第二節充要條件與量詞課程標準1.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.2.通過生活和數學中的豐富實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.考情分析考點考法:充分必要條件的判斷與量詞是考查的重點,通常與數列、平面向量、函數、不等式知識相結合.多以選擇題、填空題的形式出現.核心素養:數學抽象、邏輯推理、直觀想象【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp【微點撥】p是q的充分不必要條件,等價于?q是?p的充分不必要條件.2.全稱量詞命題與存在量詞命題(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.(2)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定量詞命題量詞命題的否定結論?x∈M,p(x)?x∈M,?p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題?x∈M,p(x)?x∈M,?p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題【微點撥】1.含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞,否結論”.2.對省略了全稱量詞的命題否定時,要對原命題先加上全稱量詞再對其否定.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列結論正確的是 ()A.p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件B.“三角形的內角和為180°”是全稱量詞命題C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要條件是A=BD.命題“?x∈R,sin2x2+cos2x2=1【解析】選ABC.A選項,充分條件與必要條件是相對而言的,正確;B選項,任意三角形的內角和為180°,正確;C選項,由集合的運算知,正確;D選項,由同角基本關系式易知,對任意實數x,sin2x2+cos2x2=1,2.(必修第一冊P18例1變條件)已知a∈R,則“a>1”是“a2>1”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由不等式的性質,當a>1時,一定有a2>1;當a2>1時,有a>1或a<1,不能得到a>1.則“a>1”是“a2>1”的充分不必要條件.3.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.a2=b2,即(a+b)(ab)=0,解得a=b或a=b;a2+b2=2ab,即(ab)2=0,解得a=b;故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立.“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立.故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.4.(不能正確運用充要關系建立不等關系致誤)若x2x2<0是2<x<a的充分不必要條件,則實數a的值可以是 ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】選D.由x2x2<0得1<x<2,因此,若x2x2<0是2<x<a的充分不必要條件,所以(1,2)?(2,a),則a≥2.【巧記結論·速算】若p以集合A的形式出現,q以集合B的形式出現,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},則(1)若A?B,則p是q的充分條件;(2)若B?A,則p是q的必要條件;(3)若A?B,則p是q的充分不必要條件;(4)若B?A,則p是q的必要不充分條件;(5)若A=B,則p是q的充要條件.【即時練】“|x1|<2”是“x<3”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.因為|x1|<2?2<x1<2?1<x<3,且(1,3)是(∞,3)的真子集,所以“|x1|<2”是“x<3”的充分不必要條件.【核心考點·分類突破】考點一充分、必要條件的判斷[例1](1)(2024·紹興模擬)“x>1”是“x≥0”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由x>1,則x≥0必成立,充分性成立;而x≥0,x>1不一定成立,必要性不成立;所以“x>1”是“x≥0”的充分不必要條件.(2)“a=b”是“|a|=|b|”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若a=b成立,由向量相等得到兩向量的長度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,兩個向量的方向不同,則推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要條件.(3)(2024·濰坊模擬)已知p是r的充分不必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,下列命題中:①r是q的充要條件;②p是q的充分不必要條件;③r是q的必要不充分條件;④r是s的充分不必要條件.正確命題的序號是 ()A.①④ B.①②C.②③ D.②④【解析】選B.由p是r的充分不必要條件,q是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,可得p?r,r推不出p,q?r,r?s,s?q,所以r?q,故r是q的充要條件,①正確;p?q,q推不出p,故p是q的充分不必要條件,②正確;r?q,故r是q的充要條件,③錯誤;r?s,故r是s的充要條件,④錯誤.(4)(2024·南京模擬)已知p:關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個異號實數根,q:ac<1,則p是q的________條件.

【解析】若關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個異號實數根,則a≠0Δ=b2-4ac>0若ac<1,則可以推出ac<0,則a≠0,ca<0,Δ=b24ac>0,則關于x的方程ax2+bx+c=0有兩個異號實數根所以p是q的必要不充分條件.答案:必要不充分【解題技法】判斷充分、必要條件的兩種方法(1)定義法:①弄清條件p和結論q分別是什么;②嘗試p?q,q?p;③根據定義進行判斷.(2)集合法:根據p,q對應的集合之間的包含(或真包含)關系進行判斷.提醒:定義法適用于推理判斷性問題;集合法適用于涉及字母范圍的推斷問題.【對點訓練】1.設集合A={x|x2>0},B={x|x<0},C={x|x22x>0},則“x∈A∪B”是“x∈C”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.因為A={x|x2>0}={x|x>2},B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},因為C={x|x22x>0}={x|x>2或x<0},所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件.2.(2024·哈爾濱模擬)“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”成立的 (A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若θ=π4+2kπ(k∈Z),則sinθ=sin(π4+2kπ)=sinπ4=22,若sinθ=22,不一定有θ=π4+2kπ(k∈例如θ=3π4+2kπ(k∈Z),則sinθ=sin(3π4+2kπ)=sin3π4=22,綜上所述:“θ=π4+2kπ(k∈Z)”是“sinθ=22”3.(2024·北京模擬)在人類中,雙眼皮由顯性基因A控制,單眼皮由隱性基因a控制.當一個人的基因型為AA或Aa時,這個人就是雙眼皮,當一個人的基因型為aa時,這個人就是單眼皮.隨機從父母的基因中各選出一個A或者a基因遺傳給孩子組合成新的基因.根據以上信息,則“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若父母均為單眼皮,則父母的基因一定為aa和aa,孩子就一定是單眼皮.若孩子為單眼皮,則父母的基因可能是Aa和Aa,即父母均為雙眼皮,故“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的充分不必要條件.【加練備選】1.(2024·溫州模擬)已知a,b∈R,則“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.由a,b∈R,|a|>1,|b|>1,得a2>1,b2>1,于是a2+b2>2,由a,b∈R,取a=1,b=2,滿足a2+b2>2,顯然“|a|>1,|b|>1”不成立,所以“|a|>1,|b|>1”是“a2+b2>2”的充分不必要條件.2.已知{an}是公差為3的等差數列,其前n項的和為Sn,設甲:{an}的首項為零;乙:S2+3是S1+3和S3+3的等比中項,則 ()A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】選C.由{an}是公差為3的等差數列,可知S1+3=a1+3,S2+3=2a1+6,S3+3=3a1+12.若S2+3是S1+3和S3+3的等比中項,則(2a1+6)2=(a1解得a1=0或a1=3(舍去,因為此時S1+3=S2+3=0),故S2+3是S1+3和S3+3的等比中項能推出{an}的首項為零,若{an}的首項為零,即a1=0,由{an}是公差為3的等差數列,則an=3(n1)=3n3,Sn=n(3所以S2+3=6,S1+3=3,S3+3=12,所以(S2+3)2=(S1故{an}的首項為零可推出S2+3是S1+3和S3+3的等比中項,可得甲是乙的充要條件.考點二充分、必要條件的探究與應用[例2](1)(2024·商洛模擬)“不等式x2+2xm≥0在x∈R上恒成立”的一個充分不必要條件是 ()A.m<1 B.m>4C.2<m<3 D.1<m<2【解析】選A.因為“不等式x2+2xm≥0在R上恒成立”,所以等價于二次方程x2+2xm=0的判別式Δ=4+4m≤0,即m≤1.所以A選項,m<1是m≤1的充分不必要條件,A正確;B選項中,m>4不可推導出m≤1,故B不正確;C選項中,2<m<3不可推導出m≤1,故C不正確;D選項中,1<m<2不可推導出m≤1,故D不正確.(2)金榜原創·易錯對對碰①已知P={x|x28x20≤0},非空集合S={x|1m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要條件,則m的取值范圍是__________.

【解析】由x28x20≤0,得2≤x≤10,所以P={x|2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要條件,知S?P,則1-m≤1+m,1-所以當0≤m≤3時,x∈P是x∈S的必要條件,即所求m的取值范圍是[0,3].答案:[0,3]②已知P={x|x28x20≤0},非空集合S={x|1m≤x≤1+m},若?P是?S的必要不充分條件,則m的取值范圍是__________.

【解析】由已知可得P={x|2≤x≤10},因為?P是?S的必要不充分條件,所以S是P的必要不充分條件,所以x∈P?x∈S且x∈Sx∈P.所以[2,10]?[1m,1+m].所以1-m≤-2,所以m≥9,即m的取值范圍是[9,+∞).答案:[9,+∞)【解題技法】1.充分、必要條件的探求類型含義探求p成立的充分不必要條件探求的條件?p;p探求的條件探求p成立的必要不充分條件探求的條件p;p?探求的條件探求p成立的充要條件探求的條件?p;p?探求的條件2.利用充分、必要條件求參數的兩個關注點(1)轉化:把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.(2)檢驗:在求參數范圍時,要注意邊界或區間端點值的檢驗,從而確定取舍.【對點訓練】1.(2024·烏魯木齊模擬)一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一個正根和一個負根的一個必要不充分條件是 ()A.(∞,0) B.(0,+∞)C.(∞,2) D.(∞,1)【解析】選C.由題意,記方程ax2+5x+4=0(a≠0)的兩根分別為x1,x2,因為一元二次方程ax2+5x+4=0(a≠0)有一個正根和一個負根,所以x1x2=根據選項可得到a<2是a<0的必要不充分條件.2.若關于x的不等式|x1|<a成立的充分條件是0<x<4,則實數a的取值范圍是________.

【解析】|x1|<a?1a<x<1+a,因為不等式|x1|<a成立的充分條件是0<x<4,所以(0,4)?(1a,1+a),所以1-a≤0,1+a答案:[3,+∞)【加練備選】1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2x)<0.如果p是q的充分不必要條件,那么實數k的取值范圍是 ()A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.[1,+∞) D.(∞,1]【解析】選B.由q:(x+1)(2x)<0,可知q:x<1或x>2.因為p是q的充分不必要條件,所以x≥k?x<1或x>2,即[k,+∞)是(∞,1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.2.(多選題)(2024·東莞模擬)已知關于x的方程x2+(m3)x+m=0,下列結論正確的是 ()A.方程有一個正根一個負根的充要條件是m<0B.方程有兩個正根的充要條件是0<m≤1C.方程無實數根的充要條件是m>1D.當m=3時,方程的兩個實數根之和為0【解析】選AB.關于x的方程x2+(m3)x+m=0中Δ=(m3)24m=m210m+9,兩根和為3m、兩根積為m.若方程有一個正根和一個負根,則m2-10m+9>0m<0,解得若方程有兩個正根,則m2解得0<m≤1,故B對;若方程無實數根,則Δ=m210m+9<0,解得1<m<9,故C錯;當m=3時,方程x2+(m3)x+m=0可化為x2+3=0,顯然無實數解,故D錯.考點三全稱量詞命題與存在量詞命題【考情提示】全稱量詞命題與存在量詞命題在近幾年的高考中出現的頻率不高,但是有關命題的否定及通過命題的真假求參數范圍我們應作為備考的重點.角度1含有量詞的命題的否定[例3](2024·西安模擬)若命題p:?x∈R,1x-2<0,則?p表述準確的是 (A.?x∈R,1xB.?x∈R,1xC.?x∈R,1x-2>0或D.?x∈R,1x-2>0或【解析】選C.全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,排除BD選項,其中1x-2<0可解得x<2,x<2的否定應是A選項中,1x-2≥0可解得x>2,故A選項錯誤,C角度2含量詞命題真假的判斷[例4](多選題)(2024·沈陽模擬)下列命題中為真命題的是 ()A.?x∈R,12B.對于?x∈R,n∈N*且n>1,都有nxnC.?x∈R,ln(x1)2≥0D.?x∈R,lnx≥x1【解析】選AD.當x≥0時,0<12x≤1,故A當n為偶數,且x<0時,nxn=x,故B當x=1時,ln(x1)2無意義,故C選項是假命題;當x=1時,lnx≥x1,故D選項是真命題.角度3含量詞命題的應用[例5]金榜原創·易錯對對碰①若命題“對?x∈R,ax2ax1<0”是真命題,則a的取值范圍是__________.

②若命題“?x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命題,則實數a的取值范圍是__________.

【解析】①“對?x∈R,ax2ax1<0”是真命題,當a=0時,則有1<0;當a≠0時,則有a<0且Δ=(a)24×a×(1)=a2+4a<0,解得4<a<0,綜上所述,實數a的取值范圍是(4,0].答案:(4,0]②命題“?x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命題,即“?x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命題,故Δ=4a212≤0,解得3≤a≤3.即實數a的取值范圍為[3,3].答案:[3,3]【解題技法】含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題,需證明都成立;要判定存在量詞命題是真命題,只要找到一個成立即可.當一個命題的真假不易判定時,可以先判斷其否定的真假.(2)由命題真假求參數的范圍,一是直接由命題的真假求參數的范圍;二是可利用等價命題求參數的范圍.