一元函數微分學及其應用目錄導數的運算2函數的微分3導數的概念14導數的應用第一節

導數的概念一、導數的定義【引例1】

設某物體沿直線運動，其運動方程為（1）求物體在這段時間內的平均速度。（2）求物體在時刻的瞬時速度。解

（1）物體做勻速運動，且，在這段時間內，物體所經過的路程這段時間內的平均速度為第一節

導數的概念一、導數的定義（2）在時刻附近取一個新的時刻如圖3-1所示由（1）可知，物體在這段時間的平均速度為從理論上來說，當時間間隔無限接近于0時，平均速度將無限接近于時刻的瞬時速度。第一節

導數的概念下面取

，從0.1開始逐漸趨向于0，則物體在這段時間內的平均速度的部分數值結果如表3-1所示。

從表3-1可以看出，時間間隔越小，平均速度越接近于20。時刻的瞬時速度

事實上，利用極限思想，物體在可以表示為

從表3-1可以看出，時間間隔越小，平均速度越接近于20。第一節

導數的概念定義3.1

設函數

在點的某個鄰域內有定義，且極限存在，則稱此極限值為函數在點處的導數，記作或或或也稱函數在點處可導。若極限不存在，則稱函數在點處不可導。第一節

導數的概念求函數在點處的導數可歸納為以下3步（1）求函數值改變量：（2）計算比值：（3）求極限：第一節

導數的概念【例1】

設函數

，求

及解

（1）求函數值改變量：（2）計算比值：（3）求極限：即，進一步將代入得對于每一個確定的，導數也是唯一確定的，因而這些導數值就構成了關于自變量的一個新函數，稱為函數的導函數。第一節

導數的概念定義3.2

設函數在區間內的每一點都可導，則稱函數在區間內可導。函數在可導區間內的任意點處的導數稱為函數的導函數，記作

或或或即對于例1，有，更一般的有(為實常數)。第一節

導數的概念【例2】

求函數

的導數解

（1）求函數值改變量：（2）計算比值：

（3）求極限：令

，可得因為所以更一般的有，第一節

導數的概念【引例2】

已知拋物線

，

和是拋物線上的兩點。（1）求過M和N兩點的直線（也稱為拋物線的割線）方程；（2）求拋物線在點M處的切線方程。解

（1）過M和N兩點的直線斜率所以直線方程為整理得第一節

導數的概念（2）在點M附近任取一點

，則當點沿曲線趨向于點，即

時，割線MP的極限即拋物線在點M處的切線，如圖3-2所示。因為所以因此拋物線在點M處的切線方程為第一節

導數的概念由引例2可知，光滑曲線在某一點的切線問題是函數值改變量與自變量改變量之比的極限問題，由此可得導數的幾何意義為：函數在點處的導數就是函數所表示的曲線在點處的切線斜率。若導數存在，則曲線在點處的切線方程為若導數，則曲線在點處的法線（過切點且垂直于切線）方程為第一節

導數的概念在點【例3】

求曲線處的切線方程和法線方程。解

由于，故曲線在點處的切線斜率為所求的切線方程為法線方程為

，即第一節

導數的概念三、可導與連續的關系定理3.1若函數在點處可導，則在該點處連續。注意：函數在點處連續，卻不一定在點處可導?！纠?】

討論函數在點處的連續性和可導性。解

因為，故在點處的連續性。又，從而即，極限不存在。函數在點處的不可導。1目錄導數的概念函數的微分3導數的應用4導數的運算2第二節

導數的運算一、常數和基本初等函數的導數公式常數和基本初等函數的導數是導數運算的基礎，表3-2所示的16個常用導數公式需要熟練掌握。第二節

導數的運算二、導數的四則運算法則定理3.2設函數在點處可導，則函數、在點

處也可導，且有（1）（2）（3）特別地，第二節

導數的運算【例6】

設，求解>>symsx;>>y=sqrt(x)+5*cos(x)-log(2);>>diff(y,x)%求導數程序運行結果為：ans=1/(2*x^(1/2))-5*sin(x)MATLAB求解代碼如下：第二節

導數的運算【例7】

設，求解>>syms

x;>>y

=

x^3*log(x);>>diff(y,x)程序運行結果為：

ans

=

3*x^2*log(x)

+

x^2MATLAB求解代碼如下：第二節

導數的運算【例8】

設，求解第二節

導數的運算【例9】

已知某物體做直線運動，運動方程為，求物體在時刻的瞬時速度。解

利用MATLAB求解，代碼如下：>>clc;clearall;closeall;>>symst;>>s=(t^2+1)*(t+1);>>dydx=diff(s,t);>>value=subs(dydx,3)%在t=3時的函數值程序運行結果為：value=34從而可知物體在時刻的瞬時速度為34m/s。第二節

導數的運算三、復合函數求導法則引例3已知

，求解這里不能直接用公式求導，但可用求導法則求：第二節

導數的運算定理3.3（復合函數的求導法則）如果函數

在點處可導，而函數在對應點處也可導，則復合函數在點處可導，且有或復合函數對自變量的導數，等于復合函數對中間變量的導數乘中間變量對自變量的導數。若都可導，則復合函數也可導，第二節

導數的運算【例10】

設，求解函數是由

復合而成的，因此如果希望利用MATLAB求復合函數的導數，通常有下面兩種方法。方法一：先分解復合函數，再求導。>>syms

x

u;>>u=

3*x+1;>>y

=u^5;>>diff(y,x)方法二：直接對復合函數求導。>>syms

x;>>y

=

(3*x+1)^5;>>diff(y,x)第二節

導數的運算【例11】

設，求解函數是由

復合而成的，因此例11的MATLAB求解代碼如下：>>syms

x

u;>>u=

cos(x);>>y

=u^2；>>diff(y,x)程序運行結果為：ans

=-2*cos(x)*sin(x)第二節

導數的運算【例12】

設

，求解

先用積的求導法則，得運用復合函數的求導法則，于是得第二節

導數的運算【例13】

設

，求解利用MATLAB求解的代碼如下：>>syms

x;>>y

=

log(x+sqrt(x^2+1));>>a

=

diff(y,x);>>simplify(a)

%化簡結果程序運行結果為：ans

=

1/(x^2

+

1)^(1/2)即第二節

導數的運算四、高階導數定義3.3如果函數的導數仍是的可導函數，則稱的導數為函數的二階導數，記作或或二階導數的導數稱為三階導數，記作四階或四階以上的導數分別記作二階或二階以上的導數稱為高階導數。第二節

導數的運算【例14】

設

，求解本例的MATLAB求解的代碼如下：>>syms

x>>y

=

2*x^3+4*x^2+1;>>diff(y,x,1)%一階導數>>diff(y,x,2)%二階導數>>diff(y,x,3)%三階導數第二節

導數的運算【例15】

設

，求解本例的MATLAB求解的代碼如下：>>syms

x;>>y

=

x*log(x);>>diff(y,x,2)程序運行結果為：ans

=1/x第二節

導數的運算五、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數1．隱函數的導數函數

稱為顯函數，而由方程所確定的函數稱為隱函數。如

都是顯函數；所確定的函數是隱函數。

隱函數很多時候不能被轉化為顯函數，但可以利用復合函數的求導法則求出隱函數的導數。

設方程

確定了

對的函數，并且可導，將方程兩邊同時對

求導，并將

看成關于的函數，便可得到隱函數的導數。第二節

導數的運算【例17】

求由方程

所確定的函數

的導數。解

將方程兩邊同時對

求導，并注意

是關于

的函數，得解出

，可得函數的導數為：第二節

導數的運算2．由參數方程所確定的函數的導數設

為參數，如果參數方程其中則稱函數

為由上述參數方程所確定的函數。參數方程所確定的函數的導數計算公式為第二節

導數的運算【例18】

設參數方程

確定了函數，求解

由于，所以有MATLAB求參數方程所確定的函數的導數的代碼如下：>>clc;close

all;clear

all;>>syms

t;

>>x

=

t^2-1;

>>y

=

t-t^3;>>disp('參數方程的一階導數為')>>dydx=diff(y,t)/diff(x,t)程序運行結果為：參數方程的一階導數為dydx

=-(3*t^2

-

1)/(2*t)目錄1導數的運算導數的概念2導數的應用4導數的微分3第三節

微分

在實際問題中，知道一個函數在某點處的函數值很容易，但通常難以計算在點附近的點的函數值，即那么能否找到一個計算

的近似方法，使計算變得簡便且精度較高呢？一、微分的概念引例4設邊長為

的正方形金屬薄片，因受溫度變化的影響，邊長由

增加到

，問此薄片的面積

改變了多少？第三節

微分解如圖所示，面積的改變量

為被分成兩部分，第一部分

是

的線性函數，第二部分是如果

很小，則定義

3.4設函數

在點處可導，則稱為函數

在點處的微分，記作

，即

，也稱函數

在點處可微。

第三節

微分函數

在任意點

處的微分稱為函數的微分，記作【例19】

求函數

的微分。解

函數的導數為所以函數的微分為第三節

微分【例20】

求函數

的微分。解

函數的導數為所以函數的微分為第三節

微分二、微分公式與微分的運算法則1．微分公式第三節

微分二、微分公式與微分的運算法則2．微分的四則運算法則設函數

都可微，則3．復合函數的微分法則如果函數

在點

處可微，而函數

在對應點則復合函數

在點處可微，且處也可微，第三節

微分【例22】

在等式左端的括號中填入適當的函數，使等式成立。解

（1）因為

，于是得所以（2）因為

，于是得所以第三節

微分三、微分在近似計算中的應用【例25】

半徑為15cm的金屬球，遇熱后半徑變長了2mm，那么球的體積約增大了多少？解

球的體積公式為所以將代入上式，得體積約增大了第三節

微分【例26】

求

的近似值。解

選取函數，則，取可得即目錄1導數的運算導數的概念2函數的微分3導數的應用4第四節導數的應用一、洛必達法則如，是型未定式，是型未定式，

未定式的極限是不能直接利用極限運算法則來求的，那么如何計算未定式的極限呢？第四節導數的應用定理3.4設函數

在點的某個去心鄰域內可導，且

，如果（1）（2）存在（或無窮大），那么這種在一定條件下通過分子、分母分別求導數再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達（L’Hospital）法則。說明：（1）如果將定理中

改成自變量的其他變化過程（如，定理結論仍然成立。（2）若運用一次洛必達法則后，問題尚未解決，而函數

仍滿足定理條件，則可繼續使用洛必達法則。第四節導數的應用【例27】

求解

這是

型未定式，由洛必達法則，有上式仍然是型未定式，可繼續使用洛必達法則，有第四節導數的應用【例28】

求解

這是

型未定式，由洛必達法則，有【例29】

求解

這是

型未定式，由洛必達法則，有第四節導數的應用在求極限的過程中，會碰到求諸如

等未定式的極限的問題。

此時，可以將其轉化為

或型未定式，再利用洛必達法則求解。例如，第四節導數的應用【例30】

求解

這是

型未定式，可將其轉化為

型未定式【例31】

求解

這是

型未定式，可將其轉化為

型未定式第四節導數的應用【例32】

求解

這是

型未定式，因為，又，所以第四節導數的應用二、函數單調性的判定方法

若函數在其定義域內的某個區間內是單調的，則稱該區間為函數的單調區間。函數的單調性是針對某一個區間而言的，是一個局部性質，因此在討論函數單調性時需指明單調區間。定理3.5設函數

在區間

內可導（1）若在區間

內，則函數

在區間

內單調遞增（2）若在區間

內，則函數

在區間

內單調遞減注意：若函數在區間內

，且

的點只有有限個，則函數

在區間

內仍然單調遞增。第四節導數的應用【例34】

判定函數

在區間

上的單調性。解

因為

，無不可導點，令

得即

是函數

的駐點。因為駐點兩側的導數值并未發生改變，因此此駐點不是函數單調區間的分界點。又因為在內，于是函數

在區間上單調遞增。第四節導數的應用【例35】

利用MATLAB繪制函數

的圖像并討論函數的單調性。解MATLAB實現程序如下：>>syms

x

>>f

=

2*x^3-3*x^2-36*x+16;>>f1

=

diff(f,x);>>x_answer

=

solve(f1)

%解方程求駐點%繪制圖像>>x

=

-10:0.01:10;>>y

=

2*x.^3-3*x.^2-36*x+16;>>figure('color','w')%設置白色背景>>plot(x,y,'k','linewidth',2)

>>hold

on>>plot(x_answer(1),subs(f,x_answer(1)),'ko','markerfacecolor','k')>>plot(x_answer(2),subs(f,x_answer(2)),'ko','markerfacecolor','k')>>gtext('駐點1');gtext('駐點2');第四節導數的應用程序運行結果：x=

-2

3函數圖像如圖3-5所示。根據函數圖像和駐點可知，在區間

內，函數單調遞增；

在區間

內單調遞減；在區間

內，函數單調遞增。第四節導數的應用三、函數的凹凸性及拐點

函數的單調性反映在圖像上，就是曲線的上升和下降，而曲線在上升或下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題，也就是曲線的凹凸性問題。定義3.6設函數

在區間I上可導，如果

在I上對應的曲線位于其上任意一點的切線的上方（或下方），則稱

在區間I上的曲線弧是凹的（或凸的），區間I稱為凹區間（或凸區間）。第四節導數的應用定義3.7如果連續曲線

在點

左右兩側的凹凸性發生改變，那么稱點為該曲線的拐點。定理3.6設連續函數在區間上具有二階導數：（1）若在區間

上

，則曲線

在區間

上是凹的；（2）若在區間

上

，則曲線

在區間

上是凸的；【例37】

求曲線

的凹凸區間及拐點。解

函數的定義域為

，且令

，得第四節導數的應用由表可知，曲線在區間上是凸的，曲線的拐點是和在區間

和上是凹的，第四節導數的應用四、函數的極值及其求法定義3.8:在其中當時，（1）則稱為的極大值點，稱為函數的極大值；（2）則稱為的極小值點，稱為函數的極小值。極大值點與極小值點統稱為極值點

.第四節導數的應用四、函數的極值及其求法定理3.7（極值存在的必要條件）設函數

在點

處可導，且在點

處取得極值，那么

。定理3.8（極值存在的充分條件）設函數在點

處連續，且在點

的某一空心鄰域

內可導。對于任意的

，如果（1）當

時，，當

時，，那么函數在點

處取得極大值；（2）當

時，，當

時，，那么函數在點

處取得極小值；（3）當

與時，不變號，那么函數在點

處無極值。第四節導數的應用定理3.9（極值的第二充分條件）設在點

處具有二階導數且（1）如果

，則在點

處取得極小值；（2）如果

，則在點

處取得極大值?！纠?8】

求函數

的極值。解

函數的定義域為

，且令

，得駐點列表進行討論如下第四節導數的應用在

和內，；在(1,3)內，。由定理3.8可知，為極大值為極小值第四節導數的應用>>syms

x>>f

=

x^3-6*x^2+9*x+3;>>f1

=

diff(f,x);>>x

=

solve(f1);>>figure('color','w');>>ff

=

ezplot(f,[-10,10]);>>set(ff,'color','k','LineWidth',2);%設置線的寬