專題08期中考壓軸題匯編

選擇題壓軸

（23-24八年級上?福建廈門?期中）

1.已知拋物線y=a無2+6x+c（a、b、c是常數，aw0）經過點/（1，。）和點8（。,一3）,若該

拋物線的頂點在第三象限，記加=2a-b+c,則心的取值范圍是（）

A.0<w<3B.-6（機<3C.-3<m<6D.-3<m<0

（23-24八年級上?福建福州?期中）

2.如圖，在RtA48C中，ZACB=90°,/C=10,8c=12,點。是AA8C內的一點，連接

AD,CD,BD,滿足/4DC=90。，則&D的最小值是（）

C.8D.13

（23-24八年級上?福建寧德?期中）

3.如圖，已知點小，A2,,4020在函數12位于第二象限的圖像上，點用，比，，為被。在

函數產N位于第一象限的圖像上，點G，C,,,。2期在了軸的正半軸上，若四邊形

OA]CB、C[A2c2B2，…,60/必2020。202/2020都是正方形，則正方形C20/M202oC2O2而2020的對

角線長為（）

試卷第1頁，共6頁

A.2020逝B.20190C.4040D.4038

（23-24八年級上?福建福州?期中）

4.如圖，在正方形45。中，E、尸是射線8。上的動點，且乙粗尸=45。，射線/￡、AF

分別交8C、CD延長線于G、H,連接EC,在下列結論中：①AE=CE；

@BG=GH+DH■,@EF2BE2+DF2;④若AB=3DH,則C￡>=2CG,

⑤工AGH:$△BCD=其中正確的結論有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

（23-24八年級上?福建南平?期中）

5.如圖，平面直角坐標系xQy中，點/的坐標是（-3,4）,點8是。/上一點，的半徑

為2,將08繞。點順時針方向旋轉90。得OC,連接/C,則線段NC的最小值為（）

D.6

試卷第2頁，共6頁

題型02填空題壓軸

■

（23-24八年級上?福建福州?期中）

6.已知拋物線y=x?+2mx+加2+3加-2與x軸交于么（孫0）,8仁,。）兩個不同的點，設

W=*+X；,則W的取值范圍是.

（23-24八年級上?福建漳州?期中）

7.如圖，在等邊△4BC中，AB=4,D,E分別是邊/民8c上的動點（不與△NBC的頂點

重合），連接力E,C。相交于點尸，連接8尸，若N8D尸+N8E尸=180。，則B尸的最小值

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

8.已知y=-x（x+3-0）+1是關于x的二次函數，當1SK5時，如果y在x=l時取得最

小值，則實數。的取值范圍是—.

（23-24八年級上?福建莆田?期中）

9.如圖，正方形N8CZ）的邊長為4,E為8c上一點，且5E=1,F為邊上的一個動點,

連接￡尸，將￡尸燒點E順時什旋轉60。得到EG,連接CG,則CG的最小值為.

（23-24八年級上?福建寧德?期中）

10.如圖，點。為坐標原點，。。的半徑為1,點4（2,0）,動點B在。。上，連接作

等邊△NBC（A,B,C為順時針順序），則0c的最大值為.

試卷第3頁，共6頁

(23-24八年級上?福建福州?期中)

11.如圖，N8是。。的弦，N8=2后，點尸是優弧4PB上的動點，々=45°,連接尸/,

PB,NC是的中線,

（1）若NCAB=NP,貝|/C=:

(2)/C的最大值=

解答題壓軸

(23-24八年級上?福建寧德?期中)

12.在一次數學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺

放，其中//C3=ZDE5=90。，ZB=30°,BE=AC=3.

圖1圖2備用圖

(1)DE=；

(2)小昕同學將三角板OE8繞點B按順時針方向旋轉.

(i)如圖2,當點E落在N3邊上時，延長DE交8c于點尸，求B尸的長.

(ii)若點C、E、。在同一條直線上，請畫出示意圖并求點。到直線8c的距離.

試卷第4頁，共6頁

（23-24八年級上?福建泉州?期中）

13.已知二次函數y=/+6x+6-l,其中6為常數.

⑴當y=o時，求尤的值；（用含6的式子表示）

⑵拋物線y=/+6x+6-l與X軸交于A,8兩點（點A在點B的左側），過點前5,3）作直線

交拋物線于P,。兩點，其中點尸在第一象限，點。在第四象限，連接/P,分別交》軸

于點M（O,〃z）,N（0,〃）.

①當b<2時，求點尸的橫坐標X.的值；（用含加，6的式子表示）

②當b=-4時，求證：OATON是一個定值.

（23-24八年級上?福建廈門?期中）

14.已知二次函數丁=42-2ox+c的圖象與x軸交于坐標原點。和點/,頂點為點P.

⑴求點P的坐標（用含。的式子表示）；

（2）已知點尸縱坐標與點/橫坐標相同，直線V=區-6與拋物線交于〃，N兩點（點M在

點N左側），連接NM,NN.設直線為必=/x+/w,直線/N為％=《x+"；

①當M,N兩點關于拋物線的對稱軸對稱時，求左?伍的值；

②求證：當上W3時，勺%的值不變.

（23-24八年級上?福建漳州?期中）

15.如圖，A4BC、△/￡>￡1均為等邊三角形，BC=6,=4.將△4DE繞點/沿順時針

方向旋轉，連接B。、CE.

（1）在圖①中證明AADB&AAEC；

（2）如圖②，當/E/C=90。時，連接CD,求△D8C的面積；

⑶在"DE的旋轉過程中，直接寫出ADBC的面積S的取值范圍.

（23-24八年級上?福建三明?期中）

試卷第5頁，共6頁

16.設仇c是互不相等的實數，且%工0,我們把有序實數對(。也c)輪換匹配給拋物線

2

>="2+&+。所得的三條拋物線。1=。、2+6*+(?,C2-bx+cx+a,C3=cx?+ax+b稱為

(a,6,c)的輪序拋物線.

(1)寫出有序實數對34,5)的三條輪序拋物線；

⑵設』時,P仆,必)，P2(k,%)，居(鼠為)分別是有序實數對(123)的三條輪序拋物線

G，C2,G上的點，當必>%時，求人的取值范圍；

(3)若(a,b,c)的三條輪序拋物線在x軸上有一個公共交點，

①求證：(a,b,c)的三條輪序拋物線中的每一條拋物線與x軸必有另外一個交點；

22

②求幺M+土h+Jr的直

beacab

試卷第6頁，共6頁

1.B

【分析】由頂點在第三象限，經過點么（1,0）和點8（0，-3）,可得出：。>0,-3<0,即

2a

可得出0〈a<3,又由于加=2a-6+c=2a-（3-a）+（-3）=3a-6,求出3〃一6的范圍即可.

【詳解】???拋物線y=a-+及+°過點（1,0）和點（0,-3）,

???。=-3,a+b+c=0,

即6=3-a,

???頂點在第三象限，經過點力（1,0）和點5（0,-3）,

>0,-----<0,

2a

b〉0,

???6=3—Q>0,

???〃<3,

???0<av3

?：m=2a-b+c=2a-（3-a^+（-3）=3a-6,

v0<a<3,

???0<3a<9

一6<3Q-6<3,

A-6<m<3.

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數/=辦2+加+°（。力0）的圖象

為拋物線，當。>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線》=-二；拋物線與y軸的交點坐標為

2a

（0,c）.

2.C

【分析】如圖，取/C中點。，連接。O.則點。在以點。為圓心，/C長為直徑的圓周上

運動，當。、D、8在同一直線上時，OB最短,此時80=08-00=08-5為最短.所以

BD=OB-OD=OB-5=13-5=S,即為50的最小值.

【詳解】解：如圖，取NC中點。，連接DO.

???ZADC=90°,

答案第1頁，共24頁

.,.點。在以點。為圓心，NC長為直徑的圓周上運動，且。O=g/C=gxl0=5,

當。、D、B在同一直線上時，03最短，止匕時3D=O3-OD=O3-5為最短.

在RtXOCB中，

OC=5,8c=12,

則OB=V122+52=13，

:.BD=OB-OD=OB-5=13-5=8,

即AD的最小值是8.

【點睛】本題主要考查了兩點之間最短距離的問題，解題的關鍵是正確構造圓和運用勾股定

理.

3.C

【分析】根據正方形對角線平分一組對角可得與y軸的夾角為45。，然后表示出。片的

解析式，再與拋物線解析式聯立求出點為的坐標，然后求出。⑸的長，再根據正方形的性

質求出。。，表示出G&的解析式，與拋物線聯立求出層的坐標，然后求出C乃2的長，再

求出QG的長，然后表示出。2星的解析式，與拋物線聯立求出5的坐標，然后求出GS

的長，可求出C2c3,然后觀察0G、c2c3存在的規律；最后根據規律即可解答.

【詳解】解：,??四邊形ON/G8/是正方形，

???。2/與〉軸的夾角為45。，

?■OBi的解析式為y=x,

y=xx=0X=1

聯立2,解得a或

y=xy=i

:點&(1,1),

：.OBi=&+f=6,

,??四邊形Q4/G3/是正方形,

答案第2頁，共24頁

：.OCI=6OB\=V2XV2=1X2,

???四邊形C]A2C2B2是正方形，

凡與y軸的夾角是45。,

??CIB2的解析式為y=x+2,

y=x+2x=-1x=2

聯立2，解得1或

y=x)=4,

???點在(2,4),

22

■-C1B2=y]2+(4-2)=272,

???四邊形GA2c2B2是正方形，

.-.CIC2=42ClB2-72X272=2X2=4=2,

,??四邊形C2A3C3B3是正方形,

晶與夕軸的夾角是45。,

■■C2B3的解析式為y=x+6,

y=x+6x=-3%=3

聯立-2，解得…或

y=x尸9，

二點當（3,9）,

22

?1?C2S5=73+(9-6)=3V2,

,:四邊形GA2c2B2是正方形,

:.C2c3=y[iC\B、=V2x3A/2=3x2=6,

依此類推，正方形。20/削2020。202必2020的對角線長為。20/9。2020=2020*2=4040.

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數的對稱性、正方形的性質等知識點，表示出正方形的邊長所在

直線的解析式與拋物線解析式聯立求出正方形的頂點的坐標，從而求出正方形邊長、對角線

的邊長是解答本題的關鍵.

4.B

【分析】由“SAS”可證△/8E4C8E,可得=故①正確；

如圖1,在8c上截取=連接/N,由“SAS”可證△4BN/△4D77,可得4N=4H,

答案第3頁，共24頁

/BAN=ADAH由“SAS”可證AANGdAHG,可得NG=HG,

BG=BN+NG=GH+DH,故②正確；

如圖2,將△40尸繞點A順時針旋轉90。，得到連接EM,由旋轉的性質可得

AF=AM,ZABM=ZADF,DF=BM,由“SAS”可證,可得

EF=EM,由勾股定理可得所2=2歲+。尸2,故③正確；

如圖1,設DH=a,則/3=3O〃=3a=8C=CD,利用勾股定理可求CG=3。=CD,故④

錯誤；

由三角形的面積公式可求S.GH：$椀8=G”：48,故⑤正確；

【詳解】解：：四邊形N2C。是正方形，

:.AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,

???BE=BE,

:."BE知CBE(SAS),

AE=EC,

故①正確；

如圖1,在BC上截取BN=DH,連接4N,

AB=AD,ZABN=ZADH=90°,BN=DH,

;色ABN公AADH(SAS),

AN=AH,ZBAN=ADAH,

ABAD=ZNAH=90°,

-.■ZEAF=45°,

NEAF=NNAG=45°,

又?：AN=AH,AG=AG,

:2NG必AHG(SAS),

答案第4頁，共24頁

NG=HG,BG=BN+NG^GH+DH,

故②正確；

如圖2,將△40尸繞點A順時針旋轉90。，得到連接EM,

:./\ADF^ABM,^FAM=90°,

AF=AM,ZABM=ZADF,DF=BM,

■：ZABD=ZADB=45°,

ZABM=ZADF=135°,ZMBE=90°,

???ZEAF=45°,

ZEAF=ZEAM=45°,

又；AE=AE,AF=AM,

尸絲△/EAf(SAS),

:.EF=EM,

在RtABEM中，EM2=BE'+BM-，

:.EF2=BE2+DF2,

故③正確；

???AB=3DH,

:.設DH=a,貝448=3。〃=3a=8C=CD,

CH=4q,

如圖1,在BC上截取BN=DH,連接4N,

答案第5頁，共24頁

HF

BNCG

圖1

由③可得：HG=NG,

設CG=x,貝!]BG=3a+x,

NG=2a+x^HG,

■.■CH2=CG2+HG2,

*'?(4a)2+x?=(2t7+x)2,

??x—3a,

CD=CG,

故④錯誤；

如圖1,MANGHAHG,

SMGH=S△3；NG.AB=；HG.AB，

■'S^AGH-SABCD=GH.AB,

故⑤正確；

,正確的結論有①②③⑤，共4個.

故選：B

【點睛】本題屬于幾何綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性

質，勾股定理，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

5.A

【分析】把。/繞。點順時針方向旋轉90。得。H,過點A作軸于點尸，過點H作

4G_Lx軸于點G,以點4為圓心作。使。H的半徑為2,點3是。/上一點，則點C

是上一點，當點4。,4三點共線，即點C在44,上時，NC最小.

【詳解】解：如圖，把。/繞。點順時針方向旋轉90。得。4',過點A作/尸，x軸于點尸,

答案第6頁，共24頁

過點H作軸于點G,以點H為圓心作。4,使。4的半徑為2,

.-.OA=OA',ZAOA'=90°ZAFO=/OGA'=90°,

ZAOF+ZA'OG=180°-ZAOA'=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

ZOAF=ZA'OG,

:.AAFO^AOGA'(AAS),

AF=OG=4,OF=ArG=3,

???4(4,3),

過H作/尸于點a,4H=4-(-3)=7,/〃=4-3=1,

在Rt△/9'中，/?=[(AH?+(AH,=JF+72=5近,

點2是。/上一點，則點C是。H上一點，A'C=2,

當點40,H三點共線，即點C在上時，NC最小,

:.AC^AA'-CA'^542-2,

故線段NC的最小值為5啦-2.

故選：A.

【點睛】本題考查了圓的基本概念，動點問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質，本題

的關鍵是作出正確的輔助線，運用數形結合的思想方法.

,8

6.w＞—

9

【分析】根據拋物線y=M+2m+/+3加―2與x軸交于力（石,0）,5（孫。）兩個不同的點，得

到西+工2=-2加，占%2=機2+3加一2,A=（2m）2-4（m2+3m-2）＞0,進而求出加的取值范

圍，通過完全平方公式用冽表示出w的值，進而確定w的取值范圍.

22

【詳解】解：令得，x+2mx+m+3m-2=0,

???拋物線＞=12+2mx+m2+3加-2與1軸交于/（知0）,網和。）兩個不同的點,

222

玉+工2=-2加，x[x2=m+3m-2,△=(2m)-4(m+3m-2)>0,

2

3

答案第7頁，共24頁

2

???W=再2+x2=(演+%)2—2/工2

=(-2m)2-2^m2+3加一2)

=2m2—6m+4

2

2>0,當加時，w隨加的增大而減小,

Q

故答案為：w>—.

【點睛】本題考查了拋物線與X軸交點問題，關鍵根據二次函數與X軸有兩個交點，求出加

的取值范圍.

7.26##生8

33

【分析】根據等邊三角形的性質，結合/BDF+/BEF=180°,得到/。F￡=120。，對頂角

相等，得到//EC=120。，進而得到點尸在以。為圓心，04的長為半徑，且N/OC=120。

的圓弧上運動，連接。4。。,O3,。77，貝ij：OA=0C=OF,BF>OB-OF，證明名zkCOB,

得到△ZOB為含30度角的直角三角形，進行求解即可.

【詳解】解：???等邊△4C,

ZABC=60°,AB=BC,

???/BDF+/BEF=\8。0,

??.NDFE+NABC=360°-(ZBDF+ZBEF)=180。，

ZDFE=nO0,

---ZAFC=120°f

???點尸在以。為圓心，04的長為半徑，且乙4。。=120。的圓弧上運動，如圖，連接

OA,OC,OB,OF,貝hOA=OC=OF.BF>OB-OF,

答案第8頁，共24頁

???AAOBACOB,

??.NABO=ZCBO=-ZABC=30°,ZAOB=ZBOC=-ZAOC=60°,

22

ABAO=9G0,

BO=2AO,AB=43AO=4,

AO=—VJ,

3

：.BO=2OA=-y^,OF=AO=",

33

：.BF<^y［3,即：職的最小值為：1V3；

故答案為：:百.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的

判定和性質，求圓外一點到圓上一點的最值，解題的關鍵是確定點廠的運動軌跡.

8.?>9

【分析】由于二次函數的頂點坐標不能確定，故應分對稱軸不在［1,5］和對稱軸在［1,5］內

兩種情況進行解答.

【詳解】第一種情況：

當二次函數的對稱軸不在1OW5內時，此時，對稱軸一定在1OW5的右邊，函數方能在x=l

時取得最小值，x=^>5,即。>13.

第二種情況：

當對稱軸在1SE5內時，對稱軸一定是在區間1SE5的中點的右邊，因為如果在中點的左

邊的話，就是在x=5的地方取得最小值，即：

了=一2一，即壯9（此處若a取9的話，函數就在1和5的地方都取得最小值）

答案第9頁，共24頁

綜合上所述：a>9.

故答案為e9.

【點睛】本題考查了二次函數的最值確定與自變量x的取值范圍的關系，難度較大.

9.-

2

【分析】由題意分析可知，點F為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉中心構造全等

關系，得到點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構造直角三角形獲得CG最小值.

【詳解】解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一

定在直線軌跡上運動，

將4EFB繞點E旋轉60。，使EF與EG重合，得到aEBH為等邊三角形，AEBFmCEHG,

.-?ZEHG=ZABC=9O°,HE=BE=1,zBEH=60°,

.,.點G在垂直于HE的直線HN上.

作CM1HN,則CM即為CG的最小值，作EP1CM,可知四邊形HEPM為矩形，

.?.zCEP=180o-60o-90o=30°,

113

??.CP=-CE=-x(4-l)=-,

22v2

35

則CM=MP+CP=HE+PC=\+-=-,

22

即CG的最小值為g.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，線段最值問題，全等三角形的性質，正方形的性質，矩形

的判定與性質，含30。角的直角三角形的性質，以及垂線段最短等知識，分清主動點和從動

答案第10頁，共24頁

點，通過旋轉構造全等，從而判斷出點G的運動軌跡，是本題的關鍵，之后運用垂線段最

短，構造圖形計算，是極值問題中比較典型的類型.

10.3

【分析】以。/為邊，在CM的下方作等邊△O4D,連接8。，OC,BO,證明

△O/G3AD48(SAS),得OC=BD,即可得出結論.

【詳解】解：如圖，以。/為邊，在。區的下方作等邊△O4D,連接AD,OC,BO,

V

D

???KABC和LOAD都是等邊三角形，

：.AC=AB,AO=AD,ABAC=ZOAD=60°,

/OAC=/DAB,

在△CMC和△045中，

AC=AB

<ZOAC=/DAB,

AO=AD

,-.AOAC^ADAB(SAS)f

??.0C=BD,

???OO的半徑為1,點4(2,0),

/.OB=\,OC=BD,

OB=\,OA=OD=2,

--2-l<BD<2+l(當點。，B,。三點共線時取“二”號)，

gpi<BZ)<3,

.-.1<OC<3,

???OC的最大值為3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查圓的基本性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的

答案第11頁，共24頁

三邊關系，數軸上兩點之間的距離等知識，本題難度較大.通過作輔助線構造全等三角形是

解題的關鍵.

11.2V5+1

【分析】（1）如圖，延長/C交。。于點。，連接根據/尸=45。，由圓周角定理得到

ZADB=45°,再根據已知=可得到ZAB。=90°,所以NO是。。的直徑，再根

據NC是的中線，由垂徑定理的推論得到/C,尸8,最后利用勾股定理可求解；

（2）由/C是ANAP的中線，可得OCL尸8,即點C在以為直徑的圓上運動.連接。2、

OC,設08的中點為D,以點。為圓心，為半徑作。。，當A,。，C三點共線，且

點。在/C之間時，/C有最大值，最大值為4D+CD,即最大值為再由

NP=45。,可得乙4。8=90。，她。是等腰直角三角形，結合43=2收，運用特殊角的三

角函數值和勾股定理，求得CM=sin45Ox/2=2,AD=^OA2+OD2=75?從而求得"C的

最大值.

【詳解】解：（1）如圖，延長NC交。。于點。，連接區D,

???/尸=45°,

ZADB=45°,

又?:NCAB=ZP,

；.NCAB=45°,

.-.^ABD^9Q°,

.?.4D是。。的直徑，

???/C是AN3P的中線，

：.AC1PB,

ZACB=90°,

???ZCAB=45°,

ZCBA=180°-ZACB-ZCAB=45°,

AC=BC,

-AC2+BC2=AB2,

又?:AB=2血.，AC=BC,

：.AC2+AC2=（2^,

解得4C=2.

答案第12頁，共24頁

故答案為：2

(2)???/C是A/8尸的中線，

??.C是8P的中點，

??,/3是。。的弦，點P是優弧4PB上的動點，

OB=OP,

???C是8P的中點，

OCVPB,

ZOCB=90°,

.?.點C在以08為直徑的圓上運動.

如圖，連接。2、OC,設的中點為。，

以點。為圓心，為半徑作。。，

???點C在以。3為直徑的圓上運動，

.?.當A,D,。三點共線，且點。在NC之間時，

NC有最大值，最大值為4D+CD,即最大值為03.

連接04,AD,

???/尸=45°,

ZA0B=90°,

??,/3是。。的弦，

0A-0B,

■.AB=2^2,0A=0B,408=90。，

.?.CM=O2=sin45°xAg=sin45°x2&=2,

的中點為。，

；.OD=DB=LOB=\,

答案第13頁，共24頁

OA=2,OD=1,ZAOB^90°,

?1?AD=yJOA2+OD2=V5，

???DB=\,

???AC的最大值為AD+DB^y/5+l,

故答案為：V5+1

【點睛】本題考查的是圓與三角形的綜合問題一動點問題，主要考查了圓周角定理、垂徑定

理的推論、勾股定理、三角形的三邊關系定理等知識.其中，探究點C的運動軌跡是解決問

題的關鍵.

12.（1）行

⑵⑴26；（ii）圖見解析，76±1

【分析】（1）根據含30度直角三角形的性質可進行求解；

（2）（i）由題意易得尸是等邊三角形，然后問題可求解；（ii）①當點￡在8c上方時,

過點。作。H_L8C,垂足為a,②當點E在8C下方時，然后根據等積法可分類進行求

解.

【詳解】（1）解：???40防=90。，48=30。，

.-.DE=-BD,

2

?1?BE=4BD1-DE1=y/3DE，

?：BE=3,

DE=8

（2）解：（i）如圖2,由旋轉知

答案第14頁，共24頁

D

A

oX/DBF=/DBE+/EBF=60°/FDB=90°-/DBE=60°，

、B

F

圖2

ADBF是等邊二角形,

???BF=BD=演2+(G『=2道；

(ii)①當點E在BC上方時，如圖,

過點。作垂足為",

在△/BC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=3,

：.AB=2AC=6,

???8c=3月.

???點C、E、。在同一直線上，且/。匹=90。，

ZCEB=180。-ZDEB=90°.

又?.?在△C8E中，/CEB=90°,BC=3拒,BE=3,

???CE=^BC2-BE2=3V2>

??.CD=CE+DE=m+6

?.?在△3。中，SABCD=^CDBE=^BCDH,

2CDBEr-,

DH=----------=v6+1?

BC

②當點E在BC下方時，如圖，

答案第15頁，共24頁

A

在△BCE中，???/CEB=90。，BE=3,BC=3拒,

???CE=yjBC2-BE2=3A/2.

：CD=CE-DE=m-n，

過點。作。垂足為M,

在A&DC中，SABDC=^BC-DM=^CD-BE,

???DW=76-1；

綜上，點。到直線BC的距離為?±1.

【點睛】本題主要考查旋轉的性質、勾股定理、含30度直角三角形的性質及等積法，熟練

掌握旋轉的性質、勾股定理、含30度直角三角形的性質及等積法是解題的關鍵.

13.（1）再=-1,x2=l—b；

⑵①馬=機-6+1；②詳見解析

【分析】（1）令>=0,得：x2+bx+b-l=Q,運用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）①當6<2時，利用不等式性質可得：根據點A在點8的左側，可得

N（T,0）,利用待定系數法求得直線4W的解析式為丁=必+加，聯立方程組，消去九得:

2

x+（b-m）x+b-m-l=0,由根與系數關系，^xA+xp^-（b-m）=m-b,即可得出答案；

②當/>=-4時，二次函數解析式為了=V-4x-5,根據條件可得P（加+5,蘇+6加），

。（"+5爐+6〃），再根據直線尸。過點磯5,3）,可推出（山〃+3）（加-“）=0,即可求解.

【詳解】（1）解：當y=0時，x2+bx+b-l=O,

（x+l）（x+Z）-l）=0,

x+l=0或l+6—1=0,

答案第16頁，共24頁

=

二.再=-1,x2l~b?

(2)①解：當b<2時，由(1)可知：玉=—1,x2=l-bf

?:b<2,

.—b>—2,

:A-b>-\,

??,點A在點8的左側，

.-.^(-1,0),

設直線AM的解析式為y=kx+a,

'：^4(-1,0),Af(0,Zw),

—k+。=0k=m

,解得:

a=ma=m

???直線AM的解析式為y=mx+mf

y=mx+m

聯立方程組，得:

y=x2+bx+b-l

消去丁，得：x2+(b-m)x+b-m-l=0,

由根與系數關系，^xA+xp=-(b-m)=m-b,

：.xp=m-b+1；

②證明：當b=-4時，二次函數解析式為y=x2-4x-5,

.??^(-1,0),5(5,0),

xp-m+5,

22

yp=(m+5)-4(加+5)—5=m+6mf

P(m+4,m2+6m

直線3的解析式為：k2T(x+l)=〃x+〃,

y=x2-4x-5

聯立方程組，得:

y=nx+n

答案第17頁，共24頁

x?-（4+"）x-5—“=0,

2

xg=4+n,yQ=n+5n,

即0（"+5,〃2+6〃）,

??,直線P0過點E（4,2）,

..kEP=kEQ,

機2+6加一3772+6n-3

=,

m---------n

mn2+6mn-3m=m2n+6mn-3〃，

（加"+3）卜w-〃）=0,

,:P、0不重合，即加/〃，

mn=-2,

OM-ON=M〃|=3為定值.

【點睛】本題考查二次函數的性質，待定系數法，一次函數圖象和性質，一元二次方程根與

系數關系等，此題綜合性較強，熟練掌握二次函數的圖象及性質、靈活應用根與系數的關系

是解題的關鍵.

14.⑴點P坐標為

（2）①左?無2=T2；②見解析

【分析】（1）把原點坐標帶入函數表達式，求出c的值，再將二次函數表達式化為頂點式,

即可進行解答；

（2）根據函數的對稱軸和與x軸相交于原點和A點，可得點A的坐標，從而得出點P的坐

標，即可用待定系數法求解函數表達式；①由M,N兩點關于拋物線的對稱軸對稱可得

M,N的縱坐標為-6,把）=-6代入拋物線的表達式，即可求出點M和點N的坐標，即可

求得NM,/N的解析式，即可求解；②根據直線4W,/N經過點N可得如〃與知質的

_4—左

關系，設點/，N的橫坐標分別為X],%,令丘-6=-2/+4x可得無i+z=三一，

再—=-3,用含%,當和人的代數式分別表示/，月，即可求解.

【詳解】（1）解：?.?拋物線經過原點,

答案第18頁，共24頁

c=0,

y=ax2-lax=a(x-I)2-tz,

點尸坐標為（1，-。）.

（2）???拋物線對稱軸為直線x=-=^=l,

2a

???點4坐標為（2,0）,

,?,點P縱坐標與點A橫坐標相同，

..—CL=2,

。=-2,點P坐標為（1，2）.拋物線解析式為y=-2x2+4x.

①?.?〃，N關于拋物線對稱，

二.直線、=履一6中4=0,y=-6,

把y=-6代入V=-2尤2+4x得-6=-2x?+4x,

解得x=-l或x=3,

N（3,-6）,

-6=-k+m

將（-1,-6）,（2,0）代入乂=?x+加得x

0=2左i+冽

h=2

解得

m=-4

-6=3k2+n

將（3,-6）,（2,0）代入%=■+"得

0=2k2+n

k?——6

解得

〃=12

:.k、?k?=—12.

②令區-6=-2%2+4%,整理得2一+(左-4)x-6=°,

設點M橫坐標為多，點N橫坐標為超，

+x2=—,再外=一3,

丁點"在直線歹=履-6與直線/加上,

答案第19頁，共24頁

把（2,0）代入yl=klX+m得m=-2kx,

y{=kxx-2kl,

令玄1-6二《再一2尢，可得左1二―1

國一2

,??點N在直線>=履-6與直線/N上,

把(2,0)代入%=+。得m=-2kl,

y2=k2x-2k2,

_kx、-6

令kx2—6=左2工2—2k2,可得后2=~

%2—2

_kxx-6kx2-6_kxxx2-6k[xx+x2）+36

二.占,k2=------------=--------7--------------7-----------,

%—2%2—2X]X2-2（X]+X?）+4

4m4-kfoC]X2-6^（^+x2）+3636-12左

把再+%=亍,%”=一3代入中2一2（%+%）+4=勺為=FF

W3時，kx-k2=-12.

【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，解題的關鍵是掌握二次函數的性質，二次函

數和方程的關系，以及一元二次方程根與系數的關系.

15.(1)證明見詳解

⑵96+6

(3)973-12<5<973+12

【分析】(1)根據△NBC和為等邊三角形得到對應邊和角相等，再利用角度的變化即

可求證全等；

(2)利用/E/C=90。得/D4B,過點N作工”，8C交2C與點〃，過點。作交

AH與點G,再利用含30。的直角三角形解得的值，結合面積公式即可求得；

(3)利用第二問結論，分析出△ABC的面積最大時與在同一條直線上，且點。在

△4BC外部，△DBC的面積最小時AD與在同一條直線上，且點。在△ABC內部，根

據三角形面積公式即可求得答案.

【詳解】(1)證明：???△/2C、均為等邊三角形，

AD=AE,AB=AC,/DAE=ABAC

?：ADAB+NBAE=NBAE+ZEAC

答案第20頁，共24頁

:"DAB=NEAC,

AB=AC

在AADB和AAEC中<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

：.AADB知AEC(SAS).

(2)連接CE,同理有成立，得ND4B=NEAC,

ZEAC=90°,

:.NDAB=90°,

過點/作/HLBC交2C與點”，過點。作DG〃8C交NX與點G,如圖,

???△/8C為等邊三角形，

.-.BH=-BC=3,ZBAH=-ZBAC=30°,

22

ZDAG=180。一NDAB-/BAH=60°,

在中，AH=373,

在RM/GD中，ZADG=30°,/G=2,

:.GH=30+2,

則Same=g.3C,G〃=；x6x(36+2)=94+6.

(3)過點N作交8c于點凡當/。與NH在同一條直線上，且點。在△ABC外

部時△D8C的面積最大，如圖，

答案第21頁，共24頁

???/TO=3用4,

則S.OBC=1-5C-D//=1x6x(3V3+4)=973+12；

當/。與/”在同一條直線上，且點。在△ABC內部時△08。的面積最小，如圖,

貝l」HD=3g-4,

那么S皿c=3.5。。//=gx6x(3右一4)=94一12,

△D2C的面積S的取值范圍：9A/3-12<S<9V3+12.

【點睛】本題主要考查幾何圖形的變化，利用等邊三角形的性