2023學年第二學期錢塘聯盟期中聯考高一年級數學學科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數滿足，則為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據復數的除法運算化簡，再根據復數模的公式計算可得.【詳解】，，.故選：D2.將水平放置的用斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示，已知，，則邊的實際長度為（）A. B.6 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】利用斜二測畫法，確定的特征，求出即可.【詳解】依題意，在中，，所以.故選：C3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充分必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據向量平行的坐標表示，求得的充要條件，結合集合之間的包含關系，判斷即可.【詳解】根據題意，等價于，解得或；又是的真子集，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.在同一直角坐標系中，函數的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過分析正比例函數和對數函數的特征可得解.【詳解】函數，由對數函數可知，且，當時，為過原點的減函數，為減函數，則B錯誤，D正確；當時，為過原點的增函數，為增函數，則A錯誤，C錯誤；故選：D.5.如圖所示，在矩形中，，點在邊上運動（包含端點），則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為坐標原點建立直角坐標系，設，得，根據的范圍即可求出的范圍.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，因為在矩形中，，則，又點在邊上運動（包含端點），設，則，，則，因為，所以，故選：D.6.已知向量在的投影向量為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據投影向量的定義及模長公式的坐標表示求解即可.【詳解】因為，所以，在的投影向量為，所以，即，解得.故選：B.7.在中，三個內角對應的邊為，且．若僅有唯一解，則下列關于的取值不一定成立的是（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得，因為僅有唯一解，所以的值確定，進而通過討論的值，得到的取值范圍，則可得到關于的取值不一定成立的選項.【詳解】由正弦定理得：，所以，因為，所以，因為僅有唯一解，所以的值確定，當時，僅有唯一解，此時，則，當時，，僅有唯一解，此時，當，且時，有兩解，不符合題意，綜上：若僅有唯一解，則或.故選：B．8.如圖，一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為和，高是，則正三棱臺的側面積及外接球體積分別為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，結合正三棱臺的結構特征求出斜高，進而求出側面積；利用球的截面小圓性質求出球半徑，再求出球的體積.【詳解】在正三棱臺中，分別是上、下底面中心，則cm，連接并延長交于，連接并延長交于，連接，過作于，，在中，，，三棱臺斜高，所以正三棱臺的側面積（）；顯然正三棱臺的外接球球心在射線上，令球半徑為，球截平面、平面所得圓半徑，設，顯然，則球心在正三棱臺外，，于是，解得，所以正三棱臺的外接球體積（）.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列四個結論正確的有（）A.用一個平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺；B.斜棱柱的側面可能有矩形；C.正棱錐的底面是正多邊形；D.球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面．【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據圓臺的定義可判斷；對B，根據斜棱柱的結構特征，舉例說明；對C，根據正棱錐的定義可判斷；對D，根據球的定義判斷.【詳解】對于A，根據圓臺的定義，用一個平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺，故A錯誤；對于B，斜棱柱的側面是平行四邊形，也有可能是矩形，如圖三棱柱，側面為矩形，故B正確；對于C，根據正棱錐的定義，正棱錐的底面是正多邊形，故C正確；對于D，球面可以看作一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面，故D正確．故選：BCD.10.已知的內角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的是（）A若，則一定有；B.若是銳角三角形，則一定有成立；C.若，則一定是直角三角形；D.若，則一定是銳角三角形．【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦定理邊角互化可以判斷出A正確；由三角形內角和為，結合誘導公式可推得B正確；利用正弦定理及余弦定理即可判斷出C正確；利用同角三角函數的基本關系式及正弦定理及余弦定理結合三角形知識判斷出D.【詳解】對于A，因為，所以由正弦定理得（為外接圓的半徑），所以，所以A正確；對于B，若為銳角三角形，可得且，可得，且，即，根據正弦函數在上單調遞增，可得，所以，又，所以，所以，所以，故B正確；對于C，因為，由正弦定理可得，即，所以，所以，因為，，則，所以，則，所以為直角三角形，故C正確；對于D，若，則，由正弦定理得，由余弦定理，所以角為銳角，但不一定是銳角三角形，故D錯誤；故選：ABC.11.已知函數．則下列說法正確的是（）A.若，則為偶函數；B.若，則單調遞增；C.若，則函數的最小值為2；D.若時，函數在區間上有且僅有一個零點，則．【答案】AC【解析】【分析】對于A，利用奇偶性的定義即可判斷；對于B，利用導數的正負即可判斷；對于C，化簡后利用基本不等式即可判斷；對于D，利用函數在區間上的單調性，得到不等式組，求解即可.【詳解】若，，則，所以為偶函數，故A正確；若，，因為，所以函數和都是減函數，所以是減函數，故B錯誤；若，則，當且僅當時，即時等號成立，故C正確；若時，，，函數和均為減函數，所以為減函數，則在區間上為減函數，要函數在區間上有且僅有一個零點，則或由，即，即，即，解得，由，即，即，解得，則無解，由上可知，時，，時，則無解，故D錯誤.故選：AC.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復數為純虛數，則=______.【答案】1【解析】【分析】根據復數的分類求解．【詳解】由題意，解得．故答案為：－1【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題．13.若，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據條件求出，再將所求式子弦化切代入運算得解.【詳解】因為，所以，.故答案為：.14.如圖，在中，是的中點，與交于點．設，則______；若，則______．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】利用平面向量的線性運算，結合共線向量定理、平面向量基本定理求出即可；再利用數量積的運算律結合已知求出.【詳解】由是的中點，得，而在上，即，于是，又，則，又E，O，C三點共線，因此，解得，則，而，不共線，所以，；顯然，則，因此，解得，所以．故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量.（1）已知，求向量與的夾角；（2）若，求實數的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用向量坐標夾角公式進行求解；（2）先計算得到，，再利用向量垂直，數量積為0列出方程，求出的值.【小問1詳解】因為，所以，故，因為，所以向量與的夾角；【小問2詳解】，，由于，所以，解得：或，從而或16.如圖所示，在邊長為的正三角形中，E、F依次是、的中點，，，，D、H、G為垂足，若將繞旋轉，（1）求陰影部分形成的幾何體的表面積.（2）求陰影部分形成的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】旋轉后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，根據數據利用面積公式和體積公式，可求其表面積與體積.【詳解】由題意知，旋轉后幾何體是一個圓錐，從上面挖去一個圓柱，且圓錐的底面半徑為4，高為，圓柱的底面半徑為2，高為，所求旋轉體的表面積由三部分組成：圓錐的底面、側面，圓柱的側面.圓錐的底面積為，圓錐的側面積為，圓柱側面積為，故所求幾何體的表面積為.陰影部分形成的幾何體的體積為.【點睛】本題考查組合體的面積問題，考查空間想象能力、運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題.17.中，內角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若點為邊上靠近的三等分點，且，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）依題意可得，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，從而求出面積的最大值.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以.【小問2詳解】因為點是邊上靠近的三等分點，即，所以，在中、，由余弦定理，即，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，即面積的最大值.18.已知平面向量．設函數．（1）求的最小正周期；（2）若函數的圖象可由函數的圖象向左平移個單位，橫坐標伸長到原來的2倍得到，且關于的方程在上恰有三個不同的實數根，求實數的取值范圍和的值．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用數量積的坐標表示求出，再利用二倍角公式、輔助角公式化簡并求出周期.（2）求出函數的解析式，作出函數在上的圖象及直線，數形結合求出實數的范圍及的值.【小問1詳解】由，得，所以的最小正周期.【小問2詳解】由（1）知，，則，關于的方程在上恰有三個不同的實數根，于是直線與函數在上的圖象有3個不同的公共點，在同一坐標系內作出直線與函數在上的圖象，如圖，顯然，當時，直線與函數在上的圖象有3個不同的公共點，且點關于直線對稱，點關于直線對稱，因此，，，所以實數的取值范圍是，.【點睛】思路點睛：涉及給定函數零點個數求參數范圍問題，可以通過分離參數，等價轉化為直線與函數圖象交點個數，數形結合推理作答.19.杭州世紀中心是杭州最高樓，同時是浙江省最高的雙子塔樓，建筑高度310米，以杭州拼音首字母“”為外形藍本，被稱為杭州之門，雙塔的設計像一對翅膀，結合了杭州文化的城市之形，拱橋之意。某位高中生想運用所學知識測量驗證一下高度，通過查閱資料獲取了兩種測量方案．方案一（“兩次測角法”）：如圖一，在雙子塔附近廣場上的點測得雙子塔頂部的仰角為，正對雙子塔前進了米后，到達點，在點測得雙子塔頂部的仰角為，然后計算出雙子塔的高度.方案二（“鏡面反射法”）：如圖二，在雙子塔附近廣場上，進行兩個操作步驟：①將平面鏡置于地面上，人后退至從鏡中能看到雙子塔的頂部位置，測量出人與鏡子的距離為米；②正對雙子塔，將鏡子后移米，重復①中的操作，測量出人與鏡子的距離為米．然后計算出雙子塔的高度.實際操作中，方案一測量