專題11二元二次方程組的、列方程（組）解應用題（5大考點+5種題型）思維導圖核心考點與題型分類聚焦考點一：二元二次方程考點二：二元二次方程組考點三：二元二次方程組的解法考點四：一元二次方程的應用考點五：分式方程的應用考點一：二元二次方程考點二：二元二次方程組考點三：二元二次方程組的解法(1)解二元二次方程組的基本思想：是消元和降次.(2)題型一：解方程組即方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.方法：代入消元法；一般步驟：①將方程組中二元一次方程的一個未知數用另一個未知數的代數式表示；②將這個未知數所表示的代數式代入二元二次方程中，得到關于另一個未知數的一元二次方程；③解這個一元二次方程；④將求得的兩個解分別代入二元一次方程，求相應的另一個未知數的值；⑤把相應的兩組解寫出來，即是原方程組的解.(3)題型二：解方程組（其中一個方程可以分解為兩個一次因式積等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程組化為兩個分別由一個二元一次方程和一個二元二次方程所組成的方程組，然后分別求解.考點四：一元二次方程的應用1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗和作答．2、列一元二次方程解應用題中常見問題：（1）數字問題：個位數為a，十位數是b，則這個兩位數表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數量/原數量×100%．如：若原數是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數×（1+增長百分率）2＝后來數．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程．（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解．【規律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系．2．設：根據題意，可以直接設未知數，也可以間接設未知數．3．列：根據題中的等量關系，用含所設未知數的代數式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準確求出方程的解．5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．6．答：寫出答案．考點五：分式方程的應用1、列分式方程解應用題的一般步驟：設、列、解、驗、答．必須嚴格按照這5步進行做題，規范解題步驟，另外還要注意完整性：如設和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關系，如行程問題：速度＝路程時間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時間等等．列分式方程解應用題一定要審清題意，找相等關系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能力．題型一：二元二次方程【例1】．（2022秋·上海·八年級校考階段練習）寫出一個二元二次方程_______________，使得該方程有一個解是．【答案】（答案不唯一）【分析】此題為開放型的題目，答案不唯一，根據二元二次方程的定義及該方程的解直接寫出方程即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題考查二元二次方程的定義，方程的解，理解方程的解和二元二次方程的定義是解題的關鍵．【變式1】．（2022秋·上海·八年級校考期中）二元二次方程可以化為兩個一次方程，它們是______．【答案】x6y=0或x+y=0【分析】把y看成常量，方程就是關于x的一元二次方程，利用因式分解法化為兩個一次方程即可．【詳解】解：x25xy6y2=0，（x6y）（x+y）=0，∴x6y=0或x+y=0．故答案為：x6y=0或x+y=0．【點睛】本題考查了二元二次方程，把y看成常量，方程看成關于x的一元二次方程是解決本題的關鍵．題型二：二元二次方程組【例2】．（2022秋·上海·八年級校考階段練習）下列方程組中是二元二次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】含有兩個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程組是二元二次方程組，根據定義逐一分析即可．【詳解】解：不符合整式方程組的條件，故A不符合題意；不符合整式方程組的條件，故B不符合題意；的最高次項的次數是1，故C不符合題意；符合二元二次方程組的條件，故D符合題意；故選D【點睛】本題考查二元二次方程組的識別，掌握該定義是求解本題的關鍵．【變式1】．（2022秋·上海浦東新·八年級校考期中）方程組的解的情況是（

）A．有兩組相同的實數解 B．有兩組不同的實數解C．沒有實數解 D．不能確定【答案】B【分析】首先運用代入法，將方程組進行變形，然后利用根的判別式即可判定.【詳解】將①代入②，得故方程有兩組不同的實數解，故選：B.【點睛】此題主要考查二元二次方程組的求解，熟練掌握，即可解題.【變式2】．（2022春·上海靜安·八年級新中初級中學校考期末）寫出一個由二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組___________，使它的解是和．【答案】（答案不唯一）【分析】根據方程組的解可得，再由平方差公式得到，則可寫出滿足條件的一個方程組為．【詳解】解：方程組的解為和，，，方程組可以是，故答案為：答案不唯一）．【點睛】本題考查二元二次方程組，熟練掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根據所給的條件寫出符合題意的方程組是解題的關鍵．【變式3】．（2022秋·上海浦東新·八年級校考期中）方程組的解只有一組，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據條件表示方程組的解，再求的范圍．【詳解】解：，由，得或，，．當時，代入得：，原方程組的一組解為：，當時，代入得：，原方程只有一組解，無解，．．故答案為：．【點睛】本題考查二元二次方程組的解，根據第一個方程，求得，是解題的關鍵．題型三：二元二次方程組的解法【例3】．（2022秋·上海·八年級期中）解方程組.【答案】，，，．【分析】先把方程組轉化成兩個二元二次方程組，再求出兩個方程組的解即可．【詳解】解：由原方程組變形得：，

由①變形得：y=x，把y=x代入②得：，解得，把代入②解得：，所以解為：，，由③變形得：y=x，把y=x代入②得：，解得，把代入②解得：，所以解為：，，綜上所述解為：，，，．【點睛】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉化成二元二次方程組是解此題的關鍵．【變式1】．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期末）解方程組：【答案】或【分析】根據①得，即或，分別與②聯立解方程組即可求解．【詳解】解：由①得，則或，∴或，解得：或．【點睛】本題考查了解二元二次方程組，正確的計算是解題的關鍵．【變式2】．（2022秋·上海浦東新·八年級校考期中）解方程組：．【答案】【分析】設，，解關于a、b的方程組求出的a、b值，再列出關于x和y的方程組求解即可.【詳解】解：設，，則原方程組化為：，解得：，即，解得：，經檢驗是原方程組的解，所以原方程組的解是．【點睛】本題考查換元法解分式方程組，以及二元一次方程組的解法，掌握換元法是解答本題的關鍵.【變式3】．（2022秋·上海·八年級校考期中）解方程組：【答案】，【分析】由①可知代入②可得一個關于x的一元二次方程，進行解答，求出x值，再進一步求y即可．【詳解】由得：，代入化簡得，解得，，分別將，代入，得，．原方程組的解為．【點睛】本題考查了解二元二次方程組，掌握十字相乘法，把原方程組轉化為兩個二元一次方程組是解決本題的關鍵．【變式4】．（2022秋·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學校考階段練習）解方程組：【答案】【分析】把方程①因式分解得出x與y的關系式，分別帶入方程②即可解得．【詳解】由①得x=y，x=6y把x=y帶入②得把x=6y帶入②得【點睛】此題考查了求方程組的解，解題的關鍵是對方程用十字交叉法進行因式分解．【變式5】．（2022秋·上海·八年級上海市市西初級中學校考期中）“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數學家劉徽在《九章算術》對方程一詞給出的注釋．對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”：②若兩個方程有相同的整數解，則稱這兩個方程為“相伴方程”．(1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由；(2)已知關于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請寫出它們的公共解；如果不是，請說明理由；(3)已知關于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數）是“相伴方程”，求k的值.【答案】(1)分式方程與無理方程是“相似方程”，理由見解析；(2)和，它們是“相似方程”，公共解為(3)或或【分析】（1）分別求出分式方程和無理方程的解，然后根據“相似方程”的定義進行判斷即可；（2）聯立兩個兩個方程，求出它們的公共解，如果只有唯一解，即說明兩個方程是“相似方程”，如果沒有唯一解則說明兩個方程不是“相似方程”；（3）聯立兩個方程得到，再分當時，當時，兩種情況討論求解即可．(1)解：分式方程與無理方程是“相似方程”，理由如下：兩邊用時乘以得：，∴，∴，∴或，經檢驗和都是原方程的解；∵，∴，∴，∴，解得或，∴分式方程與無理方程有一個相同的解，∴分式方程與無理方程是“相似方程”；(2)解：聯立得：，∴，∴，∴，∴原方程組的解為，∴方程和方程有一個公共解，∴和，它們是“相似方程”，公共解為(3)解：∵關于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數）是“相伴方程”，∴，∴，當時，即不符合題意；當時，則，∵x、y都是整數，∴或或【點睛】本題主要考查了解分式方程，解無理方程，解二元二次方程，解二元一次方程組等等，正確理解題意是解題的關鍵．題型四：．一元二次方程的應用【例4】．（2023秋?黃浦區期末）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．問當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？【分析】設每件商品應降價元，則每件商品的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，根據每天的銷售利潤每件的銷售利潤平均每天的銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結合每件商品盈利不少于25元，即可確定的值．【解答】解：設每件商品應降價元，則每件商品的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，依題意得：，整理得：，解得：，．要求每件盈利不少于25元，應舍去，故為所求．答：每件商品應降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式1】．（2023春?長寧區校級月考）某商店以每件20元的價格購進一批文具盒，然后以每只30元的價格出售，結果每周可以售出400只，后來經過市場調查發現：當單價每提高0.5元，每周銷售量會少10只，如果某一周銷售這種文具盒的總利潤是4500元，那么這周每只文具盒的售價為多少元？【分析】設這周每只文具盒的售價為元，則每只文具盒的利潤為元，銷量為只，根據總利潤是4500元列出方程，即可求解．【解答】解：設這周每只文具盒的售價為元，由題意知：，整理得，解得，即這周每只文具盒的售價為35元．【點評】本題考查一元二次方程的實際應用，找準等量關系，列出一元二次方程是解題的關鍵．【變式2】．（2021春?浦東新區期中）聯華超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷，銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件，設二、三這兩個月月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個月的月平均增長率．（2）從四月份起，聯華超市決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，銷售單價與月平均銷售的關系如下表：銷售單價（元34353637383940月平均銷售量（件430425420415410405400若要使利潤達到4250元，且盡可能多的提升月平均銷售量，則銷售單價應定為多少元？【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：256件；設2月份到3月份銷售額的月平均增長率，則二月份的銷售量為：；三月份的銷售量為：，又知三月份的銷售量為：400元，由此等量關系列出方程求出的值，即求出了平均增長率；（2）利用銷量每件商品的利潤求出即可．【解答】解：（1）設二、三這兩個月的月平均增長率為，根據題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：二、三這兩個月的月平均增長率為．（2）由表可知：該商品每降價1元，銷售量增加5件，設當商品降價元時，商品獲利4250元，根據題意可得：，解得：，（不合題意舍去），元．答：銷售單價應定為35元，商品獲利4250元．【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，本題的關鍵在于理解題意，找到等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．【變式3】．（2021春?浦東新區月考）阿里巴巴電商扶貧對某貧困地區一種特色農產品進行網上銷售，按原價每件300元出售，一個月可賣出100件，通過市場調查發現，售價每件每降低10元，月銷售件數增加20件．已知該農產品的成本是每件200元，在保持月利潤不變的情況下，盡快銷售完畢，則售價應定為多少元？【分析】根據月利潤每件利潤月銷售量，可求出售價為300元時的原利潤，設售價應定為元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，根據月利潤每件利潤月銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【解答】解：設售價應定為元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，依題意，得：，整理，得：，解得：，（舍去）．答：售價應定為250元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．題型五：分式方程的應用【例5】．（2023春?楊浦區期末）近年來，我國逐步完善養老金保險制度．甲、乙兩人計劃分別繳納養老保險金12萬元和8萬元，雖然甲計劃每年比乙計劃每年多繳納養老保險金0.1萬元，但是甲計劃繳納養老保險金的年數還是比乙要多4年，已知甲、乙兩人計劃繳納養老保險金的年數都不超過20年，求甲計劃每年繳納養老保險金多少萬元？【分析】設甲計劃每年繳納養老保險金萬元，則乙計劃每年繳納養老保險金萬元，根據甲計劃繳納養老保險金的年數比乙要多4年，可列出關于的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論．【解答】解：設甲計劃每年繳納養老保險金萬元，則乙計劃每年繳納養老保險金萬元，根據題意得：，整理得：，解得：，，經檢驗，，均為所列方程的解，不符合題意，舍去，符合題意．答：甲計劃每年繳納養老保險金0.6萬元．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【變式1】．（2023春?松江區期末）松江區于4月22日，舉辦“”上海余山半程馬拉松比賽．主辦方打算為參賽選手定制一批護膝，并交由廠家完成．已知廠家要在規定的天數內生產3600對護膝，但由于參賽選手臨時增加，不但要求廠家在原計劃基礎上增加的總量，而且還要比原計劃提前3天完成．經預測，要完成新計劃，平均每天的生產總量要比原計劃多20對，求原計劃每天生產多少對護膝．【分析】設原計劃每天生產對護膝，實際每天生產對護膝，利用工作時間工作總量工作效率，結合實際比計劃提前3天完成，可列出關于的分式方程，解答檢驗即可．【解答】解：設原計劃每天生產對護膝，則實際每天生產對護膝，根據題意，可列方程，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），經檢驗，當時，，是原方程的解，答：原計劃每天生產100對護膝．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【變式2】．（2022春?靜安區校級期中）甲、乙兩城間的鐵路路程為1600千米，經過技術改造，列車實施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米時，列車從甲城到乙城行駛時間減少4小時，這條鐵路在現有條件下安全行駛速度不得超過140千米時，請你用學過的知識說明在這條鐵路的現有條件下列車是否還可以再次提速．【分析】提速前后路程沒變，關鍵描述語為：“列車從到地行駛的時間減少了”；等量關系為：提速前的列車所用時間提速后的列車所用時間．【解答】解：設提速前的列車速度為．則：．解之得：．經檢驗，是原方程的解．所以，提速前的列車速度為．因為．所以可以再提速．【點評】考查了分式方程的應用．分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．【變式3】．（2023春?浦東新區校級期末）甲、乙兩位同學同時從學校出發，騎自行車前往距離學校10千米的郊野公園．已知甲同學比乙同學平均每小時多騎行2千米，甲同學在路上因事耽擱了15分鐘，結果兩人同時到達公園．問：甲、乙兩位同學平均每小時各騎行多少千米？【分析】設乙平均每小時騎行千米，則甲平均每小時騎行千米，根據題意可得，同樣20千米的距離，乙比甲多走30分鐘，據此列方程求解．【解答】解：設乙平均每小時騎行千米，則甲平均每小時騎行千米，由題意得，，解得：，，經檢驗：，都是原方程的根，但，不符合題意，故舍去，則甲平均每小時騎行千米．答：甲平均每小時騎行10千米，乙平均每小時騎行8千米．【點評】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解，注意檢驗．一、單選題1．（2023下·上海·八年級專題練習）下列方程組中是二元二次方程組的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】含有兩個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程組是二元二次方程組，根據定義逐一分析即可．【詳解】解：不符合整式方程組的條件，故A不符合題意；不符合整式方程組的條件，故B不符合題意；的最高次項的次數是1，故C不符合題意；符合二元二次方程組的條件，故D符合題意；故選D【點睛】本題考查二元二次方程組的識別，掌握該定義是求解本題的關鍵．2．（2023下·上海寶山·八年級統考期末）上海市16個區共約1326條健身步進和綠道，甲、乙兩人沿著總長度為9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分鐘走完全程，如果設乙的速度為x千米/時，那么下列方程中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意可直接進行求解．【詳解】解：由題意得：．故選：D．【點睛】本題主要考查分式方程的應用，熟練掌握分式方程的應用是解題的關鍵．3．（2023下·八年級單元測試）方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將分解因式，將x?y＝1代入可得x＋y＝3，據此可求出x，y．【詳解】解：由得：（x＋y）（x?y）＝3，∵x?y＝1①，∴x＋y＝3②，由①＋②得2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入x?y＝1得y＝1，∴方程組的解為，故選：A．【點睛】本題考查解二元二次方程組，解題的關鍵是將二次方程通過因式分解和整體代換轉化為解二元一次方程組．4．（2023下·上海·八年級專題練習）“綠水青山就是金山銀山”．某工程隊承接了60萬平方米的荒山綠化任務，為了迎接雨季的到來，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了，結果提前30天完成了這一任務．設實際工作時每天綠化的面積x萬平方米，則下面所列方程中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了分式方程的實際應用．設實際工作時每天綠化的面積x萬平方米，根據工作時間工作總量工作效率，結合提前30天完成任務，即可得出關于x的分式方程．【詳解】解：設實際工作時每天綠化的面積x萬平方米，則原計劃每天綠化的面積萬平方米，依題意得：即．故選：C．5．（2023下·上海·八年級專題練習）二元二次方程組的解的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出結論．【詳解】解：，由①得x＝﹣1或y＝2，當x＝﹣1時，代入②得∶y＝1，當y＝2時，代入②得∶x＝±，所以方程組的解或或．故選：C．【點睛】本題主要考查解方程的能力，體現數學中化歸思想，消元和降次是解此類問題的關鍵．6．（2023下·上海浦東新·八年級上海市進才中學北校校考階段練習）方程組有實數解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】①②得出，求出，根據方程組有實數解得出，再求出k的取值范圍即可．【詳解】解：，①②，得，即，∵方程組有實數解，∴一元二次方程有實數根，∴，解得：，故選：D．【點睛】本題考查了解高次方程組和一元二次方程根的判別式，方程組消元轉化成一元二次方程是解此題的關鍵．二、填空題7．（2023下·八年級單元測試）已知方程組，消去y，化簡后所得到的方程是．【答案】【分析】利用代入消元法即可消去y．【詳解】解：，由①得：③，將③代入②得：，化簡得：，故答案為：．【點睛】本題考查了代入消元法，解題關鍵是通過變形將y轉化為含有x的式子．8．（2023下·上海·八年級上海民辦南模中學校考階段練習）寫出一個二元二次方程組，使它的的解是和．【答案】（答案不唯一）【分析】根據方程組的解可得，，則可寫出滿足條件的一個方程組為（答案不唯一）．【詳解】解：方程組的解為和，，，方程組可以是，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了高次方程組，能熟記二元二次方程組的定義是解此題的關鍵，方程組中共含有兩個不同的未知數，并且所含未知數的項的最高次數是2的整式方程組，叫二元二次方程組．9．（2023下·上海浦東新·八年級統考期末）寫出二元二次方程的一對整數解是．【答案】（任意寫一組即可）【分析】根據整數解的條件先確定正整數解，再確定負整數解及其他即可．【詳解】解：∵，∴其整數解為或或或或或或或；故答案為：（任意寫一組即可）【點睛】本題考查的是二元二次方程的整數解，熟練的求解二元二次方程的整數解是解本題的關鍵．10．（2023下·八年級單元測試）把方程組，化成兩個二元二次方程組是．【答案】，（答案不唯一）【分析】可以把①×2得到③，用③和②組成一個新的二元二次方程組，把②×2得到④，用①和④組成一個新的二元二次方程組即可【詳解】解：用①×2得：，②×2得，∴②③組成新方程組為：；∴①④組成新的方程組為：，故答案為：，（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了二元二次方程組，熟知相關知識是解題的關鍵．11．（2023下·八年級單元測試）方程組的解只有一組，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據條件表示方程組的解，再求的范圍．【詳解】解：，由，得或，，．當時，代入得：，原方程組的一組解為：，當時，代入得：，原方程只有一組解，無解，．．故答案為：．【點睛】本題考查二元二次方程組的解，根據第一個方程，求得，是解題的關鍵．12．（2023下·八年級單元測試）把方程化為兩個二元一次方程，它們是和．【答案】【分析】先把方程左邊分解得到，則原方程可轉化為或．【詳解】解：∵，∴，∴或．故答案為：；．【點睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法，解題的關鍵是通常利用換元法或因式分解法把高次方程化為一元二次方程求解．13．（2023下·上海·八年級專題練習）已知二元二次方程組有一組解是，寫出一個符合上述條件的二元二次方程組為．【答案】（答案不唯一）【分析】分別列兩個方程代入x，y的值就可以．【詳解】解：把代入符合要求；故答案為：．【點睛】本題考查了二元二次方程組定義，方程組的解，解題關鍵x，y都能使兩個方程左右值相等．14．（2023下·上海·八年級專題練習）甲乙兩人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完，如設甲、乙兩人單獨加工完成這批零件各需x天．y天可列方程組為．【答案】【分析】根據“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一個等量關系；根據“如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完”得到第二個等量關系，據此列出方程組即可．【詳解】解：由題意，得，故答案為：．【點睛】此題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找出題目中的等量關系，工程問題中常用的關系式有：工作時間=工作總量÷工作效率．15．（2023下·上海·八年級期中）某工人要完成個零件，起初機器出現故障，每分鐘比原計劃少加工個零件，加工個零件后，換了一臺新機器，每分鐘比原計劃多加工個零件．已知用新機器加工零件的時間比前面用舊機器加工零件的時間少分鐘，設原計劃每分鐘加工個零件，則可列方程為：．【答案】【分析】根據題意可知：用新機器加工零件的時間比前面用舊機器加工零件的時間少分鐘，即可列出相應的分式方程．【詳解】解：由題意可得：，故答案為：．【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程．三、解答題16．（2023下·上海黃浦·八年級統考期末）解方程組：【答案】或【分析】由②得從而將原方程組化成兩個二元一次方程組，分別求二元一次方程組的解即可．【詳解】解：由②得：，∴，即或，∴原方程組可化為兩個二元一次方程組，，解得：解得：所以原方程組的解是，．【點睛】本題考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解題的關鍵．17．（2023下·上海虹口·八年級上外附中校考期末）．【答案】，．【分析】①②得③，由①得或，和③組成方程組，再得出答案即可．【詳解】解：．①②得③，由①得，解得或，和③組成方程組，或，解，得，，解，整理得，沒有實數解，故方程組的解為，．【點睛】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉化成二元一次方程組是解此題的關鍵．18．（2023下·上海虹口·八年級上外附中校考期末）．【答案】，．【分析】由①②得，代入②得出或，和③組成方程組，再得出答案即可．【詳解】解：，①②得③，即，把代入②得，整理得，∴或，和③組成方程組，和，解，得，無實數解，，得，．故方程組的解為，．【點睛】本題考查了解二元二次方程方程組，能把高次方程組轉化成二元一次方程組是解此題的關鍵．19．（2023下·上海浦東新·八年級校考期末）．【答案】，，，【分析】由于組中的兩個二元二次方程都可以分解為兩個二元一次方程，所以先分解組中的兩個二元二次方程，得到四個二元一次方程，重新組合成四個二元一次方程組，再解答即可．【詳解】解：將①因式分解得：，∴或將②因式分解得：∴或∴原方程化為：，，，解這些方程組得：，，，∴原方程組的解為：，，，．【點睛】本題考查了二元二次方程組的解法，解題的關鍵是利用因式分解法將原方程組轉化為四個方程組．20．（2023下·上海楊浦·八年級統考期末）解方程組：【答案】，【分析】首先對原方程組中的第一個方程進行化簡，用含y的表達式表示出x，然后分別重新組合，成為兩個方程組，最后解這兩個方程組即可．【詳解】解：方程可變形為，即為或，∴原方程組可變形為兩個方程組①，②；解方程組①，得，解方程組②，得，∴原方程組的解為，．【點睛】本題主要考查解二元二次方程組，關鍵在于對原方程組的兩個方程進行化簡，重新組合．21．（2023下·上海靜安·八年級上海市回民中學校考期中）甲、乙兩家便利店到批發站采購一批飲料，共25箱，由于兩店所處的地理位置不同，因此甲店的銷售價格比乙店的銷售價格每箱多10元．當兩店將所進的飲料全部售完后，甲店的營業額為1000元，比乙店少350元，求甲、乙兩店各進貨多少箱飲料？【答案】甲、乙兩店各進貨箱和箱【分析】設甲店進貨x箱，乙店進貨箱，根據“甲店的銷售價格比乙店的銷售價格每箱多10元”列出方程解題即可．【詳解】解：設甲店進貨x箱，乙店進貨箱，列方程得：，解得：或（舍去），經檢驗：是原方程的解，∴乙店進貨（箱）答：甲、乙兩店各進貨箱和箱．【點睛】本題考查分式方程解應用題，注意分式方程需要驗根，解題的關鍵是分析題意出列方程．22．（2023下·上海楊浦·八年級統考期末）近年來，我國逐步完善養老金保險制度．甲，乙兩人計劃分別繳納養老保險金12萬元和8萬元，雖然甲計劃每年比乙計劃每年多繳納養老保險金0.1萬元，但是甲計劃繳納養老保險金的年數還是比乙要多4年，已知甲、乙兩人計劃繳納養老保險金的年數都不超過20年，求甲計劃每年繳納養老保險金多少萬元？【答案】甲計劃每年繳納養老保險金0.6萬元【分析】設乙每年繳納養老保險金為x萬元，則甲每年繳納養老保險金為萬元，根據：甲計劃繳納養老保險金的年數還是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并檢驗后即得答案．【詳解】解：設乙每年繳納養老保險金為x萬元，則甲每年繳納養老保險金為萬元，根據題意可得：，解這個方程，得，經檢驗，都是原方程的根，但是當時，甲計劃繳納養老保險金的年數是年，超過了20年，不合題意，應舍去，萬元；答：甲計劃每年繳納養老保險金0.6萬元．【點睛】本題考查了分式方程的應用，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵．23．（2023下·上海楊浦·八年級校考期中）小正同學帶著48元錢去水果店買水果，看到水果店里的蘋果比梨每千克貴2元，數學能手小正同學發現：如果將48元全部買蘋果就比將48元全部買梨少4千克，最后，小正同學用42元買了這兩種水果，且兩者的千克數相同．(1)這家水果店的蘋果和梨每千克的價格各是多少元？(2)小正同學最終買了多少千克的水果？【答案】(1)蘋果每千克的價格是6元；梨每千克的價格是4元(2)最終購買了千克水果【分析】（1）設這家水果店的蘋果每千克的價格是x元，則梨每千克為元，根據等量關系：48元全部買蘋果就比將48元全部買梨少4千克，列出分式方程求解即可；（2）設梨和蘋果各買了y千克，由題意列出一元一次方程，求解即可．【詳解】（1）解：設這家水果店的蘋果每千克的價格是x元，則梨每千克為元，根據題意得：，解方程得：，，經檢驗，、都是原方程的解，但不符合題意，故舍去，∴（元）；答：這家水果店的蘋果和梨每千克的價格分別是6元與4元；（2）解：設梨和蘋果各買了y千克，由題意得：，解得：，∴（千克），答：最終購買了千克水果．【點睛】本題考查了分式方程與一元一次方程的應用，正確理解題意，找到等量關系列出方程是關鍵．注意分式方程要檢驗．24．（2023下·上海虹口·八年級統考期末）已知甲