北師版八年級上第七章平行線的證明專題十五利用平行線的性質求角度的常見幫手幫手1對頂角與鄰補角1.

如圖，直線

l1∥

l2，直線

l1，

l2被直線

l3所截，

AD

平分∠

CAB

，若∠1＝110°，則∠2的度數為(

B

)A.35°B.55°C.70°D.110°(第1題)B123456789101112132.

如圖所示，

AB

∥

CD

，若∠1＝146°，則∠2的度數

是

?.(第2題)34°

12345678910111213幫手2垂直(余角)3.

[2024無錫一模]如圖，已知

a

∥

b

，點

A

在直線

a

上，點

B

，

C

在直線

b

上，∠

BAC

＝90°，∠1＝30°，則∠2的

度數是(

C

)A.30°B.45°C.60°D.75°(第3題)C123456789101112134.

如圖，

AB

∥

CD

，

FE

⊥

DB

，垂足為

E

，

GH

⊥

AB

，

垂足為

H

，若∠1＝45°，則∠3的度數是(

C

)A.30°B.35°C.45°D.40°(第4題)C123456789101112135.

[2024廣安期末]如圖，直線

m

∥

n

，且分別與直線

l

交于

A

，

B

兩點，把一塊含60°角的三角尺按如圖所示的位置

擺放，若∠2＝98°，則∠1＝(

C

)A.58°B.56°C.52°D.62°C123456789101112136.

[情境題·生活應用]如圖是一種躺椅的簡化結構示意圖，扶

手

AB

與底座

CD

都平行于地面，靠背

DM

與支架

OE

平

行，前支架

OE

與后支架

OF

分別與

CD

交于點

G

和點

D

，

AB

與

DM

交于點

N

，當∠

EOF

＝90°，∠

ODC

＝

30°時，人躺著最舒服，求此時扶手

AB

與支架

OE

的夾

角∠

AOE

和扶手

AB

與靠背

DM

的夾角∠

ANM

的度數.12345678910111213【解】∵扶手

AB

與底座

CD

都平行于地面，∴

AB

∥

CD

，∴∠

BOD

＝∠

ODC

＝30°.又∵∠

EOF

＝90°，∴∠

AOE

＝60°.∵

DM

∥

OE

，∴∠

AND

＝∠

AOE

＝60°，∴∠

ANM

＝180°－∠

AND

＝120°.12345678910111213幫手3角平分線7.

[2024廣州番禺區校級二模]將一個長方形紙片按如圖所示

的方式折疊，若∠1＝40°，則∠2的度數是

?.(第7題)70°

123456789101112138.

[新考法·分類討論法]如圖，已知

AB

∥

CD

，∠

ACD

＝

110°，∠

BAC

的平分線交

CD

于點

E

，在直線

AB

上取點

F

，使∠

ACF

＝∠

AEC

，則∠

AFC

的度數是

?

?.35°或

75°

(第8題)12345678910111213【點撥】∵

AB

∥

CD

，∴∠

BAE

＝∠

AEC

.

∵

AE

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

CAE

，∴∠

AEC

＝∠

CAE

.

在△

ACE

中，∠

ACE

＝110°，

∴∠

AEC

＝∠

CAE

＝∠

BAE

＝35°.下面分兩種情況討論：12345678910111213如圖①，當點

F

位于點

A

的右側時，∵∠

ACF

＝∠

AEC

＝35°，∴∠

AFC

＝180°－∠

BAE

－∠

CAE

－∠

ACF

＝180°

－35°－35°－35°＝75°.如圖②，當點

F

位于點

A

的左側時，∵∠

ACF

＝∠

AEC

＝35°，∴∠

AFC

＝∠

BAC

－∠

ACF

＝∠

BAE

＋∠

CAE

－∠

ACF

＝35°＋35°－35°＝35°.綜上，∠

AFC

的度數是35°或75°.123456789101112139.

[2024杭州期末]如圖，∠

MON

＝50°，

OE

平分∠

MON

，點

A

，

B

，

C

分別是射線

OM

，

OE

，

ON

上的動

點(點

A

，

B

，

C

不與點

O

重合)，且

AB

∥

ON

，連接

AC

交射線

OE

于點

D

.

(1)求∠

ABO

的度數；

12345678910111213(2)當△

ADB

中有兩個相等的角時，求∠

OAC

的度數.【解】當∠

BAD

＝∠

ABD

＝25°時，∵∠

AOB

＝25°，∠

ABO

＝25°，∴∠

OAC

＝180°－∠

AOB

－∠

ABO

－∠

BAD

＝180°－25°－

25°－25°＝105°；12345678910111213

12345678910111213幫手4三角形的外角10.

一張小馬扎的結構如圖所示，凳面

AB

與地面

CD

互相平

行，一位同學量得∠3＝86°，他還發現∠1＝∠2，則∠

ADC

的度數是

?.(第10題)43°

1234567891011121311.

如圖，在△

ABC

中，

EF

∥

BC

，∠

ACG

是△

ABC

的外

角，∠

BAC

的平分線交

BC

于點

D

，若∠1＝150°，∠2

＝110°，則∠3＝

?.70°

(第11題)12345678910111213【點撥】∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAC

＝2∠

DAC

.

∵∠1＝∠2＋∠

DAC

，∠1＝150°，∠2＝110°，∴∠

DAC

＝40°，∴∠

BAC

＝80°.∵∠1＝∠

BAC

＋

∠

B

，∴∠

B

＝70°.∵

EF

∥

BC

，∴∠3＝∠

B

＝70°.1234567891011121312.

如圖，點

E

是△

ABC

的內角與外角的平分線的交點，點

F

是

CB

延長線上一點，

AF

∥

EC

，∠

ABF

＝80°，∠

FAB

＝∠

EAC

＋10°，則∠

F

＝

?.70°

12345678910111213【點撥】

12345678910111213∵∠

FAB

＝∠

EAC

＋10°，∴設∠

EAC

＝

x

°，則

∠

FAB

＝

x

°＋10°，∠1＝∠2＝

x

°.∵∠

ABF

＝80°，

∴∠

F

＝180°－∠

ABF

－∠

FAB

＝180°－80°－(

x

°＋10°)＝(90－

x

)°.∵∠

GCB

＝∠

F

＋∠

FAC

，∠

F

＝∠4＝∠3，∴∠

F

＋∠

F

＝∠

F

＋

x

°＋10°＋

x

°＋

x

°，∴∠

F

＝(3

x

＋10)°，∴90－

x

＝3

x

＋10，解得

x

＝20，∴3

x

＋10＝70，∴∠

F

＝70°.1234567891011121313.

[2024煙臺福山區期末]如圖，

AB

∥

CD

，∠

ABE

＝

120°.(1)如圖①，寫出∠

BED

與∠

D

的數量關系，并證明你的結論；【解】結論：∠

BED

＋∠

D

＝120°.證明：延長

AB

交