2025屆四川省眉山一中高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為（）A.1 B.2C.3 D.42．已知正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.3．若函數(shù)，則單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.4．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.105．設雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.86．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則7．已知等差數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.8．已知方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.9．若動點在方程所表示的曲線上，則以下結(jié)論正確的是（）①曲線關于原點成中心對稱圖形；②動點到坐標原點的距離的取值范圍為；③動點與點的最小距離為；④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④10．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.4512．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的準線上任意一點做拋物線的切線，切點分別為，則A點到準線的距離與點到準線的距離之和的最小值為___________14．已知O為坐標原點，，是拋物線上的兩點，且滿足，則______；若OM垂直AB于點M，且為定值，則點Q的坐標為__________.15．若“”是“”必要不充分條件，則實數(shù)的最大值為_______16．從編號為01，02，…，60的60個產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中的前兩個編號分別為02，08（編號按從小到大的順序排列），則樣本中最大的編號是_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知圓C與y軸相切于點，且被x軸正半軸分成的兩段圓弧長之比為1∶2（1）求圓C的方程；（2）已知點，是否存在弦被點P平分？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由18．（12分）已知動圓過點且動圓內(nèi)切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.19．（12分）已知拋物線C的焦點為，N為拋物線上一點，且（1）求拋物線C的方程；（2）過點F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點，，求直線l的方程20．（12分）已知數(shù)列{}滿足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）若＝·，求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，直線與交于，兩點（1）求橢圓的方程及焦點坐標；（2）若線段的垂直平分線經(jīng)過點，求的取值范圍22．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得.【詳解】在等差數(shù)列中，設公差為d，由，，得，解得.故選：B2、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當且僅當時取等號，∴的最小值為.故選：A3、C【解析】求出導函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因為函數(shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前項和公式，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，由，可得，，則.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列前項和的基本量運算，屬于基礎題型.5、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.6、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C7、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，再結(jié)合即可得的值.【詳解】因為是等差數(shù)列，設公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.8、A【解析】根據(jù)雙曲線標準方程的性質(zhì)，列出關于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質(zhì)：，解的或，故選：A9、A【解析】將原方程等價變形為，將方程中的換為，換為，方程不變，可判斷①；利用兩點間的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)知識可判斷②和③；取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于，即，對于①，將方程中的換為，換為，方程不變，所以曲線關于原點成中心對稱圖形，故①正確；對于②，設，則動點到坐標原點的距離，因為，所以，故②正確；對于③，設，動點與點的距離為，因為函數(shù)在上遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值，從而取得最小值，故③不正確；對于④，當時，因為，所以，故④不正確.綜上所述：結(jié)論正確的是：①②.故選：A10、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知其導數(shù)在R上恒成立，分離參數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調(diào)遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當時，取最小值-1，故，故選：D11、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，則.故選：B.12、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】設，，，，由可得，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得兩切線的方程，聯(lián)立求得點的坐標，再根到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，三點共線時距離最小，進而求出最小值【詳解】解：設，，，，由可得，所以，所以直線，的方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，，又有在準線上，所以，所以，設直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，可得，所以可得，即直線恒過點，即直線恒過焦點，即直的方程為：，代入拋物線的方程：，，所以，點到準線的距離與點到準線的距離之和，所以當時，距離之和最小且為8，這時直線平行于軸故答案為：814、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運算可求出，設直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)的關系可求出，由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由，即解得或（舍去）.設直線AB的方程為.由，消去x并整理得,.又，，直線AB恒過定點N(6,0),OM垂直AB于點M，點M在以ON為直徑圓上.|MQ|為定值，點Q為該圓的圓心，又即Q(3,0).故答案為：；15、【解析】設的解集為集合，由題意可得是的真子集，即可求解.【詳解】由得或，因為“”是“”的必要不充分條件，設或，，因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，所以故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含16、56【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義得到編號之間的關系，即可得到結(jié)論.【詳解】由已知樣本中的前兩個編號分別為02，08，則樣本數(shù)據(jù)間距為，則樣本容量為，則對應的號碼數(shù)，則當時，x取得最大值為56故答案為:56三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圓心C在直線上，設圓C與x軸的交點分別為E、F，則有，，圓心C的坐標為(2,1)，由此求得圓C的標準方程；（2）假設存在弦被點P平分，有，由此求得直線AB的斜率可得其方程再檢驗，直線AB與圓C是否相交即可.小問1詳解】解：因為圓C與y軸相切于點，所以圓心C在直線上，設圓C與x軸的交點分別為E、F，由圓C被x軸分成的兩段弧長之比為2∶1，得，所以，圓心C的坐標為(2,1)，所以圓C的方程為；【小問2詳解】解：因為點，有，所以點P在圓C的內(nèi)部，假設存在弦被點P平分，則，又，所以，所以直線AB的方程為，即，檢驗，圓心C到直線AB的距離為，所以直線AB與圓C相交，所以存在弦被點P平分，此時直線的方程為.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標公式可知，，再設直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因為，則點是的重心，易得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點睛】本題考查直線與橢圓的問題關系，本題的關鍵是根據(jù)求得，.19、（1）（2）或【解析】（1）拋物線的方程為，利用拋物線的定義求出點N，代入拋物線方程即可求解.（2）設直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及焦半徑公式可得或，即求.【小問1詳解】拋物線的方程為，設，依題意，由拋物線定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）得，設直線的方程為，，，由，得.因為，故所以.由題設知，解得或，因此直線方程為或.20、（1）；（2）【解析】（1）由等差中項可知數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)已知可求得其公差，從而可得其通項公式；（2）分析可知應用錯位相減法求數(shù)列的和【詳解】（1）由知，數(shù)列是等差數(shù)列，設其公差為，則，所以，，即數(shù)列的通項公式為（2），，，兩式相減得：，整理得：，所以21、（1），（2）【解析】（1）由題意，列出關于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點（x0，y0），則，作差可得①，又線段MN的垂直平分線過點A（0，1），則②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為，焦點坐標為【小問2詳解】解：設M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點（x0，y0），因為，所以，即，所以①，因為線段MN的垂直平分線過點A（0，1），所以，即②，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，得④，把③④代入①得，所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，所以k的取值范圍為22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標系，用向量法結(jié)合已知先確定點M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是