【壓軸必刷】2023年中考數學壓軸大題之經典模型培優案

專題21函數與直角三角形的存在性問題

解題策略

以“投AOAI以H'J/角三角形構造方法如右圖所示:“

經典模型培優素“

直角三角形的另一個頂點在以月在以33為直徑的圓上，或過東5且與四垂直的直線

上（A,8兩點除外）.“

解直角三角形的存在性問黜時，若沒有明確指出直角三角形的直角，就需要進行分類討

論.通常這類問題的解題策略有：“

（1）幾何法：先分類討論直角，再畫出直角三角形，后計算.“

如圖，若曲=90°.過點46作經過點。的直線的垂線，垂足分別為E、F.則4

AECsACFL從而得到線段間的關系式解決問題.”

（2）代數法：先羅列三邊長，再分類討論直角，根據勾股定理列出方程，然后解方程

并檢驗.~

經典例題

、網1丁BUZZ一針?鄧M區期末）如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,4c=BC=6,動點P

從點A出發，沿AC以

每秒2個單位長度的速度向終點C運動，過點尸作于點Q,將線段PQ繞點P

逆時針旋轉90°得到線段PR,連結QK.設四邊形APNQ與RtZVIBC的重疊部分的面積

為S,點P的運動時間為f（f>0）秒.

（1）線段AP的長為2/（用含，的代數式表示）.

（2）當點R恰好落在線段8c上時，求/的值.

（3）求S與/之間的函數關系式.

（4）當△CPR為直角三角形時，直接寫出r的值.

【分析】（1）由題意可得出答案；

（2）由旋轉的性質及等腰直角三角形的性質可得出2&/=6&-則可求出答案：

（3）分兩種情況：①當點R在aACB內或BC邊上時，0</<2,②當2<fW3時，由平

行四邊形的面積公式及三角形面積可得出答案；

（4）可分兩種情況：①當NPCR=90°時，由（2）可知1,f=2,②當NCRP=90°,由

題意得出AP=PC,則可求出t的值.

【解答】解：（1）由題意可知，AP=2t,

故答案為：2t；

?.,將線段PQ繞點P逆時針旋轉90°得到線段PR,

：.PQ=PR,NQPR=90°,

：4P=2r,

:.AQ=PQ=?,

：.QR=y/2?近t=2t,

'：AC=BC=6,NC=90°,

:股=6近-近t,

?.,當點R恰好落在線段BC上時，Z/?CP=90°,

:.NCPR=NCRP=NPRQ=45°,

：.ZQRB=90Q,

:.BQ=?RQ,

???2折=6&-揚，

???，=2；

(3)分兩種情況：①當點R在△4C3內或3c邊上時，0V/W2,

?:AP=QR、AQ=PR,

...四邊形APKQ為平行四邊形，

：.S=AQ-PQ=y/2t'V2t=2?;

②當2<，W3時，由題意知，aCPE和△￡「/?為等腰直角三角形,

.?.CP=CE=6-2f,

:.PE=6近-2瓜,

:.ER=?啦-啦t)=3近t-6近,

SAEFR卷x*(/t-6V2)2=今(t-2)2，

-S=Sem?APRQ-S^EFR=212^|-(t-2)2=-yt2+18t-18-

2t2(t<2)

，S=459/-；

-^-tJ+18t-18(2<t<3)

(4)當△CPR為直角三角形時，可分兩種情況：

①當NPCR=90°時，由(2)可知，/=2,

②當NCRP=90°,由題意可知AQ=PQ=PR=CR,

：.AP=PC,

.?⑵=6-2f,

?r—3

??I--.

2

綜上所述，當f=2或3時，△CPR為直角三角形.

2

【例2】(2022春?成華區校級期中)如圖，在平面直角坐標系內，點。為坐標原點，經過A

(-2,6)的直線交x軸正半軸于點B,交y軸于點C,OB=OC,直線AO交x軸負半

軸于點。，若△ABD的面積為27.

(1)求直線AB的表達式和點D的坐標；

(2)橫坐標為根的點P在線段AB上(不與點A、B重合)，過點P作x軸的平行線交

A。于點E,設尸E的長為y(yWO),求y與機之間的函數關系式并直接寫出相應的〃?取

值范圍；

(3)在(2)的條件下，在x軸上是否存在點F,使為等腰直角三角形？若存在

求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

備用圖1備用圖2

【分析】（I）根據直線48交無軸正半軸于點8,交），軸于點C,OB=OC,設出解析式

為、=-x+n,把A的坐標代入求得〃的值，從而求得B的坐標，再根據三角形的面積建

立方程求出BD的值，求出0〃的值，從而求出D點的坐標，直接根據待定系數法求出

AD的解析式；

（2）先根據B、A的坐標求出直線AB的解析式，將P點的橫坐標代入直線AB的解析

式，求出P的縱坐標，將P點的縱坐標代入直線AO的解析式就可以求出E的橫坐標，

根據線段的和差關系就可以求出結論；

（3）要使APE尸為等腰直角三角形，分三種情況分別以點尸、E、F為直角頂點，根據

等腰直角三角形的性質求出（2）中〃?的值，就可以求出F點的坐標.

【解答】解：（1）,：0B=0C,

：.設直線AB的解析式為y=-x+n,

?.?直線A8經過A(-2,6),

2+/?—6?

?"=4,

二直線AB的解析式為y=-x+4,

：.B(4,0),

：.OB=4,

「△ABD的面積為27,A(-2,6),

/.S&ABD=LXBDX6=27,

2

：.BD=9,

：.OD=5,

：.D(-5,0),

設直線AD的解析式為y^ax+b,

.f-2a+b=6

1-5a+b=0

解得.a=2

b=10

直線4。的解析式為y=2x+10；

(2)I?點尸在4B上，且橫坐標為m

'.P(tn,-/M+4).

軸，

，E的縱坐標為-m+4,

代入y=2r+10得，-m+4=2x+10,

解得x=工攵，

2

(HL,-,M+4),

2

的長y=m-ZlBZ§_=3〃7+3；

22

即)'=菅〃7+3,(-2</n<4)；

(3)在x軸上存在點F,使△「￡：/為等腰直角三角形,

①當NFPE=90°時，如圖①，

圖①

有PF=PE,PF=-m+4,PE=^-m+3,

2

3

-n?+4=—/幾+3,

2

解得〃?=2,此時/（2,o）；

55

②當/PEF=90°時，如圖②，有EP=EF,EF的長等于點E的縱坐標,

圖②

：.EF=-m+4,

Q

/.-m+4=*〃z+3,

2

解得：m--,

5

點E的橫坐標為x=-m-6--旭，

25

：.F(-—,0)；

5

③當NPFE=90°時，如圖③，有FP=FE,

:.NFPE=NFEP.

；NFPE+NEFP+NFEP=18。°,

:.NFPE=NFEP=45°.

作FRLPE,點R為垂足，

圖③

.,.ZPF/?=180a-NFPE-NPRF=45°,

：.ZPFR=ZRPF,

：.FR=PR.

同理FR=ER,

:.FR=LPE.

2

,:點R與點E的縱坐標相同，

:?FR=-777+4,

-，〃+4=工(3〃?+3),

22

解得：,”=改，

7

PR—FR—-m+4---12.+4--1^.,

77

點F的橫坐標為改-型=-1,

777

綜上，在龍軸上存在點F使4PE尸為等腰直角三角形，點尸的坐標為（Z,o）或（-西，

55

0）或（-6，0）.

7

【例3】如圖，在平面直角坐標系中，C（8,0）、B（0,6）是矩形ABOC的兩個頂點，點

￡）是線段A3上的一個動點（不與A、B重合），雙曲線y=K（^>0）經過點￡）,與矩形

x

A80C的邊AC相交于點E.

（1）如圖①，當點力為4B中點時，上的值為24,點E的坐標為（8,3）.

（2）如圖②，當點。在線段AB上的任意位置時（不與A、8重合），連接BC、DE,求

證：BC//DE.

（3）是否存在反比例函數上不同于點。的一點F,滿足：△0￡>F為直角三角形，ZODF

=90。，且tanN￡>OF=L,若存在，請直接寫出滿足以上條件時點。的橫坐標，若不存

3

在，請說明理由.

圖①圖②圖③

【分析】（1）根據矩形的性質得點A的坐標，再利用中點坐標公式得點。的坐標，從而

得出k的值，再將y=6代入即可；

（2）根據點拉、E的坐標，可得出A/）、AE的長度，根據即屈即可證出BC//DE-,

ABAC

（3）根據題意可知，需要分兩種情況：①當點F在直線AB上方時，過點D作

軸于點G,過點尸作?。6于點②當點尸在直線AB下方時，如圖，過點。作

DGLx軸于點G,過點尸作FNLAB于點N,分別設出點D的橫坐標，表達點F的坐標，

進而得出方程，求解即可.

【解答】（1）解：（8,0）、B（0,6）是矩形ABOC的兩個頂點，

：.AB=OC=S,AC=OB=6,

：.A（8,6）,

?.?點。是A8的中點，

：.D（4,6）,

???攵=8義3=24,

產里

X

當尤=8時，y=3,

：.E(8,3),

故答案為：24,(8,3)；

(2)證明：設點拉的橫坐標為小，

工點。的坐標為(加，6),

??k=6ni,

反比例函數的解析式為：尸覺，

X

.?.點E的坐標為(8,—),

4

."0=8-m,AE^AC-CE=6-3(8-m),

44

??嶇=&=_1世二(8F).三

'AC紜3"AE3(8-m)京，

4

.AB_ADnnADAE

??,,,~~,*,L*|J'?二一,

ACAEABAC

.'.BC//DE-.

(3)解：根據題意可知，需要分兩種情況：

①當點F在直線A8匕方時，如圖，過點。作CGJLx軸于點G,過點F作FMLOG于

AZODG+ZDOG=ZODG+ZFDM=90°,

：.ND0G=4FDM,

：./\ODG^f\DFM,

/.OD：DF=OG：DM=DG：FM,

VtanZDOF=A,

3

：.DF：OD=l：3,

：.ODtDF=OG：DM=DG：FM=3,

'：DG=0B=6,

:.FM=2,

設點。的橫坐標為t,

則OG=f,

工，

3

：.D(/,6),F(.t-2,6+主)，

3

，6f=(f-2)(6+工)，

3

解得r=i+E7(負值舍去).

即此時點。的橫坐標為：i+d藥.

②當點尸在直線下方時，如圖，過點。作OGJ_x軸于點G,過點尸作FW148于點

VZODF=90°,

ZODB+ZDOB=ZODB+ZFDN=90°,

:.NDOB=NFDN,

:AODBs/\DFN,

：.ODtDF=OB：DN=DB：FN,

VtanZDOF=A,

3

：.DF：OD=\-.3,

ODtDF=OB：DN=DB：FN=3,

\'OB=6,

:.FN=2,

設點D的橫坐標為n,

則BD=n,

:.FN=@,

3

：.D(〃，6),F(?+2,6-@),

3

.?.6“=(n+2)(6-1)，

3

解得〃=-1+A/3(負值舍去).

即此時點D的橫坐標為：-1+我7

綜上，滿足題意的點。的橫坐標為：1+F7或-i+d3.

【例4】(2022?巴南區自主招生)已知在平面直角坐標系中，二次函數y=^x1+bx+c與x

8

軸交于A、8兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C,A(-4,0),B(12,0),C

(0,-6).

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)如圖1,點P為直線BC下方拋物線上的一個動點，過點P作q。〃丫軸交直線BC

于點。，過點尸作PE〃8c交x軸于點E,求PD+返■BE的最大值及此時點P的坐標；

2

(3)如圖2,將拋物線沿射線CB方向平移3遙個單位，得到新拋物線y',點尸為的

對稱軸上任意一點，若以點B、C、尸為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出符合條

件的點尸的坐標.

【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可；

(2)設P(f,—Z2-r-6),則D(f,—f-6),則P￡)=-2■尸+旦,,求出直線尸E的解

8282

析式為y=—x+—r+-^-r-6,貝IjE(-4/2-3r+⑵0),可求BE=--t2-3t,所以PD+

28244

V2BE=-1^2(…)2+9(1心)，即可求當t=6時，PD+^PE有最大值

2842

9此時尸(6,一生”

42

(3)求出平移后的拋物線解析式為y=2(x-10)2-5,設尸(1(),〃)，B(12,0),C

(0,-6),則8產=4+/,3c2=180,FC2=100+36)2,分三種情況討論當BF為

斜邊時，F(10,-26)；當8c為斜邊時，F(10,-3+/^)或(10,-3-729)；

當CF為斜邊時，100+(n+6F(10,4).

【解答】解：(1)將A(-4,0),C(0,-6)代入卜=工/+瓜+以

.\2-4b+c=0

c=-6

解得b=-l

c=-6

.\y=—^-%-6;

8

(2)設8C的直線解析式為y=Ax+4

..J12k+b=0,

1c=-6

fb=l

解得［2,

c=-6

設尸（3』尸7-6）,則。（r,Ar-6）,

APD=-AA—/,

82

設直線PE的解析式為y=^x+m,

將點P代入，可得m=lt2+li-6,

82

：.E(-」p-3f+12,0),

：.BE=-工a-3f,

4

221+

/.PD+^-BE=-l-t+—t+^-(-A/-3r)=--^.(/-6)2+9_Q±Z2jL,

2822484

當t=6時，PD+^PE有最大值里出巨1,

24

此時p(6,-至)；

2

(3)設拋物線沿x軸正方向平移2"?個單位，則沿y軸正方向平移m個單位，

3A/^=

解得m=3,

二平移后的拋物線解析式為y=](x-10)2-5,

.?.拋物線的對稱軸為直線x=10,

設F(10,B(12,0),C(0,-6),

.?.8尸=4+/,BC2=180,FC2=100+(”+6)2,

當BF為斜邊時，100+(n+6)2+180=4+M2,

解得n--26,

."(10,-26)；

當BC為斜邊時，180=100+(n+6)2+4+/?2,

解得n=-3+A/^或〃=-3-V29-

：.F(10,-3+V^)或(10,-3-V29)；

當CF為斜邊時，100+(n+6)2=]80+4+/,

解得〃=4,

：.F(10,4)；

綜上所述：尸點坐標為(10,-26)或(10,-3+^^)或(10,-3-/^)或(10,

4).

‘培優訓練

X_______________________________/

解答題

I.(2022秋?南關區校級月考)在RtZ\A8C中，ZACB=90°,NA=30°,BC=2,動點

產從點A出發沿折線AC-C8向終點8運動，在4C上的速度為每秒個單位長度，在

8C上的速度為每秒1個單位長度.當點尸不與點C重合時，以C尸為邊在點C的右上方

作等邊△CFQ,設點P的運動時間為f(秒)，點下到42的距離為兒

(1)AC=;

(2)求〃與/的函數關系式，并寫出，的取值范圍;

(3)當點F在AC邊上運動，且點。到AB的距離為a6時，求/的值：

(4)取AB邊的中點。，連結尸￡>、CD,當△FC。是直角三角形時，直接寫出，的值.

(2)分兩種情況：尸在AC上和BC上，根據含30°角的直角三角形和勾股定理可得力

與，的函數關系式；

(3)分兩種情況：設直線CQ與43交于點P,①如圖3,點尸在C。匕②如圖4,點

P在CQ的延長線上，根據等邊三角形的邊長2愿-北/列等式，解出可得答案；

(4)分三種情況：當尸在AC上時，①如圖5,/(7產力=90°,②如圖6,ZCDF=90°,

當尸在8c上時，③如圖7,ZDFC=90a,根據含30°角的直角三角形的性質可得答

案.

【解答】解：⑴：1ACB=9O°,ZA=30",BC=2,

：.AB=2BC=4,

/.AC=<^42_22=V16-4=2V3-

故答案為：2。"§；

(2)分兩種情況：

過點F作FHLAB于H,

圖1

由題意得：

RtZXAF”中，NA=30°,

：.FH=h=—AF=^-t；

22

②當2<fW4時，點尸在邊8c上，如圖2,

圖2

由題意得：CF—t-2,

：.BF^BC-CF^2-(f-2)=4-t,

RtzXBF”中，ZBFH=30°,

22

:.FH=h=MBH=M(4T)=-叵.273：

22

當't(04t<2)

綜上，〃與f的函數關系式為：力工廠

(3)分兩種情況:

設直線CQ與AB交于點P,

①如圖3,點。在C。上，

?..△CF。是等邊三角形，

.?.NFCQ=NQ=NCFQ=60°,

?.,/ACB=90°,

.'.ZBCQ=30°,

VZfi=60o,

：.ZCPE=30°+60°=90°,

.\ZPEQ=30°,

?.?當點尸在AC邊上運動，且點。到AB的距離為上/?時，即。/>=工/7,

22

:.QE=2PQ=h,

'：ZCFQ=60°,ZA=30",

.*.NA=N4EF=30°,

：.EF=AF=y/3t,

,:CF=FQ=2如-百r,

.,.2V3-瓜=網+4如成^,

.,_4

??t———;

5

圖4

由①知：N8PC=90°,NBCP=30°,

:.CP=MBP=&,

；CP=CQ+PQ,

-'.V3=2V3-V3/+—r-

4

3

綜上，r的值是2或2；

53

（4）分三種情況：

圖5

:力是A8的中點，ZACB=90°,

：.CD=AD=2,

'.CF=AF=y/3>

t—1;

②如圖6,ZCDF=90°,

B

LeK

CFA

圖6

VZDCF=30°,

:.DF=^^~,CF=2DF=-^1-,

33

：.AF=2y/3-

33

此時r^—；

3

圖7

VZCDF=30°,

CF=^CD=1,

2

此時r=2+l=3；

綜上，r的值是1或2或3.

3

2.（2021?羅湖區校級模擬）如圖1,已知拋物線）=/+法+c經過原點O,它的對稱軸是直

線尤=2,動點尸從拋物線的頂點A出發，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動,

設動點P運動的時間為，秒，連接OP并延長交拋物線于點8,連接OA,AB.

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）當△AO2為直角三角形時，求f的值；

（3）如圖2,。/為△408的外接圓，在點P的運動過程中，點M也隨之運動變化，

請你探究：在1W/W5時，求點”經過的路徑長度.

【分析】(1)由拋物線y=?+bx+c經過原點。且對稱軸是直線x=2,知c=0,-￡=2,

求得人的值即可得出答案；

(2)設點8(a,/ya),由y=/-4x=(x-2)2-4知A(2,-4),據此得出0不

=22+42=20^OB2=a2+(a2-4a)2>AB2=(.a-2)2+(a2-4a+4)2,再分NQ48=90°、

NAO8=9()°和/ABO=90°三種情況，根據勾股定理列出關于a的方程，解之求得a

的值，繼而求出直線08解析式，求出x=2時y的值，從而求得f的值；

(3)由OM為aAOB的外接圓知點M在線段0A的中垂線上，從而得出IW/W5時，點

M的運動路彳仝是在線段0A中垂線上的一條線段，再結合(2)中的情況求出點M的位置，

根據兩點間的距離公式求解可得.

【解答】解：(I).??拋物線)，=/+法+。經過原點。，且對稱軸是直線x=2,

/.c=0,一旦=2,

2

貝ijb=-4^c=0,

，拋物線解析式為)，=/-4x；

(2)設點B(a,a2-4a),

,.,y=7-4x—(x-2)2-4,

.?.點A(2,-4),

則0屋=22+42=20、OB2—a2+(a2-4a)AB2—(a-2)2+(a2-4a+4)2

22222222

OB=OA+AB,則/+(a-4a)=20+(a-2)+(a-4a+4),

解得“=2(舍)或a=§,

2

；.B(2-匹)，

24

則直線08解析式為y=號，

當x=2時，y=-3,即P(2,-3),

(-3+4)-7-1=1；

(2)^AB2=OA2+OB2,則(。-2)2+(/-4。+4)2=20+a2+(a2-4^z)2,

解得4=o(舍)或〃=9,

2

：.B(―,—),

24

則直線OB解析式為)，=.》，

當x=2時，y=l,即P(2,1),

.,./=[!-(-4)]-?1=5；

OA2=AB2+OB2,則20=(a-2)2+(a2-44z+4)2+a2+{a1-4a)2

整理，得：a3-8t?+21a-18=0,

a3-3a2-5a2+15a+6a-18=0,

a2(a-3)-5a(a-3)+6(a-3)=0,

(a-3)(a2-54+6)=0,

(a-3)2(a-2)=0,

貝ija=3或a=2(舍)，

：.B(3,-3),

...直線。8解析式為y=-x,

當x=2時，y=-2,即P(2,-2),

-(-4)]4-1=2；

綜上，當△AOB為直角三角形時，f的值為1或2或5.

(3)；。用為△AOB的外接圓，

.?.點M在線段OA的中垂線上，

...當1W/W5時，點例的運動路徑是在線段OA中垂線上的一條線段，

當r=l時，如圖1,

此時RtAOAB的外接圓圓心M是。8的中點,

,:B酉,

2

：.M（旦,

4一耍

,此時RtZ\0A8的外接圓圓心M是A8的中點,

'：B（?，9）、A（2,-4）,

24

...M（爭一看）；

當f=2時，如圖3,

???此時Rt^OAB的外接圓圓心M是。A的中點，

VA(2,-4),

：.M(1,-2)；

則點M經過的路徑長度為J(卷_1)2+(T+2F+,(］號)2+(_2V)2=噂?+

道_5遙

84

3.(2012?蕪湖縣校級自主招生)學習過三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的

大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化.

類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰

的比叫做頂角的正對(sad).如圖，在△ABC中，AB^AC,頂角A的正對記作sadA,

這時$遍4=整_型.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.

腰AB

根據上述對角的正對定義，解下列問題：

(1)sad60a的值為B

4.B.1C.返。.2

22

(2)對于0°<A<180°,NA的正對值sadA的取值范圍是0<sadA<2.

(3)已知sina=3,其中a為銳角，試求的值.

5

【分析】(1)根據等腰三角形的性質，求出底角的度數，判斷出三角形為等邊三角形,

再根據正對的定義解答；

(2)求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；

(3)作出直角△A8C,構造等腰三角形AC。，根據正對的定義解答.

【解答】解：(1)根據正對定義，

當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°,

則三角形為等邊三角形，

貝iJw?d60°=」=1.

1

故選8.

(2)當/A接近0°時，s“da接近0,

當乙4接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sada接近2.

于是sadA的取值范圍是0<sadA<2.

故答案為0<sadA<2.

(3)如圖，在△A8C中，ZACB=90°,sin/A=S.

5

在AB上取點。，使4Q=AC,

作O”_LAC,，為垂足，令BC=3k,AB=5k,

則AD=AC=Q(5k)2-(3k)2=縱,

又?.?在△AQ"中，NA"C=90°,sin/A=旦.

5

.?.OH=AOsin/4=4:,Af/=

5D

則在△CO”中，CH=AC-AH=^k,8=在科+CH2=生叵上

55

于是在△4CO中，AD=AC=4k,CD=k.

5

由正對的定義可得：sa"A=S_=?R,即sa"a=H

AD55

p

4.(2022秋?法庫縣期中)如圖，已知函數y=x+l的圖象與y軸交于點A,一次函數尸fcc+b

的圖象經過點8(0,-1),與x軸以及y=x+l的圖象分別交于點C,D,且點。的坐標

為(1,n).

(1)則k—3,b--1n—2；

(2)若函數的值大于函數y=x+l的函數值，則x的取值范圍是x>\；

(3)求四邊形AOCZ)的面積；

(4)在x軸上是否存在點P,使得以點P,C,。為頂點的三角形是直角三角形，請直

【分析】(1)對于直線y=x+l,令x=0求出y的值，確定出A的坐標，把8坐標代入y

=kx+b中求出b的值，再將D坐標代入y=x+l求出〃的值，進而將D坐標代入求出k

的值即可；

(2)由兩一次函數解析式，結合圖象確定出x的范圍即可；

(3)過C作。E垂直于x軸，如圖1所示，四邊形AOCD面積等于梯形4OEO面積減

去三角形CCE面積，求出即可；

(4)在x軸上存在點P,使得以點P,C,。為頂點的三角形是直角三角形，理由為：

分兩種情況考慮：①DP，±DC；②DPLCP,分別求出產坐標即可.

【解答】解：(1)對■于直線y=x+l,令x=0,得到y=l,即A(0,1),

把8(0,-1)代入y=fcr+b中，得：6=-1,

把。(1,〃)代入y=x+l得：〃=2,即。(1,2),

把。坐標代入y=Ax-1中得：2=k-1,即k=3,

故答案為：3,-1,2；

(2)?.?一次函數y=x+l與y=3x-1交于￡>(1,2),

???由圖象得：函數)，=b+〃的函數值大于函數y=x+l的函數值時x的取值范圍是x>l；

故答案為：%>1；

(3)過。作軸，垂足為￡如圖1所示，

.一次函數y=3x-1的圖象與x軸交于點C,

：.C(工，0),

3

CE=1-上=2,

33

WAKAOCD=S^AOED-SACDE=—(AO+DE)?(9E-AcE?DE=Ax(1+2)XI-Ax

2222

2x2=3--=—x

3236

(4)如圖2所示，設P(p,0),

:.pd=(p-A)2,

3

pb1=2+(p-i)2,

CD2=22+(1-A)2,

3

分兩種情況考慮：

①當PO_LOC時，P'C2=P'D^+CD2,

（p-工）2=22+（p-I）2+22+（I-A）2,

33

:.p=7,

：.P'（7,0）；

②當。P_LCP時，由。橫坐標為1,得到P橫坐標為1,

在x軸上，

的坐標為（1,0）,

綜上，P的坐標為（1,0）或（7,0）.

5.（2022秋?同安區期中）如圖，直線y=&x-2分別與》軸、y軸交于A點與B點，函數

了口用x2+2nxf的圖象經過8點.點2是拋物線上的一個動點，過點尸作x軸的垂線

PD,過點B作于點。.

（1）求該二次函數的解析式；

（2）連接4。，當△ABD為直角三角形時，求8。的長；

（3）將△BDP繞點8逆時針旋轉45°,得到當點尸的對應點P落在坐標軸上

【分析】（1）先確定出點A、8的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）當點尸在對稱軸左側時，△A8Q不可能為直角三角形，當點P在對稱軸右側時、

/A8D為銳角，分兩種情況：①當/AD8=90°時，②當/BAO=9（T時，根據直角三

角形的性質分別求解即可；

（3）分點P'落在x軸和），軸兩種情況計算即可.①當點產落在x軸上時，過點P作PE

■Lx軸，垂足為P,過點〃作。FJ_y軸，垂足為凡交，E于點、E,先利用互余和旋

轉角相等得出是等腰直角三角形，根據尸'E=OF=OB+BF,建立方程即可；②

根據等腰直角三角形的性質即可得出結論.

【解答】解：（1）.??直線y=&"2分別與x軸、），軸交于A點與8點，

AA（V2-0）,B（0,-2）,

?拋物線y—yf^x^+^nx+n經過點B,

??n—~~2,

拋物線解析式為y=y/2x2-4x-2；

（2）當點F在對稱軸左側時，△AB。不可能為直角三角形，當點P在對稱軸右側時,

ZABD為銳角，

分兩種情況：

①當NA￡>B=90°時，

VA（V2>0）,B（0,-2）,

...點。坐標為（&,-2）,

:.BD=北

②當NB4C=90°時，設。（a,-2）,

VA（V2>0）,B（0,-2）,

.,.AB2^（V2）2+22=6,

8。2=。2,

AD2=（a-V2）2+22.

在RtZ\48D中，AB2+AD2=BD1,

.,.6+（a-V2）2+21—a2,解得a=3j^,

:，BD=3近；

綜上所述，當△480為直角三角形時，8。的長為&或3&：

（3）①當點P'落在x軸上時，過點尸作P'ELx軸，垂足為尸'，過點。作OFJ_y軸,

垂足為凡交尸'E于點E,

設點P的坐標為("?，-4加-2),

PD—^f2m2-4m-2-(-2)=V2w2-4/n,

：PD_Lx軸，BDA.PD,

，8O_Ly軸，

由旋轉得/。8。=45°,P'D'=PD=V2W2-4W,

；./BD'F=NDBD'=45°,

AZPD'E=45°,

二△尸。'E是等腰直角三角形，

：.P'E=J^-P'D'=亞（&"?2-4"i）,

22

同理BF=^-BD'=-返■〃?，

22

'：P'E=0F=0B+BF,

.?.亞（72m2-4m）=-近"7+2,

22

整理得2m1-3&，〃-4=0,

解得〃--亞或2&（舍去），

2

當機=-返?時，&加2-4力-2=皿^-2,

22

.?.點P的坐標為（-Y2,王亞-2）；

22

②當點P落在），軸上時，如圖，

過點。'作O'M_Lx軸，交8。于M,過點P'作尸'軸，交的延長線于點M

設點P的坐標為(〃，V2n2-4n-2),

：.PD=\[2^-4n-2-(-2)=&"2-4〃,

由旋轉得NO6P=ND'BP'=45°,

.?.△POB是等腰直角三角形，

：.PD=BD,

，“=V^"2-4〃，

解得〃]=且巨或0（舍去），

2

當/?=旦反時，&"2-4〃-2=-^巨-2,

22

.?.點P的坐標為（色巨，回叵-2）；

22

綜上所述，點P的坐標為（-YZ,殳反-2）或巨巨，包反-2）.

2222

6.（2022秋?禪城區校級期中）如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數y=3x+6分別與x

軸和y軸交于點C和點B,已知4（6,0）,

（1）寫出點B,點C的坐標和△A8C的面積；

（2）直線/經過4、B兩點，求直線AB的解析式；

（3）點。是在直線AB上的動點，是否存在動點。，使得S^ACDVs^ABC?若存在'

求出點。的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）如圖2,P為A點右側x軸上的一動點，以P為直角頂點、BP為腰在第一象限內作

等腰直角三角形△8PQ,連接QA并延長交y軸于點K.當P點運動時，K點的位置是否

發生變化？如果不變，請求出它的坐標；如果變化，請說明理由.

【分析】(1)ZVIBC的面積=2XACXOB,即可求解；

2

(2)用待定系數法即可求解：

(3)由S^ACDVsaABC得到加尸.b"即可求解；

(4)證明△80P絲△P”Q(AAS),求出。的坐標為(f+6,r),進而求解.

【解答】解：(I)對于y=3x+6,令x=0,則y=6,故點8(0,6),

令y=3x+6=0,解得：尤=-2,故點C(-2,0)；

則△ABC的面積=1xACXOB=^X(6+2)X6=24；

22

(2)設直線的表達式為y=fcv+Z?(kWO),

則儼+b=0,解得：1k=-l,

Ib=6Ib=6

故直線AB的表達式為y=-x+6：

(3)存在，理由：

?SAACD=2-SAABC,

.*.b,D|=-i|yB|=3.即卜+6|=3,

解得：x=3或9,

故點。的坐標為(3,3)或(9,-3)；

(4)K點的位置不發生變化，理由:

設點P的坐標為(30),

過點。作QH，龍軸于點”，

:NBPO+NQPH=90°,ZPBO+ZBPO=90°,

：.ZQPH=ZPBO,

在RtABOP和Rt/XPHQ中，

'/QPH=/PBO

?ZBOP=ZQHP=90°-

BP=QP

：./\BOP^/\PHQ（A4S）,

:.PH=BO=6,QH=OP=t,

則點。的坐標為（r+6,/）,

設直線AQ的表達式為y—mx+n,

則（t=m（t+6）W,解得卜=1

I0=6m+nIn=-6

故點K的坐標為（0,-6）.

7.(2022秋?工業園區校級期中)如圖，已知點P是第一象限內二次函數y=--+2,加+3層

(nz>0)圖象上一點，該二次函數圖象與x軸交于4、B兩點(A在點B的左側)，與y

軸交于點C,連接AC.

(1)線段48的長為4,”(用含機的代數式表示)；

(2)當機=1時，點。與C點關于二次函數圖象對稱軸對稱，若A。平分NCAP,求點

P的坐標；

(3)若△ABC是直角三角形，點E是AP與BC的交點，則反■的最小值是多少？直接

PE

【分析】(1)利用根與系數的關系求解即可；

(2)先求出/48C=/D48=45°,可得8C_LAO,再由aAOK和△DQK是等腰直角

三角形，確定點Q的坐標，利用點Q的坐標求出C點關于的對稱點G的坐標，直線

AG與拋物線的交點即為尸點；

(3)過點P作PQ//y軸交8c于點Q,過點A作AF//y軸交BC于點兒設P(t,-

尸+2皿+3加2),Ijll]F(-5/n2),Q(/,-mt+3m2),由尸。〃4尸，鯉_=空，當尸。最

PEPQ

大時，鯉有最小值,再由/。=-(/-旦,〃)2+旦，“2,當/=_!用時，尸。有最大值9m2,

PE2424

即可求膽的最小值是空.

PE9

【解答】解：(1)令y=0,則-?+2，依+3〃?2=0,

=

^.x\+x22mfXi*X2=-3nr,

?"§=yj(叼+乂2)2-4X[.乂2=，

故答案為：4m；

(2)當m=l時，y=-/+Zt+3=-(x-1)2+4,

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

令x=0,則y=3,

：.C(0,3),

???點。與C點關于二次函數圖象對稱軸對稱，

：.D(2,3),

令y=0,則-X2+2X+3=0,

解得K=-1或x=3,

?"(-1,0),B(3,0),

，OB=OC=3f

：.ZABC=45°,

過點D作DH-Lx軸交于點H,

:?DH=3,AH=3,

：.ZDAH=45°,

J.BCLAD,

?.?人。=1,

:.OK=1,

：,CK=2,

???△CQK是等腰直角三角形，

：.Q(1,2),

，C點關于4。的對稱點G(2,1),

：.ZCAQ=ZQAG,

.,.AD平分/CAG,

設直線AP的解析式為y=kx+b,

.f-k+b=0

l2k+b=l

k=i

解得《

b4

?~~--,

■33

o

y=-x"+2x+3

聯立方程組《

y

8_

舍)或3

解得x=T(

y=0_11

y~

：.p(