高二數學試題

考生注意：

1、答題前、考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置

2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,已知集合&=3一1<4},5=（2,5）,貝把/）CA=（）

A.（-1,2]B.（-1,2）

C.（-oo,4）o[5,+<?）D.（-oo,-l）U[5,+oo）

2.某學校高二某班向陽學習小組8位同學在一次考試中的物理成績如下：95,45,62,78,53,83,74,

88,則該小組本次考試物理成績的第60百分位數為（）

A.53B.74C.78D.83

3.已知機,“cR,則“而>五”是〃*〉）的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知命題?：叫e（l,+e）,%（%0-1）一。（％0—1）+3<0為假命題，則實數。的取值范圍為（）

A.2-\/3JB.+

C.[2君,+句D.12用1,+“）

5.已知平面向量由B滿足同=2利=1,且很在。上的投影向量為-；之，則。與彼的夾角為（）

7i2n-3兀5兀

A.-B.—C.—D.—

3346

6.如圖，在正三棱柱ABC-中，M,N分別為棱。”的中點，AD=DE=2,則異面直線A/C,EN

所成角的余弦值為（）

第1頁/共4頁

AC

D

9

A.V5D.——

101010

loga(<7-2x),x<l,

7.已知/(%)=<1,1,是R上的減函數，則實數。的取值范圍為(

—X2H---CIX+1-----62,X>1

33

A.r1B.(2,6]C.[3,6]D.(2,3]

8.^^口a=log45,6=log56,c=log67,則(

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分

已知復數z=2±l,則()

9.

1-i

z的虛部為▲B.z=」

A.

222

JD.z-』為純虛數

C.

1122

10.已知函數/(x)=Ac：osoxcos。-Asin^xsin^lA>0,0>0,忸[<]當％二A■時，/(x)取得最大

值2,且/(x)與直線x=看最近的一個零點為x=g,則下列結論中正確的是()

JLNJ

A./(x)的最小正周期為兀

B./(X)的單調遞增區間為kn-^,kn+^,ksZ

C./(x)的圖象可由函數＞=2cos2x的圖象向右平移e個單位長度得到

第2頁/共4頁

D.若/(x+8)為奇函數，則。=E+g,左eZ

11.已知定義域為R的函數/(x+1)為奇函數，/(x)的圖象關于直線x=2對稱，貝U()

A./(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱B.〃力為奇函數

C.“X)是周期為4的函數D./(2025)=0

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.已知向量a,B滿足，a=(x,-l),B=(2x+l,3),且％/區，則,卜.

13.小耿與小吳參與某個答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會，小吳有1道題不會，小耿與小

吳分別從這5道題中任意選取1道題進行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會答的

概率為__________

14.已知一個圓臺的側面積為35后兀，下底面半徑比上底面半徑大1，母線與下底面所成角的正切值為7,

則該圓臺的外接球(圓臺的上、下底面圓周上的點均在球面上)的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.某校為促進學生對地震知識及避震自救知識的學習，組織了《地震知識及避震自救知識》競賽活動，對

所有學生的競賽成績進行統計分析，制成如圖所示的頻率分布直方圖(各區間分別為

[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]).

(1)根據頻率分布直方圖，估計本次競賽的平均成績；(每組數據用所在區間的中點值作代表)

(2)按人數比例用分層隨機抽樣的方法從競賽成績在[45,55)和[85,95]內的學生中抽取5人，再從這5

人中隨機抽取2人，求這2人成績都在[85,95]內的概率.

16.已知△ABC的內角A,5c的對邊分別為a,0,c，向訪=(sinA,。),元=(a+6,sinB),m-n=csinC.

(1)求C；

(2)若c=2百，求△ABC的面積的最大值

第3頁/共4頁

17^/23兀5兀

17.已知sin---,—<x<—

26--44

(1)求sinx+cosx的值;

(2)已知cosy=—當^,兀＜y＜2兀，求x+丁的值

18.如圖，在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面ABCD1平面SAB,SAIAB,E,F,G,H,

分別為棱SC,S3,D4,A3的中點，SA=AB=2.

(1)證明：平面班。〃平面EGH；

(2)求二面角5-SC—。的大小.

/、a-f(x)

19.已知“X)是指數函數，且過點，g(x)=。，/\一^是定義域為R的奇函數

3〃X)+匕

(1)求a1的值；

(2)若存在ce[—1,2],使不等式g(02—2c—根)+，＜0成立，求實數機的取值范圍;

(3)若函數A(x)=g(4'+l)+g?x2x+2)恰有2個零點，求實數/的取值范圍.

第4頁/共4頁

高二數學試題

考生注意：

1、答題前、考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼

在答題卡上的指定位置

2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,已知集合1*1<4},5=(2,5),貝/網CA=()

A.(-1,2]B.(-1,2)

C.[5,+oo)D.(-oo,-l)U[5,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】先求出Q3,再求交集.

【詳解】B=(2,5)，則CRB=(-00,2]U[5,+00).則(k8)nA=(-1,2].

故選：A.

2.某學校高二某班向陽學習小組8位同學在一次考試中的物理成績如下：95,45,62,78,53,83,74,

88,則該小組本次考試物理成績的第60百分位數為()

A.53B.74C.78D.83

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意，將數據從小到大排列，結合百分位數的計算方法，即可求解.

【詳解】將8位同學考試的物理成績從小到大排列：45,53,62,74,78,83,88,95,

由8x60%=4.8,所以數據的第60百分位數為78.

故選：C.

3.已知加，〃eR,則“而>?”是焉〉)的()

第1頁/共15頁

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】運用充分，必要條件知識，結合幕函數單調性可解.

111

【詳解】標〉新,則加〉〃20,且"=?在。+8)單調遞增?故,用

反過來，如果也;>“;，則加〉〃，可以為負數?推不出而>血.

故“廂》品“是小的充分不必要條件.

故選：A.

4.已知命題?：叫e(l,+e),%(5T)+3<0為假命題，則實數。的取值范圍為()

A.^―℃,2-\/3JB.~o,2V^+l]

C.[2g,+句D.[2g+l,+e)

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意，轉化為不等式》(工一1)一。(％-1)+320在^6(1,+8)上恒成立，進而轉化為不等式

aW—D+3在(1,+8)上恒成立,結合基本不等式，即可求解.

x-1

【詳解】由命題p：三%0￡(1,+。)，%0(%0—1)—〃(％0—1)+3<。為假命題，

可得命題->p:VxE(1,+8),%(%-1)-1)+32。為真命題，

即不等式+0在久e(1,+8)上恒成立，

口口x(x—1)+3%之—x+3-「l11、、?

即aV---------=---------在％6(1,+8)上怛成乂，

X—1X—1

令才=x—1>0,則無=%+1,

—r4曰％?-%+3產+/+33I3^/T

可付---------=--------~t----卜]N2]/x—F1=2yl3+],

x-1tt\t

3

當且僅當7=7時，即/=G時，即X=G+1時，等號成立，

第2頁/共15頁

所以aV2g+1，即實數。的取值范圍為卜叫273+1].

故選：B.

5.已知平面向量由B滿足同=2，W=1,且B在/上的投影向量為-卜，則/與B的夾角為（）

712兀3兀571

A.-B.—C.—D.—

3346

【答案】B

【解析】

【分析】根據向量在向量上的投影向量公式求出=3=-1，再由夾角公式求解.

【詳解】因為同=2,W=1,B在。上的投影向量為-

a-baa-b-1一

所以『TTi

所以〃=-i，

由0式〃力”兀，可知

故選：B

6.如圖，在正三棱柱A5C-。跖中，M,N分別為棱。尸,的中點，AD=。石=2,則異面直線MCEN

所成角的余弦值為（）

V19

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意，運用中位線性質，找出異面直線"CEN所成角，結合余弦定理求解即可.

第3頁/共15頁

【詳解】如圖，取DE中點G,連接GM,GN.則

2

且CNHEF,CN=LEF,則四邊形CNGM為平行四邊形，則CM〃GN,CM=GN.

2

由圖則異面直線MC,EN所成角為NENG或其補角，

△ENG中，GE=1,GN=CM=yjMF2+FC-=75>EN=yjBE-+BN2=75-

EN?GN2-GE?99

由余弦定理可知cosZENG=-

2ENxGN2^510

9

異面直線MC,EN所成角的余弦值為一.

logfl(a-2%),x<l,

7.已知〃x)=211是R上的減函數，則實數。的取值范圍為()

—XH—CIX+1％>1

133

A.gjB.(2,6]C.[3,6]D.(2,3]

【答案】C

【解析】

【分析】在定義域內，保證兩段都是減函數，在1附近還要一直減.列不等式求解即可.

a>\

a>2

1

【詳解】根據題意保證兩段都是減函數，在1附近還要一直減.可得<3、i，解

2

loga("2"—l+；a+l—；a

W3<a<6.

故選：C.

第4頁/共15頁

8.E^a=log45,b=log56,c=k>g67,則()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【解析】

【分析】由于都為正數，可用作除法，結合基本不等式和對數性質比較大小.

【詳解】氣胃=皿6-皿4<(—%)2=(臂勺2((三)2=1,即6<以

alog45222

合國二log67.1og65<（弋遜）2=（瞥當<（胃）2=1,即c<A.

blog56222

綜上知道〃>b>c.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分

9.已知復數z=?l,則()

1—i

113.

A.z的虛部為一B.z=-----i

222

c.|z|=MOD.z—工為純虛數

1122

【答案】CD

【解析】

【分析】先將z=g型化簡成z==+gi,再分別比對解出答案即可.

1—i22

K2+i母(2+i).苗(l+i)=1門3.所以z的虛部為53,故選項A錯誤;

【詳解】對于A,因為z=

2+i_（2+i）.（l+i）_l3

對于B,因為z=----------------------------1---1故選項B錯誤;

1-i（l-i）-（l+i）22

對于C,|z|=Jg]+||]=平，故選項C正確;

13

對于D,z—-=—i為純虛數，故選項D正確.

22

故選：CD.

第5頁/共15頁

10.已知函數/(x)=Acosoxcos。—Asinoxsine〔A〉0,。〉0,附<■!；當x=/時，/(x)取得最大

值2,且/(x)與直線x=看最近的一個零點為x=g,則下列結論中正確的是()

1X，

A./(x)的最小正周期為兀

/(X)的單調遞增區間為kn-^,kn+^,keZ

C./(x)的圖象可由函數y=2cos2x的圖象向右平移立個單位長度得到

D.若/(%+夕)為奇函數，則。=碗十三,左eZ

【答案】AC

【解析】

【分析】先化簡/(x)=Acos(0x+。)，當》=《■時，〃x)取得最大值2,求出A=2.

f(x)與直線x=E最近的一個零點為x=g,求出7=兀，繼而求出。=2.

123

則可求/(%)=2cos(2%+。).然后算出最小正周期，單調增區間，對稱中心，結合圖象變換，逐項驗證即可.

【詳解】根據題意，化簡/(%)=Acos公rcos。—AsinG%sine=ACOS(O1+9),

當工='時，〃x)取得最大值2,則A=2.

〃x)與直線x=立最近的一個零點為x=g則:JW，則丁=兀，則0=2.

則1(x)=2cos(2x+9).當x=V時,“X)取得最大值,則2X￡+°=2E,閘<<,

12122

TV7T

則0=—，則/(X)=2COS(2X——),則7=兀，/(%)的最小正周期為兀，A正確；

66

ITTT

令24兀-TI<2X<2kMkeZ),則ku----<x<kn-\----(keZ),則f(%)的單調遞增區間為

61212

Sir71

陜兀一五,E+五］(左eZ),故B錯誤；

JITTJT

y=2cos2x的圖象向右平移一個單位長度得到y=2cos2(x--)=2cos(2x—-)，故C正確；

第6頁/共15頁

+=2cos2（%+。）一g=2cos12%+2。一^）,由于/（x+8）為奇函數,

7TTT17r

則令2。一一=左兀+—（左eZ）,則。=—E+—,左eZ.故D錯誤.

6223

故選：AC.

II.已知定義域為R的函數/(x+1)為奇函數，/(%)的圖象關于直線x=2對稱，貝i|()

A./(x)的圖象關于點(1,0)中心對稱B.為奇函數

C.“X)是周期為4的函數D./(2025)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】運用奇函數性質和對稱性得到原函數的周期性，借助賦值可解.

【詳解】〃》+1)為奇函數，得到/(x+l)=-F(r+l),向右平移1個單位得到〃x),則〃x)的圖

象關于點(1,0)中心對稱,則A正確.

則f(x)+f(-x+2)=0,/(x)的圖象關于直線x=2對稱，

則/(%)=以-x+4),則"力=-f(-x+2)=/(-%+4)=-f(-x+6),

則/(-%+2)=/(-%+6),貝IJ/(%)是周期為4的函數.貝UC正確.

令x=l,則由/1(%)+/(-九+2)=0,知2/(1)=0,則/■⑴=0.

7(2025)=/(2025-4x506)=/(I)=0.故D正確.

前面式子推不出〃x)+F(f)=0,故B錯誤.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.已知向量a,B滿足，a=(x,-l),B=(2x+l,3),且貝”d=.

【答案】叵.

5

【解析】

1-1

【分析】根據題意，結合向量共線的坐標表示，列出方程求得x=-二，得到a=(-二,-1),結合向量模的

計算公式，即可求解.

第7頁/共15頁

【詳解】由向量力石滿足力=（%—1）3=（2x+l,3）,

一一1一1

因為〃//B，可得1x3=—lx（2%+1）,解得％=—不，即。=（—二,—1）,

所以同=

故答案為：叵

5

13.小耿與小吳參與某個答題游戲，此游戲共有5道題，小耿有3道題不會，小吳有1道題不會，小耿與小

吳分別從這5道題中任意選取1道題進行回答，且兩人選題和答題互不影響，則小耿與小吳恰有1人會答的

概率為__________

14

【答案】—##0.56

25

【解析】

【分析】小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況.運用獨立事件概率乘法公式分別求出概率，再相加即可.

【詳解】小耿與小吳恰有1人會答，包括兩種情況，小耿會小吳不會和小吳會小耿不會.

213414

則小耿與小吳恰有1人會答的概率為-X—+—X—=—.

555525

故答案為：—.

14.已知一個圓臺的側面積為35后兀，下底面半徑比上底面半徑大1，母線與下底面所成角的正切值為7,

則該圓臺的外接球（圓臺的上、下底面圓周上的點均在球面上）的體積為.

500

【答案】---兀

3

【解析】

【分析】設圓臺的上底面半徑為『，下底面半徑為R,高為〃，母線長為/.構造方程組，先求圓臺的上底面

半徑、下底面半徑和高，再求圓臺外接球的半徑，進而求出體積即可.

【詳解】設圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為此高為防,母線長為/.因為母線與下底面所成角的正切

h

值為7,所以——=7.

R-r

又因為R-r=l.則〃=7,/=亞+（尺_*2=5直

第8頁/共15頁

圓臺的側面積公式為5=兀/（尺+廠），已知側面積為35缶，所以兀/（尺+「）=35瓶兀.

則R+廠=7.又因為R-廠=1,則R=4,r=3.

設圓臺外接球的半徑為與，球心到上底面的距離為d.

則R：=/+r=屋+32,R；=（〃一］）2+R2=（7—d）2+42,

解得H］=5,d=4.

44500

根據公式丫=］冰；，求出外接球的體積公式為v=§兀X53=亍兀.

故答案為：---兀.

3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.某校為促進學生對地震知識及避震自救知識的學習，組織了《地震知識及避震自救知識》競賽活動，對

所有學生的競賽成績進行統計分析，制成如圖所示的頻率分布直方圖（各區間分別為

［45,55）,［55,65）,［65,75）,［75,85）,［85,95］）.

（1）根據頻率分布直方圖，估計本次競賽的平均成績；（每組數據用所在區間的中點值作代表）

（2）按人數比例用分層隨機抽樣的方法從競賽成績在［45,55）和［85,95］內的學生中抽取5人，再從這5

人中隨機抽取2人，求這2人成績都在［85,95］內的概率.

【答案】（1）71.5

⑵—

10

【解析】

【分析】（1）運用頻率之和為1,求出加再用平均值計算公式算出平均值即可；（2）先按照分層抽樣確定

［45,55）和［85,95］內的學生人生，再結合列舉法，用古典概型求解概率即可.

【小問1詳解】

第9頁/共15頁

頻率之和為1,則(0.01+0.02+根+0.025+0.015)x10=1,解得m=0.03.

則50x0.1+60x0.2+70x0.3+80x0.25+90x0.15=71.5，則平均分成績為71.5.

【小問2詳解】

根據分層抽樣，知道［45,55)和［85,95］內的學生比為2：3.

則抽取的5人中有2個來自［45,55)層，設為。,氏3個來自［85,95］層，設為1,2,3.

再從這5人中隨機抽取2人,總共有10種可能，分別為：

(a,b),(a,l),(a,2),(a,3),(瓦1),(瓦2),(瓦3),(1,2),(1,3),(2,3).

這2人成績都在［85,95］內的有(1,2),(1,3),(2,3)，共3種.故所求概率為—.

16.已知△ABC的內角A,3,C的對邊分別為a,。,c,向比=(sinA,。),元=(a+b,siaB),m-n=csinC.

(1)求C；

(2)若c=2百，求△ABC的面積的最大值

【答案】(1)—

3

(2)V3

【解析】

【分析】(1)運用向量的數量積公式，再用正弦定理邊角互化，最后用余弦定理計算即可；

(2)用第一問的結論，結合基本不等式可解.

【小問1詳解】

m-n=csinC.即(〃+b)sinA+/?sinB=csinC,

由正弦定理角化邊得(a+6)a+〃=。2,即/=02,

則cosC=礦+"一。一=一!，由于Ce(0,兀)廁C=女.

lab23

【小問2詳解】

a1+ab+b2=c2>c=2^/3?則〃？+/=12，即〃？+/=12—〃Z?,

由不等式知道/+b2=i2—〃(當且僅當。=6=2取最值)，即

由三角形面積公式知道5=工。65：111。=@06<6,(當且僅當a=b=2取最值).

24

第10頁/共15頁

故△ABC的面積的最大值為V3?

17723兀

17.已知sin

(1)求sinx+cosx的值;

（2）已知cosy=兀<V<2兀，求x+y的值

7

【答案】（1）——

13

、9兀

（2）——

4

【解析】

【分析】（1）運用兩角差的正弦展開^=5m%-（：05%,平方，得到-幽=sinx-cosx,聯立求出，再求

13169

和即可.

（2）運用同角三角函數關系式，求出siny=-3/，再運用兩角和的余弦公式求出cos（x+y）=*，進

9兀

而得到％+丁=彳.

【小問1詳解】

sinfx--K^^,—<%<—,運用差角公式展開，得

（4J2644

.（兀）1772V2,V2

sinx——=-------=——smx------cosx,

（4J2622

17

化簡得，一=sinx-cosx，

13

28960

兩邊平方，即----=l-2sinx-cosx,則-----=sinx-cosx,

由于一<x<一,貝！|cosx<0,sinx>0.

44

第n頁/共15頁

60..5

------=sinx-cosxsmx=——

nI3兀16913

則一<%<兀.<J，聯立解得<

412

——=sinx-cosxcosX=-----

U313

7

則sin%+cos%=-----.

13

【小問2詳解】

772nr3兀,1772

cosy=-------，兀<y<2兀，則兀<y<?，smy=---------

26226

c°s(x+y)=c°sxc°sy-sin-2(-9)-9x(-應1)=也.

■132613262

由于或＜%＜兀,371i7兀5719兀

7i<y<——，則rl一<x+y<—，r則M%+>=——

42424

18.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面ABCD工平面SAB,SAIAB,E,F,G,H,

分別為棱SC,S3,D4,A3的中點，SA=AB=2.

(1)證明：平面EBDH平面FGH；

(2)求二面角3—SC—。的大小.

【答案】(1)證明見解析

⑵女

3

【解析】

【分析】(1)由中位線可得線線平行，再由線面平行判定定理得線面平行，由面面平行判定定理得證;

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求出二面角的大小即可.

【小問1詳解】

連接ER,如圖，

第12頁/共15頁

由E,F,G,H分別為棱SC,SB,DA,AB的中點，

可得EF//BC,EF=-BC,GH//BD,

2

又GD//BC,GD=-BC,所以GD//EF,GD=EF,

2

所以四邊形EFGD為平行四邊形，

所以GF//DE,又G/cz平面DEu平面EBD,

所以GP〃平面EBD,

因為GH〃BD,6〃<2平面防￡）,BDu平面EBD,

所以GH〃平面EBD,又GHcGF=G,GH,GFu平面FGH,

所以平面EBDH平面FGH.

【小問2詳解】

因為平面ABC。1平面SA5,SALAB,A3是兩平面的交線，SAu平面SA3,

所以SA,平面A5CD,又AB,ADu平面A3CD,

所以SALA5,SALAD,又A￡），￡>C,

以殖，反方向為羽丁軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則SA//Dz,

所以。（0,0,0）,5（2,0,2）,C（0,2,0）,8（2,2,0）,

則詬=（2,-2,2）,皮=（0,2,0）,配=（—2,0,0）,

設平面DSC的法向量為=（%,％,zj,

iiCS=2x-2y.+2z.=0/、

則_111，令玉=1,可得為=1,0,—1,

n-DC=2yi=0

設平面BSC的法向量為玩=（%2，%*2），

則<—■，令%=1，可得行=（0,1,1）,

m-BC=-2x2=0

第13頁/共15頁

---n-m-112兀

所以35=麗=萬雙一，即冗心行

由圖知，二面角5—SC—。的平面角為鈍角,

2兀

所以二面角3—SC—D的大小為二

3

(、a-f(x)

19.已知/(x)是指數函數，且過點，g(%)=勺,/、—-是定義域為R的奇函數

3/(x)+Z?

(1)求a,Z?的值;

若存在ce[—1,2],使不等式g(02—2c—根)+[<()成立，求實數機的取值范圍;

(2)