2024年6月浙江省普通高中學業水平適應性考試數學本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分100分.考試時間80分鐘.考生須知：1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規定的位置上.2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規范作答，在本試題卷上的作答一律無效.3.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應的區域內，作圖時可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.選擇題部分一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個備選項中，只有一個是符合題目要求的，不選，多選，錯選均不給分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據交集的定義計算可得；【詳解】集合，，則.故選：C2.復數的模長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復數的模長公式計算即可.【詳解】復數的模長為.故選：A3.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據偶次根式有意義的條件求解即可【詳解】函數的定義域為，故選：B4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數關系求解即可.【詳解】因為，所以，聯立，解得：，故選：A5.已知，則下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由公式可得A、B；換底公式可得C；可得D.【詳解】，故A錯；，故B錯；，故C對；，故D錯.故選：C.6.在空間中，有一平面，平面內有一直線，平面外有一點，下列說法正確的是（）A.過點且與平面垂直的直線不止一條B.過點且與直線垂直的直線有且僅有一條C.過點的直線與直線的夾角的余弦值有可能為D.過點的直線與平面的夾角的余弦值不可能為【答案】D【解析】【分析】根據線線垂直、線面垂直的定義可判定A、B，利用線線夾角與線面夾角的定義可判定C、D.【詳解】過點且與平面垂直的直線有且只有一條，故A錯誤；過點且與直線垂直的直線有無數條，故B錯誤；兩條直線的夾角范圍在，所以其余弦值不能是負數，故C錯誤；直線與平面的夾角范圍在，所以其余弦值不能是負數，故D正確.故選：D7.下圖為某同學兩次月考成績占總成績百分數的扇形統計圖，已知該同學第一次月考總分低于第二次月考總分，則（）A.該同學數學學科成績一定下降 B.該同學政治學科成績一定下降C.該同學化學學科成績可能下降 D.該同學語文學科成績一定提升【答案】D【解析】【分析】根據扇形統計圖一一分析即可.【詳解】對于A：第一次月考數學成績占，第二次月考數學成績占，且第一次月考總分低于第二次月考總分，所以第二次月考數學成績比第一次數學成績要高，故A錯誤；對于B：第一次月考政治成績占，第二次月考政治成績占，由于只知道第一次月考總分低于第二次月考總分，故無法判斷這兩次月考政治學科成績的變化，故B錯誤；對于C：第一次月考化學成績占，第二次月考化學成績占，且第一次月考總分低于第二次月考總分，所以第二次月考化學成績比第一次化學成績要高，故C錯誤；對于D：第一次月考語文成績占，第二次月考語文成績占，且第一次月考總分低于第二次月考總分，所以第二次月考語文成績比第一次語文成績要高，故D正確.故選：D8.在正四面體中，是的中點，在的延長線上，，則異面直線和所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，或其補角為異面直線和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值.【詳解】連接，因為，是的中點，所以，所以或其補角為異面直線和所成角，設正四面體的棱長為2，則，在中由余弦定理得，所以和所成角的正弦值為，故選：B9.已知定義域為的函數，若對任意，，均有恒成立，則下列情形可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對ACD，根據函數的單調性判斷，對B舉例說明不正確.【詳解】對A：若，所以，所以為單調遞減的指數函數，因此對任意，，均有恒成立，故A正確；對B：若，，函數無意義，故B錯誤；對C：若，所以，所以為單調遞增的指數函數，所以對任意，，均有恒成立，故C錯誤；對D：若，所以，所以為單調遞增的指數函數，所以對任意，，均有恒成立，故D錯誤；故選：A10.某地區的公共衛生部門為了調查本地區中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行了調查.調查中使用了兩個問題：問題1：你父親的公歷生日日期是不是奇數？問題2：你是否經常吸煙?調查者設計了一個隨機化裝置，這是一個裝有的50個白球和50個紅球的袋子，這些小球除了顏色外完全相同.每個被調查者隨機從袋中摸取一個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學生如實回答問題1，摸到紅球的學生如實回答問題2.已知在被調查的200人中，共有54人回答“是”，試估計這個地區中學生吸煙的百分比最接近（）A.54% B.27% C.13.5% D.4%【答案】D【解析】【分析】設這個地區中學生吸煙的百分比為，利用全概率公式即可得解.【詳解】設這個地區中學生吸煙的百分比為，父親的公歷生日日期是奇數的概率為0.5，摸到白球、紅球的概率均為0.5，故回答“是”的概率為，解得，故選：D.11.若存在，使函數的圖象關于對稱，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由對稱中心知，討論的取值，找出正整數的最小值.【詳解】因為函數的圖象關于對稱，所以，所以，所以，當時不滿足，當時，，所以，因為，此時的最小值為3；當時，，所以，因為，此時的最小值為6；一般的：，所以，當正整數增大時，的最小值也越來越大，故的最小值為3；故選：C12.在邊長為2的正方體中，取3條棱的中點構成平面，平面截正方體的截面面積為，從剩余9條棱的中點在平面的投影為，記，當最大時，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】截面為過棱中點的正六邊形，投影為兩個正六邊形的頂點，在平面中逐類分析的取值情況，找出最小值.詳解】如圖：由正方體的對稱性知，過3條棱的中點的平面截正方體的截面面積最大時為過棱中點的正六邊形，其邊長為，設截面與6條棱交點分別為，由正方體知體對角線，又，所以平面，延長交棱延長線于E，設此棱中點為B，則，作交平面于，所以平面，則為B在截面的投影，且為正邊的中線，又，所以是的重心，同理可得其余5條棱的中點在截面的投影到O的距離也為，由對稱性知，六邊形為棱長為的正六邊形，如圖在平面中建立直角坐標系，則可得四點共線，由對稱性知也共線,也共線，由正六邊形性質知為正三角形，為邊長的正三角形，邊長的正三角形，所以，求的最小值先考慮為負值的情況，當時，不妨令，在中，則，其余結果都非負.當時，則，其余結果都非負.當，時，不妨令，與夾角不超過，故，當，時，不妨令，，，所以為鈍角，為銳角，，由對稱性知的取值情況同上，，綜上：的最小值為.【點睛】關鍵點點睛：此題關鍵是找出各棱中點在截面的投影，根據兩個正六邊形的特點求出的所有可能取值.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個備選項中，有多個是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒有錯得2分，不選，錯選得0分）13.如圖，平行六面體的棱長均相等，，則（）A.平面 B.平面C.平面 D.平面【答案】AC【解析】【分析】利用線面平行與線面垂直判定定理結合空間向量的運算依次判斷選項即可.【詳解】對于A，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，因為平行六面體的棱長均相等，所以四邊形為菱形，且，因為，所以，所以與不垂直，則與平面不垂直，故B錯誤；對于C，因為平行六面體的棱長均相等，所以四邊形為菱形，且，所以，因為，所以，所以，因為，平面，所以平面，故C正確；對于D，因為，平面，且平面，所以與平面不平行，故D錯誤；故選：AC14.已知函數的定義域為，則（）A. B.C.3是的零點 D.【答案】AB【解析】【分析】A選項，解不等式，求出定義域，得到；B選項，代入求值；C選項，令，求出零點；D選項，舉出反例.【詳解】A選項，，解得，故的定義域為，故，解得，A正確；B選項，，，B正確；C選項，令，即，解得，故是的零點，C錯誤；D選項，當時，，故D錯誤.故選：AB15.現有，兩個相同的箱子，其中均有除了顏色不同外其他均相同的紅白小球各3個，先從兩個箱子中各取出一個小球，，再將兩箱子混合后取出一個小球，事件：“小球為紅色”，事件：“小球為白色”，事件：“小球為紅色”，則下列說法錯誤的有（）A.發生的概率為 B.與互斥C.與相互獨立 D.發生的概率為【答案】ABD【解析】【分析】根據古典概型公式判斷A，根據互斥事件的定義判斷B，根據相互獨立事件的定義判斷C，對于D，分兩種情況討論，若取出顏色相同與顏色不同，分別計算出概率即可判斷.【詳解】根據題意可得，故A錯誤；根據互斥事件的定義可知與不互斥，故B錯誤；由題可得，，所以與相互獨立，故C正確；對于D，事件分為兩類：第一類,若先從兩個箱子取出顏色相同的小球,1、顏色都為白球,則混合后袋中有白球4個,紅球6個,取出紅球概率；2、顏色都為紅球,則混合后袋中有白球6個,紅球4個,取出紅球概率為第二類,若先從兩個箱子顏色不同的小球,則混合后袋中有白球5個，紅球5個，取出紅球概率為，故D不對，故選：ABD16.在中，，，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由余弦定理及同角三角函數的基本關系判斷AB，根據誘導公式、二倍角的余弦公式及余弦函數的單調性判斷C，根據數量積的運算律及數量積定義判斷D.【詳解】因為，而，所以，故，故A正確；由A知，，所以，故B錯誤；，若成立，只需成立，即，所以只需，即，而，，故成立，故C正確；因為，所以，故D正確.故選：ACD非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）17.數據5，8，9，12，12，15的第75百分位數為__________.【答案】12【解析】【分析】根據百分位數的定義計算即可.【詳解】由題意可知：，則從小到大第五個數為12.故答案為：1218.上、下底面面積分別為1，4，高為3的圓臺體積為___________.【答案】7【解析】【分析】由圓臺體積公式即可求解.【詳解】由題意知,,，所以.故答案為：.19.若定義在上的偶函數滿足，則___________，___________.【答案】①.1②.4【解析】【分析】由奇偶性及賦值得，，由得周期為2，可求.【詳解】在中令得，又為偶函數，所以，所以.由得，所以，所以的周期為2，因為為偶函數，所以，在中令得，所以，所以，故答案為：1；420.已知正數a，b，c滿足，，則的最小值為___________.【答案】2【解析】【分析】使用不等式將放縮，使用“1”代換及基本不等式求得目標最小值.【詳解】由題意知，當時取等號，故，當時取等號，綜上，當時，的最小值為2.故答案為：2【點睛】關鍵點點睛：本題求最小值關鍵是第一步用放縮法將放掉，第二步是將中的2代換為，將整式處理為，再用“1”的代換求最小值.四、解答題（本大題3小題，每小題11分，共33分）21.梅雨季節，楊梅上市，現有8筐楊梅，其中3筐是A種楊梅，5筐是B種楊梅，兩種筐子完全相同.（1）從中抽取1筐，直接寫出所抽為A種楊梅的概率；（2）從中無放回地抽取2筐，求所抽筐都是A種楊梅的概率；（3）從中無放回地抽取2筐，求所抽筐中至少有1筐是B種楊梅的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率計算公式求解即可；（2）利用概率的獨立性計算求解即可；（3）利用對立事件的概率公式計算求解即可．【小問1詳解】記事件A：所抽1筐為A種楊梅為A，則；小問2詳解】記事件B：抽第2筐楊梅為A種；事件C：所抽2筐都是A種楊梅；則；小問3詳解】記事件D：至少有1筐是B種楊梅；則.22.如圖，在底面為邊長為2的菱形的四棱錐中，，平面平面，，設是棱上一點，三棱錐的體積為.（1）證明：；（2）求；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點，連結，，證明平面，再根據線面垂直的性質即可得證；（2）作于，根據面面垂直的性質證明平面，再根據三棱錐的體積公式即可得解；（3）作交于的延長線于點，連接，證明平面，則，則即為二面角的平面角，再解即可.【小問1詳解】取中點，連結，，因為，所以，在菱形中，，則是等邊三角形，所以，又平面，故平面，又平面，所以；【小問2詳解】作于，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，所以，所以；【小問3詳解】作交于的延長線于點，連接，由平面，平面，得，又平面，所以平面，又平面，所以，所以即為二面角的平面角，.23.已知函數，的零點分別為，.（1）若，求；（2）是否存在，使？說明理由；（3）若，用含的代數式表示最大值