主題三函數專題09平面直角坐標系與函數基礎目錄一覽知識目標（新課程標準提煉）中考解密（分析考察方向，精準把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一不等式的性質?考向二不等式的解集?考向三在數軸上表示不等式的解集?考向四解一元一次不等式?考向五一元一次不等式的整數解?考向六一元一次不等式的應用?考向七解一元一次不等式組?考向八一元一次不等式組的整數解?考向九一元一次不等式組的應用最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優化解題技巧）1.理解平面直角坐標系的有關概念，能畫出直角坐標系；在給定的直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出它的坐標；2.在實際問題中，能建立適當的直角坐標系，描述物體的位置；3.探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義；4.結合實例，了解函數的概念和三種表示法，能舉出函數的實例；5.能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析；6.能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，并會求出函數值；7.能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系；8.結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論．該版塊內容是初中代數最重要的部分，是代數的基礎，是非常基礎也是非常重要的，年年都會考查，分值為8分左右，預計2024年各地中考還將出現，在選填題中出現的可能性較大.?考向一點的坐標解題技巧/易錯易混/特別提醒1.有序數對的作用：利用有序數對可以在平面內準確表示一個位置．有序數對一般用來表示位置，如用“排”“列”表示教師內座位的位置，用經緯度表示地球上的地點等．2.確定點在坐標平面內的位置，關鍵是根據不同象限中點的坐標特征去判斷，根據題中的已知條件，判斷橫坐標、縱坐標是大于0，等于0，還是小于0，就可以確定點在坐標平面內的位置．1．（2023?麗水）在平面直角坐標系中，點P（﹣1，m2+1）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【思路點撥】依據m2+1＞0，即可得出點P（﹣1，m2+1）在第二象限．【規范解答】解：∵m2+1＞0，∴點P（﹣1，m2+1）在第二象限．故選：B．【真題剖析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征和平方的非負性，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．2．（2023?大慶）已知a+b＞0，ab＞0，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（）A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）【思路點撥】因為ab＞0，所以a、b同號，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，觀察圖形判斷出小手蓋住的點在第四象限，然后解答即可．【規范解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0，A、（a，b）在第一象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；B、（﹣a，b）在第二象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；D、（a，﹣b）在第四象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項符合題意．故選：D．【真題剖析】本題考查了點的坐標，記住各象限內點的坐標的符號是解題的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．（2023?衢州）在如圖所示的方格紙上建立適當的平面直角坐標系，若點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），則點C的坐標為（1，3）．【思路點撥】根據A、B兩點的坐標確定平面直角坐標系的位置，即可得C點的坐標．【規范解答】解：如圖：由A的坐標為（0，1），點B的坐標為（2，2），坐標可確定原點位置和坐標系：由圖可得C（1，3），故答案為：（1，3）．【真題剖析】本題考查平面直角坐標系與點的位置，屬于基礎題．?考向二規律型：點的坐標4．（2023?日照）數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算1+2+3+4+?+100時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到1+2+3+4+?+100＝．人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+?+n＝（n是正整數）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3，?，n，?，且xi，yi是整數．記an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0，?，以此類推．則下列結論正確的是（）A．a2023＝40 B．a2024＝43 C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4【思路點撥】利用圖形尋找規律A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），再利用規律解題即可．【規范解答】解：第1圈有1個點，即A1（0，0），這時a1＝0；第2圈有8個點，即A2到A9（1，1），這時a9＝1+1＝2；第3圈有16個點，即A10到A25（2，2），這時a25＝2+2＝4；……，依次類推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；由規律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），則A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42，故A選項不正確；A2024是在第23圈上，且A2024（21，22），即a2024＝21+22＝43，故選項B正確；第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），所以a（2n﹣1）2＝2n﹣2，故C，D選項不正確；故選：B．【真題剖析】本題考查了圖形與規律，利用所給的圖形找到規律是解題的關鍵．5．（2023?泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2023的坐標是（2023，）．【思路點撥】根據正三角形的性質以及三角形的排列規律可得點A1橫坐標為1，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…因此點A2023橫坐標為2023，再根據這些正三角形的排列規律得出點A2023在第一象限，求出點A2023的縱坐標為，得出答案．【規范解答】解：如圖，過點A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分別作x軸的垂線，∵△A1A2O是邊長為2正三角形，∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，∴點A1橫坐標為1，由題意可得，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…因此點A2023橫坐標為2023，∵2023÷3＝674……1，而674是偶數，∴點A2023在第一象限，∴點A2023的縱坐標為，即點A2023（2023，），故答案為：（2023，）．【真題剖析】本題考查正三角形的性質以及點的坐標的規律性，掌握正三角形的性質和點的坐標的變化規律是解決問題的關鍵．?考向三坐標與圖形性質解題技巧/易錯易混/特別提醒1．象限角平分線上的點的坐標特征：（1）第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數；（2）平行于x軸（或垂直于y軸）的直線上的點的縱坐標相等，平行于y軸（或垂直于x軸）的直線上的點的橫坐標相等．2．點P（x，y）到x軸的距離為|y|，到y軸的距離為|x|，到坐標原點的距離為．3.一般地，點P與點P1關于x軸對稱，則橫坐標相同，縱坐標互為相反數；點P與點P2關于y軸對稱，則縱坐標相同，橫坐標互為相反數，點P與點P3關于原點對稱，則橫、縱坐標分別互為相反數，簡單記為“關于誰誰不變，關于原點都改變”．6．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，OA＝OB＝3，點C為平面內一動點，BC＝，連接AC，點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA＝1：2．當線段OM取最大值時，點M的坐標是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【思路點撥】由題意可得點C在以點B為圓心為半徑的OB上，在x軸的負半軸上取點D（﹣，0），連接BD，分別過C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足為F、E，先證△OAM∽△DAC，得＝＝，從而當CD取得最大值時，OM取得最大值，結合圖形可知當D，B，C三點共線，且點B在線段DC上時，CD取得最大值，然后分別證△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性質即可求解．【規范解答】解：∵點C為平面內一動點，BD＝，∴點C在以點B為圓心，為半徑的OB上，在x軸的負半軸上取點D（﹣，0），連接BD，分別過C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足為F、E，∵OA＝OB＝，∴AD＝OD+OA＝，∴＝，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴＝＝，∴當CD取得最大值時，OM取得最大值，結合圖形可知當D，B，C三點共線，且點B在線段DC上時，CD取得最大值，∵OA＝OB＝，OD＝，∴BD＝＝，∴CD＝BC+BD＝9，∵＝，∴OM＝6，∵y軸⊥x軸，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴＝，即＝，解得CF＝，同理可得，△AEM∽△AFC，∴＝＝，即＝，解得ME＝，∴OE＝＝，∴當線段OM取最大值時，點M的坐標是（，），故選D．【真題剖析】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓的一般概念以及坐標與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．7．（2023?臺灣）如圖，坐標平面上直線L的方程式為x＝﹣5，直線M的方程式為y＝﹣3，P點的坐標為（a，b）．根據圖中P點位置判斷，下列關系何者正確（）A．a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3【思路點撥】利用直角坐標系中點的坐標的特點，圖形的性質解答．【規范解答】解：∵坐標平面上直線L的方程式為x＝﹣5，直線M的方程式為y＝﹣3，∴直線L與直線M交點的坐標為（﹣5，﹣3），∵P點的坐標為（a，b），∴根據圖中P點位置得a＜﹣5，b＞﹣3．故選：A．【真題剖析】本題考查了坐標與圖形性質，解題的關鍵是熟練掌握直角坐標系中點的坐標的特點．?考向四函數關系式8．（2022?益陽）已知一個函數的因變量y與自變量x的幾組對應值如表，則這個函數的表達式可以是（）x…﹣1012…y…﹣2024…A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2【思路點撥】觀察表中x，y的對應值可以看出，y的值恰好是x值的2倍．從而求出y與x的函數表達式．【規范解答】解：根據表中數據可以看出：y的值是x值的2倍．∴y＝2x．故選：A．【真題剖析】本題考查了列正比例函數表達式，解題的關鍵是根據所給的數據找出自變量與因變量之間的關系．9．（2022?大連）汽車油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛路程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km．當0≤x≤300時，y與x的函數解析式是（）A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30 C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x【思路點撥】直接利用油箱中的油量y＝總油量﹣耗油量，進而得出函數關系式，即可得出答案．【規范解答】解：由題意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．故選：B．【真題剖析】此題主要考查了根據實際問題列一次函數關系式，正確得出函數關系式是解題關鍵．10．（2020?臺灣）如圖為有春蛋糕店的價目表，阿凱原本拿了4個蛋糕去結賬，結賬時發現該點正在舉辦優惠活動，優惠方式為每買5個蛋糕，其中1個價格最低的蛋糕免費，因此阿凱后來多買了1個黑櫻桃蛋糕．若阿凱原本的結賬金額為x元，后來的結賬金額為y元，則x與y的關系式不可能為下列何者？（）A．y＝x B．y＝x+5 C．y＝x+10 D．y＝x+15【思路點撥】根據題意，需要對第一次買的蛋糕進行討論，和后來添加的黑櫻桃蛋糕的價格進行對比，再進行解答．【規范解答】解：阿凱原本拿了4個蛋糕去結賬，后來多買了一個50元的黑櫻桃蛋糕，優惠方式為：價格最低的蛋糕免費．①若原本四個蛋糕中最便宜的蛋糕價格等于50元或高于50元，最后買的黑櫻桃蛋糕是最便宜的，免費，∴此時原本結賬金額等于后來結賬的金額，即y＝x；②如果原本四個蛋糕中最便宜的蛋糕價格低于50元，則這個最便宜的蛋糕就變成免費，改以黑櫻桃蛋糕計費，價格發生變化．如果原本四個蛋糕中最便宜的是40元（伯爵茶蛋糕），買了黑櫻桃蛋糕后，伯爵茶蛋糕變成免費，需要付黑櫻桃蛋糕，多付10元，此時，y＝x+10；③如果原本四個蛋糕中最便宜的是45元，買了黑櫻桃蛋糕后，多付5元，此時，y＝x+5．故選：D．【真題剖析】本題主要考查一次函數的應用，分類討論思想，理解題意，進行正確的分類討論是解決本題的關鍵．?考向五函數自變量的取值范圍11．（2023?牡丹江）函數y＝中，自變量x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1【思路點撥】根據二次根式（a≥0）可得x+1≥0，然后進行計算即可解答．【規范解答】解：由題意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故選：B．【真題剖析】本題考查了函數自變量的取值范圍，熟練掌握二次根式（a≥0）是解題的關鍵．12．（2023?西藏）函數中自變量x的取值范圍是x≠5．【思路點撥】根據分式有意義的條件即可求得答案．【規范解答】解：由題意可得：x﹣5≠0，即x≠5，故答案為：x≠5．【真題剖析】本題考查求自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．13．（2023?廣安）函數y＝的自變量x的取值范圍是x≥﹣2且x≠1．【思路點撥】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，就可以求解【規范解答】解：根據題意得：，解得：x≥﹣2且x≠1．故答案為：x≥﹣2且x≠1．【真題剖析】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數是非負數．?考向六函數的圖象14．（2023?自貢）如圖1，小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下列結論錯誤的是（）A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘 B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米 C．報亭到小亮家的距離是400米 D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘【思路點撥】根據圖象逐個分析即可．【規范解答】解：A、由圖象得：小亮從家到羽毛球館用了7分鐘，故A選項不符合題意；B、由圖象可知：小亮從羽毛球館到報亭的平均速度為：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）＝75（米/分），故B選項不符合題意；C、由圖象知報亭到小亮家的距離是0.4千米，即400米，故C選項不符合題意；D、由圖象知小亮打羽毛球的時間是37﹣7＝30（分鐘），故D選項符合題意；故選：D．【真題剖析】本題考查了函數圖象，觀察圖象，從圖象中獲取信息是解題的關鍵．15．（2023?紹興）已知點M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一個函數圖象上，則這個函數圖象可能是（）A． B． C． D．【思路點撥】由點N（﹣2，a），P（2，a）關于y軸對稱，可排除選項A、C，再根據M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y軸的左側，y隨x的增大而增大，從而排除選項D．【規范解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一個函數圖象上，可知圖象關于y軸對稱，故選項A、C不符合題意；由M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在y軸的左側，y隨x的增大而增大，故選項B符合題意；故選：B．【真題剖析】此題考查了函數的圖象．注意掌握排除法在選擇題中的應用是解此題的關鍵．16．（2023?鹽城）如圖，關于x的函數y的圖象與x軸有且僅有三個交點，分別是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），對此，小華認為：①當y＞0時，﹣3＜x＜﹣1；②當x＞﹣3時，y有最小值；③點P（m，﹣m﹣1）在函數y的圖象上，符合要求的點P只有1個；④將函數y的圖象向右平移1個或3個單位長度經過原點．其中正確的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【思路點撥】①②通過觀察函數圖象判斷即可；③寫出點P所在的函數，并畫出其圖象，根據它們交點的個數判斷即可；④通過觀察函數圖象判斷即可．【規范解答】解：①當y＞0時，﹣3＜x＜﹣1或x＞3，∴①不正確．②由圖象可知，當x＞﹣3時，y有最小值，∴②正確．③令x＝m，y＝﹣m﹣1，∴y＝﹣x﹣1，∴點P（m，﹣m﹣1）在直線y＝﹣x﹣1上．y＝﹣x﹣1的函數圖象為：由圖象可以看出，它們有三個交點，∴符合要求的點P有3個，∴③不正確．④將函數y的圖象向右平移1個單位長度時，原圖象上坐標為（﹣1，0）的點過原點；將函數y的圖象向右平移3個單位長度時，原圖象上坐標為（﹣3，0）的點過原點；∴④正確．綜上，只有②④正確．故選：C．【真題剖析】本題考查函數的圖象，根據函數圖象分析其上坐標的特點是本題的關鍵．?考向七動點問題的函數圖象解題技巧/易錯易混/特別提醒1．動點問題多數情況下會與分類討論的數學思想及方程、函數思想結合起來進行．2．把動點產生的線段長用時間變量t表示出來以后，動點問題就“靜態化”處理了．17．（2023?齊齊哈爾）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，動點M，N分別從點A，B同時出發，沿射線AB，射線BC的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接DM，MN，ND．設點M運動的路程為x（0≤x≤4），△DMN的面積為S，下列圖象中能反映S與x之間函數關系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據點N的運動情況，寫出每種情況y和x之間的函數關系式，即可確定圖象．【規范解答】解：0≤x≤4時，M在AB上，N在BC上，依題意可知：設AM＝BN＝x，∴CN＝4﹣x，S＝S正方形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC＝4×4﹣×4x﹣×（4﹣x）x﹣×4×（4﹣x）＝（x﹣2）2+6；∴該二次函數圖象開口向上，當x＝2時，二次函數的最小值為6；當x＝0或4時，二次函數的最大值為8；故選：A．【真題剖析】本題是運動型綜合題，考查了動點問題的函數圖象、正方形的性質、三角形的面積等知識點解題關鍵是深刻理解動點的函數圖象，了解圖象中關鍵點所代表的實際意義，理解動點的完整運動過程．18．（2023?遂寧）如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，點P為線段AB上的動點．以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作PM⊥AC于點M．作PN⊥BC于點N，連結MN，線段MN的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象最低點E的坐標為（）A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）【思路點撥】根據矩形的性質和直角三角形的性質，可以得到CP⊥AB時，CP取得最小值，此時MN取得最小值，然后即可求得點E的坐標．【規范解答】解：連接CP，∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，∴四邊形CMPN是矩形，∴MN＝CP，當CP⊥AB時，CP取得最小值，此時CP＝＝＝，AP＝＝＝，∴函數圖象最低點E的坐標為（，），故選：C．【真題剖析】本題考查動點問題的函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．19．（2023?河北）如圖是一種軌道示意圖，其中和均為半圓，點M，A，C，N依次在同一直線上，且AM＝CN．現有兩個機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動，其路線分別為M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移動時間為x，兩個機器人之間距離為y．則y與x關系的圖象大致是（）A． B． C． D．【思路點撥】設圓的半徑為R，根據機器人移動時最開始的距離為AM+CN+2R，之后同時到達點A，C兩個機器人之間的距離y越來越小，當兩個機器人分別沿A→D→C和C→B→A移動時，此時兩個機器人之間的距離是2R，當機器人分別沿C→N和A→M移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大，據此得出結論即可．【規范解答】解：由題意可得：機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，設圓的半徑為R，∴兩個機器人最初的距離是AM+CN+2R，∵兩個機器人速度相同，∴同時到達點A，C，∴兩個機器人之間的距離y越來越小，故排除A、C；當兩個機器人分別沿A→D→C和C→B→A移動時，此時兩個機器人之間的距離是2R，保持不變，當機器人分別沿C→N和A→M移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大，故排除B；故選：D．【真題剖析】本題考查動點函數圖象，找到運動時的特殊點用排除法是關鍵．?考向八函數的表示方法20．（2020?威海）下表中y與x的數據滿足我們初中學過的某種函數關系．其函數表達式為y＝﹣x2+2x+3．x…﹣1013…y…0340…【思路點撥】根據表中y與x的數據設函數關系式為：y＝ax2+bx+c，將表中（1，4）、（﹣1，0）、（0，3）代入函數關系式，即可得結論．【規范解答】解：根據表中y與x的數據設函數關系式為：y＝ax2+bx+c，將表中（1，4）、（﹣1，0）、（0，3）代入函數關系式，得，解得，∴函數表達式為y＝﹣x2+2x+3．當x＝3時，代入y＝﹣x2+2x+3＝0，∴（3，0）也適合所求得的函數關系式．故答案為：y＝﹣x2+2x+3．【真題剖析】本題考查了函數的表示方法，解決本題的關鍵是掌握函數的三種表示方法：列表法、解析式法、圖象法．21．（2022?阿壩州）在某火車站托運物品時，不超過1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg計）需增加托運費0.5元．則托運xkg（x為大于1的整數）物品的費用為0.5x+1.5元．【思路點撥】根據題意：不超過1kg的物品需付款2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg計）需增加托運費0.5元，當x＞1時，費用為：2元+超出部分的費用，即2+0.5（x﹣1）元．【規范解答】解：設費用為y元，當x≤1時，y＝2，當x＞1時，y＝2+0.5（x﹣1）＝0.5x+1.5，故答案為：0.5x+1.5．【真題剖析】本題考查了分段函數的應用，解決問題時一定注意當物品超出1千克時，用2元加上超出部分的費用．22．（2021?永州）已知函數y＝，若y＝2，則x＝2．【思路點撥】根據題意，進行分類解答，即可求值．【規范解答】解：∵y＝2．∴當x2＝2時，x＝．∵0≤x＜1．∴x＝（舍去）．當2x﹣2＝2時，x＝2．故答案為：2．【真題剖析】本題考查根據函數值，求自變量的值．關鍵在于求出自變量的值一定要符合取值范圍．1．（2023?臺州）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為（﹣2，2），則“炮”所在位置的坐標為（）A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）【思路點撥】直接利用“車”位于點（﹣2，2），得出原點的位置，進而得出答案．【規范解答】解：如圖所示：“炮”所在位置的坐標為：（3，1）．故選：A．【真題剖析】此題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點的位置是解題關鍵．2．（2023?黃石）函數的自變量x的取值范圍是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1【思路點撥】由題意可得x≥0且x﹣1≠0，解得x的取值范圍即可．【規范解答】解：由題意可得x≥0且x﹣1≠0，解得：x≥0且x≠1，故選：C．【真題剖析】本題考查函數自變量的取值范圍，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．3．（2022?棗莊）已知y1和y2均是以x為自變量的函數，當x＝n時，函數值分別是N1和N2，若存在實數n，使得N1+N2＝1，則稱函數y1和y2是“和諧函數”．則下列函數y1和y2不是“和諧函數”的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1【思路點撥】根據題意，令y1+y2＝1，若方程有解，則稱函數y1和y2是“和諧函數”，若無解，則稱函數y1和y2不是“和諧函數”【規范解答】解：A、令y1+y2＝1，則x2+2x﹣x+1＝1，整理得：x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1，∴函數y1和y2是“和諧函數”，故A不符合題意；B、令y1+y2＝1，則+x+1＝1，整理得：x2+1＝0，此方程無解，∴函數y1和y2不是“和諧函數”，故B符合題意；C、令y1+y2＝1，則﹣﹣x﹣1＝1，整理得：x2+2x+1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，∴函數y1和y2是“和諧函數”，故C不符合題意；D、令y1+y2＝1，則x2+2x﹣x﹣1＝1，整理得：x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣2，∴函數y1和y2是“和諧函數”，故D不符合題意；故選：B．【真題剖析】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，根據題意令y1+y2＝1，然后進行計算是解題的關鍵．4．（2023?溫州）【素材1】某景區游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．【素材2】設游玩行走速度恒定，經過每個景點都停留20分鐘，小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關系（部分數據）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（）A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米【思路點撥】設①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由題意及圖象可知，然后根據“游玩行走速度恒定，經過每個景點都停留20分鐘，小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘”可進行求解．【規范解答】解：由圖象可知：小州游玩行走的時間為75+10﹣40＝45（分鐘），小溫游玩行走的時間為205﹣100＝105（分鐘），設①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米由圖象可得：，解得：x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度為：（2700﹣2100）÷10＝60（米/分），由于游玩行走速度恒定，則小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為：3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100，∴路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為：2x+2y+z＝x+y+z+x+y＝2700+2100＝4800（米）．故選：B．【真題剖析】本題主要考查三元一次方程組的應用及函數圖象，解題的關鍵是理解題中所給信息，找到它們之間的等量關系．5．（2023?濱州）由化學知識可知，用pH表示溶液酸堿性的強弱程度，當pH＞7時溶液呈堿性，當pH＜7時溶液呈酸性，若將給定的NaOH溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映NaOH溶液的pH與所加水的體積V之間對應關系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據化學知識和函數圖象的知識，分析幾個選項即可．【規范解答】解：根據題意：將給定的NaOH溶液加水稀釋，那么開始pH＞7，隨著慢慢加水，溶液堿性越來越弱，pH值逐漸減小．故選：B．【真題剖析】本題屬于數學與化學知識相結合的題型，難度不大，認真分析圖形即可．6．（2023?南通）如圖1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．點D從點A出發沿折線A﹣C﹣B運動到點B停止，過點D作DE⊥AB，垂足為E．設點D運動的路徑長為x，△BDE的面積為y，若y與x的對應關系如圖2所示，則a﹣b的值為（）A．54 B．52 C．50 D．48【思路點撥】根據勾股定理求出AB＝25，再分別求出0≤x≤15和15＜x≤35時的PD，AD的長，再用三角形的面積公式寫出y與x的函數解析式即可．【規范解答】解∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB＝＝＝25，①當0≤x≤15時，點P在AC邊上，如圖所示，此時AD＝x，∵ED⊥AB，∴∠DEA＝90°＝∠C，∵∠CAB＝∠EAD，∴△CAB∽△EAD，∴＝＝，∴AE＝＝，DE＝＝，BE＝25﹣，∴y＝BE?DE＝×（25﹣）×＝10x﹣，當x＝10時，y＝76，∴a＝76，②當15＜x≤35時，點P在BC邊上，如圖所示，此時BP＝35﹣x，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C，∵∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴，∴BE＝＝＝28﹣，DE＝＝＝21﹣，∴y＝DE?BE＝×（28﹣）×（21﹣）＝（14﹣）（21﹣），當x＝25時，y＝24，∴b＝24，∴a﹣b＝76﹣24＝52，故選：B．【真題剖析】本題考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐標系中函數表示面積的綜合問題，解題的關鍵是對函數圖象是熟練掌握．7．（2023?錦州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC與EF在同一條直線上，點C與點E重合．△ABC以每秒1個單位長度的速度沿線段EF所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，△ABC停止運動．設運動時間為t秒，△ABC與△DEF重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】分0≤t＜4，4＜t≤8，8≤t≤12三種情況，分別求出函數解析即可判斷，【規范解答】解：過點D作DH⊥CB于H，∵DE＝DF＝5，EF＝8，∴EH＝FH＝EF＝4，∴DH＝＝3，當0≤t＜4時，如圖，重疊部分為△EPQ，此時EQ＝t，PQ∥DH，∴△EPQ∽△EDH，∴，即，∴PQ＝t，∴S＝＝2，當4≤t＜8時，如圖，重疊部分為四邊形PQC′B′，此時BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，FC′＝8﹣t，∵PB′∥DE，∴△PB′F∽△DCF，∴，又S△DCF＝，∴，∴S△PB′F＝，∵DH⊥BC．∠A′B′C′＝90°，∴A′C′∥DH，∴△C′QF∽△HFD．∴，即，∴，∴S＝S△PB′F﹣S△C′QF＝＝，當8≤t≤12時如圖，重疊部分為△PF′B′，此時BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，∵PB′∥DE．∴△PB′F∽△DCF，∴，即，∴S＝S△PB′F＝，綜上，∴符合題意的函數圖象是選項A．故選：A．【真題剖析】此題結合圖象平移時面積的變化規律，考查二次函數相關知識，根據平移點的特點列出函數表達式是關鍵，有一定難度．8．（2023?遼寧）如圖，∠MAN＝60°，在射線AM，AN上分別截取AC＝AB＝6，連接BC，∠MAN的平分線交BC于點D，點E為線段AB上的動點，作EF⊥AM交AM于點F，作EG∥AM交射線AD于點G，過點G作GH⊥AM于點H，點E沿AB方向運動，當點E與點B重合時停止運動．設點E運動的路程為x，四邊形EFHG與△ABC重疊部分的面積為S，則能大致反映S與x之間函數關系的圖象是（）A． B． C． D．【思路點撥】分三種情況分別求出S與x的函數關系式，根據函數的類型與其圖象的對應關系進行判斷即可．【規范解答】解：∵∠MAN＝60°，AC＝AB＝6，∴△ABC是邊長為6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD＝∠NAD＝30°，AD⊥BC，CD＝DB＝3，①當矩形EFHG全部在△ABC之中，即由圖1到圖2，此時0＜x≤3，∵EG∥AC，∴∠NAD＝∠AGE＝30°，∴AE＝EG＝x，在Rt△AEF中，AE＝x，∠EAF＝60°，∴EF＝AE＝x，∴S＝x2；②圖3時，AE+AF＝AC，即x+x＝6，解得x＝4，由圖2到圖3，此時3＜x≤4，如圖4，由題意可知△EQB是正三角形，∴EQ＝EB＝BQ＝6﹣x，∴GQ＝x﹣（6﹣x）＝2x﹣6，∴S＝S矩形EFHG﹣S△PQG＝x2﹣×（2x﹣6）2＝﹣x2+12x﹣18，③圖6時，x＝6，由圖3到圖6，此時4＜x≤6，如圖5，由題意可知△EKB是正三角形，∴EK＝EB＝BK＝6﹣x，FC＝AC﹣AF＝6﹣x，EF＝x，∴S＝S梯形EFCK＝（6﹣x+6﹣x）×x＝﹣x2+3x，綜上所述，S與x的函數關系式為S＝，因此三段函數的都是二次函數關系，其中第1段是開口向上，第2段、第3段是開口向下的拋物線，故選：A．【真題剖析】本題考查動點問題的函數圖象，求出各種情況下S與x的函數關系式是正確解答的前提，理解各種函數所對應的圖象的形狀是解決問題的關鍵．9．（2023?綏化）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，動點M，N同時從A點出發，點M以每秒2個單位長度沿折線A﹣B﹣C向終點C運動；點N以每秒1個單位長度沿線段AD向終點D運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為x秒，△AMN的面積為y個平方單位，則下列正確表示y與x函數關系的圖象是（）A． B． C． D．【思路點撥】連接BD，過B作BE⊥AD于E，根據已知條件得到△ABD是等邊三角形，根據相似三角形的判定定理得到△AMN∽△ABN，根據相似三角形的性質得到∠ANM＝∠AEB＝90°，當0≤x＜2時，點M在AB上，當2≤x≤4時，點M在BC上，根據三角形的面積公式即可得到結論．【規范解答】解：連接BD，過B作BE⊥AD于E，當0≤x＜2時，點M在AB上，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，∴AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形，∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，∵AM＝2x，AN＝x，∴，∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABE，∴∠ANM＝∠AEB＝90°，∴＝x，∴y＝x×x＝x2，當2≤x≤4時，點M在BC上，y＝，綜上所述，當0≤x＜2時的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分，當2≤x≤4時，函數圖象是直線的一部分，故選：A．【真題剖析】本題考查了動點問題的函數圖象，二次函數的圖象，一次函數的圖象，矩形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．10．（2023?東營）如圖，一束光線從點A（﹣2，5）出發，經過y軸上的點B（0，1）反射后經過點C（m，n），則2m﹣n的值是﹣1．【思路點撥】點A（﹣2，5）關于y軸的對稱點為A′（2，5），根據反射的性質得，反射光線所在直線過點B（0，1）和A′（2，5），求出A'B的解析式為：y＝2x+1，再根據反射后經過點C（m，n），2m+1＝n，即可求出答案．【規范解答】解：∵點A（﹣2，5）關于y軸的對稱點為A′（2，5），∴反射光線所在直線過點B（0，1）和A′（2，5），設A'B的解析式為：y＝kx+1，過點A′（2，5），∴5＝2k+1，∴k＝2，∴A'B的解析式為：y＝2x+1，∵反射后經過點C（m，n），∴2m+1＝n，∴2m﹣n＝﹣1．故答案為：﹣1．【真題剖析】本題考查一次函數解析式，解題的關鍵是掌握待定系數法，求出A'B的解析式．11．（2023?東營）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y＝x﹣與x軸交于點A1，以OA1為邊作正方形A1B1C1O，點C1在y軸上，延長C1B1交直線l于點A2，以C1A2為邊作正方形A2B2C2C1，點C2在y軸上，以同樣的方式依次作正方形A3B3C3C2，?，正方形A2023B2023C2023C2022，則點B2023的橫坐標是（1+）2022．【思路點撥】根據一次函數圖象上點的坐標特征結合正方形的性質，可得出點A1、B1的坐標，同理可得出A2、A3、A4、A5……的坐標，進而得到B2、B3、B4、B5……的橫坐標，根據點的坐標變化可找出變化規律，依此規律即可得出結論．【規范解答】解：當y＝0時，有x﹣1＝0，解得：x＝1，∴點A1的坐標為（1，0）．∵四邊形A1B1C1O為正方形，∴OA1＝A1B1＝OC1＝1，∴點B1（1，1），B1的橫坐標為1；∴y＝1時，1＝x﹣，解得：x＝，∴點A2的坐標為（，1），A2B2C2C1是正方形，∴A2B2＝C2C1＝A2C1＝，∴點B2（，2+），即B2的橫坐標為；當y＝2+時，2+＝x﹣，解得：x＝（），∴點A3（（），2+），∵A3B3C3C2是正方形，∴A3B3＝C3C2＝A3C2＝（），∴點B3的橫坐標為（）＝（1+）2，……，以此類推，則點B2023的橫坐標是（1+）2022．故答案為：（1+）2022．【真題剖析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質以及點的坐標的規律，數形結合是解答本題的關鍵．12．（2023?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA＝OB＝4，連接AB，過點O作OA1⊥AB于點A1，過點A1作A1B1⊥x軸于點B1；過點B1作B1A2⊥AB于點A2，過點A2作A2B2⊥x軸于點B2；過點B2作B2A3⊥AB于點A3，過點A3作A3B3⊥x軸于點B3；…；按照如此規律操作下去，則點A2023的坐標為（4﹣，）．【思路點撥】根據題意，結合圖形依次求出A1，A2，A3的坐標，再根據其規律寫出A2023的坐標即可．【規范解答】解：在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，OA＝OB＝4，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，∵OA1⊥AB，∴△OA1B是等腰直角三角形，同理可得：△OA1B1，△A1B1B均為等腰直角三角形，∴A1（2，2），根據圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4﹣，），A4（4﹣，），由此可推出：點A2023的坐標為（4﹣，），故答案為：（4﹣，）．【真題剖析】本題主要考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，以及點的坐標變化規律問題，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是依次求出A1，A2，A3的坐標，找出其坐標的規律．13．（2023?貴州）如圖，是貴陽市城市軌道交通運營部分示意圖，以噴水池為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，若貴陽北站的坐標是（﹣2，7），則龍洞堡機場的坐標是（9，﹣4）．【思路點撥】確定平面直角坐標系，即可確定龍洞堡機場的坐標．【規范解答】解：由題中條件確定點O即為平面直角坐標系原點，龍洞堡機場的坐標為（9，﹣4）；故答案為：（9，﹣4）．【真題剖析】本題考查根據已知條件確定平面直角坐標系，解題的關鍵是明確平面直角坐標系x軸、y軸的正方向以及確定點的坐標．14．（2023?連云港）畫一條水平數軸，以原點O為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點O按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為30°、60°、90°、120°、…、330°的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點A、B、C的坐標分別表示為A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），則點D的坐標可以表示為（3，150°）．【思路點撥】在該坐標系中，某點的坐標用兩個參數來描述：一個是該點與原點的距離，另一個是原點與該點所在的射線與x軸正半軸之間的夾角．【規范解答】解：∵點D與圓心的距離為3，射線OD與x軸正方向之間的夾角為150°，∴點D的坐標為（3，150°）．故答案為：（3，150°）．【真題剖析】該題較簡單，主要考查在不同坐標系中點的表示方法．15．（2023?黑龍江）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是x≥﹣3．【思路點撥】因為二次根式的被開方數要為非負數，即x+3≥0，解此不等式即可．【規范解答】解：根據題意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．故答案為：x≥﹣3．【真題剖析】當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數．16．（2023?哈爾濱）在函數中，自變量x的取值范圍是x≠8．【思路點撥】根據分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．【規范解答】解：由題意得：x﹣8≠0，解得：x≠8，故答案為：x≠8．【真題剖析】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定，熟記分式的分母不為零是解題的關鍵．17．（2023?臨沂）小明利用學習函數獲得的經驗研究函數y＝x2+的性質，得到如下結論：①當x＜﹣1時，x越小，函數值越小；②當﹣1＜x＜0時，x越大，函數值越小；③當0＜x＜1時，x越小，函數值越大；④當x＞1時，x越大，函數值越大．其中正確的是②③④（只填寫序號）．【思路點撥】由題意，利用圖象法作答，可以得解．【規范解答】解：如圖所示，∴當x＜﹣1時，x越小，函數值越大，故①錯誤．當﹣1＜x＜0時，x越大，函數值越小，故②正確．當0＜x＜1時，x越小，函數值越大，故③正確．當x＞1時，x越大，函數值越大，故④正確．故答案為：②③④．【真題剖析】本題考查了探究函數的增減性問題，解題時需要靈活運用方法是關鍵．18．（2022?上海）已知f（x）＝3x，則f（1）＝3．【思路點撥】把x＝1代入函數關系式即可求得．【規范解答】解：因為f（x）＝3x，所以f（1）＝3×1＝3，故答案為：3．【真題剖析】本題考查了函數的關系式，解題的關鍵是對函數關系式進行正確的理解．19．（2023?永州）小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量筒中的總水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經有少量水，因而得到如表的一組數據：時間t（單位：分鐘）12345…總水量y（單位：毫升）712172227…（1）探究：根據上表中的數據，請判斷和y＝kt+b（k，b為常數）哪一個能正確反映總水量y與時間t的函數關系？并求出y關于t的表達式；（2）應用：①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升？②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用多少天．【思路點撥】（1）根據上表中的數據，可知y與t成一次函數關系，根據點的坐標利用待定系數法即可求出該函數關系式；（2）①當t＝20時，求出y的值即可；②當t＝24×60＝1440分鐘時，求出y的值，即可求出答案．【規范解答】解：（1）根據上表中的數據，y＝kt+b（k，b為常數）能正確反映總水量y與時間t的函數關系，∵當t＝1時，y＝7，當t＝2時，y＝12，∴，∴，∴y＝5t+2；（2）①當t＝20時，y＝100+2＝102，即估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升；②當t＝24×60＝1440分鐘時，y＝5×1440+2＝7202（毫升），當t＝0