2018中考數學試題分類匯編：考點26正方形

一.選擇題（共4小題）

1.（2018?無錫）如圖，已知點E是矩形ABCD的對角線AC上的一動點，正方形EFGH的頂

點G、H都在邊AD上，若AB=3,BC=4,則tan/AFE的值（）

A.等于旦B.等于返

73

C.等于孑D.隨點E位置的變化而變化

4

【分析】根據題意推知EF〃AD,由該平行線的性質推知△AEHSAACD,結合該相似三角形

的對應邊成比例和銳角三角函數的定義解答.

【解答】解：；EF〃AD,

ZAFE=ZFAG,

.,?△AEH^AACD,

,EH_CD_3

AHADT

設EH=3x,AH=4x,

.\HG=GF=3x,

tanNAFE=tan/FAG=°F-―——=—.

AG3x+4x7

故選：A.

2.（2018?宜昌）如圖，正方形ABCD的邊長為1,點E,F分別是對角線AC上的兩點，EG

±AB.EI1AD,FH1AB,FJ±AD,垂足分別為G,I,H,J,則圖中陰影部分的面積等于（）

【分析】根據軸對稱圖形的性質，解決問題即可；

【解答】解：?.?四邊形ABCI）是正方形，

直線AC是正方形ABCD的對稱軸，

VEG±AB.EI1AD,FH±AB,FJ1AD,垂足分別為G,I,H,J.

根據對稱性可知：四邊形EFIIG的面積與四邊形EFJI的面積相等，

=

s陰二正方彩ABCI>—,

故選：B.

3.（2018?湘西州）下列說法中，正確個數有（）

①對頂角相等；

②兩直線平行，同旁內角相等；

③對角線互相垂直的四邊形為菱形；

④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據對頂角的性質，菱形的判定，正方形的判定，平行線的性質，可得答案.

【解答】解：①對頂角相等，故①正確；

②兩直線平行，同旁內角互補，故②錯誤；

③對角線互相垂直且平分的四邊形為菱形，故③錯誤；

④對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形，故④正確，

故選：B.

4.（2018?張家界）下列說法中，正確的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等

B.對角線相等的平行四邊形是正方形

C.相等的角是對頂角

D.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

【分析】根據平行線的性質、正方形的判定、矩形的判定、對頂角的性質、角平分線性質逐

個判斷即可.

【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，內錯角才相等，錯誤，故本選項不符合題

意；

B、對角線相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，錯誤，故本選項不符合題意;

C、相等的角不一定是對頂角，錯誤，故本選項不符合題意；

D、角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，正確，故本選項符合題意；

故選：D.

二.填空題（共7小題）

5.（2018?武漢）以正方形ABCD的邊AD作等邊AADE,則NBEC的度數是30°或150°

【分析】分等邊4ADE在正方形的內部和外部兩種情況分別求解可得.

?.?四邊形ABCD為正方形，4ADE為等邊三角形,

.,.AB=BC=CD=AD=AE=DE,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,ZAED=ZADE=ZDAE=60°,

.,.ZBAE=ZCDE=150°,又AB=AE,DC=DE,

.,.ZAEB=ZCED=15°,

則NBEC=NAED-ZAEB-ZCED=300.

如圖2,

VAADE是等邊三角形,

；.AD=DE,

?.?四邊形ABCD是正方形,

???AD=DC,

???DE=DC,

.\ZCED=ZECD,

AZCDE=ZADC-ZADE=90°-60°=30°,

.,.ZCED=ZECD=—(180°-30°)=75°，

2

.".ZBEC=360°-75°X2-60°=150°.

故答案為：30°或150°.

6.（2018?呼和浩特）如圖，已知正方形ABCD,點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重

合），且AM<AB,Z\CBE由aDAM平移得到.若過點E作EIUAC,H為垂足，則有以下結論:

①點M位置變化，使得/DHC=60°時，2BE=DM；②無論點M運動到何處，都有DM=揚M；

③無論點M運動到何處，/CHM一定大于135°.其中正確結論的序號為①②③.

【分析】先判定△MEH絲△DAH（SAS）,即可得到△DHM是等腰直角三角形，進而得出DM=J見M；

依據當NDHC=60°時，ZADH=60°-45°=15°,即可得到RtZ\ADM中，DM=2AM,即可得到

DM=2BE；依據點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合），且AMVAB,可得NAHMVN

BAC=45",即可得出NCHM>135°.

【解答】解：由題可得，AM=BE,

.,.AB=EM=AD,

?.?四邊形ABCD是正方形,EH±AC,

；.EM=AH,ZAHE=90°,NMEH=/DAH=45°=/EAH,

；.EH=AH,

AAMEH^ADAH（SAS）,

AZMHE=ZDHA,MH=DH,

NMHD=/AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形，

故②正確；

當NDHC=60°時，ZADH=60°-45°=15°,

ZADM=45°-15°=30°,

.?.入△ADM中，DM=2AM,

即DM=2BE,故①正確；

???點M是邊BA延長線上的動點(不與點A重合)，且AM<AB,

AZAHM<ZBAC=45°,

.".ZCHM>135°,故③正確；

故答案為：①②③.

7.（2018?青島）如圖，已知正方形ABCD的邊長為5,點E、F分別在AD、DC上,AE=DF=2,

V34

BE與AF相交于點G,點H為BF的中點，連接GH,則GH的長為.

~~2~

【分析】根據正方形的四條邊都相等可得AB=AD,每一個角都是直角可得/BAE=ND=90°,

然后利用“邊角邊”證明△ABEgaDAF得NABE=/DAF,進一步得NAGE=NBGF=90°,從而

知GH=/BF,利用勾股定理求出BF的長即可得出答案.

【解答】解：；四邊形ABCD為正方形，

AZBAE=ZD=90°,AB=AD,

在AABE和4DAF中，

'AB=AD

?-,<NBAE=ND，

AE=DF

.".△ABE^ADAF(SAS),

???ZABE=ZDAF,

VZABE+ZBEA=90°,

AZDAF+ZBEA=90°,

AZAGE=ZBGF=90°,

丁點H為BF的中點,

???GH二

2

???BC=5、CF=CD-DF=5-2=3,

???BE=VBC2+CF^V34?

???GH=4F二立4,

22

故答案為：運.

2

8.（2018?咸寧）如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，0是坐標原點，點E的坐

標為（2,3）,則點F的坐標為（-1,5）.

【分析】結合全等三角形的性質可以求得點G的坐標，再由正方形的中心對稱的性質求得點

F的坐標.

【解答】解：如圖，過點E作x軸的垂線EH,垂足為H.過點G作x軸的垂線EG,垂足為G,

連接GE、FO交于點0'.

?..四邊形0EFG是正方形，

；.0G=E0,ZGOM=ZOEH,ZOGM=ZEOH,

在△OGM與△EOH中，

'NOGM=NEOH

<OG=EO

ZGOM=ZOEH

/.△OGM^AEOH（ASA）

AGM=0H=2,0M=EH=3,

AG(-3,2).

.,.0,

22

?.?點F與點0關于點M對稱,

...點F的坐標為（-1,5）.

故答案是：（-1,5）.

9.（2018?江西）在正方形ABCD中，AB=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或對角線上一點,

若PD=2AP,則AP的長為2或2J1或.

【分析】根據正方形的性質得出AC1BD,AC=BD,0B=0A=0C=0D,AB=BC=AD=CD=6,ZABC=90°,

根據勾股定理求出AC、BD、求出0A、OB、0C、0D,畫出符合的三種情況，根據勾股定理求

出即可.

【解答】解::四邊形ABCD是正方形，AB=6,

.\AC±BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,ZABC=ZDAB=90°,

在RtaABC中，由勾股定理得：AC=^AB2+BC^62+62=672-

.,.0A=0B=0C=0D=3A/2-

AD

有三種情況：①點P在AD上時,

VAD=6,PD=2AP,

，AP=2；

設AP=x,則DP=2x,

在RtZXDPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2,

（2x）2=（3&）、（3&-x）,，

解得：X=414-JE（負數舍去）,

即AP=V14-&：

設AP=y,則DP=2y,

在RtzMPD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2,

y2+62-（2y）I

解得：y=2百（負數舍去），

即AP=2仃

故答案為：2或2JjN--\/2-

10.（2018?濰坊）如圖，正方形ABCD的邊長為1,點A與原點重合，點B在y軸的正半軸

上，點D在x軸的負半軸上，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°至正方形AB'C'D'的

則點M的坐標為（-1,但）

【分析】連接AM,由旋轉性質知AD=AB'=1、NBAB'=30°、ZB/AD=60°,證Rt^ADM絲

RtZXAB'M得/DAM=L/B'AD=30°,由DM=ADtanNDAM可得答案.

2

?.?將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°得到正方形AB'C'D',

.\AD=AB,=1,/BAB'=30°,

AD=60°，

在RtZ\ADM和RSAB'M中,

.JAD二AB'

.".RtAADM^RtAAB1M（HL）,

/.ZDAM=ZB;AM=—ZBZAD=30°,

2

DM=ADtan/DAM=lXF-遍,

33

.?.點M的坐標為（-1,返），

3

故答案為：（-1,返）.

3

11.（2018?臺州）如圖，在正方形ABCD中,AB=3,點E,F分別在CD,AD上，CE=DF,BE,

CF相交于點G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,則aBCG的周長

為JT^+3.

【分析】根據面積之比得出△BGC的面積等于正方形面積的g,進而依據ABCG的面積以及

6

勾股定理，得出BG+CG的長，進而得出其周長.

【解答】解：???陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,

陰影部分的面積為會9=6,

二空白部分的面積為9-6=3,

由CE=DF,BC=CD,ZBCE=ZCDF=90°,可得4BCEgZXCDF,

/.ABCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為裊3造

22

設BG=a,CG=b,則京=會

XVa2+b2=32,

.".a2+2ab+b2=9+6=15,

即(a+b)2=15,

.,.a+b=V15，即BG+CG=V15-

.二△BCG的周長=任+3,

故答案為：V15+3.

三.解答題（共6小題）

12.（2018?鹽城）在正方形ABCD中，對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE=DF,連

接AE、AF、CE、CF,如圖所示.

（1）求證：AABE絲ZiADF；

(2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

【分析】(1)根據正方形的性質和全等三角形的判定證明即可；

(2)四邊形AECF是菱形，根據對角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷;

【解答】證明：(1)：正方形ABCD,

.\AB=AD,

ZABD=ZADB,

.,.ZABE=ZADF,

在aABE與AADF中

'AB=AD

?ZABE=ZADF-

BE=DF

.,.△ABE^AADF(SAS)；

四邊形AECF是菱形.

理由：???正方形ABCD,

.\OA=OC,OB=OD,AC±EF,

...OB+BE=OD+DF,

即OE=OF,

VOA=OC,OE=OF,

，四邊形AECF是平行四邊形,

VAC±EF,

四邊形AECF是菱形.

13.（2018?吉林）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別在BC,CD上，且BE=CF,求證:

△ABE^ABCF.

【分析】根據正方形的性質，利用SAS即可證明;

【解答】證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

在AABE和ABCF中，

rAB=BC

<NABE=NBCF，

,BE=CF

.,.△ABE^ABCF.

14.（2018?白銀）已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F,G,H分別是BC,BE,

CE的中點.

（1）求證：△BGF絲△FHC；

【分析】（1）根據三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可;

（2）利用正方形的性質和矩形的面積公式解答即可.

【解答】解：（1）;點F,G,H分別是BC,BE,CE的中點，

；.FH〃BE,FH=ZE,FH=BG,

2

ZCFH=ZCBG,

VBF=CF,

.,.△BGF^AFHC,

(2)當四邊形EGFH是正方形時，可得：EFLGH且EF=GH,

?.?在ABEC中，點,H分別是BE,CE的中點，

?*-GH=-^-AD^^-a，且GH〃BC,

AEFIBC,

：AD〃BC,AB±BC,

.,.AB=EF=GH=—a,

2

矩形ABCD的面積=AB，AD=_^_a"a=_^_a、

15.(2018?濰坊)如圖，點M是正方形ABCD邊CD上一點，連接AM,作DELAM于點E,BF

J_AM于點F,連接BE.

(1)求證：AE=BF；

(2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求NEBF的正弦值.

【分析】(1)通過證明△ABFgZ\DEA得到BF=AE；

(2)設AE=x,則BF=x,DE=AF=2,利用四邊形ABED的面積等于aABE的面積與aADE的面

積之和得到?^?x?x+t?x?2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,則EF=x-2=4,然后利用勾股

定理計算出BE,最后利用正弦的定義求解.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABCD為正方形，

；.BA=AD,ZBAD=90°,

；DE_LAM于點E,BF_LAM于點F,

AZAFB=90°,ZDEA=90°,

VZABF+ZBAF=90°,ZEAD+ZBAF=90°,

.,.ZABF=ZEAD,

在aABF和ADEA中

，ZBFA=ZDEA

<NABF=NEAD，

AB=DA

.,.△ABF^ADEA(AAS),

.\BF=AE；

(2)解：設AE=x,則BF=x,DE=AF=2,

,四邊形ABED的面積為24,

A—?x?2=24,解得XF6,X2=-8(舍去)，

22

；.EF=x-2=4,

22=2

在RSBEF中，BE=>/4+6VT3>

EF_4

；.sin/EBF=

BE2A/1313

16.（2018?湘潭）如圖，在正方形ABCD中,AF=BE,AE與DF相交于點0.

（1）求證：ZXDAF絲Z\ABE；

（2）求NA0D的度數.

【分析】（1）利用正方形的性質得出AD=AB,ZDAB=ZABC=90°,即可得出結論;

（2）利用（1）的結論得出/ADF=NBAE,進而求出NADF+NDA0=90°,最后用三角形的內

角和定理即可得出結論.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是正方形,

ZDAB=ZABC=90°,AD=AB,

'AD二AB

在ADAF和aABE中，NDAF=NABE=9O°

AF=BE

AADAF^AABE(SAS),

(2)由(1)知，△DAFZZXABE,

ZADF=ZBAE,

,/ZADF+ZDAO=ZBAE+ZDAO=ZDAB=90°,

...NA0D=180°-(ZADF+DAO)=90°.

17.(2018?遵義)如圖，正方形ABCD的對角線交于點0,點E、F分別在AB、BC上(AE<

BE),且NE0F=90°,OE、DA的延長線交于點M,OF、AB的延長線交于點N,連接MN.

(1)求證：OM=ON.

(2)若正方形ABCD的邊長為4,E為0M的中點，求MN的長.

【分析】(1)證aOAM0ZXOBN即可得；

(2)作0H1AD,由正方形的邊長為4且E為0M的中點知0H=HA=2、HM=4,再根據勾股定理

得0加2旄，由直角三角形性質知MN=加0M.

【解答】解：(1)??,四邊形ABCD是正方形，

/.OA=OB,ZDA0=45°,Z0BA=45°,

/.Z0AM=Z0BN=135°,

VZE0F=90°,ZA0B=90o,

.??ZA0M=ZB0N,

.,.△OAM^AOBN(ASA),

A0M=0N；

(2)如圖，過點0作OHJ_AD于點H,

???正方形的邊長為4,

r.0H=HA=2,

：E為OM的中點,

，HM=4,

則OM=^22+42=2V5,

.?.MN=&M=2近3