20232024學(xué)年普通高中高一（下）期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，是平面，，是直線，下列命題中不正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則3.已知向量，，若與共線且反向，則實(shí)數(shù)值為（）A.4 B.2 C. D.或44.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中各射靶20次，命中環(huán)數(shù)頻率分布條形圖如下．設(shè)甲、乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)分別為，，方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得曲線關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知，，，則的最小值是（）A. B. C. D.7.已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.38.已知邊長為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為（）A.0 B. C. D.3二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一個(gè)平面截正方體所得的截面圖形可以是（）A.等邊三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五邊形10.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.11.在銳角中，設(shè)，，分別表示角，，對邊，，，則下列選項(xiàng)正確有（）A.B.的取值范圍是C.當(dāng)時(shí)的外接圓半徑為D.若當(dāng)變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．12.若函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，對任意，均有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)零點(diǎn)有__________個(gè).14.已知正方體的棱長均為2．以中點(diǎn)為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為________________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求與的夾角；（2）若在方向上的投影向量為，求的值．16.在中，內(nèi)角的對邊分別為的面積為S，已知，且．（1）求；（2）求的取值范圍．17.為迎接冬季長跑比賽，重慶八中對全體高二學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季長跑相關(guān)知識測試，統(tǒng)計(jì)人員從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測試滿分為100分，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績；（2）若在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為74和26，在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為89和106，據(jù)此估計(jì)在內(nèi)的所有學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差．18.已知函數(shù)，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.19.在直角梯形ABCD中，，（如圖1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，連接AC，M，N分別是BD和BC中點(diǎn)（如圖2）．（1）證明：平面平面AMN；（2）記二面角A—BC—D的平面角為θ，當(dāng)平面BCD⊥平面ABD時(shí)，求tanθ的值；（3）若P、Q分別為線段AB與DN上一點(diǎn)，使得（如圖3），令PQ與BD和AN所成的角分別為和，求的取值范圍．

20232024學(xué)年普通高中高一（下）期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】對復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，位于第四象限．故選：D2.已知，是平面，，是直線，下列命題中不正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對于B：兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面，故若，，則，故B正確；對于C：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行，故若，，則，故C正確；對于D：根據(jù)面面垂直的判斷定理可知，若，，則，故D正確；故選：A3.已知向量，，若與共線且反向，則實(shí)數(shù)的值為（）A.4 B.2 C. D.或4【答案】A【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示求出，再結(jié)合反向共線即可得解.【詳解】由向量，共線，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，與同向，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，與反向，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為4.故選：A4.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中各射靶20次，命中環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下．設(shè)甲、乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)分別為，，方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】觀察給定圖表，利用眾數(shù)的意義運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的集中與分散程度判斷即可.【詳解】根據(jù)圖表知，甲?乙命中環(huán)數(shù)的眾數(shù)均為7環(huán)，則；甲運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)比較分散，乙運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)比較集中，則．故選：A5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得曲線關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的圖象特征，結(jié)合五點(diǎn)法作圖列式求出和，再根據(jù)圖象的平移變換，以及圖象的對稱性即可得解.【詳解】由，得，又點(diǎn)及附近點(diǎn)從左到右是上升的，則，由，點(diǎn)及附近點(diǎn)從左到右是下降的，且上升、下降的兩段圖象相鄰，得，聯(lián)立解得，，而，于是，，若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，得到，則，而，因此，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：A6.已知，，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩角和的余弦展開式化簡可得的值，再由兩角和的正切展開式、基本不等式可得答案.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，所以，且，，?dāng)且僅當(dāng)取等號.故選：C.7.已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.8.已知邊長為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為（）A.0 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)，求得，得到，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得，進(jìn)而求得的最大值為.【詳解】由，可得，設(shè)，可得，所以，因?yàn)?，所以，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，且，則，，，當(dāng)時(shí)，.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一個(gè)平面截正方體所得的截面圖形可以是（）A.等邊三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五邊形【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合截面圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，截面是正三角形，如圖甲所示，故A正確；對于B，截面可能是正方形，如圖乙所示，故B正確；對于C，截面可能為梯形，如圖丙所示，故C正確；對于D，截面有可能是五邊形，如圖丁所示，但截面五邊形必有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等，截面五邊形不可能是正五邊形，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.若，，則下列結(jié)論正確是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，由冪函數(shù)性質(zhì)可判斷A;由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷B;由冪函數(shù)性質(zhì)可判斷C;由不等式的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A：∵，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B：∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又∵，∴，∴，即，故B正確；對于選項(xiàng)C：∵，則，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴，∴，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知：，∴，∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在銳角中，設(shè)，，分別表示角，，對邊，，，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.的取值范圍是C.當(dāng)時(shí)的外接圓半徑為D.若當(dāng)變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由對進(jìn)行化簡得，在利用正弦定理可以推出；再由為銳角三角形化簡出的取值范圍，且根據(jù)正弦定理化簡出可判斷出的取值范圍；同樣根據(jù)，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圓半徑；由的取值范圍，且對進(jìn)行化簡得，且，當(dāng)取到最大值時(shí)轉(zhuǎn)化成求出的取值范圍.【詳解】對于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正確；對于B：由正弦定理，則，銳角三角形，則，即，，所以，故B不正確；對于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圓半徑為；故C正確；對于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此時(shí)，當(dāng)有最大值時(shí)，即時(shí)，有最大值為，此時(shí)，，又，，，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用正弦定理得到，再求出角的范圍即可判斷；D選項(xiàng)的關(guān)鍵是充分利用輔助角公式得到其范圍.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上．12.若函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的單調(diào)性可得，即可求解.【詳解】在上為嚴(yán)格增函數(shù)，則，由于，則,故，因此，解得，故答案為：13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，對任意，均有，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)有__________個(gè).【答案】4【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，說明函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，說明的周期是2，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示：如圖所示，共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，即有4個(gè)零點(diǎn).故答案為：4.14.已知正方體的棱長均為2．以中點(diǎn)為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得球與側(cè)面的交線為一段圓弧，即可得到結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，由題意可得，，，在平面內(nèi)取一點(diǎn)，使得，則，且，所以以中點(diǎn)為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線是以為圓心，為半徑的圓弧，且，則，則圓弧的長為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求與的夾角；（2）若在方向上的投影向量為，求的值．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)計(jì)算可得；（2）先求投影向量，然后利用數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】，，即，，，.【小問2詳解】，.16.在中，內(nèi)角的對邊分別為的面積為S，已知，且．（1）求；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理計(jì)算可得，再根據(jù)弦化切計(jì)算即可；（2）利用正弦定理結(jié)合（1）化簡得，再結(jié)合角的范圍及三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．【小?詳解】在中，由正弦定理，得，所以因?yàn)椋裕裕裕吹娜≈捣秶鸀椋?7.為迎接冬季長跑比賽，重慶八中對全體高二學(xué)生舉行了一次關(guān)于冬季長跑相關(guān)知識的測試，統(tǒng)計(jì)人員從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測試滿分為100分，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間內(nèi)，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績；（2）若在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為74和26，在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為89和106，據(jù)此估計(jì)在內(nèi)的所有學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差．【答案】（1）69.5分（2）平均數(shù)80，方差112【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接求平均數(shù)即可；（2）利用平均數(shù)和方差公式直接計(jì)算求解即可.【小問1詳解】由圖表可知，這100名學(xué)生的平均成績?yōu)榉帧拘?詳解】在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為74和26，區(qū)間的學(xué)生頻率為，在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生測試成績的平均數(shù)和方差為89和106，區(qū)間的學(xué)生頻率為，所以在內(nèi)的所有學(xué)生測試成績的平均數(shù)為，方差為18.已知函數(shù)，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，利用正弦函數(shù)的有界性可求得函數(shù)的最大值；（2）求出的取值范圍，由可得出，可得出，進(jìn)而可求得角的值；（3）令，由可求得，由可得出，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為，最大值為；（2），則，，可