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20232024學年普通高中高一(下)期末教學質量檢測數學試題本試卷共4頁,19題,滿分150分,考試時間120分鐘.★祝考試順利★注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區域均無效.4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.復數(為虛數單位)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知,是平面,,是直線,下列命題中不正確的是()A.若,,則B.若,,則C.若,,則D.若,,則3.已知向量,,若與共線且反向,則實數值為()A.4 B.2 C. D.或44.甲、乙兩名運動員在一次射擊訓練中各射靶20次,命中環數頻率分布條形圖如下.設甲、乙命中環數的眾數分別為,,方差分別為,,則()A., B.,C., D.,5.已知函數的部分圖象如圖所示,若將函數的圖象向右平移個單位后所得曲線關于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.6.已知,,,則的最小值是()A. B. C. D.7.已知正三棱臺的體積為,,,則與平面ABC所成角的正切值為()A. B.1 C.2 D.38.已知邊長為2的菱形中,點為上一動點,點滿足,,則的最大值為()A.0 B. C. D.3二、多項選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.一個平面截正方體所得的截面圖形可以是()A.等邊三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五邊形10.若,,則下列結論正確的是()A. B.C. D.11.在銳角中,設,,分別表示角,,對邊,,,則下列選項正確有()A.B.的取值范圍是C.當時的外接圓半徑為D.若當變化時,存在最大值,則正數的取值范圍為三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分,請將答案填在答題卡對應題號的位置上.12.若函數在上為嚴格增函數,則實數的取值范圍是______.13.已知函數是偶函數,對任意,均有,當時,,則函數零點有__________個.14.已知正方體的棱長均為2.以中點為球心,為半徑的球面與側面的交線長為________________.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.已知.(1)求與的夾角;(2)若在方向上的投影向量為,求的值.16.在中,內角的對邊分別為的面積為S,已知,且.(1)求;(2)求的取值范圍.17.為迎接冬季長跑比賽,重慶八中對全體高二學生舉行了一次關于冬季長跑相關知識測試,統計人員從高二學生中隨機抽取100名學生的成績作為樣本進行統計,測試滿分為100分,統計后發現所有學生的測試成績都在區間內,并制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計這100名學生的平均成績;(2)若在區間內的學生測試成績的平均數和方差為74和26,在區間內的學生測試成績的平均數和方差為89和106,據此估計在內的所有學生測試成績的平均數和方差.18.已知函數,求:(1)的最小正周期及最大值;(2)若且,求的值;(3)若,在有兩個不等的實數根,求的取值范圍.19.在直角梯形ABCD中,,(如圖1),把△ABD沿BD翻折,使得平面BCD,連接AC,M,N分別是BD和BC中點(如圖2).(1)證明:平面平面AMN;(2)記二面角A—BC—D的平面角為θ,當平面BCD⊥平面ABD時,求tanθ的值;(3)若P、Q分別為線段AB與DN上一點,使得(如圖3),令PQ與BD和AN所成的角分別為和,求的取值范圍.
20232024學年普通高中高一(下)期末教學質量檢測數學試題本試卷共4頁,19題,滿分150分,考試時間120分鐘.★祝考試順利★注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上,并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區域均無效.4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.復數(為虛數單位)在復平面內對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】對復數進行分母實數化,根據復數的幾何意義可得結果.【詳解】,復數在復平面內對應的點的坐標是,位于第四象限.故選:D2.已知,是平面,,是直線,下列命題中不正確的是()A.若,,則B.若,,則C.若,,則D.若,,則【答案】A【解析】【分析】根據空間中線面、面面的位置關系一一判斷即可.【詳解】對于A:若,,則或與異面,故A錯誤;對于B:兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面,故若,,則,故B正確;對于C:垂直于同一條直線的兩個平面互相平行,故若,,則,故C正確;對于D:根據面面垂直的判斷定理可知,若,,則,故D正確;故選:A3.已知向量,,若與共線且反向,則實數的值為()A.4 B.2 C. D.或4【答案】A【解析】【分析】利用向量共線的坐標表示求出,再結合反向共線即可得解.【詳解】由向量,共線,得,解得或,當時,,,與同向,不符合題意,當時,,,與反向,符合題意,所以實數的值為4.故選:A4.甲、乙兩名運動員在一次射擊訓練中各射靶20次,命中環數的頻率分布條形圖如下.設甲、乙命中環數的眾數分別為,,方差分別為,,則()A., B.,C., D.,【答案】A【解析】【分析】觀察給定圖表,利用眾數的意義運動員命中環數的集中與分散程度判斷即可.【詳解】根據圖表知,甲?乙命中環數的眾數均為7環,則;甲運動員命中的環數比較分散,乙運動員命中的環數比較集中,則.故選:A5.已知函數的部分圖象如圖所示,若將函數的圖象向右平移個單位后所得曲線關于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定的圖象特征,結合五點法作圖列式求出和,再根據圖象的平移變換,以及圖象的對稱性即可得解.【詳解】由,得,又點及附近點從左到右是上升的,則,由,點及附近點從左到右是下降的,且上升、下降的兩段圖象相鄰,得,聯立解得,,而,于是,,若將函數的圖像向右平移個單位后,得到,則,而,因此,所以當時,取得最小值為.故選:A6.已知,,,則的最小值是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩角和的余弦展開式化簡可得的值,再由兩角和的正切展開式、基本不等式可得答案.【詳解】由,得,因為,,所以,且,,當且僅當取等號.故選:C.7.已知正三棱臺的體積為,,,則與平面ABC所成角的正切值為()A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一:根據臺體的體積公式可得三棱臺的高,做輔助線,結合正三棱臺的結構特征求得,進而根據線面夾角的定義分析求解;解法二:將正三棱臺補成正三棱錐,與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角,根據比例關系可得,進而可求正三棱錐的高,即可得結果.【詳解】解法一:分別取的中點,則,可知,設正三棱臺的為,則,解得,如圖,分別過作底面垂線,垂足為,設,則,,可得,結合等腰梯形可得,即,解得,所以與平面ABC所成角的正切值為;解法二:將正三棱臺補成正三棱錐,則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角,因為,則,可知,則,設正三棱錐的高為,則,解得,取底面ABC的中心為,則底面ABC,且,所以與平面ABC所成角的正切值.故選:B.8.已知邊長為2的菱形中,點為上一動點,點滿足,,則的最大值為()A.0 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】設,求得,得到,以與交點為原點,建立平面直角坐標系,設,求得,進而求得的最大值為.【詳解】由,可得,設,可得,所以,因為,所以,以與交點為原點,以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則,,,設,且,則,,,當時,.故選:D.二、多項選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.一個平面截正方體所得的截面圖形可以是()A.等邊三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五邊形【答案】ABC【解析】【分析】結合截面圖形的性質逐項判斷即可.【詳解】對于A,截面是正三角形,如圖甲所示,故A正確;對于B,截面可能是正方形,如圖乙所示,故B正確;對于C,截面可能為梯形,如圖丙所示,故C正確;對于D,截面有可能是五邊形,如圖丁所示,但截面五邊形必有兩組分別平行的邊,同時有兩個角相等,截面五邊形不可能是正五邊形,故D錯誤;故選:ABC.10.若,,則下列結論正確是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得,由冪函數性質可判斷A;由對數函數性質可判斷B;由冪函數性質可判斷C;由不等式的性質可判斷D.【詳解】對于A:∵,冪函數在上單調遞增,且,∴,故選項A錯誤;對于B:∵,∴函數在上單調遞減,又∵,∴,∴,即,故B正確;對于選項C:∵,則,冪函數在上單調遞減,且,∴,∴,故選項C正確;對于選項D:由選項B可知:,∴,∵,∴,∴,故D錯誤.故選:BC.11.在銳角中,設,,分別表示角,,對邊,,,則下列選項正確的有()A.B.的取值范圍是C.當時的外接圓半徑為D.若當變化時,存在最大值,則正數的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由對進行化簡得,在利用正弦定理可以推出;再由為銳角三角形化簡出的取值范圍,且根據正弦定理化簡出可判斷出的取值范圍;同樣根據,加上,求出,再利用正弦定理即可求出的外接圓半徑;由的取值范圍,且對進行化簡得,且,當取到最大值時轉化成求出的取值范圍.【詳解】對于A:,且,即,由正弦定理得:,即,或(舍去),,故A正確;對于B:由正弦定理,則,銳角三角形,則,即,,所以,故B不正確;對于C:且,,所以,由正弦定理,求得,即的外接圓半徑為;故C正確;對于D:,且,,即;要使得有最大值,即有最大值,此時,當有最大值時,即時,有最大值為,此時,,又,,,∴的取值范圍為,故D正確.故選:ACD.【點睛】關鍵點點睛:本題B選項的關鍵是利用正弦定理得到,再求出角的范圍即可判斷;D選項的關鍵是充分利用輔助角公式得到其范圍.三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分,請將答案填在答題卡對應題號的位置上.12.若函數在上為嚴格增函數,則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據正切型函數的單調性可得,即可求解.【詳解】在上為嚴格增函數,則,由于,則,故,因此,解得,故答案為:13.已知函數是偶函數,對任意,均有,當時,,則函數的零點有__________個.【答案】4【解析】【分析】轉化為函數的圖象與的圖象的交點個數即可求解.【詳解】函數是偶函數,說明函數的圖象關于軸對稱,說明的周期是2,在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象與的圖象,如圖所示:如圖所示,共有4個不同的交點,即有4個零點.故答案為:4.14.已知正方體的棱長均為2.以中點為球心,為半徑的球面與側面的交線長為________________.【答案】【解析】【分析】根據題意,由條件可得球與側面的交線為一段圓弧,即可得到結果.【詳解】取中點,中點,中點,中點,由題意可得,,,在平面內取一點,使得,則,且,所以以中點為球心,為半徑的球面與側面的交線是以為圓心,為半徑的圓弧,且,則,則圓弧的長為.故答案為:.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.已知.(1)求與的夾角;(2)若在方向上的投影向量為,求的值.【答案】(1)(2)10【解析】【分析】(1)根據數量積的運算和性質計算可得;(2)先求投影向量,然后利用數量積有關性質計算即可.【小問1詳解】,,即,,,.【小問2詳解】,.16.在中,內角的對邊分別為的面積為S,已知,且.(1)求;(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)利用三角形面積公式及余弦定理計算可得,再根據弦化切計算即可;(2)利用正弦定理結合(1)化簡得,再結合角的范圍及三角函數的性質計算即可.【小問1詳解】因為,所以,在中,由余弦定理,得,因為,所以,所以,所以,因為,所以.【小問2詳解】在中,由正弦定理,得,所以因為,所以,所以,所以,即的取值范圍為.17.為迎接冬季長跑比賽,重慶八中對全體高二學生舉行了一次關于冬季長跑相關知識的測試,統計人員從高二學生中隨機抽取100名學生的成績作為樣本進行統計,測試滿分為100分,統計后發現所有學生的測試成績都在區間內,并制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計這100名學生的平均成績;(2)若在區間內的學生測試成績的平均數和方差為74和26,在區間內的學生測試成績的平均數和方差為89和106,據此估計在內的所有學生測試成績的平均數和方差.【答案】(1)69.5分(2)平均數80,方差112【解析】【分析】(1)根據頻率分布直方圖直接求平均數即可;(2)利用平均數和方差公式直接計算求解即可.【小問1詳解】由圖表可知,這100名學生的平均成績為分【小問2詳解】在區間內的學生測試成績的平均數和方差為74和26,區間的學生頻率為,在區間內的學生測試成績的平均數和方差為89和106,區間的學生頻率為,所以在內的所有學生測試成績的平均數為,方差為18.已知函數,求:(1)的最小正周期及最大值;(2)若且,求的值;(3)若,在有兩個不等的實數根,求的取值范圍.【答案】(1)函數的最小正周期為,最大值為;(2);(3).【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換思想化簡函數的解析式為,利用正弦型函數的周期公式可求得函數的最小正周期,利用正弦函數的有界性可求得函數的最大值;(2)求出的取值范圍,由可得出,可得出,進而可求得角的值;(3)令,由可求得,由可得出,問題轉化為直線與函數在上的圖象有兩個交點,數形結合可得出關于實數的不等式,由此可解得實數的取值范圍.【詳解】(1),所以,函數的最小正周期為,最大值為;(2),則,,可
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