河北省衡水十三中2025屆數學高二上期末調研模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°2．方程表示的曲線是（）A.一個橢圓和一條直線 B.一個橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個橢圓3．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.4．方程化簡的結果是（）A. B.C. D.5．下列結論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．已知，那么函數在x＝π處的瞬時變化率為（）A. B.0C. D.7．如圖，函數的圖象在P點處的切線方程是,若點的橫坐標是5，則()A. B.1C.2 D.08．已知F是雙曲線C：的一個焦點，點P在C的漸近線上，O是坐標原點，，則的面積為（）A.1 B.C. D.9．已知數列滿足：，數列的前n項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知空間中四點，，，，則點D到平面ABC的距離為（）A. B.C. D.011．已知則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，成立為真命題，則實數的取值范圍______.14．已知原命題為“若，則”，則它的逆否命題是__________（填寫”真命題”或”假命題”）15．在平面直角坐標系xOy中，AB是圓O：x2＋y2＝1的直徑，且點A在第一象限；圓O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)與圓O外離，線段AO1與圓O1交于點M，線段BM與圓O交于點N，且，則a的取值范圍為_______.16．已知實數，，，滿足，，，則的最大值是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2017年國家提出鄉村振興戰略目標：2020年取得重要進展，制度框架和政策體系基本形成；2035年取得決定性進展，農業農村現代化基本實現；2050年鄉村全面振興，農業強、農村美、農民富全面實現．某地為實現鄉村振興，對某農產品加工企業調研得到該企業2012年到2020年盈利情況：年份201220132014201520162017201820192020年份代碼x123456789盈利y（百萬）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根據表中數據判斷年盈利y與年份代碼x是否具有線性相關性；（2）若年盈利y與年份代碼x具有線性相關性，求出線性回歸方程并根據所求方程預測該企業2021年年盈利（結果保留兩位小數）參考數據及公式：，，，，，統計中用相關系數r來衡量變量y，x之間的線性關系的強弱，當時，變量y，x線性相關18．（12分）已知橢圓上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，，求橢圓C的標準方程19．（12分）數字人民幣是由央行發行的法定數字貨幣，它由指定運營機構參與運營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價.截至2021年6月30日，數字人民幣試點場景已超132萬個，覆蓋生活繳費、餐飲服務、交通出行、購物消費、政務服務等領域.為了進一步了解普通大眾對數字人民幣的感知以及接受情況，某機構進行了一次問卷調查，結果如下：學歷小學及以下初中高中大學專科大學本科碩士研究生及以上不了解數字人民幣35358055646了解數字人民幣406015011014025（1）如果將高中及高中以下的學歷稱為“低學歷”，大學專科及以上學歷稱為“高學歷”，根據所給數據，完成列聯表.低學歷高學歷合計不了解數字人民幣了解數字人民幣合計（2）若從低學歷的被調查者中隨機抽取2人進行進一步調查，求被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率：（3）根據列聯表，判斷是否有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關？0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點是棱的中點（1）求證：平面，并求直線與平面的距離；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值21．（12分）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經過點，（1）求橢圓C的方程；（2）設點關于坐標原點的對稱點為，點為橢圓C上任意一點，直線的斜率分別為，，求證：為定值22．（10分）王同學入讀某大學金融專業，過完年剛好得到紅包6000元，她計劃以此作為啟動資金進行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費，余款作為資金全部投入下個月，如此繼續.設第n個月月底的投資市值為an.（1）求證：數列{-5000}為等比數列；（2）如果王同學想在第二年過年的時候給奶奶買一臺全身按摩椅（商場標價為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B2、A【解析】根據題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個橢圓或一條直線.故選：A.3、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.4、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內到定點、的距離的和是常數的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結果故選：D5、D【解析】根據基本初等函數的導數和運算法則分別計算函數的導數，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D6、A【解析】利用導數運算法則求出，根據導數的定義即可得到結論【詳解】由題設，，所以，函數在x＝π處瞬時變化率為，故選：A7、C【解析】函數的圖象在點P處的切線方程是，所以，在P處的導數值為切線的斜率，2，故選C考點：本題主要考查導數的幾何意義點評：簡單題，切線的斜率等于函數在切點的導函數值8、B【解析】根據給定條件求出，再利用余弦定理求出即可計算作答.【詳解】雙曲線C：中，，其漸近線，它與x軸的夾角為，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面積為.故選：B9、D【解析】由于，所以利用裂項相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價于，即恒成立，化簡得到，因為，當且僅當，即時取等號，所以故選：D10、C【解析】根據題意，求得平面的一個法向量，結合距離公式，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點，，，，可得，設平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點D到平面ABC的距離為.故選：C.11、A【解析】先解不等式，再比較集合包含關系確定選項.【詳解】因為，所以是的充分不必要條件，選A.【點睛】本題考查解含絕對值不等式、解一元二次不等式以及充要關系判定，考查基本分析求解能力，屬基礎題.12、C【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，逐項判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發生，如：兩個都是黑球，這兩個事件不是互斥事件，故錯誤；B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有一個紅球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，故錯誤；C：事件：“恰好有一個黑球”與事件：“恰有兩個黑球”不能同時發生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，故正確D：事件：“至少有一個黑球”與“都是紅球”不能同時發生，但一定會有一個發生，這兩個事件是對立事件，故錯誤；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】根據題意轉化為，恒成立，得到，即可求解.【詳解】由題意，命題，成立為真命題，即，恒成立，當時，，所以，即實數的取值范圍.故答案為：.14、真命題【解析】先判斷原命題的真假，再由逆否命題與原命題是等價命題判斷.【詳解】因為命題“若，則”是真命題，且逆否命題與原命題是等價命題,所以它的逆否命題是真命題，故答案為：真命題15、【解析】根據判斷出四邊形為平行四邊形，由此求得圓的方程以及的長，進而判斷出點在圓上，根據圓與圓的位置關系，求得的取值范圍.【詳解】四邊形ONO1M為平行四邊形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圓的方程為，且ON為△ABM的中位線AM＝2ON＝2AO1＝3，故點A在以O1為圓心，3為半徑的圓上，該圓的方程為：，故與x2＋y2＝1在第一象限有交點，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范圍為(，4).故答案為：【點睛】本小題主要考查圓與圓的位置關系，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，屬于難題.16、10【解析】采用數形結合法，將所求問題轉化為兩點到直線的距離和的倍，結合梯形中位線性質和三角形三邊關系可求得答案.【詳解】由，，，可知，點在圓上，由，即為等腰直角三角形，結合點到直線距離公式可理解為圓心到直線的距離，變形得，即所求問題可轉化為兩點到直線的距離和的倍，作于于，中點為，中點為，由梯形中位線性質可得，，作于，于，連接，則，當且僅當與重合，三點共線時，有最大值，由點到直線距離公式可得，由幾何性質可得，，此時，故的最大值為.故答案為：10.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）年盈利y與年份代碼x具有線性相關性（2），7.25百萬元【解析】（1）根據表中的數據和提供的公式計算即可；（2）先求線性回歸方程，再代入計算即可【小問1詳解】由表中的數據得，，，，因為，所以年盈利y與年份代碼x具有線性相關性【小問2詳解】，，，當時，，該企業2021年年盈利約為7.25百萬元18、（1）（2）【解析】（1）根據題意，可知，可得，再根據橢圓的性質可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯立，由韋達定理得到，，再根據弦長公式，建立方程，即可求出的值，進而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點坐標為，左右頂點的坐標分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為19、（1）列聯表答案見解析；（2）；（3）沒有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關.【解析】(1)根據給定表中數據列出列聯表作答.(2)利用給定條件結合古典概率公式計算作答.(3)利用(1)中信息求出的觀測值，再與臨界值表比對作答.【小問1詳解】列聯表如下：低學歷高學歷合計不了解數字人民幣150125275了解數字人民幣250275525合計400400800【小問2詳解】由(1)知，被調查者中低學歷的有400，其中不了解數字人民幣的有150，從400人中任取2人有個基本事件，它們等可能，被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的事件A有個基本事件，所以被選中的2人中至少有1人對數字人民幣不了解的概率.【小問3詳解】由(1)知，的觀測值為，所以沒有的把握認為“是否了解數字人民幣”與“學歷高低”有關.20、（1）證明見解析，直線與平面的距離為（2）【解析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸