2025屆上海市上海理工大附中高二上數學期末預測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是區間上的連續函數，且在內可導，則下列結論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區間上可能沒有極值點D.在區間上可能沒有最值點2．入冬以來，梁老師準備了4個不同的烤火爐，全部分發給樓的三個辦公室（每層樓各有一個辦公室）.1，2樓的老師反映辦公室有點冷，所以1，2樓的每個辦公室至少需要1個烤火隊，3樓老師表示不要也可以.則梁老師共有多少種分發烤火爐的方法（）A.108 B.36C.50 D.863．下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.4．函數的大致圖象為A. B.C. D.5．已知向量，則（）A.5 B.6C.7 D.86．已知數列的前項和，且，則（）A. B.C. D.7．已知數列滿足，且，，則（）A. B.C. D.8．已知函數(且，)的一個極值點為2，則的最小值為（）A. B.C. D.79．“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數，，，，…構成的數列的第項，則的值為（）A. B.C. D.10．《張邱建算經》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問第11日到第20日這10日共織布（）A.30尺 B.40尺C.6尺 D.60尺11．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態下x=0，d=0，則（）A.當x增大時，θ先增大后減小 B.當x增大時，θ先減小后增大C.當d增大時，θ先增大后減小 D.當d增大時，θ先減小后增大12．在矩形中，，在該矩形內任取一點M，則事件“”發生的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設A、B為兩個定點，k為非零常數，若，則動點P的軌跡為雙曲線；②拋物線焦點坐標是；③過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；④曲線與曲線（且）有相同的焦點其中真命題的序號為______（寫出所有真命題的序號．）14．若，且，則的最小值是____________.15．已知B(，0)是圓A：內一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為_________________.16．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則an＝_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前n項和為，當時，；數列中，.直線經過點（1）求數列的通項公式和；（2）設，求數列的前n項和，并求的最大整數n18．（12分）設點P是曲線上的任意一點，k是該曲線在點P處的切線的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當k取最大值時，該曲線在點P處的切線方程19．（12分）如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面，且，點是的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上(不含端點)是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.20．（12分）新冠肺炎疫情發生以來，我國某科研機構開展應急科研攻關，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據普遍規律，志愿者接種疫苗后體內會產生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用表示注射疫苗后的天數，表示人體中抗體含量水平（單位：，即：百萬國際單位/毫升），現測得某志愿者的相關數據如下表所示：天數123456抗體含量水平510265096195根據以上數據，繪制了散點圖.（1）根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數）哪一個更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）的判斷結果求出y關于x的回歸方程，并預測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；（3）從這位志愿者前6天的檢測數據中隨機抽取4天的數據作進一步的分析，記其中的y值大于50的天數為X，求X的分布列與數學期望.參考數據：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.參考公式：用最小二乘法求經過點，，，，的線性回歸方程的系數公式，；.21．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線平面所成的角的正弦值22．（10分）已知圓經過坐標原點和點，且圓心在軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于A、B兩點，求所得弦長的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據連續函數的極值和最值的關系即可判斷【詳解】根據函數的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區間的端點，連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數在區間上單調，則函數在區間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數的極值與最值的概念辨析，屬于容易題2、C【解析】運用分類計數原理，結合組合數定義進行求解即可.【詳解】當3樓不要烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：；當3樓需要1個烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：；當3樓需要2個烤火爐時，不同的分發烤火爐的方法為：，所以分發烤火爐的方法總數為：，故選：C【點睛】關鍵點睛：運用分類計數原理是解題的關鍵.3、C【解析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.【詳解】由直線傾斜角為45°，可知直線的斜率為，對于A，直線斜率為，對于B，直線無斜率，對于C，直線斜率，對于D，直線斜率，故選：C4、D【解析】根據函數奇偶性排除A、C.當時排除B【詳解】解：由可得所以函數為偶函數，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.5、A【解析】利用空間向量的模公式求解.【詳解】因向量，所以，故選：A6、C【解析】由an=Sn-Sn-1,【詳解】解：因為，所以，，兩式相減可得，即，因為，，所以，即，時，也滿足上式，所以，所以，故選：C.7、A【解析】由已知兩個不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【點睛】本題考查數列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數列的項．解題關鍵是利用“兩邊夾”思想求解8、B【解析】求出函數的導數，由給定極值點可得a與b的關系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對求導得：，因函數的一個極值點為2，則，此時，，，因，即，因此，在2左右兩側鄰近的區域值一正一負，2是函數的一個極值點，則有，又，，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為.故選：B9、B【解析】根據楊輝三角可得數列的遞推公式，結合累加法可得數列的通項公式與.【詳解】由已知可得數列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.10、A【解析】由題意可知，每日的織布數構成等差數列，由等差數列的求和公式得解.【詳解】由題女子織布數成等差數列，設第日織布為，有，所以，故選:A.11、C【解析】以F為坐標原點，FB，FG，FE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對于A，B選項，令d=0，則，由函數的單調性可判斷；對于C，D，當x=0時，則，令，利用導函數研究函數的單調性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標原點，FB，FG，FE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示,設正方體的棱長為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設直線l與EF，EH交于點M、N，則，所以，，設平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對于A，B選項，令d=0，則，顯示函數在是為減函數，即減小，則增大，故選項A，B錯誤；對于C，D，對于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當在下方時，，設，則對于給定的，為定值，此時設二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當時，為減函數，故為增函數，當時，為增函數，故為減函數，故先增后減，故D錯誤.當在上方時，，則對于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數，故為減函數，綜上，對于給定的，隨的增大而減少，故選：C.12、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當點M在圓外時，.所以事件“”發生的概率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④##④②【解析】利用雙曲線定義判斷命題①；寫出拋物線焦點判斷命題②；分析點P滿足的關系判斷命題③；按取值討論計算半焦距判斷命題④作答.【詳解】對于①，因雙曲線定義中要求，則命題①不正確；對于②，拋物線化為：，其焦點坐標是，命題②正確；對于③，令定圓C的圓心為C，因，則點P是弦AB的中點，當P與C不重合時，有，點P在以線段AC為直徑的圓上，當P與C重合時，點P也在以線段AC為直徑的圓上，因此，動點P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除A點外)，則命題③不正確；對于④，曲線的焦點為，當時，橢圓中半焦距c滿足：，其焦點為，當時，雙曲線中半焦距滿足：，其焦點為，因此曲線與曲線（且）有相同的焦點，命題④正確，所以真命題的序號為②④.故答案為：②④【點睛】易錯點睛：橢圓長短半軸長分別為a，b，半焦距為c滿足關系式：；雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距分別為、、滿足關系式：，在同一問題中出現認真區分，不要混淆.14、【解析】應用基本不等式“1”的代換求a+4b的最小值即可.【詳解】由，有，則，當且僅當，且，即時等號成立，∴最小值為.故答案為：15、【解析】利用橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】連接，由題意，，則，由橢圓的定義可得動點D的軌跡為橢圓，其焦點坐標為，長半軸長為2，故短半軸長為1，故軌跡方程為：.故答案為：.16、2n【解析】根據數列的通項與前n項和的關系求解即可.【詳解】由題,當時,,當時.當時也滿足.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據數列的通項與前n項和的關系求通項公式的方法,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2），7【解析】（1）根據之間的遞推關系，可寫出。，采用和相減得方法，可求得，由題意可推得為等差數列，利用等差數列的通項公式可求得答案；（2）寫出的表達式，利用錯位相減法可求得數列的前n項和，進而利用數列的單調性求的最大整數n【小問1詳解】∵，∴，則，∴，即，得又，∴，即，可得數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，則；∵點在直線上，∴，∴，即數列是等差數列，又，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，∴，兩式相減可得：，∴,設，則，故，是單調遞增的故當時，單調遞增的，當時，；當時，，故滿足的最大整數18、（1）（2）【解析】（1）先求導數再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點，從而也確定的斜率就可以求切線.【小問1詳解】設，因為，所以，所以k的取值范圍為【小問2詳解】由（1）知，此時，即，所以此時曲線在點P處的切線方程為19、（1）見解析（2）存在，【解析】（1）連接交于點，由三角形中位線性質知，由線面平行判定定理證得結論；（2）以為原點建立空間直角坐標系，假設，可用表示出點坐標；根據二面角的向量求法可根據二面角的余弦值構造出關于的方程，從而解得結果.【詳解】（1）連接交于點，連接，四邊形為平行四邊形，為中點，又為中點，，平面，平面，平面；（2）平面，，兩兩互相垂直，則以為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則，，，，，，設，且，則，，即，設平面的法向量，又，，則，令，則，，；設平面的一個法向量，又，，則，令，則，，；，解得：或，二面角的余弦值為，二面角為銳二面角，不滿足題意，舍去，即.在線段上存在點，時，二面角的余弦值為.【點睛】本題考查立體幾何中的線面平行關系的證明、存在性問題的求解；求解存在性問題的關鍵是能夠利用共線向量的方式將所求點坐標表示出來，進而利用二面角的向量求法構造方程；易錯點是忽略二面角的范圍，造成參數值求解錯誤.20、（1）（2），4023.87（3）分布列答案見解析，數學期望：【解析】（1）由于這些點分布在一條曲線的附近，從而可選出回歸方程，（2）設，，則建立w關于x的回歸方程，然后根據公式和表中的數據求解回歸方程即可，再將代入回歸方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值，（3）由題意可知x的可能取值為0，1，2，然后求對應的概率，從而可求出分布列和期望【小問1詳解】根據散點圖可知這些點分布在一條曲線的附近，所以更適合作為描述y與x關系的回歸方程類型.【小問2詳解】設，變換后可得，設，建立w關于x的回歸方程，，所以所以w關于x的