20232024學年普通高中高一（下）期末教學質量檢測數學試題本試卷共4頁，19題，滿分150分，考試時間120分鐘．★祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數（為虛數單位）在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知，是平面，，是直線，下列命題中不正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則3.已知向量，，若與共線且反向，則實數值為（）A.4 B.2 C. D.或44.甲、乙兩名運動員在一次射擊訓練中各射靶20次，命中環數頻率分布條形圖如下．設甲、乙命中環數的眾數分別為，，方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，5.已知函數的部分圖象如圖所示，若將函數的圖象向右平移個單位后所得曲線關于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.6.已知，，，則的最小值是（）A. B. C. D.7.已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.38.已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，，則的最大值為（）A.0 B. C. D.3二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一個平面截正方體所得的截面圖形可以是（）A.等邊三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五邊形10.若，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.11.在銳角中，設，，分別表示角，，對邊，，，則下列選項正確有（）A.B.的取值范圍是C.當時的外接圓半徑為D.若當變化時，存在最大值，則正數的取值范圍為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請將答案填在答題卡對應題號的位置上．12.若函數在上為嚴格增函數，則實數的取值范圍是______.13.已知函數是偶函數，對任意，均有，當時，，則函數零點有__________個.14.已知正方體的棱長均為2．以中點為球心，為半徑的球面與側面的交線長為________________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求與的夾角；（2）若在方向上的投影向量為，求的值．16.在中，內角的對邊分別為的面積為S，已知，且．（1）求；（2）求的取值范圍．17.為迎接冬季長跑比賽，重慶八中對全體高二學生舉行了一次關于冬季長跑相關知識測試，統計人員從高二學生中隨機抽取100名學生的成績作為樣本進行統計，測試滿分為100分，統計后發現所有學生的測試成績都在區間內，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計這100名學生的平均成績；（2）若在區間內的學生測試成績的平均數和方差為74和26，在區間內的學生測試成績的平均數和方差為89和106，據此估計在內的所有學生測試成績的平均數和方差．18.已知函數，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個不等的實數根，求的取值范圍.19.在直角梯形ABCD中，，（如圖1），把△ABD沿BD翻折，使得平面BCD，連接AC，M，N分別是BD和BC中點（如圖2）．（1）證明：平面平面AMN；（2）記二面角A—BC—D的平面角為θ，當平面BCD⊥平面ABD時，求tanθ的值；（3）若P、Q分別為線段AB與DN上一點，使得（如圖3），令PQ與BD和AN所成的角分別為和，求的取值范圍．

20232024學年普通高中高一（下）期末教學質量檢測數學試題本試卷共4頁，19題，滿分150分，考試時間120分鐘．★祝考試順利★注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區域均無效．4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數（為虛數單位）在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】對復數進行分母實數化，根據復數的幾何意義可得結果.【詳解】，復數在復平面內對應的點的坐標是，位于第四象限．故選：D2.已知，是平面，，是直線，下列命題中不正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】A【解析】【分析】根據空間中線面、面面的位置關系一一判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或與異面，故A錯誤；對于B：兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故若，，則，故B正確；對于C：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，故若，，則，故C正確；對于D：根據面面垂直的判斷定理可知，若，，則，故D正確；故選：A3.已知向量，，若與共線且反向，則實數的值為（）A.4 B.2 C. D.或4【答案】A【解析】【分析】利用向量共線的坐標表示求出，再結合反向共線即可得解.【詳解】由向量，共線，得，解得或，當時，，，與同向，不符合題意，當時，，，與反向，符合題意，所以實數的值為4.故選：A4.甲、乙兩名運動員在一次射擊訓練中各射靶20次，命中環數的頻率分布條形圖如下．設甲、乙命中環數的眾數分別為，，方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】觀察給定圖表，利用眾數的意義運動員命中環數的集中與分散程度判斷即可.【詳解】根據圖表知，甲?乙命中環數的眾數均為7環，則；甲運動員命中的環數比較分散，乙運動員命中的環數比較集中，則．故選：A5.已知函數的部分圖象如圖所示，若將函數的圖象向右平移個單位后所得曲線關于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定的圖象特征，結合五點法作圖列式求出和，再根據圖象的平移變換，以及圖象的對稱性即可得解.【詳解】由，得，又點及附近點從左到右是上升的，則，由，點及附近點從左到右是下降的，且上升、下降的兩段圖象相鄰，得，聯立解得，，而，于是，，若將函數的圖像向右平移個單位后，得到，則，而，因此，所以當時，取得最小值為.故選：A6.已知，，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩角和的余弦展開式化簡可得的值，再由兩角和的正切展開式、基本不等式可得答案.【詳解】由，得，因為，，所以，且，，當且僅當取等號.故選：C.7.已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根據臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.8.已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，，則的最大值為（）A.0 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】設，求得，得到，以與交點為原點，建立平面直角坐標系，設，求得，進而求得的最大值為.【詳解】由，可得，設，可得，所以，因為，所以，以與交點為原點，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，設，且，則，，，當時，.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一個平面截正方體所得的截面圖形可以是（）A.等邊三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五邊形【答案】ABC【解析】【分析】結合截面圖形的性質逐項判斷即可.【詳解】對于A，截面是正三角形，如圖甲所示，故A正確；對于B，截面可能是正方形，如圖乙所示，故B正確；對于C，截面可能為梯形，如圖丙所示，故C正確；對于D，截面有可能是五邊形，如圖丁所示，但截面五邊形必有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等，截面五邊形不可能是正五邊形，故D錯誤；故選：ABC.10.若，，則下列結論正確是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，由冪函數性質可判斷A;由對數函數性質可判斷B;由冪函數性質可判斷C;由不等式的性質可判斷D.【詳解】對于A：∵，冪函數在上單調遞增，且，∴，故選項A錯誤；對于B：∵，∴函數在上單調遞減，又∵，∴，∴，即，故B正確；對于選項C：∵，則，冪函數在上單調遞減，且，∴，∴，故選項C正確；對于選項D：由選項B可知：，∴，∵，∴，∴，故D錯誤.故選：BC.11.在銳角中，設，，分別表示角，，對邊，，，則下列選項正確的有（）A.B.的取值范圍是C.當時的外接圓半徑為D.若當變化時，存在最大值，則正數的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由對進行化簡得，在利用正弦定理可以推出；再由為銳角三角形化簡出的取值范圍，且根據正弦定理化簡出可判斷出的取值范圍；同樣根據，加上，求出，再利用正弦定理即可求出的外接圓半徑；由的取值范圍，且對進行化簡得，且，當取到最大值時轉化成求出的取值范圍.【詳解】對于A：，且，即，由正弦定理得：，即，或（舍去），，故A正確；對于B：由正弦定理，則，銳角三角形，則，即，，所以，故B不正確；對于C：且，，所以，由正弦定理，求得，即的外接圓半徑為；故C正確；對于D：，且，，即；要使得有最大值，即有最大值，此時，當有最大值時，即時，有最大值為，此時，，又，，，∴的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題B選項的關鍵是利用正弦定理得到，再求出角的范圍即可判斷；D選項的關鍵是充分利用輔助角公式得到其范圍.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，請將答案填在答題卡對應題號的位置上．12.若函數在上為嚴格增函數，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據正切型函數的單調性可得，即可求解.【詳解】在上為嚴格增函數，則，由于，則,故，因此，解得，故答案為：13.已知函數是偶函數，對任意，均有，當時，，則函數的零點有__________個.【答案】4【解析】【分析】轉化為函數的圖象與的圖象的交點個數即可求解.【詳解】函數是偶函數，說明函數的圖象關于軸對稱，說明的周期是2，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象與的圖象，如圖所示：如圖所示，共有4個不同的交點，即有4個零點.故答案為：4.14.已知正方體的棱長均為2．以中點為球心，為半徑的球面與側面的交線長為________________．【答案】【解析】【分析】根據題意，由條件可得球與側面的交線為一段圓弧，即可得到結果.【詳解】取中點，中點，中點，中點，由題意可得，，，在平面內取一點，使得，則，且，所以以中點為球心，為半徑的球面與側面的交線是以為圓心，為半徑的圓弧，且，則，則圓弧的長為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求與的夾角；（2）若在方向上的投影向量為，求的值．【答案】（1）（2）10【解析】【分析】（1）根據數量積的運算和性質計算可得；（2）先求投影向量，然后利用數量積有關性質計算即可.【小問1詳解】，，即，，，.【小問2詳解】，.16.在中，內角的對邊分別為的面積為S，已知，且．（1）求；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理計算可得，再根據弦化切計算即可；（2）利用正弦定理結合（1）化簡得，再結合角的范圍及三角函數的性質計算即可.【小問1詳解】因為，所以，在中，由余弦定理，得，因為，所以，所以，所以，因為，所以．【小問2詳解】在中，由正弦定理，得，所以因為，所以，所以，所以，即的取值范圍為．17.為迎接冬季長跑比賽，重慶八中對全體高二學生舉行了一次關于冬季長跑相關知識的測試，統計人員從高二學生中隨機抽取100名學生的成績作為樣本進行統計，測試滿分為100分，統計后發現所有學生的測試成績都在區間內，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計這100名學生的平均成績；（2）若在區間內的學生測試成績的平均數和方差為74和26，在區間內的學生測試成績的平均數和方差為89和106，據此估計在內的所有學生測試成績的平均數和方差．【答案】（1）69.5分（2）平均數80，方差112【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖直接求平均數即可；（2）利用平均數和方差公式直接計算求解即可.【小問1詳解】由圖表可知，這100名學生的平均成績為分【小問2詳解】在區間內的學生測試成績的平均數和方差為74和26，區間的學生頻率為，在區間內的學生測試成績的平均數和方差為89和106，區間的學生頻率為，所以在內的所有學生測試成績的平均數為，方差為18.已知函數，求：（1）的最小正周期及最大值；（2）若且，求的值；（3）若，在有兩個不等的實數根，求的取值范圍.【答案】（1）函數的最小正周期為，最大值為；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為，利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期，利用正弦函數的有界性可求得函數的最大值；（2）求出的取值范圍，由可得出，可得出，進而可求得角的值；（3）令，由可求得，由可得出，問題轉化為直線與函數在上的圖象有兩個交點，數形結合可得出關于實數的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】（1），所以，函數的最小正周期為，最大值為；（2），則，，可