第三章空間向量與立體幾何課時練習題1、點在空間直角坐標系中的坐標 -1-2、空間兩點間的距離公式 -6-3、從平面向量到空間向量空間向量的運算(一) -10-4、空間向量的運算(二) -15-5、空間向量的運算(三) -20-6、空間向量基本定理 -27-7、空間向量運算的坐標表示及應用 -33-8、直線的方向向量與平面的法向量 -39-9、用向量方法研究立體幾何中的位置關系 -45-10、空間中的角 -52-11、空間中的距離問題 -63-1、點在空間直角坐標系中的坐標一、選擇題1．點P(0，2，0)位于()A．x軸上 B．y軸上C．xOy平面內 D．yOz平面內B[由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y軸上．]2．點P(a，b，c)到坐標平面xOz的距離是()A．|a| B．|b|C．|c| D．以上都不對B[設點P在面xOz的射影為P′，則|PP′|＝|b|．]3．已知點A(2，3－μ，－1＋v)關于x軸的對稱點為A′(λ，7，－6)，則λ，μ，v的值為()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7D[兩個點關于x軸對稱，那么這兩個點的x坐標不變，y坐標與z坐標均互為相反數，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7．]4．點P(1，eq\r(2)，eq\r(3))為空間直角坐標系中的點，過點P作平面xOy的垂線，垂足為Q，則點Q的坐標為()A．(0，0，eq\r(3)) B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1，0，eq\r(3)) D．(1，eq\r(2)，0)D[由空間點的坐標的定義，知點Q的坐標為(1，eq\r(2)，0)．]5．長方體ABCD-A1B1C1D1在空間直角坐標系中的位置如圖所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，則DD1C1C所在平面上點的坐標形式是()A．(0，－2，－1) B．(x，－2，z)C．(－3，－2，－1) D．(－3，y，z)B[DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且與xOz面的距離為2，上面任意一點的y坐標都是－2，而x、z坐標可取任意實數．]二、填空題6．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則CC1中點N的坐標為________．(0，2，1)[C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．]7．寫出點P(2，3，4)在三條坐標軸上的射影的坐標________，________，________．(2，0，0)(0，3，0)(0，0，4)[P(2，3，4)在x軸上的射影為(2，0，0)，在y軸上的射影為(0，3，0)在z軸上的射影為(0，0，4)．]8．在空間直角坐標系中的點P(a，b，c)，有下列敘述：①點P(a，b，c)關于橫軸(x軸)的對稱點是P1(a，－b，c)；②點P(a，b，c)關于yOz坐標平面的對稱點為P2(a，－b，－c)；③點P(a，b，c)關于縱軸(y軸)的對稱點是P3(a，－b，c)；④點P(a，b，c)關于坐標原點的對稱點為P4(－a，－b，－c)．其中正確命題的序號是________．[答案]④三、解答題9．如圖，棱長為a的正方體OABC-D′A′B′C′中，對角線OB′與BD′相交于點Q，頂點O為坐標原點，OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，試寫出點Q的坐標．[解]因為OB′與BD′相交于點Q，所以Q點在xOy平面內的投影應為OB與AC的交點，所以Q的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，z))．同理可知Q點在xOz平面內的投影也應為AD′與OA′的交點，所以Q點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，\f(1,2)a))．10．如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1的對稱中心為坐標原點，交于同一頂點的三個面分別平行于三個坐標平面，頂點A(－2，－3，－1)，求其它七個頂點的坐標．[解]長方體的對稱中心為坐標原點O，∵頂點A(－2，－3，－1)．∴A關于原點的對稱點C1的坐標為(2，3，1)．又∵C與C1關于坐標平面xOy對稱，∴C(2，3，－1)．而A1與C關于原點對稱，∴A1(－2，－3，1)．又∵C與D關于坐標平面yOz對稱，∴D(－2，3，－1)．∵B與C關于坐標平面xOz對稱，∴B(2，－3，－1)．又∵B1與B關于坐標平面xOy對稱，∴B1(2，－3，1)．同理，D1(－2，3，1)．綜上知長方體其他七個頂點的坐標為C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．11．在空間直角坐標系中，點P(3，4，5)與Q(3，－4，－5)兩點間的位置關系是()A．關于x軸對稱B．關于xOy平面對稱C．關于坐標原點對稱D．以上都不對A[點P(3，4，5)與Q(3，－4，－5)兩點的橫坐標相同，而縱、豎坐標互為相反數，所以兩點關于x軸對稱．]12．設z為任一實數，則點(2，2，z)表示的圖形是()A．z軸B．與平面xOy平行的一直線C．平面xOyD．與平面xOy垂直的一直線D[(2，2，z)表示過點(2，2，0)且與z軸平行的直線，即與平面xOy垂直的直線．]13．(多選題)空間直角坐標系中，若一點到三個坐標平面的距離都是1，則下列說法正確的是()A．該點到原點的距離是eq\r(3)B．該點到原點的距離是3C．這樣的點有4個D．這樣的點有8個[答案]AD14．(一題兩空)在空間直角坐標系中，點M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影的坐標是_______，點M(－2，4，－3)關于原點對稱的點的坐標是________．(－2，0，－3)(2，－4，3)[點M在xOz上的射影為(－2，0，－3)，點M(－2，4，－3)關于原點對稱的坐標為(2，－4，3)．]15．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點，試建立適當的直角坐標系，寫出點E，F，G，H的坐標．[解]以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系．∵點E在z軸上，且為D1D的中點，∴點E坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))．過F作FM⊥AD，FN⊥DC，則|FM|＝|FN|＝eq\f(1,2)，故點F坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))．∵點G在y軸上，又|GD|＝eq\f(3,4)，∴點G坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))．過H作HK⊥CG于點K，由于H為C1G的中點，故|HK|＝eq\f(1,2)，|CK|＝eq\f(1,8)．∴|DK|＝eq\f(7,8)．故點H的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))．2、空間兩點間的距離公式一、選擇題1．已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，則()A．|AB|＞|CD| B．|AB|＜|CD|C．|AB|≤|CD| D．|AB|≥|CD|D[∵|AB|＝eq\r(1－32＋2－32＋3－m2)＝eq\r(5＋3－m2)≥eq\r(5)，|CD|＝eq\r(0－22＋－1＋12＋0＋12)＝eq\r(5)，∴|AB|≥|CD|．]2．如圖，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為()A．eq\r(2)aB．eq\f(\r(2),2)aC．aD．eq\f(1,2)a[答案]B3．已知三角形的三個頂點A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，則△ABC的中線AD的長為()A．eq\r(11)B．2eq\r(11)C．11eq\r(2)D．3eq\r(11)B[由中點坐標公式得，D(4，1，－2)，所以AD＝eq\r((4－2)2＋[1－(－1)]2＋(－2－4)2)＝2eq\r(11)．]4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)兩點，當|AB|取最小值時，x的值為()A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)C[∵|AB|＝eq\r(x－12＋5－x－x－22＋2x－1－2＋x2)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))\s\up12(2)＋\f(5,7))．∴當x＝eq\f(8,7)時，|AB|取得最小值．]5．設點P在x軸上，它到P1(0，eq\r(2)，3)的距離為到點P2(0，1，－1)的距離的兩倍，則點P的坐標為()A．(1，0，0) B．(－1，0，0)C．(1，0，0)或(0，－1，0) D．(1，0，0)或(－1，0，0)D[∵點P在x軸上，∴設點P(x，0，0)，由題意|PP1|＝2|PP2|，∴eq\r(x－02＋0－\r(2)2＋0－32)＝2eq\r(x－02＋0－12＋0＋12)，解得x＝±1．]二、填空題6．空間直角坐標系中，點A(－3，4，0)和B(2，－1，6)的距離是_______．eq\r(86)[|AB|＝eq\r(－3－22＋4＋12＋0－62)＝eq\r(86)．]7．已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，點P在y軸上且|PA|＝|PB|，則P點坐標為________．(0，6，0)[設P(0，y，0)，∵|PA|＝|PB|，∴eq\r(1＋1－y2＋1)＝eq\r(32＋3－y2＋32)，解得y＝6．∴P點坐標為(0，6，0)．]8．已知A(3，5，－7)和點B(－2，4，3)，則線段AB在坐標平面yOz上的射影長度為________．eq\r(101)[∵A(3，5，－7)在平面yOz上的射影為A′(0，5，－7)，B(－2，4，3)在平面yOz上的射影為B′(0，4，3)，∴|A′B′|＝eq\r(0－02＋5－42＋－7－32)＝eq\r(101)．]三、解答題9．如圖，在棱長分別為2，4，3的長方體ABCD-A1B1C1D1中，利用空間兩點間的距離公式，求對角線AD1，AB1和AC1的長．[解]以D為坐標原點，DA，DC和DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，∴|AD1|＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，|AB1|＝eq\r(2－22＋42＋32)＝5，|AC1|＝eq\r(2－02＋－42＋－32)＝eq\r(29)．10．求點M(4，－3，5)到x軸的距離．[解]設MH⊥x軸于H，則Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，0，0))，所以點M到x軸的距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MH))＝eq\r((4－4)2＋(－3－0)2＋(5－0)2)＝eq\r(34)．11．已知三點A(－4，－1，－9)，B(－10，1，－6)，C(－2，－4，－3)，則()A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．三點構不成三角形C[因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＝49，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2＝98，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝49，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))2＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))2，且|AB|＝|CA|，所以這三點構成等腰直角三角形．]12．已知A(－4，2，3)關于xOz平面的對稱點為A1，A1關于z軸的對稱點為A2，則|AA2|等于()A．8B．12C．16D．19A[依題意A1(－4，－2，3)，A2(4，2，3)，所以|AA2|＝eq\r(－4－42＋2－22＋3－32)＝8．]13．(多選題)在空間直角坐標系中，下列說法正確的是()A．方程z＝0表示坐標平面xOyB．方程x2＋y2＋z2＝1表示以坐標原點為球心，1為半徑的球面C．方程x2＋y2＝1表示以坐標原點為圓心，1為半徑的面D．方程x2＋y2＝0表示z軸[答案]ABD14．(一題兩空)點P(x，y，z)的坐標滿足x2＋y2＋z2＝1，點A(－2，3，eq\r(3))，則|PA|的最小值是________，|PA|的最大值是________．35[因為x2＋y2＋z2＝1在空間中表示以坐標原點O為球心、1為半徑的球面，|OA|＝eq\r(－22＋32＋\r(3)2)＝4．所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))max＝|OA|＋|OP|＝4＋1＝5．]15．已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為3，G是PD的中點，求|BG|．[解]∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為3，∴正四棱錐的高為1．以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB，BC所在的直線分別為y軸、x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則正四棱錐的頂點B，D，P的坐標分別為B(2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，1)．∴G點的坐標為Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，\f(1,2)))，∴|BG|＝eq\r(32＋32＋\f(1,4))＝eq\f(\r(73),2)．3、從平面向量到空間向量空間向量的運算(一)一、選擇題1．在空間中，下列結論正確的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→)) B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→)) D．eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))B[根據空間向量的加減運算可得B正確．]2．給出下列命題：①向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up7(→))的長度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；④若向量eq\o(AB,\s\up7(→))與向量eq\o(CD,\s\up7(→))是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數為()A．2B．3C．4D．5C[①真命題；②假命題，若a與b中有一個為零向量時，其方向不確定；③假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；④假命題，共線向量所在直線可以重合，也可以平行；⑤假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段．故假命題的個數為4．]3．下列等式中，正確的個數為()①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a．A．1B．2C．3D．4D[根據相反向量的概念知①②③④正確，所以正確的個數為4．故選D．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列選項中化簡后為零向量的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)) D．eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB1,\s\up7(→))A[在A選項中，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0．]5．設有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形A[由于eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，從而|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，且AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．]二、填空題6．(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))運算的結果是________．eq\o(AC1,\s\up7(→))[(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．]7．已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，則下列四式中正確的序號是________．①eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))；②eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))；③eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\o(CC′,\s\up7(→))；④eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(C′C,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))．①②③[eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，①正確；eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))＝eq\o(AC′,\s\up7(→))，②正確；③顯然正確；eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB′,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(C′C,\s\up7(→))＝eq\o(AB′,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(C′C,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，④錯．]8．給出下列幾個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|．其中正確命題的序號為________．③[對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②，若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，但方向沒有任何聯系，故不正確；只有③正確．]三、解答題9．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由．(1)若A，B，C，D四點在一條直線上，則eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))共線；(2)互為相反向量的向量的模相等；(3)任一向量與它的相反向量不相等．[解](1)正確．因為A，B，C，D四點在一條直線上，所以eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))一定共線．(2)正確．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正確．零向量的相反向量仍是零向量，零向量與零向量是相等的．10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡向量表達式：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＋eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0．(2)因為eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))，所以原式＝eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0．11．已知正方體ABCD-A′B′C′D′的中心為O，則在下列各結論中正確的共有()①eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→))是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))與eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OD′,\s\up7(→))是一對相反向量；③eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OA′,\s\up7(→))＋eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→))＋eq\o(OD′,\s\up7(→))是一對相反向量；④eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC′,\s\up7(→))是一對相反向量．A．1個B．2個C．3個D．4個C[如圖所示，①eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\o(OC′,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB′,\s\up7(→))，所以eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→)))，是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OD′,\s\up7(→))＝eq\o(D′A′,\s\up7(→))，而eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(D′A′,\s\up7(→))，故不是相反向量；③同①也是正確的；④eq\o(OA′,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC′,\s\up7(→))＝eq\o(C′C,\s\up7(→))＝－eq\o(AA′,\s\up7(→))，是一對相反向量．]12．已知向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))滿足|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|Aeq\o(C,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，則()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(CB,\s\up7(→))同向D[由|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(CB,\s\up7(→))|知，A，B，C三點共線且C點在線段AB上，所以eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(CB,\s\up7(→))同向．]13．(多選題)下列說法中，正確的是()A．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A1C1,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合C．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))，則eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))互為相反向量D．若eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))互為相反向量，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))ACD[A正確．B錯誤．由eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(CD,\s\up7(→))|，且eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))同向，但A與C，B與D不一定重合．C正確．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(CD,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))為非零向量，所以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))互為相反向量．D正確．]14．(一題兩空)已知|a|＝|b|＝1．(1)|a＋b|的取值范圍是________．(2)若|a－b|＝eq\r(3)，則|a＋b|＝________．[0，2]1[(1)|a＋b|∈[0，2]．(2)∵|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4，∴|a＋b|＝1．]15．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1，試在圖中畫出下列向量表達式所表示的向量．(1)eq\o(AB1,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))，eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))．(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))．[解](1)如圖所示，eq\o(AB1,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(D1B1,\s\up7(→))，eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C2,\s\up7(→))＝eq\o(AC2,\s\up7(→))．(2)如圖所示，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(D1C,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC3,\s\up7(→))＝eq\o(AC3,\s\up7(→))4、空間向量的運算(二)一、選擇題1．下列各式計算正確的是()A．a＋b－(a＋b)＝2aB．2(a＋b)＋c＝2a＋b＋cC．3(a－b)＋3(a＋b)＝0D．a＋b－(b－3c)＝a＋3cD[A不正確，結果應為0；B不正確，結果應為2a＋2b＋c；C不正確；結果應為6a；D正確，故選D．]2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，則一定共線的三點是()A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、DA[因為eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋2b．eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→))，由于eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))有一個公共點B，所以A、B、D三點共線．]3．設空間中四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))，其中0<t<1，則有()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段BA的延長線上D．點P不一定在直線AB上A[∵0<t<1，∴點P在線段AB上．]4．如圖，在空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up7(→))等于()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋(b－a)＋eq\f(1,2)(c－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c．]5．下列命題中，正確命題的個數為()①若a∥b，則a與b方向相同或相反；②若eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，則A，B，C，D四點共線；③若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．A．0B．1C．2D．3A[當a，b中有零向量時，①不正確；eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))時，A，B，C，D四點共面不一定共線，故②不正確；由p，a，b共面的充要條件知，當p，a，b共面時才滿足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正確．]二、填空題6．在正四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝________(用a，b，c表示)．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[如圖，eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c．]7．若eq\f(1,3)(x－2a)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋b－\f(2,3)x))＋3b＝0，其中a、b、c為已知向量，則未知向量x＝________．eq\f(2,5)a－eq\f(3,5)b＋eq\f(6,5)c[據向量的加法、減法整理、運算可得x＝eq\f(2,5)a－eq\f(3,5)b＋eq\f(6,5)c．]8．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則化簡eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))的結果為________．0[如圖，延長DE交邊BC于點F，則eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))＋Aeq\o(D,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，故eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝0．]三、解答題9．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，E，F，G，H，P，Q分別是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點，求證：eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝0．[證明]設eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，則eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(GH,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(PQ,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，∴eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝0．10．如圖，設A是△BCD所在平面外的一點，G是△BCD的重心．求證：eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))．[證明]連接BG，延長后交CD于點E．由G為△BCD的重心，得eq\o(BG,\s\up7(→))＝2eq\o(GE,\s\up7(→))．且CE＝ED，∵eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AG,\s\up7(→)))，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up7(→))＋\o(AD,\s\up7(→)),2)，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))．11．設a、b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))b成立的充分條件是()A．|a|＝|b| B．a＝－bC．a∥b D．a＝eq\f(1,2)bD[由a＝eq\f(1,2)b，得b＝2a，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))b＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b))(2a)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))(2a)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))a．故選D．]12．在空間中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝c，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，若點D滿足eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A．eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B．eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D．eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)cA[∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝2(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c．]13．(多選題)已知m，n是實數，a，b是向量，則下列命題中正確的為()A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，則a＝b D．若ma＝na，則m＝n．AB[A和B屬于數乘對向量與實數的分配律，正確；C中，若m＝0，則不能推出a＝b，錯誤；D中，若a＝0，則m，n沒有關系，錯誤．]14．(一題兩空)已知|a|＝5，a＝λb．(1)若b與a的方向相同，且|b|＝7，則λ的值為________．(2)若b與a的方向相反，且|b|＝7，則λ的值為________．eq\f(5,7)－eq\f(5,7)[由于eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(5,7)，所以當a，b同向時，所以a＝eq\f(5,7)b；當a，b反向時，所以a＝－eq\f(5,7)b．]15．如圖，四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))是否共線？[解]∵M，N分別是AC，BF的中點，而四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))．又eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))．∴eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋2eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＝2(eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→)))＝2eq\o(MN,\s\up7(→))，即eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(MN,\s\up7(→))．即eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))共線．5、空間向量的運算(三)一、選擇題1．已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實數k的值為()A．－6B．6C．3D．－3B[由題意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．]2．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))·b＝0，則a與b的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°C[由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))·b＝0，得2a·b＋b2＝0，設a與b的夾角為θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0．∴cosθ＝－eq\f(|b|2,2|a||b|)＝－eq\f(|b|2,2|b|2)＝－eq\f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]3．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數量積不為零的是()A．eq\o(PC,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→)) B．eq\o(DA,\s\up7(→))與eq\o(PB,\s\up7(→))C．eq\o(PD,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→)) D．eq\o(PA,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))A[選A．可用排除法．因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，排除D．又因為AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以eq\o(DA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝0，同理eq\o(PD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，排除B，C，故選A．]4．如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144C[因為eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))，所以eq\o(PC,\s\up7(→))2＝eq\o(PA,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(BC,\s\up7(→))2＋2eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，所以PC＝12．]5．設空間中有四個互異的點A，B，C，D，已知(eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))－2eq\o(DA,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝0，則△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形B[因為eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))－2eq\o(DA,\s\up7(→))＝(eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))＋(eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，所以(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|2－|eq\o(AC,\s\up7(→))|2＝0，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|，即△ABC是等腰三角形．]二、填空題6．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝________．0[原式＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))·(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝0．]7．如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E為棱C1D1的中點，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝________．14[由eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))2＝4×3×cos60°＋0＋eq\f(1,2)×42＝14．]8．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．90°[不妨設棱長為2，則eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up7(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up7(→))－\o(BA,\s\up7(→))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up7(→)))),2\r(2)×\r(5))＝eq\f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，所以〈eq\o(AB1,\s\up7(→))，eq\o(BM,\s\up7(→))〉＝90°．]三、解答題9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是C1D1，D1D的中點，正方體的棱長為1．(1)求〈eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))〉的余弦值；(2)求證：eq\o(BD1,\s\up7(→))⊥eq\o(EF,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))．因為eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)．又|eq\o(AF,\s\up7(→))|＝|eq\o(CE,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(5),2)，所以cos〈eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))〉＝eq\f(2,5)．(2)證明：因為eq\o(BD1,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(ED1,\s\up7(→))＋eq\o(D1F,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))，所以eq\o(BD1,\s\up7(→))·eq\o(EF,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(BD1,\s\up7(→))⊥eq\o(EF,\s\up7(→))．10．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c．(1)試用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up7(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．[解](1)eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(B1N,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(c－a)＋a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c．(2)因為(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＝5，所以|a＋b＋c|＝eq\r(5)，所以|eq\o(MN,\s\up7(→))|＝eq\f(1,3)|a＋b＋c|＝eq\f(\r(5),3)，即MN＝eq\f(\r(5),3)．11．已知空間四邊形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，則AB與CD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°C[根據已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→)))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＋eq\o(DB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝|eq\o(CD,\s\up7(→))|2＝1，所以cos〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up7(→))·\o(CD,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))||\o(CD,\s\up7(→))|)＝eq\f(1,2)，所以AB與CD所成的角為60°．]12．在三棱錐O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E為OA的中點，F為BC的中點，則EF＝()A．2B．4C．eq\r(3)D．3A[因為eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(OF,\s\up7(→))－eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))，所以|eq\o(EF,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up7(→))2＋eq\o(OC,\s\up7(→))2＋eq\o(OA,\s\up7(→))2＋2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→)))．又由已知得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OC,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝2×2×eq\f(1,2)＝2，所以|eq\o(EF,\s\up7(→))|2＝eq\f(1,4)(4＋4＋4＋4)＝4．所以|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝2，即EF＝2．]13．(多選題)已知a，b是兩個非零向量，下列結論中，正確的是()A．a·b＞0?〈a，b〉∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B．a·b＝0?〈a，b〉＝eq\f(π,2)C．a·b＜0?〈a，b〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D．|a·b|＝|a||b|?〈a，b〉＝0ABC[只有D是假命題．]14．(一題兩空)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中點，則eq\o(B1C,\s\up7(→))與eq\o(A1P,\s\up7(→))所成角的大小為________，eq\o(B1C,\s\up7(→))·eq\o(A1P,\s\up7(→))＝________．60°1[法一：連接A1D，則∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up7(→))與eq\o(A1P,\s\up7(→))所成角．連接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2)，即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，即eq\o(B1C,\s\up7(→))與eq\o(A1P,\s\up7(→))所成角的大小為60°．因此eq\o(B1C,\s\up7(→))·eq\o(A1P,\s\up7(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°＝1．法二：根據向量的線性運算可得eq\o(B1C,\s\up7(→))·eq\o(A1P,\s\up7(→))＝(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))))＝eq\o(AD,\s\up7(→))2＝1．由題意可得PA1＝B1C＝eq\r(2)，則eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(A1P,\s\up7(→))〉＝1，從而〈eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(A1P,\s\up7(→))〉＝60°．]15．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長為eq\r(2)．(1)設側棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設AB1與BC1的夾角為eq\f(π,3)，求側棱的長．[解](1)證明：eq\o(AB1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))．因為BB1⊥平面ABC，所以eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0．又△ABC為正三角形，所以〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3)．因為eq\o(AB1,\s\up7(→))·eq\o(BC1,\s\up7(→))＝(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))·(eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝Aeq\o(B,\s\up7(→))·eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))2＋eq\o(BB1,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(BC,\s\up7(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up7(→))2＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．(2)結合第一問知eq\o(AB1,\s\up7(→))·eq\o(BC1,\s\up7(→))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(BC,