2020-2021學年高一數學下學期期末考試仿真模擬試卷二

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若復數z="的共輾復數在復平面內對應的點在第二象限內，則實數〃的值可以是（）

1-Z

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

++a—l+（a+l）i

【解析】依題意z=〉〉.<=--—―

（1一I）（1+。2

_a-l-（a+l）z

2

<2—1<0

由于N在復平面內對應的點在第二象限，所以《（八八，解得。<-1,

-（a+l）>0

故a的值可以是-2.故選：D

2.已知一組數據玉，x2,x3,%4，它的方差是g，那么另一組數據2玉一1,2X2-1,2*3-1,2七一1,

2占一1的方差是（）

A.1B.2C.—D.4

2

【答案】B

【解析】

因為數據2%—1,2X2—1,2X3-1,2A4-1,2/一1的方差是數據引,x2,x3,x4,毛的方差的4倍,

所以數據2天—1,2X2-1,2七一1,2X4-1,2%-1的方差是;X4=2,故選：B

3.一個三位自然數百位，十位，個位上的數字依次為a,b,c,當且僅當<c時稱為“凹數”（如213,

312等），若a,0,ce{l,2,3,4},且a/,c互不相同，則這個三位數為“凹數”的概率為（）

1517

一

6-B.3-D.一

2424

【答案】C

【解析】由于"ce{l,2,3,4},旦a,b,c互不相同，故可得4x3x2=24個三位數.若6=1,貝廠凹數”

有：.213,214,312,314,412,413共6個;若b=2,則“凹數”有：.324,423共2個.所以這個三位數為“凹

Q1

數”的概率為有〃=—=一.故選：C

243

4.在AA3c中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若8=2ccosA,則這個三角形一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】在AA5C中，,.,Z?=2ccosA,

由正弦定理可得：sinB=2sinCeosA,

可得sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=2sinCeosA,

.,.sinTlcosC=sinCcosA,

可得tanA=tanC,

:.A^C.-.a=c.

則這個三角形一定是等腰三角形.故選：C.

5.已知三棱柱—的體積為120,點P,Q分別在側棱A&,CG上，且PA=QG，則三棱錐

8「8產。的體積為（）

A.20B.30C.40D.60

【答案】C

【解析】設三棱柱ABC—44G的體積為V,則V=120,如圖所示，

5

由四邊形APQC的面積為ACC.A面積的i，則V_=|

BACQPVB_ACCIAI

12

又%1G=§丫，又%-柳G+/_ACCM=V，得匕一ACGA=§V

得匕rc2P=1v,同理，VVAC|OP=1V,故三棱錐與一8PQ的體積為:丫

即三棱錐片—3PQ的體積為40.故選：C.

6.已知向量￡,B滿足”且2，B的夾角為則6與￡-石的夾角為（）

7171371_2%

A.—B.—D.—

32T3

【答案】D

【解析】設問第=33。）

?S=|^|X|^|xcos，

222

(a-=a+b—2a-b=2k—k=k9pz—=k

a-h\b=a-b-b2=———k2=--,

722

設向量a-E與B的夾角為e，

k2

（力厚2=1

cos。

k22

27r

因為。40,司，所以6=5，

所以與坂的夾角為27看r.故選：D

7.如圖，在三棱錐S-/8C中，$B=SC=AB=AC=BC=A,SA=2至，,則異面直線也與然所成角的余弦值

是（）

D.

4

【答案】A

【解析】分別取8C、A3、AS的中點E、F、G,連接￡/、EG、FG、￡4、ES,如圖:

由SB=SC=AB=AC=BC=4可得EA=ES=條…,

所以EG_L&1,EG=^SE2-^SAj=J12-3=3,

由中位線的性質可得FG//SB且FG=、SB=2,FEI/AC且尸E=』AC=2,

22

所以NGFE或其補角即為異面直線SB與〃、所成角，

GF2+EF2-GE24+4-9_1

在AGFE中,cosZGFE-

2GFEF2x2x28

所以異面直線掰與/。所成角的余弦值為故選：A.

8

8.己知銳角三角形47C的內角4B,C的對邊分別為a,>,c,且a=2Z?sinA,則cosA+sinC的取值范圍

是（）

A.（當我C.,73)

【答案】B

【解析】依題意a=?sinA，由正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sin8=',

2

由于三角形ABC是銳角三角形，所以8=^.

6

A+B>-

2萬人乃

5萬A)=COSA+-COSA+—

所以cosA+sinC=cosA+sinsinA=-cosA+—sinA

~6)2222

=島抽|+升

由于竺<A+二<2,所以sin（A+g]g:，李，

336I3）[22）

（xr/o3、

所以6sin|A+k|e.故選：B

II2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.己知了為虛數單位，以下四個說法中正確的是（）

A.z+z2+z3+j4=0

B.復數z=3—i的虛部為T

C.若z=（l+2i）2,則復平面內三對應的點位于第二象限

D.已知復數z滿足|z-l|=|z+l|,則z在復平面內對應的點的軌跡為直線

【答案】AD

【解析1A選項，，+/+尸+六=/一+i故A選項正確.

B選項，z的虛部為一1，故B選項錯誤.

2

C選項，Z=1+4Z+4Z=-3+4/,Z=-3-4Z，對應坐標為（-3,-4）在第三象限，故C選項錯誤.

D選項，2一1|=卜+1|=卜一（一1）|表示2到4。,0）和網一1,0）兩點的距離相等，故z的軌跡是線段A6的

垂直平分線，故D選項正確.

10.下列說法正確的是（）

A.在A/4BC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC

B.AABC中，若sin2A=sin28,則A=5

C.在AABC中，若sinA>sin3,則A>B；若A>8,則sinA>sin8

cib+c

D.在AABC中，&.0「

sinAsinB+sinC

【答案】ACD

cihc

【解析】對于A,由正弦定理——=--="-=2R，可得：

smAsinBsinC

a:h:c=27?sinA:27?sinB:21?sinC=sinA:sinB:sinC，故A正確；

jr

對于B,由sin2A=sin26,可得A=5，或2A+2B=萬，即A=3，或A+B=—,

2

:.a=b,或〃2+〃2=-故B錯誤：

對于C,在AA3c4i,由正弦定理可得sinA>sin8<=>Q>/?<=>A>3,因此A>8是sinA>sin5的充

要條件，故C正確;

對于D,由正弦定理一--=---=---=2R,

sinAsinBsinC

-、」b+c27?sinB+27?sinC分八一十&一、&

可得右邊=--------------------------------=2H=左f邊，故D正確.故選：ACD.

sinB+sinCsin8+sinC

11.如圖，正方體ABCD-ABCIA棱長為1，線段與。上有兩個動點瓦F,且EP=等，則下列結論正

B.AE,BE始終在同一個平面內

C.七/〃平面ABCDD.三棱錐A-BE尸的體積為定值

【答案】ACD

【解析】由題可知，正方體ABC。-44GA棱長為1，

則DQJ_平面ABC。，而ACu平面ABC。，

D}D_LAC,

連接BD交AC于點。，則ACL8D,

而DQcBO=O,r>|D,8￡>u平面B3QQ,

.?.4。，平面84。。，

由于是￡產線段用。卜.的兩個動點，則AC_LEE,

又=E，所以AC_L平面BEF，故選項A正確;

?.?B，E，產同在平面上，而A不在平面上,

AE，BE不在同一個平面內，故選項B錯誤；

-,-EF//BD,BDu面ABCO，所仁面ABC。,

EFH平面ABCD，故選項C正確；

由于EF=變，8避=1,且

2

C_1irr.?夜,_V2

?'△BEF=-^FB!B=-X—xl=—,

由于ACJ_平面巫尸，則AO平面8石尸，AO=—

2

1?八八16五I

■■VA-HKF'AO=2X~4~X~2~=]2'

由于底面積和高都不變，則體積為定值，故選項I)正確.故選：ACD.

12.在AABC中，角A,B,C所對邊分別為4氏c.已知(b+c):(c+a):(a+8)=4:5:6,下列結論正確的是

()

UUUUUU

A.a:b:c=7:5:3B.AC-AB<0

C.-=-=-D.若。+c=8,則AABC面積是坦叵

7534

【答案】ABD

753

【解析】設〃+c=4Z,c+a=5Z,a+Z?=6Z(攵>0),則。=一火/=一女,。=一攵,故

222

Q:/?:C=7:5:3,即A選項正確；

序…2怎2+2人竺公

又cosA=------------------------?―—=---故AC-A8=》ccosA<0,8選項正確:

2歷2x九x九2

22

由正弦定理,sinA:sinB:sinC=a::c=7:5:3,C選項錯誤;

若匕+c=8,則Z=2,故b=5,c=3,A=120",所以SA,“=‘*sin4=坦叵，。選項正確

ZV4OV2?

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.從甲、乙、丙、丁四個人中任選兩名志愿者，則甲被選中，乙沒有被選中的概率是.

【答案】-

3

【解析】從四人中任選兩名志愿者的基本事件總數為：盤=6種

甲被選中，乙沒有被選中的基本事件有：C；=2種

21I

，甲被選中，乙沒有被選中的概率p=w=w，故答案為：-

14.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現了古人的智慧與工藝.它

的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示.已

4RV,

知球的半徑為R,圓柱的高為丁.設酒杯上部分（圓柱）的體積為匕，下部分（半球）的體積為匕，則才

的值是_______________

圖1圖2

【答案】2

IV”八24R4兀R*-14%R32兀R'

【解析】山題意耳=%;?———=-----,V,=-x------=------,

1332233

所以3=ST=2,故答案為：2

^2ZTTA

3

15.如圖，在等腰直角AABC中，D,E分別為斜邊8C的三等分點（0靠近點5）,過E作的垂線,

垂足為F，則而=

A

【答案】—AB+—AC

1515

【解析】設8C=6,則A5=AC=30,BD=DE=EC=2,

I277c-/—10+10—44

AD=AE=JBD2+BA2-2BZ)-B/lcos-=V10，cosZDAE=--------=-,

V42x105

AFAF4—?4—?

所以——=—=一，所以AF=-AO.

ADAE55

因為方方=無百+,占G=A月+'(前一A月)^-AB+-AC,

33、'33

—?4/2—■1--A8—■4―-

所以AF=-x-AB+-AC\=—AB+—AC.故答案為：AB+AC

5(33J1515

16.己知在球O的內接長方體ABC。—A4GA中，A8=A4=2,AD=3,則球。的表面積為

若P為線段AD的中點，則過點P的平面截球。所得截面面積的最小值為.

_9

【答案】177r—兀

4

【解析】如圖，

因為球0的內接長方體ABC。—44GA中，AB=AA,=2fAD=3,

所以2H=DBI=V22+22+32=V17，

所以球的表面積S=4"R)=17〃>

當OP,球的截面，即P為截面圓圓心時，球心到截面圓的距離d=O尸時最大,

此時截面圓半徑r=JFR最小，此時截面圓的面積最小，

而OP=JOO；+OF=JT+E=&

Qjr97r

所以截面圓面積5=萬產=丁.故答案為：17兀；—

44

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.復數z=(l—i)2—3a+2+i(aeR).

(1)若z為純虛數求實數。的值，及z在復平面內對應的點的坐標；

(2)若z在復平面內對應的點位于第三象限，求實數。的取值范圍.

22

【答案】(1)a=~,(0,-1)；(2)(-,+oo).

【解析】因為z=(l-i)2-3a+2+i,所以z=(l-i)2—3a+2+i=(2—3a)-i

(1)若z為純虛數，則2-3。=0,解得：a=~,

此時z=T,z在復平面內對應的點的坐標為：(0,-1),

2

所以z為純虛數時實數a=§,z在復平面內對應的點的坐標為：(0,-1)

(2)若z在復平面內對應的點位于三象限，

2—3。＜02

則＜＞解得＜2＞—

-1＜03

2

所以z在復平面內對應的點位于第三象限，則實數。的取值范圍：(§，+°0)-

18.已知向量2=(3,4),］與￡同向,若2.石=125.

(1)求向量辦的坐標表式;

(2)求與向量)垂直的單位向量"的坐標.

【答案】(1)加=(15,20)

【解析】⑴由2=(3,4),則同=5,坂與￡同向，則B與I為零度.

設5=&￡=(3左,4人),左＞0,貝1q=5左

所以￡石=同也際0。=254=125,解得左=5

所以。=(15,20)

(2)設單位向量"=(x,y),則f+y2=i

又向量a與c垂直,則a=3x+4y=()

19.某醫院為促進行風建設，擬對醫院的服務質量進行量化考核，每個患者就醫后可以對醫院進行打分，最

高分為100分.上個月該醫院對100名患者進行了回訪調查，將他們按所打分數分成以下幾組：第一組

［0,20),第二組［20,40),第三組［40,60),第四組［60,80),第五組［80,100］,得到頻率分布直方圖，如

圖所示.

頻率

0.0175

0.0150

0.0125

0.0100

0.0075

0.0050

0.0025

0

分效

(1)求所打分數不低于60分的患者人數;

(2)該醫院在第二、三組患者中按分層抽樣的方法抽取6名患者進行深入調查，之后將從這6人中隨機抽取

2人聘為醫院行風監督員，求行風監督員來自不同組的概率.

Q

【答案】(1)65人；(2)—.

【解析】(1)由直方圖知，所打分值［60/00)的頻率為

0.0175x204-0.0150x20=0.65

?.?人數為100x0.65=65(人)

答：所打分數不低于60分的患者的人數為65人.

(2)由直方圖知，第二、三組的頻率分別為0.1和0.2,

則第二、三組人數分別為10人和20人，

所以根據分層抽樣的方法，抽出的6人中，

第二組和第三組的人數之比為1：2,

則第二組有2人，記為A3；第三組有4人，記為凡瓦c,d.

從中隨機抽取2人的所有情況如卜：AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,cd共15種

其中，兩人來自不同組的情況有：Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,8”共8種

Q

兩人來自不同組的概率為不

Q

答：行風監督員來自不同組的概率為西.

20.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=AC,點。，E分別是6C,4G的中點，朋=2,

BC=2五.

(1)求證：4E〃平面AOG；

(2)求二面角G—AO-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)B.

【解析】連接OE，如圖所示,

在直三棱柱ABC-44G中，側面BCC4是平行四邊形，

因為￡>，E分別是6C,4G中點，所以DE〃BB］且DE=BB-

又且A4,=8與，所以/LAJ/OE且，

所以四邊形44,E。是平行四邊形，所以&E//AD.

又ADu平面AOG，4￡(2平面4。6，

所以AE〃平面A￡)G.

(2)因為AB=AC，D為BC中點,所以AT>_LDC.

因為三棱柱ABC—44G為直三棱柱，所以CG_L面ABC,

又ADu面ABC,所以CG_LA。，

因為AOL8C,CC,±AD,5CPICC,=C,所以仞_1_面8。。4，

又因為￡>Gu面BCC,所以AO，DC-

所以二面角G-A。一。的平面角為NG。。，

因為朋=2,BC=2夜，所以℃=/，CC,=A4(=2,

因為CG，面ABC,COu面ABC，CC,1CD,

所以G。=A/22+2=V6>

所以cosNgOC=孚=］，，即二面角C,-AD-C的余弦值為B.

21.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解

2c+b

答.①百cosA(ccosB+bcosC)+asinA=0；②cosB=-----③

2a

tanA+tanB+tanC+V3tanBtanC=0.

已知△A6c的內角A民。的對應邊分別為ahc..

（1）求A；

（2）設A。是△ABC的內角平分線，邊Ac的長度是方程8%+6=0的兩根，求線段AO的長度.

2）3

【答案】條件選擇見解析；（1）A=——；（2）二.

34

【解析】（1）選擇條件①，

因為6cosA（ccosB+Z?cosC）+asinA=0,由」E弦定理得：

A/3COSA（sinCcos6+sin8cosC）+sinAsinA=0,

BPV3cosAsin（B+C）+sin2A=0,

在△ABC中，sin（8+C）=sinAwO,

所以仃cosA+sinA=0,

sinAr-

即tanA------=一,

cosA

24

因為A為△ABC內角，所以A=——.

3

選擇條件②，以《8=空2,由余弦定理得:

2a

a2+c2-b1_2c+〃

lac2a

整理得：b2+c2-a2=-hc，

h2+c2-a2

所以cosA=

2bc2

2萬

因為A為△ABC內角，所以A

T

選擇條件③，tanA+tanB+tanC+V3tanBtanC=0.?

tanB+tanCtanB+tanC

因為tan（B+C）=,即-tanA=

1-tanBtanC1-tanBtanC

所以tanA+tan3+tanC-tanAtan3tanC=0.

所以GtanBtanC=-tanAtanBtanC，

因為A、B、。為為△ABC內角，所以tan5wO,tanCwO

所以tanA=一百，所以A=—.

(2)因為邊"