Ai，—4代兇+下皿）

=.5—幻、一勺二月=1戶5->療一心收

■―飛七十力?一44。+.乜>+窄苧

八—”24_..八

=7（2—...........................................................................15分

解窗戶■一21舍I或「哼即尸士平，

所以宜找，的方程為；太士幣$-3=也...................................17分

A

19.（本小電滿分17分）

解；（I）當。?1時，”+/一3T+L則儆）—c*r+2r-3,

所以曲及.=Ar}dh=i處切峻的斜網=汽1}=0.

又閑內陽）=0，

所以曲域l，=/x椎r=】處切爆的方構為＞=0............-....................3分

（2）川）二C廠?-2o+l?加）=€*-+2”一如,《加1尸一??0.

當時?八）=€*?+〃＞*+s）上隼諷堆增.

因為41）=/"**一0＜/7—1=。，/（＜0=1+%1—媼=?%—1＞（4?-1）＞仇

所以存在唯的*2（1,a）,使酣（&）=d......................................................................5分

當x￡（1,皿）時./MV0,所以M外在［L.皿）上單?調遞減：

當YG/.$B）時./U）＞0,所以散聞E（%?4B）上承調站博.

又因為川廣一，-24?+1-2+1-0.所電備。〈月l）Y0.

又因為亢5）=/,flA0,

MJ.-M.---IIH.小＞在“，十8）上有且只有一個等「.……掩行

（3）①當。＞1時.）=??a-2tf4-1＜e0-2+L=0.與當工小0時,瓜用10矛盾.

所以a、】不滿足聞怠，...