安徽省阜陽市界首市2025屆高二數學第一學期期末質量跟蹤監視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，則圓C關于直線對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.2．拋物線的準線方程為，則實數的值為（）A. B.C. D.3．從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球,則恰有兩個小球編號相鄰的概率為()A. B.C. D.4．已知，，，則的大小關系是（）A. B.C. D.5．已知函數的導數為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.46．等比數列中，，，則（）A. B.C. D.7．復數，則對應的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．圓C：的圓心坐標和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和9．已知拋物線的焦點為F，，點是拋物線上的動點，則當的值最小時，=（）A.1 B.2C. D.410．化學中，將構成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規律呈周期性重復排列構成的固體物質稱為晶體.在結構化學中，可將晶體結構截分為一個個包含等同內容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，O原子位于棱的中點）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．在長方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓方程為橢圓內有一點，以這一點為中點的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______14．定義在上的函數滿足：有成立且，則不等式的解集為__________15．若直線與圓有公共點，則b的取值范圍是_____16．直線的傾斜角為_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）若在單調遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.18．（12分）為讓“雙減”工作落實到位，某中學積極響應上級號召，全面推進中小學生課后延時服務，推行課后服務“”模式，開展了內容豐富、形式多樣、有利于學生身心成長的活動.該中學初一共有700名學生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務更受歡迎，該校準備推行體育類與藝術類兩大類活動于2021年9月在初一學生中進行了問卷調查.（1）調查結果顯示：有的男學生和的女學生愿意參加體育類活動，其他男學生與女學生都不愿意參加體育類活動，請完成下邊列聯表.并判斷是否有的把握認為愿意參加體育類活動與學生的性別相關？愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學生女學生合計（2）在開展了兩個月活動課后，為了了解學生的活動課情況，在初一年級學生中按男女比例分層抽取7名學生調查情況，并從這7名學生中隨機選擇3名學生進行展示，用X表示選出進行展示的3名學生中女學生的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.19．（12分）已知數列為等差數列，為其前n項和，若，（1）求數列的首項和公差；（2）求的最小值.20．（12分）已知圓C：（1）若過點的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動點，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值21．（12分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且的短軸長為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點，，且的面積為，求k22．（10分）已知函數.（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數在上是增函數，求實數的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求得圓的圓心關于直線的對稱點，由此求得對稱圓的方程.【詳解】設圓的圓心關于直線的對稱點為，則，所以對稱圓的方程為.故選：B2、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線的準線方程為，所以.故選：B3、C【解析】利用古典概型計算公式計算即可【詳解】從編號分別為,,,,的五個大小完全相同的小球中,隨機取出三個小球共有種不同的取法,恰好有兩個小球編號相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C4、B【解析】利用微積分基本定理計算,利用積分的幾何意義求扇形面積得到,然后比較大小.【詳解】,表示以原點為圓心，半徑為2的圓在第二象限的部分的面積，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故選：5、A【解析】先對函數求導，然后代值計算即可【詳解】因為，所以.故選：A6、D【解析】設公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據等比數列通項公式計算可得；【詳解】解：設公比為，因為，，所以，即，解得，所以；故選：D7、C【解析】化簡復數，根據復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數，所以復數對應的點為位于第三象限.故選：C.8、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據公式計算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為故選：C9、B【解析】根據拋物線定義，轉化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點坐標，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準線方程為，，過P作垂直于準線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設所在的直線方程為：，聯立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關鍵點睛：本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是要將取最小值轉化為直線斜率最大，再轉化為拋物線的切線，考查學生的轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題.10、C【解析】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，設立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.11、C【解析】通過平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線與所成角為和所成角，通過解三角形即可得解.【詳解】根據長方體的對稱性可得體對角線過中心點，取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.12、C【解析】設雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設，利用“點差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設直線與橢圓交于，則.因為AB中點,則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.14、【解析】由，判斷出函數的單調性，利用單調性解即可【詳解】設,又有成立，函數，即是上的增函數，，即,，故答案為：15、【解析】直線與圓有交點，則圓心到直線的距離小于或等于半徑.【詳解】直線即，圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有交點，則，解得,故實數取值范圍是.故答案為：16、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關系，合理準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數在上單調遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數，，所以時，，在上單調遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當時，為增函數，不妨取，則有在上單調遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點睛】方法點睛：(1)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號，當f(x)含參數時，需依據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導函數f(x)在指定的區間D上單調遞增(減)，求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據初一男生數和女生數，結合有的男學生和的女學生，愿意參加體育類活動求解；計算的值，再與臨界值表對照下結論；（2）根據這7名學生中男生有4名，女生有3名，隨機選擇3名由抽到女學生的人數X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因為初一共有700名學生其中男生400名、女生300名，且有的男學生和的女學生，所以愿意參加體育類活動的男生有300名，女生有200名，則列聯表如下：愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學生300100400女學生200100300合計500200700，所以有的把握認為愿意參加體育類活動與學生的性別相關；【小問2詳解】這7名學生中男生有4名，女生有3名，隨機選擇3名學生進行展示，抽到女學生的人數X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機變量X分布列如下：X0123p19、（1）首項為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設出等差數列的公差，再結合前n項和公式列式計算作答.(2)由(1)的結論，探求數列的性質即可推理計算作答.【小問1詳解】設等差數列首項為，公差為，而為其前n項和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數列是遞增數列，前3項均為非正數，從第4項起為正數，而，于是得的前2項和與前3項和相等并且最小，所以當或時，.20、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當斜率不存在時,不滿足條件；再判斷當斜率存在時,設利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，得到.判斷出當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標準方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當斜率不存在時,x=1代入圓方程得,弦長為,不滿足條件；（2）當斜率存在時,設即.圓心C到直線l的距離，解得:或k=0,所以直線方程為或.【小問2詳解】過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，則.因為,所以所以.所以當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.21、（1）（2）或k=1.【解析】（1）根據題意求得雙曲線的焦點即知橢圓焦點，結合橢圓短軸長，可求得橢圓標準方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯立，整理得，從而得到根與系數的關系式，然后求出弦長以及到直線PQ的距離，進而表示出，由題意得關于k的方程，解得答案.【小問1詳解】雙曲線即，故雙曲線交點坐標為，由此可知橢圓焦點也為，又的短軸長為，故，所以，故橢圓的方程為；【小問2詳解】聯立，整理得：，其，設，則，所以=，點到直線PQ的距離為，所以=，又的面積為，則=，解得或k=1.22