第1章

數學與我們同行1.2活動

思考課程導入德國數學家高斯在十歲的時候，他的數學老師出了一道數學題：

1+2+3+4+5+...+100=

同學們，這道題，你有什么好的辦法嗎？解決問題的方法不止一種，我們要開動腦筋，積極思考，嘗試多從不同的角度尋找解決問題的方法，進而解決問題。一、在動手操作的過程中感受數學

折紙、剪紙等是日常生活中常見的操作活動，它體現了圖形之間的變化和一些數學性質的應用，這些活動能培養我們的動手能力和空間想象能力，同時還能提高我們的思維能力。活動一把一張長方形紙片按圖折疊、裁剪、展開，能得到什么圖形？說說理由。折疊裁剪展開答：得到的是正方形。理由：因為得到的圖形是長和寬相等的長方形，所以它是正方形。示例1如圖，將長方形紙片先沿虛線AB按箭頭方向向右對折，接著將對折后的紙片沿虛線CD向下對折，然后剪下一個小三角形，再將紙片展開，則展開后的圖形是（）解析：取出一張長方形紙，嚴格按照圖中順序進行折疊和裁剪。方法規律：解這類題目一般采用動手操作的方法來尋找答案。動手操作是發現問題的本質、找到問題答案比較簡捷有效的方法。A二、探索圖形的變化規律

通過一些數字或圖形信息，可以尋找它們變化的共同之處，也就是蘊含在它們之間的共同規律.數學知識是無窮無盡的，若要全部了解是不可能的，但我們可以通過歸納、總結，及時地發現其中的規律，運用規律來解決.活動二按圖示的方式，用火柴棒搭三角形。搭1個三角形需要火柴棒

根；搭2個三角形需要火柴棒

根；搭3個三角形需要火柴棒

根；搭10個三角形需要火柴棒_______根；搭n個三角形需要火柴棒_________________根。5＝3+2＝3+2×17＝3+2+2＝3+2×2搭n個三角形需要火柴棒3+2×（n－1）3+2×（10－1）＝2135721[3+2×（n－1）]方法1：方法2：3＝1+2＝1+2×15＝1+4＝1+2×27＝1+6＝1+2×3搭n個三角形需要火柴棒1+2n（1+2n)提醒：對于最后一步運算是加或減的代數式，遇到后面有單位的，一定要代數式整體用括號括起來。示例2人行道用同樣大小的藍、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設而成，如圖，每一個小正方形表示一塊地磚.如果按圖①②③…的次序鋪設地磚，第1個圖中有____塊白色小正方形地磚，第2個圖中有_____塊白色小正方形地磚，第3個圖中有____塊白色小正方形地磚……第50個圖中有_______塊白色小正方形地磚。解析∶由圖可知第1、2、3個圖中分別有12、19、26塊白色小正方形地磚。12192619=12+7×1=12+7×（2-1）26=12+14=12+7×（3-1）所以第50個圖中有12+7×（50-1）=355（塊）白色小正方形地磚.法一∶法二∶12=7+519=5+7×226=5+7×3所以第50個圖中有5+7×50=355（塊）白色小正方形地磚.355方法規律∶解這類探索圖形的變化規律的問題時，一般先觀察隨著圖形序號的變化，組成這個圖形的元素在數量上的變化規律，再根據規律確定任意一個圖形中上述元素的數量.三、月歷中的數字規律月歷是我們日常生活中使用比較多的一種日用品，每個學校每學期都會根據月歷制定校歷，月歷中每一行相鄰的數、每一列相鄰的數、同一行上下相鄰的數之間都存在一定的數量關系，利用這些關系我們可以解決一些問題.活動三觀察月歷⑴月歷中藍色方框內的4個數之間有什么關系？在月歷中再畫一個這樣的方框，其中的4個數也有這樣的關系嗎？日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031左右兩個數相差1，上下兩個數相差7上面2個數的和+14=下面兩個數的和方框對角相加和相等活動三觀察月歷⑵月歷中黃色方框內的9個數，你能發現它們之間有什么關系嗎？

⑶小明一家外出旅游5天，這5天的日期之和是20，小明

號回家。說明你的方法？日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031⑴同一橫行中，相鄰兩數相差

.1⑵同一豎列中，相鄰兩數相差

.7⑶用方框框出9個數時，兩對角線上數的

相等。和⑷以一個數為中心的9個數之和等于這個數的

.9倍⑸以一個數為中心的5個數之和等于這個數的

.5倍6解析：20÷5=4，所以小明出去5天的中間日期是4號，所以小明是2,3,4,5,6這5天在外旅游，因此6號是最后一天，6號是回家日期。示例3在如圖所示的2021年3月的月歷表中，任意框出表中豎列上的三個相鄰的數，這三個數的和不可能是（）。A.27B.51C.65D.72解析∶月歷中豎列三個相鄰的數中最中間的一個數比上面的數大7，比下面的數小7，所以任意框出表中豎列上的三個相鄰的數，這三個數的和是中間一個數的3倍，即這三個數的和一定是3的倍數.在A、B、C、D四個選項中，只有C選項的數65不是3的倍數.方法規律∶月歷表中隱含兩個規律：⑴左、右相鄰的兩個數相差1;⑵上、下相鄰的兩個數相差7.解決與月歷相關的題目時，我們如能靈活運用這兩個規律，題目就比較簡單了.C特別注意，我們也要考慮和的范圍，必須是6-90的3的倍數。我們算出來的日期不能超過這個月應有的天數。四、統計知識在進行生產、生活和科學研究時，往往需要設計合適的統計表，通過各種各樣的調查收集數據，為了便于發現在調查中獲取的數據規律，人們往往要把獲取的雜亂無章的數據進行適當分析、整理，從而清楚地獲取有關信息。活動四

在教育局的樣品室里擺放著6件校服樣品，有6種不同的價格（單位∶元），分別為50、70、90、110、130、150。現要為某校1500名學生統一征訂校服，由于價格相差甚遠，于是學校決定征求家長的意見，想要制作一張調查表對家長的意見進行調查，該怎樣設計這張調查表（要求家長用畫"√"的形式來表達）?本題答案不唯一，可以通過把已知數據分組來設計表格，進而得出答案即可.答案不唯一，如把已知數據分成6組來設計調查表，表格如下∶在設計調查問題時，既要考慮到設計的問題能方便快捷地回答，還要考慮到答案的唯一性.示例4現場調查本班學生最喜愛的體育活動并根據所調查的數據給出一個分析報告．活動名稱籃球足球乒乓球羽毛球健美操跳繩人數第二步，信息調查。

現在，請同學們根據自己的喜好進行舉手表決。第一步，列表格：第三步，根據咱們調查的結果，請為本班開展體育活動提出合理建議。閱讀

條形碼由美國的N.T.Woodland在1949年首先提出的。近年來，隨著計算機的不斷普及，條形碼得到了廣泛的應用。現在，如食品、飲料、書籍、彩電、冰箱等商品都印有條形碼（也稱為“條碼”）。商品條形碼是商品的“身份證”。

商品條形碼是由“條”，“空”及對應數字字符“碼”組成的，可以提供商品的生產國、制造廠家、商品名稱等信息。

例如，七年級上冊蘇科版數學書的條形碼，下方從左到右的13個數字中，“978”是圖書代碼，“7”表示中國出版的圖書，“5345”是江蘇鳳凰科學技術出版社的代號，“9338”表示本冊課本在該出版社排列的出版序號，“3”是校驗碼。

條形碼上方的“ISBN978-7-5345-9338-3”為國際標準書號。其中，“978-7-5345-9338-3”與條形碼的數字相同，“ISBN”是標識碼，是InternationalStandardBookNumbering(國際標準書號）的縮寫。典型例題1

剪紙是我國傳統的民間藝術.將一張紙片按如圖①②所示的方式沿虛線依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖形應該是（）方法一：取一張與題中相同的紙片按照題目中的要求，先分別從左向右、從下向上對折兩次，再剪去兩個三角形，展開后，可得A選項中的圖形.方法二：逆向思維法，即先根據折紙的順序，逆向畫出圖形，如圖⑤⑥⑦所示，即可得到展開鋪平后的圖形.A總結歸納解決這類問題時，方法一比方法二準確度高，但是操作煩瑣，所以一般開始時使用方法一，并在使用方法一找到正確答案后，再運用方法二驗證答案，等方法二使用熟練后，即可使用方法二直接尋找答案.典型例題2

解析∶⑵觀察發現，這組數的規律為從第3個數起，前兩個相鄰數的和等于后一個數.所以需填寫的數等于它前面兩個數8與13的和，為21。⑶因為第1、2、3、4個圓中的最下面的數分別為4=1×2＋2、9=2×3+3、19=3×5＋4、33=4×7＋5，所以最后一個圓中的最下面的數為5×11+6=61.方法歸納

先把題目中的每個數據依次標上序號，然后從和、差、倍、分等角度，分別比較每個數與序號之間、數與數之間的關系，最后根據尋找的規律填寫答案.典型例題3

如圖，找出以下圖形變化的規律，，則第2021個圖形中的藍色正方形的個數是（）A.3030B.3031C.3032D.3033解析∶因為第2021個數據比較大，顯然需通過尋找規律來解答.觀察圖形，可以發現直接尋找藍色正方形的個數規律比較困難，但是第偶數個圖形和第奇數個圖形都是有明顯特征的。方法一：通過尋找第2020個圖形中的藍色正方形的個數來解答.C方法二：通過尋找第奇數個圖形之間的關系，確定2021個圖形中的藍色正方形的個數來解答.第1個圖形藍色正方形的個數2第3個圖形藍色正方形的個數5第5個圖形藍色正方形的個數85＝2+38＝2+3×2第1個奇數第2個奇數第3個奇數第n個奇數2+3×（n－1）第2n-1個圖形藍色正方形的個數方法歸納第2021個圖形是第1011個奇數2+3×（

1011

－1）＝3032

典型例題4

用同樣大小的兩種不同的小正方形紙片按如圖所示的方式拼正方形.第1個圖形中有1個小正方形;第2個圖形中有1+3=4（個）小正方形;第3個圖形中有1+3+5=9（個）小正方形;第5個圖形中有________個小正方形（直接寫出結果）.⑴根據上面的發現我們可以猜想∶

1＋3+5+7+…+（2n-1）=_________（用含n的式子表示）.⑵請根據你的發現計算∶①1+3+5+7+…+99=________;②101＋103＋105十…+199=________。解析∶

由圖可以看出，第1、2、3、4個圖形中小正方形的個數分別為1=12、4=22、9=32、16=4.根據規律，易知第5個圖形中小正方形的個數為52=25.25⑴式子1＋3+5＋7＋…+（2n-1），可以看作第n個圖形中小正方形的個數，易知這個式子的值為n2n2⑵①設所求式子表示的是第x個圖形中小正方形的個數，則2x一1=99，解得x=50.所以1+3+5+7十…+99=502=2500;2500②101+103+105＋…+199=100+1+100+3+100+5+…+100+99=(100+100+100+…+100)+(1＋3+5＋…＋99)=100×50+502=7500.7500典型例題5

如圖，點A處有一只貓，點B處有一只老鼠，從點A到點B有兩條路徑，分別為①和②.現在貓以不變的速度去捉老鼠，你認為貓走哪條路徑才能在較短的時間內捉到老鼠?為什么?因為速度不變，要比較走哪條路徑能先捉到老鼠，只需比較路徑①和②的長短.通過平移，構造出較熟悉的長方形，可知CD的長等于GE的長，DE的長等于CG的長，所以兩條路徑的長度相等.解析∶解答∶兩條路徑一樣長，隨便走哪一條，捉到老鼠的時間相同.因為平移后，路徑①和②的長度都等于構造出的長方形的一條長與一條寬之和（其周長的一半）。方法歸納化曲為直解決問題的方法

化曲為直解決問題分兩種情況∶一種情況是比較平面內的線段和的長短，這種題目一般可先通過適當的平移，把其中的曲線（或折線）轉化到某一條線段上，再進行比較;另一種情況是尋找立體圖形的表面兩點之間的最短距離，這時一般先把立體圖形展開，轉化成平面圖形，然后利用平面圖形的知識解答.鞏固練習1：將一張長方形的紙對折，如圖，可得到一條折痕（圖中虛線），連續對折，對折時每次折痕與上次折痕保持平行，連續對折三次后，可以得到7條折痕；那么連續對折四次后，可以得到

條折痕；連續對折五次后，可以得到

條折痕；連續對折九次后，可以得到

條折痕．第1次對折第2次對折第3次對折1531511解：對折次數

折痕

層數11221+2431+2+4841+2+4+81651+2+4+8+163261+2+4+8+16+3264...每次對折折痕增加的數=對折前的層數鞏固練習2：觀察下面一組式子。（1）你能說出這組式子所表達的規律嗎？用含字母n的式子表達出來。（2）利用這一規律，計算下列式子。鞏固練習3：下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，則第⑥個圖形中五角星的個數為（）

A.50 B.64 C.68 D.72【解析】解：第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有2×（1+3）=8個五角星