十堰市六校教學(xué)合作體2024—2025學(xué)年高二九月月考數(shù)學(xué)考試時間：120分鐘；注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.給出下列命題：①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；②空間任意兩個單位向量必相等；③對于非零向量，若，則；④若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底．其中說法正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用空間向量基本概念及數(shù)量積的定義及運算，對各個命題逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于①，當(dāng)與的夾角為，滿足，所以①錯誤；對于②，因為向量既有大小又有方向，兩向量相等要滿足方向相同，長度相等，任意兩個單位向量，只能確定長度相等，所以②錯誤；對于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯誤；對于④，因為為空間向量的一個基底，所以不共面，故也不共面，所以構(gòu)成空間的另一個基底，所以④正確.故選：B.2.袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（）A.A與B是互斥事件 B.A與B不是相互獨立事件C.B與C是對立事件 D.A與C是相互獨立事件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨立事件的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯；不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊懀允录褪录幌嗷オ毩ⅲ蔅正確；事件的對立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯；事件與事件為對立事件，故D錯.故選：B.3.“”是“直線和直線互相垂直”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出兩條直線垂直的充要條件，再根據(jù)所得條件和已知條件的關(guān)系可得兩者的條件關(guān)系.【詳解】直線和直線的充要條件為即，可以推出，但推不出，故“”是“直線和直線互相垂直”的必要而不充分條件，故選：B.4.在空間四邊形中，若分別是的中點，是上的點，且，記，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理將用表示，從而可求出的值，進而可求得答案.【詳解】連接，因為，分別是的中點，所以，故．故選：A5.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，則點到直線的距離為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點到直線距離的向量坐標(biāo)公式計算即可求解.詳解】根據(jù)題意，，則，設(shè)向量是直線的單位方向向量，，，則點C到直線AB的距離為.故選：A.6.已知動點在所在平面內(nèi)運動，若對于空間中不在平面上的任意一點，都有，則實數(shù)的值為（）A.0 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由三點共面得到系數(shù)之和為，從而解出的值.【詳解】因為，動點在所在平面內(nèi)運動，所以，解得．故選：B．7.已知正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的方法求線面角.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則A2,0,0，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則∴可取.設(shè)直線與平面所成角的，則，于是直線與平面所成角的余弦值為.故選：A.8.直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負(fù)進行判斷．【詳解】對B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負(fù)的情況.故B錯.當(dāng)時，和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項滿足.故選：D二、多選題（本題共3小題，每題6分，共18分；全部選對得6分，多選對多得分，選錯得0分）9.已知空間向量，，則下列選項中正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用空間向量平行的性質(zhì)即可判斷；對于B，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷；對于C，根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算計算出，利用模長公式計算，從而得以判斷；對于D，利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可判斷.【詳解】對A，，存在實數(shù)，使得，則，即，解得，，故A正確；對B，，，即，解得，故B錯誤；對C，當(dāng)時，，，，故C正確；對D，當(dāng)時，，，，故D正確.故選：ACD.10.下列描述正確的是（）A.若事件，相互獨立，，，則B.若三個事件，，兩兩獨立，則滿足C.若，，則事件，相互獨立與，互斥一定不能同時成立D.必然事件和不可能事件與任意事件相互獨立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的概念及乘法公式直接可判斷.【詳解】A選項：由，，則，，又事件，相互獨立，則，A選項正確；B選項：若三個事件，，兩兩獨立，由獨立事件的乘法公式，，，無法確定，B選項錯誤；C選項：，，若事件，相互獨立則，若事件，互斥，則，C選項正確；D選項：設(shè)任意事件發(fā)生的概率為，必然事件事件發(fā)生的概率為，不可能事件發(fā)生的概率為，則，，D選項正確；故選：ACD.11.下列說法正確的是（）A.直線恒過點B.經(jīng)過點，且在軸上截距相等的直線方程為C.已知，點在軸上，則的最小值是5D.若直線過點，且與軸的正半軸分別交于兩點，為坐標(biāo)原點，則面積的最小值為12【答案】ACD【解析】【分析】對于，將直線化簡，列出方程，求得定點；對于B，設(shè)出直線方程根據(jù)截距相等列出方程，求解即可；對于C，找對稱點進行轉(zhuǎn)化；對于D，設(shè)出直線方程，把三角形的面積表示出來，求最值即可.【詳解】對于，整理，得，令，解得所以直線恒過點，故正確.對于，可知所求直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則它的方程為.令，得，即該直線在軸上的截距為；令，得，即該直線在軸上截距為.因為該直線在軸上的截距相等，所以，解得，所以所求直線的方程為或，B錯誤.對于C，點關(guān)于軸的對稱點為，連接交軸于點，點是軸上任意一點，連接，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點與重合時，等號成立，因此，C正確.對于D，直線與軸的正半軸分別交于兩點，可知直線的斜率為負(fù)數(shù)，設(shè)直線，令，得，令，得，可知，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積的最小值為12，D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，，夾角為，則__________．【答案】【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積，結(jié)合空間向量夾角公式列式求解作答.【詳解】由，，得，，由，夾角為，得，解得，所以.故答案為：13.已知甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至多有一人命中的概率為______.【答案】0.45##【解析】【分析】利用獨立事件的乘法公式、對立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可.【詳解】甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則沒有人命中的概率為，恰有一人命中的概率為，所以至多有一人命中的概率為.故答案為：0.4514.已知點，，直線是過點且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是____________【答案】【解析】【分析】利用斜率計算公式可得，，根據(jù)直線過點且與線段相交，數(shù)形結(jié)合即可求出直線的斜率的取值范圍．【詳解】因為，，，所以，．直線過點且與線段相交，如下圖所示：或，直線的斜率的取值范圍是：．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.（1）已知，，求邊的垂直平分線的方程.（2）求過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距是互為相反數(shù)的直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求得中點坐標(biāo),根據(jù)垂直的斜率關(guān)系可求得直線的斜率,進而利用點斜式求得直線方程,化簡為一般式即可.（2）討論截距是否為0:當(dāng)截距為0時,可設(shè)正比例函數(shù),代入點求解;當(dāng)截距不為0時,設(shè)截距式,代入點坐標(biāo)即可求得參數(shù),進而得直線方程.【詳解】（1）因為,則中點坐標(biāo)為根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系可得所以由點斜式可得化簡得（2）當(dāng)截距為0時,設(shè)直線方程為代入可得則此時當(dāng)截距不為0時,設(shè)直線方程為代入可得解得,即化簡可得綜上可知,直線方程為或【點睛】本題考查了點斜式方程的用法,截距相同時,注意討論截距是否為0,屬于基礎(chǔ)題.16.在試驗“袋中有白球3個（編號為1，2，3）、黑球2個（編號為1，2），這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為，，，摸到黑球的結(jié)果分別記為，．求：（1）取到的兩個球都是白球的概率；（2）取到的兩個球顏色相同的概率；（3）取到的兩個球至少有一個是白球的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）（2）（3）根據(jù)題意列出試驗的樣本空間，利用古典概率模型概率計算公式進行計算即可.【小問1詳解】由前面的分析可知試驗的樣本空間，共有20個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，可用古典概型來計算概率．設(shè)事件A表示“取到的兩個球都是白球”，則，共含有6個樣本點，所以，即取到的兩個球都是白球的概率為；【小問2詳解】設(shè)事件B表示“取到的兩個球顏色相同”，則，共含有8個樣本點，所以，即取到的兩個球顏色相同的概率為；【小問3詳解】設(shè)事件C表示“取到的兩個球至少有一個是白球”，則，共含有18個樣本點，所以，即取到的兩個球至少有一個是白球的概率為.17.如圖，四邊形是正方形，平面，，，分別為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大小；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判斷定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量來求解即可；（3）在（2）建立的坐標(biāo)系下利用向量法求解即可.【小問1詳解】由題意分別為中點，所以是的中位線，即，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由于四邊形是正方形，平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：又，分別為的中點，則，所以；設(shè)平面的一個法向量m=x則，解得，令，得；即，設(shè)平面的一個法向量為n=x則，解得，令，即；設(shè)平面與平面夾角的大小為，所以，又，所以；即平面與平面夾角的大小為；【小問3詳解】由（2）平面的一個法向量為；又，所以點到與平面的距離距為：.18.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點生產(chǎn)口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：40,50，50,60，60,70，…，90,100，得到如下頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；（3）現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進一步的質(zhì)量分析，試求這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.【答案】（1）（2）平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形面積之和為1，列出方程求解，即可得出答案；（2）根據(jù)平均數(shù)公式計算即可得出平均數(shù)；根據(jù)已知得出質(zhì)量指標(biāo)值位于、之間的頻率，然后列出方程，求解即可得出答案；（3）先根據(jù)已知得出一等、二等品口罩的個數(shù)，求出抽樣比，得出各品級口罩應(yīng)抽取的數(shù)目.進而列舉得出所有可能的樣本點以及事件“這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品”包含的樣本點個數(shù)，根據(jù)古典概型公式，即可得出答案.【小問1詳解】由，得.【小問2詳解】平均數(shù)為.設(shè)中位數(shù)為，質(zhì)量指標(biāo)值位于之間的頻率為0.4，位于之間的頻率為0.7，所以，，且，解得