專題10圓

錦程要求

《初中課程要求》平面幾何中直線與圓的位置關系包含的知識點較多，方法靈活，抓

住核心概念和基本方法即可，對定理的本質要理解，看到相關已知

能夠聯想到需要的定理，常常先分析所求問題的路徑，找準方向，

綜合運用條件加以突破.

直線與圓有三種位置關系：相離、相切和相交.相切和相交是代數與

幾何研究的重點.

高中的學習是在初中基礎上更高層次的拓展與延伸。

《高中課程要求》

4身煉燈

一、單選題

1.（2020?重慶復旦中學高一開學考試）如圖，。。的直徑AB與弦。。相交于點￡,ZBDC=35°.則

NA8C的度數為（）

A.35°B.45°C.65°D.55°

【答案】D

【分析】由圓的性質可得NACB=90°,NC4B=N8DC=35°,在直角三角形ABC中，根據三角形的

內角和性質，可得答案.

【詳解】在圓。。中，AB為宜徑，則ZACB=90°

山圓中同弧所對的圓周角相等，得NC48=N8OC=35°

所以在直角三角形ABC中，ZABC=ZACB-ZCAB=90°-35°=55°

故選：D

2.（2020北京清華附中高一開學考試）如圖，小、P3是。。切線，4、8為切點，AC是直徑，NP=4（）°,

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】由△P4B為等腰三角形求出NR4B=70"，再證明K4_LAC，最后illN3AC=44。一/巳4得

出答案.

【詳解】?.?PA=P8,NP=40°

I?n_40

.?AR鉆為等腰三角形，且NPA8=---------=70°

2

是。。切線，A為切點，AC是直徑

：.PA±AC

即ABAC=APAC-NPAB=90°-70°=20°

故選：C

【點睛】本題主要考查了圓的幾何性質，屬于基礎題.

3.（2020?福建廈門市?廈門一中高一開學考試）如圖，已知EB是半圓。。的直徑，A是座延長線上一點,

AC切半圓。。于點。，3。，4。于點（7,DF上EB于點、F,若BC=2DF=6,則。。的半徑為（）

A.3.5B.4C.2百D.3.75

【答案】D

【分析】根據圖形，連接OD,作OH1BC于點H,由4c切半圓O。于點D,得到0。J_AC，乂BC_LAC,

則8//5C,易證ADOF三AOBH,得到OH=DF=3,設。B=QD=r,然后在RhABC中，利用

勾股定理求解.

【詳解】

如圖所示:

連接。D,作點H,

因為AC切半圓。。于點。，

所以0DL4C，又BC_LAC,

所以。D//3C，

所以NDOF=NOBH,

又OD=OB,

所以ADOFMAOBH,

所以OH=O尸=3,

設OB=OD=r,則BH=6-r,

在R/AABC中，由勾股定理得產=（6-r）2+32,

解得r="=3.75,

4

故選：D

【點睛】本題主要考查圓的切線的性質，切割線定理，勾股定理等面積法以及平行線段成比例定理，還考

查了數形結合的思想方法，屬于中檔題.

二、填空題

4.（2020?北京清華附中高一開學考試）如圖，是半圓。的直徑，四邊形CPMN和OEFG都是正方形，

其中C，D，E在45匕F，N在半圓上.若AB=10,則正方形CDWN的面積與正方形。EFG的面

積之和是

【答案】25

【分析】連接ONQF,汲CN=x,EF=y,。。=z,由勾股定理得犬十@+z>=25,+（,_%）?=25,

兩式相減得x+z=y,從而可求得f+J

【詳解】連接。N,OF,設CN=x,EF=y,OD=z,

則f+（x+z）2=25,V+（y-z）2=25,

兩式相減得：2（x+y）（x-y+z）=0,

0x+y>O,0x-y+z=(),即x+z=y,

Six2+(x+z)2=x2+y2=25.

故故答案為：25.

【點睛】本題考查勾股定理，正方形的性質，題中證明x+z=y是解題關鍵.

知徂器餅

一、直線與圓的位置關系

（一）、基礎定義：

1.當直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離.

2.當直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，這時直線叫做圓的切線.唯一的公共點叫做切點.

3.當直線與圓有兩個公共點（即交點）時，叫做直線與圓相交.

4.根據直線與圓公共點個數的情況，相應得到直線與圓的位置關系有三種：相離，相切，相交.

（二）、直線與圓位置關系用數量關系描述：

如果的半徑長為R,圓心。到直線/的距離為"

直線/與。。相交oOV"<R；

直線/與O。相切od=R：

直線，與。。相離

（三）、相關定理：

1.切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

二、點的軌跡

到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.

和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.

到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.

"A例周折

一、直線與圓的位置關系

例1.在同一平面直角坐標系中有5個點：A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2.-2).

(1)畫出4ABC的外接圓。P,并指出點D與。P相的位置關系：

(2)E點是y軸上的一點，若直線DE與。P相切，求點E的坐標.

【答案】(1)見解析，點D在。P上；(2)E(0,-3).

【解析】(1)如圖所示：

△ABC外接圓的圓心為(-1,0),點D在。P上;

(2)連接PD,

?.?直線DE與OP相切,

，PDJ_PE,

利用網格過點D做直線的DFJ_PD,則F(-6,0),

設過點D,E的直線解析式為：y=kx+b,

VD(-2,-2),F(-6,0),

解得：P--7,

b=-3

...直線DE解析式為：y=-=x-3,

.*.x=0時，y=-3,

：.E(0,-3).

'對X4稱

1.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(L3)、B(3,3)、C(4.2).

(1)請在圖中作出經過點4、8、C三點的OM,并寫出圓心M的坐標;

(2)若D(L4),試判斷直線8。與。M的位置關系，并說明理由.

【答案】(1)如圖所示見解析，圓心M的坐標為(2.1);(2)直線8D與。M相切，理由見解析.

【解析】

(1)如圖所示，OM即為所求.

由圖知，圓心M的坐標為(2,1)；

(2)連接MB,DB,DM,

???DB=V5,BM=百，DM=

DB2+BM:=DM：,

；.△DBM是直角三角形，

???Z.DBM=90°>

即BMJ.DB,

直線BD與。M相切.

三、點的軌跡

例1.如圖，點4(-4.3),將dABC繞點。旋轉180。得到dA'B'C'.

(1)請在圖中畫出dA'B'C',并寫出點4'的坐標;

(2)求旋轉過程中4點的軌跡長.

【答案】⑴圖形見解析，4*(4-3)；(2)5n.

【解析】

解：(1)如圖所示，dA'B'C'即為所求出；1(4.-3)；

（2）連接。4

?：0A=V3:+4==5，

，旋轉過程中A點的軌跡長=33=57r.

180

對支幡秣

1.閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點P、Q的坐標分別是P（xi,yi）、

::

Q（X2,y2），則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=?（Xi-x;:）+（九一%）二.如P（l，2）,Q（3,4）,貝U|PQ|=

-3尸+（2-4尸=2丫2.

對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.如平

面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+=交y軸于點A,點A關于x軸的對稱點為點B,

過點B作直線I平行于x軸.

（1）到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是；

（2）若動點C（x,y）滿足到直線I的距離等于線段CA的長度，求動點C軌跡的函數表達式；

問題拓展：（3）若（2）中的動點C的軌跡與直線y=kx+=交于E、F兩點，分別過E、F作直線I的垂線，垂

足分別是M、N,求證：①EF是AAMN外接圓的切線；+會為定值.

【答案】(1)X2+(y-2=1；(2)動點C軌跡的函數表達式y=？2；(3)①證明見解析；②證明見解析.

【解析】(1)設到點A的距離等于線段AB長度的點D坐標為(x,y),

/.AD2=x2+(y--)2,

直線y=kx+：交y軸于點A,

AA(0,

,/點A關于x軸的對稱點為點B,

AB(0,-=),

.\AB=1,

???點D到點A的距離等于線段AB長度，

x2+(y-7)2=1,

故答案為：x2+(y4)2=1；

(2)?.?過點B作直線I平行于x軸，

二直線I的解析式為y=-t

VC(x,y),A(0,7),

r.AC2=x2+(y-i)2,點c到直線I的距離為：(y+5),

?.?動點C(x,y)滿足到直線I的距離等于線段CA的長度，

x2+(y-i)2=(y+j)2,

二動點C軌跡的函數表達式y=7X2；

(3)①如圖，

設點E(m,a)點F(n,b),

動點C的軌跡與直線y=kx+：交于E、F兩點，

.y=k

??s-,，

y=kx+7

/.x2-2kx-1=0,

\m+n=2k,mn=-1,

?.?過E、F作直線I的垂線，垂足分別是M、N,

/.M(m,-二*?r)，N(n,一二)，

VA(0,i),

/.AM2+AN2=m2+l+n2+l=m2+n2+2=(m+n)2-2mn+2=4k2+4,

MN2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=4k2+4,

.".AM2+AN2=MN2,

AAAMN是直角三角形，MN為斜邊，

取MN的中點Q,

二點Q是AAMN的外接圓的圓心，

Q(k,-

VA(0,i),

直線AQ的解析式為y=-三x+三，

直線EF的解析式為y=kx+：,

/.AQ1EF,

AEF是AAMN外接圓的切線；

②1,點E(m,a)點F(n,b)在直線y=kxW上，

??a=mk+^,b=nk+二，

VME,NF,EF是AAMN的外接圓的切線，

，AE=ME=a+：=mk+l,AF=NF=b+：=nk+l,

.?，+工=-J--=(m+n)k+==2,

AEAFmfc+1+nkflmnk2+(m+n)k+=3j-津

即：三+三為定值,定值為2.

2.在數學上，我們把符合一定條件的動點所形成的圖形叫做滿足該條件的點的軌跡.例如：動點P的坐標滿

足(m,m-1),所有符合該條件的點組成的圖象在平面直角坐標系xOy中就是一次函數y=x-1的圖象.即

點P的軌跡就是直線y=x-1.

(1)若m、n滿足等式mn-m=6,則(m,n-1)在平面直角坐標系xOy中的軌跡是；

(2)若點P(x,y)到點A(0,1)的距離與到直線y=-l的距離相等，求點P的軌跡；

(3)若拋物線上有兩動點M、N滿足MN=a(a為常數，且a24),設線段MN的中點為Q,求點Q

到x軸的最短距離.

【答案】(1)y=-：(2)丫=入2；(3)點Q到x軸的最短距離為1.

【解析】(1)設m=x,n-l=y,

Vmn-m=6,m(n-1)=6,xy=6,

???)，=：,J(m,n-1)在平面直角坐標系xOy中的軌跡是y

故答案為：”,；

X

(2).?.點P(x,y)到點A(0,1),

二點P(x,y)到點A(0,1)的距離的平方為x?+(y-1)2,

:點P(x,y)到直線y=-1的距離的平方為(y+1)2,

?.?點P(X,y)到點A(0,1)的距離與到直線y=-l的?距離相等，

X2+(y-1)2=(y+l)2,

?1**

??)'=?>

設直線的解析式為尸

(3)MNkx+b,M(xi,yi),N(x2,yz).

.??線段MN的中點為Q的縱坐標為空匹.

?二=kx+b,

/.x2-4kx-4b=0,

Axi+X2=4k,XiX2=-4b,

=z(kx.+b+kxz+&)=HkfXi+7+=碧妒+歐

22z:

：.MN=(x.-x:)+(打一y2)=(k+1)付-M*=《妒+U[0■工+3史一加工喇心

=16(k=+l)(k2+6)i16

''：'-=k:+kz+b>kz+/,一俯-I+厲J-1>2—1=1

.?.點Q到x軸的最短距離為1.

*

德后依可

一、單選題

1.（2019?四川省眉山第一中學高一開學考試）如圖，。。的直徑A3,弦CO,垂足為E,NA=22.5°,

0C=4,則C。的長為（）

A.272B.4

C.472D.8

【答案】c

［分析］根據圓的半徑相等以及三角形的角度關系可求得ZCOE=45°，再分析得CD=2CE求解即可.

【詳解】因為。。,故。4=OC,NOC4=4=22.5。.

根據三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角之和可得Z.COE=NA+40cA=45°.

又因為直徑A6L弦CO,故ACOE為等腰直角：角形.

因為OC=4,故CE=+=2五.故C。=2CE=4血.

故選：c

【點睛】本題主要考查了圓與三角形的性質運用，屬于基礎題.

二、填空題

2.（2019?廣東佛山市?佛山一中高一開學考試）如圖，邊長為200的正方形ABC。中，以8C為直徑畫一個

半圓，直線DE與半圓相切，交于E點，則￡>￡：=.

【答案】250

【分析】取BC的中點。，則。為半圓的圓心，連接。D,OE,OF,根據直線與圓相切，有OF上DE,OE,

OD,分別平分行3。尸，COF,得到A0OE為宜角三角形，再利用射影定理求解.

【詳解】如圖所示：

取8c的中點。，則。為半圓的圓心,

連接。D,OE,OF,則OE,

OE,OD,分別平分彳正。尸，COF,

所以AOOE為直角三角形，

OF為斜邊上的高，

所以0尸2=。尸?EFAB?BE,

OF2

所以8￡=——=50.

AB

所以OE=250.

故答案為：250

【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系和射影定理，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬

于中檔題.

3.（2018?福建廈門市?廈門一中高一開學考試）如圖，在中，弦AB=1的，圓周角NAC5=30°，且A。

為O。的直徑，則BD的長為cm.

【答案】V3

【分析】由題意知，弧長為1所對的圓周角為30，則弧對的圓心角為60'，由于弧與圓心構成的三角形是

等腰三角形，所以當圓心角為60。，這個三角形是等邊三角形，邊長已知，易得半徑，得直徑，再根據勾股

定理，即可求解.

【詳解】連接Q4和。8,

AB=l,NACB=3（r

/.ZAO8=60°

?：OA=OB

，三角形AOB為等邊三角形,

：.OA=OB=AB=l,

直徑AD為2cm

則AABZ）是直角三角形，BD2=AD2-AB2

BD=y[3

故答案為：上

【點睛】本題考查直徑所對圓周角是直角，為證明垂直關系做準備，屬于基礎題.

4.（2020?河北邯鄲市?高一開學考試）如圖，AB,AC是。。的兩條弦NA=25°,過點。的切線與08的

延長線交于點。，則"的度數是.

A

【答案】40°

【分析】由同弧所對圓心角和圓周角的關系求得NCO5,再由切線的性質得OC_LCD,從而可得ND.

【詳解】如圖，連接OC,NCOB是圓心角，NC48是圓周角，團NCO8=2NA=50°,

又CO是切線，。是切點，0OC1CD,即NC0D=9O°,團"=40°.

故答案為：40°.

【點睛】本題考查切線的性質，考查圓心角與圓周角的關系，屬于基礎題.

5.（2020?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高一開學考試）如圖，為。。的直徑，C為A3上一點,

ZBOC=50°,AD/IOC,AO交。。于點。，連接AC,CD,那么NACO=.

【答案】40

【分析】先求出回"8=50°,進而得出附。。=80°,即可得出結論.

【詳解】連接。D,

04D0OC,WDAB=@BOC=SO°,

QOA=OD,WAOD=1SO°-2BDAB=80",

1

0ILACD=—04OD=4O°,

2

故答案為40°

【點睛】此題主要考查了平行線的性質，圓周角定理，求出財。。是解本題的關鍵.

6.(2020?四川省綿陽南山中學高一開學考試)如圖，△A6C是直角邊長為。的等腰直角三角形，直角邊

是半圓。的直徑，半圓。2過。點且與半圓a相切，則圖中陰影部分的面積是

【答案】—

36

【分析】利用等弦所對的弧相等，先把陰影部分進行適當拼接，變化成一個直角梯形，然后再利用兩圓外

切的條件和勾股定理求小圓的半徑，從而求出陰影部分的面積.

【詳解】如圖所標記，易得。為的中點，AADB，△PEC都是等腰直角三角形.

根據對稱性，弓形8D面積與弓形DA面積相等，弓形EC面積與弓形PE面積相等，原題圖中所有陰影面

積等于如圖中直角梯形PEDA的面枳，

設兩圓的半徑分別為凡乙

則火=1,AQ=a-r,0}02=r+R,

2>

，解得r=5，；.CE=PE=叵,

(［a-r)；+Uf-1j=Ifr+-2)|33

，所求陰影部分的面積為:

-16O10al52

S-SjDC~SKEP=CD-AD一C￡?PEx—=ax—ax------x---x—=—a

2222233236

故答案為：—

36

【點睛】本題主要考查了面積的計算，涉及兩圓外切的條件和勾股定理，解答的關鍵是將圖形適當拼接,

變為一個規則圖形.

7.（2019?四川省眉山第一中學高一開學考試）如圖，A3為。。的直徑，CB切00于點B,點D是。O

上一點，點E是直徑AB上的一個動點，連結A。、CE、DE.若AB=5,AO=4,BC=《，則CE+DE的

最小值為_____________.

【答案】975

5

【分析】作_L4?于"，延長DH交。。于F點，根據.ABD~AADH可求得DH,AH,HB的值，再根

據CE+OE的最小值即CF的值，利用勾股定理求解即可.

【詳解】作。H_L4?于〃,延長。〃交。。于尸點，延長CB,交AB的平行線F7于I.

由圓的對稱性有CE+DE=CE+EF,故CE+OE的最小值為CF.

因為ZDHA=ZBDA=90°,ADAH=/BAD，故QHA~ABDA.

,ABAD16_,,,DHAD4.12,12

所以=---=>AHATt=—，明r以=二^DH=-x3=—.故FH=DH=—

ADAH5DBAB555

故H=BH=A5—AH=2,C7=CB+B/=CB+HF=9+2=曳.

5555

還.即CE+DE的最小值為）叵.

55

故答案為：植

5

【點睛】本題主要考查了平面幾何中三角形相似求線段長度以及兩線段距離之和距離最小值的問題，需要根

據題意作對稱點分析出最小值，再計算各邊長進行求解.屬于難題.

三、解答題

8.（2020?福建廈門市?廈門一中高一開學考試）如圖1,A3是。。的直徑，E是延長線上一點，EC切

。。于點C,OP_LAO交AC于點P,交EC的延長線于點D.

（1）求證：△「口）是等腰三角形；

（2）CGJ_A3于H點，交。。于G點，過B點、作BF//EC,交0。于點F,交CG于Q點，連接AE，

3

如圖2,若sinE=二，CQ=5,求A產值.

【答案】（1）證明見解析；（2）12.

【分析】（1）連接OC,根據EC切。。于點C,得到OC_L￡）E,則Nl+N3=90°,同理N2+N4=90°,

再由N1=N2，Z3=Z4,N4=N5證明.

（2）由圖2,連接OC、BC,根據。E與。。相切于點E,得到NOCB+N5CE=90°,同理有

NOBC+NBCE=90。,ZOBC+ZBCG=90°,得到NBCE=NBCG,再由BE//QE,得到

NBCE=NQBC,則QC=Q3=5,由BF//DE,得到Z4Bb=NE，設0。的半徑為r，在△OC”

3

中，由，2=82+（廠-4）2,解得r,再由sin/AB/uj■求解.

【詳解】

（1）連接OC,

回EC切。。于點C,

SIOCLDE,

團Nl+N3=9（）°,

又回OP_LQ4，

回N2+N4=90°,

0OA=OC,

0Z1=Z2.

團/3=/4,

又用N4=N5,

回N3=N5,

0DP=DC，即△PCD為等腰三角形.

（2）如圖2,連接OC、BC,

D

團DE與O。相切于點E，

0NOCB+NBCE=90°,

0OC=OB,

6NOCB=NOBC,

ZOBC+ZBCE^90°,

又回CGLAB，

團N03C+NBCG=90°,

團NBCE=NBCG,

^BFUDE,

國NBCE=NQBC,

QNBCG=NQBC,

回QC=Q5=5,

0BF/IDE,

?ZABF=&，

.3

ElsinEc=—,

5

3

團sin/A6F=—，

5

回。"=3、BH=4,

設。。的半徑為r,

回在△OS中，r2=82+(r-4)2,

解得：r=l()，

3

又用ZAFB=90°,sinNABE=—，

5

EAF=12.

【點睛】本題主要考查平面幾何的直線與直線，直線與圓的位置關系，還考查了邏輯推理和運算求解的能

力，屬于中檔題.

9.（2020?浙江高一開學考試）如圖，在RAM8c中，0C=9O°,。為AB上一點，回。過點B且與AC相切于點

D,于E.

（2）若AE：AC=1：2,AB=10,求OE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【分析】（1）連接。D、BD,則。D08C利用平行線的性質以及等邊對等角，即可證得日2=回3,根據角平分

線的性質即可證得；

（2）易證HADEHEWBC,根據相似三角形的對應邊的比相等，可以得到：-xl0=5,BC=2DE,

22

設DE=x,則DC=D￡=x,8c=2x,AC=5+x,則在直角MBC中，利用勾股定理即可得到關于x的方程，求

得x的值.

【詳解】（1）連接。D、BD.

0OD04C,

0DEH4B于E,

回。。團8C,

001=03,

BOD=OB

mi=02,

E02=03,

團8=DE.

(2)能1DEA=[3C=9O°,M=M,

團財。函明8C,

AEADDE1

團---=----=----=—.

ACABBC2

11

0AD=—ZIB=—xlO=5,BC=2DE.

22

設DE=x,則DC=DE=x,BC=2x,AC=5+x.

在048c中，AB2=AC2+BC2.

貝lj100=(5+x)2+(2x)2,

解得：x=3,

DE的長為3.

【點睛】本題考查/切線的性質定理，以及相似三角形的判定與性質，勾股定理，利用勾股定理把求線段

的長的問題轉化為解方程的問題，體現了方程思想的應用.

10.(2020?云南昆明市?昆明一中高一開學考試)如圖，已知點P是等邊三角形ABC外接圓上任一點(異于B,

E111

(2)若外交BC于貝U—-------1-------

PDPBPC

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析;

【分析】⑴首先在：Q4匕截取PD=PC，由AABC是等邊二角形，可得/CD是等邊三角形，繼而可

證明八4。￡)三則AD=PB，從而得出Q4=BB+PC

(2)根據圓周角定理得到NC4D=NP3。，ZAPB^ZACB,推出△PBDSAACZ),根據相似三角形的

ACCD,ABBD,,,_,ACABCDBDBC，-，，①■、人

性1a質L得e到c孱E=萬萬，同理石1=萬萬，兩式相z加得到五^二-^萬十萬萬=萬萬，即可得到結論.

1Ij1/LxIV--I1^/1Lj1Ix_X1Z_xILy

【詳解】

(1)證明：在P4上截取尸D=PC,

???AB=AC=8C，

.-.ZAPB=ZAPC=60o,

.?.△PCD為等邊三角形，

.-.ZPCD=ZACB=60°,CP=CD，

"CD-ZDCB=ZACB-ZDCB,

即ZACD=/BCP,

在八48和ABCP中，

AC=BC

<ZACD=NBCP,

CP=CD

:.^ACD^BCP(SAS),

：.AD=PB^

:.PA=PB+PC.

(2)解：?.?NC4D=NZW,ZAPB=ZACB，

:.“PB4小CD,

.ACCD,AB_BI)

??---=----,可埋—~=------

PBPDPCPD

.?-A-C1--AB=-C-D-1B-D-=-B-C

PBPCPDPDPD

???△ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC，

,-1-1--1=—1

「PBPCPD'

【點睛】本題考查r相似三角形的判定和性質，圓周角定理，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的

判定和性質是解題的關鍵，屬于中檔題.

11.（2020?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高一開學考試）對于平面內的（DC和。C外一點。，給出如下定義：

八,AQ+BQ

若過點。的直線與OC存在公共點，記為點A,B,設左二,則稱點A（或點3）是0C的”

c,2A。2BQ

相關依附點".特別地，當點A和點3重合時，規定AQ=8Q,卜二洋（或7康）.已知在平面直角坐

（1）如圖1,當廠=0時，

①若4（o,i）是oc的"k相關依附點"，則k的值為；

②&（1+夜,o）是否為oc的“2相關依附點"？答：是（選"是"或"否"）；

（2）若OC上存在"攵相關依附點"點M，

①當r=l,直線QM與OC相切時，求上的值；

②當斤=6時，求r的取值范圍；

（3）若存在r的值使得直線y=-J%+8與OC有公共點，且公共點是0c的相關依附點"，直接寫

出b的取值范圍.

【答案】⑴①正，②是；⑵①G，②1?"2；（3）-6<6<36.

2A0

【分析】（1）①如圖1中，連接c&、Q\.首先證明QA是切線，根據％=7胃計算即可解決問題；

②根據定義求出k的值即可判斷；

（2）①如圖，當，=1時，不妨設直線QM與0c相切的切點M在％軸上方（切點M在x軸下方時同理），

連接CM,則QM回CM,根據定義計算即可；

②如圖3中，若宜線。仞與OC不相切，設直線QW與OC的另一個交點為N（不妨設QNVQM,點N,

M在％軸下方時同理），作CD0QM于點D,則MO=ND,可得MQ+NQ=2DQ,CQ=2,推出

k=-，*=-^=DQ,可得當左=G時，DQ=G，可得CD的值，再因為點Q在OC外，可得

r的取值范圍；

（3）由（2）可知，OC的"JJ相關依附點"，在直線QM：y=Gx+乎或>=一氐一日上，且r的

取值范圍是1*<2,當r=2時，易知直線y=J5x+乎與0c（大圓）的交點，當r=l時，易知直線

了=一心一冬3℃（小圓）的交點，當直線y=+8勺線段QE,線段QF有交點時（線段端點除

外），滿足條件，帶點即可解決問題.

【詳解】

解：（1）①如圖1中，連接C4、。4

由題意：OC=OQ=OA=I，

??.△QAC是直角三角形，即4c_LQA，

是OC的切線，

…2=巫=日

CQ2

②?.?40+夜,0）在0c上，

,2->/2+l+V2+l-

k------------------二2

2

4（1+夜,0）是QC的"2相關依附點”，

故答案為：（1）①血;②是；

（2）①如圖2,當r=l時，不妨設直線QM與。C相切的切點M在x軸上方（切點”在x軸下方時同

理），連接CM,則QM_LCM.

由CQ=2,CM=1.

0MQ=E

y2MQ273/T

此時％=—上=二_=J3；

CQ2

②如圖3中,

若直線QWLJQC不相切，

設直線QM與OC的另一個交點為N（不妨設QN<QM,點N,M在x軸下方時同理）.

作CD±QM于點D,則MD=ND.

mMQ+NQ=（MN+NQ）+NQ=2ND+2NQ=2DQ.

MQ+NQ2DQ

回CQ=2,回左-=DQ.

CQ~CQ

團當女=G時，DQ=6

此時CD=QCQ2-DQ，=I.

又回點。在OC外，則r<2

團廠的取值范圍是14r<2.

山（2）可知，。。的"代相關依附點"，在直線QM：