第6章FIR數字濾波器設計16.1線性相位FIR數字濾波器的特性6.2窗函數設計法6.3

頻率采樣設計法6.4FIR數字濾波器的等波紋設計6.5FIR濾波器與IIR濾波器的比較6.5用Matlab函數設計FIR數字濾波器第6章FIR數字濾波器設計2優點：①很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理的信號產生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號理、數據傳輸等系統中非常重要；②極點全部在原點（永遠穩定），無穩定性問題；③任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉變為因果序列，所以因果性總是滿足；④無反饋運算，運算誤差小。缺點：①因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數為代價；②無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。6.1線性相位FIR數字濾波器的特性36.1.1線性相位特性6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數6.1.3線性相位FIR濾波器的零點特性6.1線性相位FIR數字濾波器的特性4

因為它是一種線性時不變系統，可用卷積和形式表示FIR數字濾波器的差分方程描述對應的系統函數6.1.1線性相位特性51.線性相位的條件線性相位意味著一個系統的相頻特性是頻率的線性函數，即式中

為常數通過這一系統的各頻率分量的時延為一相同的常數，系統的群時延為FIR濾波器的頻響特性為6.1.1線性相位特性6式中，H(

)是正或負的實函數，稱為幅度函數（amplitudefunction）；

(

)是濾波器的相位函數(6.1-3)將

(

)=

代入（6.1-3）式得(6.1-4)(6.1-5)式（6.1-5）中，等式兩邊實部與虛部應當各自相等，同樣實部與虛部的比值應當相等，從而得到6.1.1線性相位特性7將上式兩邊交叉相乘，應用三角函數的恒等關系(6.1-6)滿足上式的條件是(6.1-7)此時濾波器的單位脈沖響應將偶對稱于中點

。

6.1.1線性相位特性82.線性相位+附加的相位(6.1-8)式中，β為一常數，上式的群時延依然是常數

。(6.1-9)可以得到類似的解為(6.1-10)此時濾波器的單位脈沖響應將奇對稱于中點

。

6.1.1線性相位特性9

偶對稱線性相位特性

奇對稱6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數10FIR濾波器為了得到線性相位特性，需要濾波器的單位脈沖響應滿足偶對稱或奇對稱，同時濾波器的長度N可以為偶數或奇數，不同的組合可以得到4種類型的FIR線性相位濾波器。1.類型1——h[n]偶對稱，N為奇數其單位脈沖響應滿足：6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數相位函數為幅度函數為因為對于呈偶對稱，則對于是偶對稱。故：116.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數122.類型2——h[n]偶對稱，N為偶數其單位脈沖響應滿足：相位函數為6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數幅度函數為因為對于呈奇對稱，則對于是奇對稱。而且當時，，則H(z)在z=

1處必然有一個零點，136.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數143.類型3——h[n]奇對稱，N為奇數其單位脈沖響應滿足：相位函數為，中間項必然為零6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數幅度函數為對于是奇對稱。而且當時，，則H(z)在z=

1

處必然有零點，因為對于呈奇對稱，上式可以表示為156.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數164.類型4——h[n]奇對稱，N為偶數其單位脈沖響應滿足：相位函數為6.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數幅度函數為對于是奇對稱。而且當時，，則H(z)在z=1

處必然有零點，176.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數類型1:h[n]偶對稱、N為奇數，四種濾波器都可設計；類型2:h[n]偶對稱、N為偶數，可設計低、帶通濾波器，不

能設計高通和帶阻；類型3:h[n]奇對稱、N為奇數，只能設計帶通濾波器，

其它

濾波器都不能設計；類型4:h[n]奇對稱、N為偶數，可設計高、帶通濾波器，不

能設計低通和帶阻。186.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數類型1類型2h[n]h[n]h[n]a[n]b[n]196.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數類型3類型4h[n]h[n]d[n]c[n]206.1.2線性相位FIR濾波器的幅度函數例6.1-1N=5,h

[0]=h[1]=h

[3]=h

[4]=

1/2,h

[2]=2，求幅度函數H(ω)。解:

Ｎ為奇數,并且h[n]滿足偶對稱關系a[0]=h

[2]=2a[1]=2h

[3]=

1a

[2]=2h

[4]=

1H(ω)=2

cosω

cos2ω

=2

(cosω+cos2ω)216.1.3線性相位FIR濾波器的零點特性將代入式得到

由該式可看出，若z=zi是H(z)的零點，則z=z-1i也一定是H(z)的零點。由于h[n]是實數，H(z)的零點還必須共軛成對，所以z=z*i

及z=1/z*也必是零點。226.1.3線性相位FIR濾波器的零點特性所以線性相位濾波器的零點必須是互為倒數的共軛對，即成四出現，這種共軛對共有四種①既不在單位園上，也不在實軸上，有四個互為倒數的兩組共軛對，zi,z*I,1/zi,1/z*i②在單位圓上，但不在實軸上，因倒數就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，zi,z*i圖（b）236.1.3線性相位FIR濾波器的零點特性③不在單位圓上，但在實軸上，是實數,共軛就是自己，所以有一對互為倒數的零點,zi,1/zi圖（c）④又在單位圓上，又在實軸上，共軛和倒數都合為一點，所以成單出現，只有兩種可能，zi=1或zi=-1圖(d)246.1.3線性相位FIR濾波器的零點特性我們從幅度響應的討論中已經知道，對于類型2濾波器（h[n]偶對稱，N為偶數），。

即

是的零點，既在單位圓，又在實軸，所以，必有單根；類型3濾波器，h[n]奇對稱，N為奇數，因所以z=1，z=-1都是H(z)的單根；類型4濾波器，

h[n]奇對稱，N為偶數，H(0)=0，所以z=1是H(z)的單根。所以，h[n]奇對稱→H(0)=0N為偶數→H(π)=0線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應用最廣。使用時應根據需用選擇其合適類型，并在設計時遵循其約束條件。256.2窗函數設計法（時間窗口法）266.2.1窗函數設計法的基本原理6.2.2幾種常用的窗函數6.2窗函數設計法（時間窗口法）27

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應為，那么FIR濾波器的設計就在于尋找一個實際頻響特性去逼近，逼近方法有三種：窗口設計法（時域逼近）頻率采樣法（頻域逼近）最優化設計（等波紋逼近）窗函數設計法是從單位脈沖響應序列著手，使實際濾波器的h[n]逼近理想的單位脈沖響應序列hd[n]。6.2.1窗函數設計法的基本原理

28

一般來說，理想頻響是分段恒定，在邊界頻率處有突變點，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應hd[n]往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h

[n]是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd[n]

。最簡單的辦法是直接截取一段hd[n]代替h

[n]。這種截取可以形象地想象為h

[n]是通過一個“窗口”所看到的一段hd[n]，因此，h

[n]也可表達為h

[n]和一個“窗函數”的乘積，即hd[n]可以從理想頻響通過IDTFT變換獲得h

[n]=

hd[n]

w[n]式中w

[n]稱為窗函數6.2.1窗函數設計法的基本原理

29窗函數法設計的基本步驟（1）構造希望逼近的濾波器頻響特性以低通線性相位FIR濾波器設計為例（2）求出hd[n]：對進行IDTFT得到（3）加窗得到FIR濾波器的單位脈沖響應h

[n]h

[n]=

hd[n]w[n]（6.2-3）6.2.1窗函數設計法的基本原理

302.窗函數法設計的性能分析式（6.2-3）表示，的逼近誤差必然與窗函數直接相關。所以逼近誤差實質上就是加窗的影響，窗函數的類型和長度都會影響逼近誤差。設窗函數為矩形窗函數，即wR[n]=RN[n]（6.2-4）（6.2-5）矩形窗頻譜的線性相位中幅度函數6.2.1窗函數設計法的基本原理

31N矩形窗幅度函數的主瓣寬度為，但旁瓣電平較高，第一旁瓣電平為-13.5dB。（6.2-9）6.2.1窗函數設計法的基本原理

32卷積過程分析如下：① 當

=0時的幅度函數H(0)，根據（6.2-9）式，此時幅度函數應該是Hd(θ)與WR(-θ)兩個函數乘積的積分，就是WR(-θ)在-

c到

c一段內的積分面積；（6.2-9）②

當

=

c時的幅度函數H(

c)，此時幅度函數應該是Hd(θ)與WR(

-θ)的一半重疊，因此H(

c)/H(0)=0.56.2.1窗函數設計法的基本原理

33③

當

=

c-2π/N時，WR(

-θ)的主瓣在Hd(θ)的通帶

c之內，而右邊具有負面積的第一旁瓣已全部移出通帶，因此卷積結果最大值，即H(

c-2π/N)為最大值，幅度函數出現正肩峰；（6.2-9）④ 當

=

c+2π/N時，WR(

-θ)的全部主瓣在Hd(θ)的通帶

c之外，而通帶內第一旁瓣起著主導作用，使得負值的面積大于正值的面積，因此H(

c+2π/N)為最小值，幅度函數出現負肩峰；6.2.1窗函數設計法的基本原理

34⑤ 當

>

c+2π/N時，頻率

繼續增加，

WR(

-θ)左邊旁瓣與通帶相乘部分的幅度越來越小，因此,

c+2π/N<

≤π區間，

H(

)的值就在零值附近波動，而且波動幅度越來越小。由圖6.2-2（e）可看出，

H(

)是對Hd(

)的逼近，它可能在個別頻率點上取零值，但不在一個區間上恒為零，這也是可實現性的要求。H(

)相對Hd(

)的逼近誤差是波動的，通帶和阻帶的最大波動誤差相等，即，相當于（6.2-10）這個最大波動誤差是矩形窗固有的，與窗函數長度N無關，這是吉布斯現象，N增加時，主瓣寬度變小，幅度的波動起伏振蕩變密。6.2.1窗函數設計法的基本原理

35理想低通濾波器的單位脈沖響應截短后，對幅度函數產生的主要影響：① 理想濾波器的Hd(

)在通帶截止頻率

c處的間斷點變成了連續曲線，從而使H

(

)出現一個過渡帶，其寬度取決于窗函數的主瓣寬度，對于矩形窗WR(

)其主瓣寬度等于4π/N

。② 由于窗函數旁瓣的作用，使幅度函數出現波動。旁瓣所包圍的面積越大，幅度函數的波動越大。過渡帶：通帶邊界頻率

p和帶阻邊界頻率

s通過數值計算，可以得到矩形窗設計時的過渡帶為：（6.2-11）6.2.2窗函數設計法的基本原理

363.窗函數法設計的其他濾波器對于其他類型濾波器，只需修改和的表達式，選擇窗長度和加窗過程是一致的，表6.2-1標準理想濾波器的設計公式（適合矩形窗）6.2.2幾種常用的窗函數37為了加大阻帶衰減，只能改善窗函數的形狀。一般希望窗函數滿足兩項要求：①窗函數幅度函數的主瓣盡可能地窄，以獲得較窄的過渡帶；②盡量減少幅度函數的最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。但是這兩項要求是不能同時得到滿足，往往是增加主瓣寬度以換取對旁瓣的抑制。需要設計可用的窗函數，其幅度函數旁瓣電平要較小，而主瓣就會加寬。這樣窗函數在邊沿處（n=0和n=N

1附近）比矩形窗變化要平滑而緩慢，以減小由陡峭的邊緣所引起的旁瓣分量，使阻帶衰減增大，但主瓣寬度會比矩形窗的要寬，這就造成濾波器幅度函數過渡帶的加寬。6.2.2幾種常用的窗函數381.常用的固定窗函數（1）矩形窗（Rectangular）（2）三角窗（Bartlett）窗主瓣寬度為

6.2.2幾種常用的窗函數39（3）漢寧（Hann）窗,又稱升余弦窗當N>>1時，幅度函數近似為這三部分之和，使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍。主瓣寬度為6.2.2幾種常用的窗函數40（4）哈明（Hamming）窗,又稱改進的升余弦窗當N>>1時，幅度函數近似為它是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度（對應第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集中在主瓣內。主瓣寬度為6.2.2幾種常用的窗函數41（5）布萊克曼（Blackman）窗,又稱二階升余弦窗當N>>1時，幅度函數近似為主瓣寬度為增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，是矩形窗主瓣的三倍，增加N可減少過渡帶。幾種窗函數時域序列包絡形狀6.2.2幾種常用的窗函數42圖6.2-5四種窗函數的歸一化幅度譜（N=49）6.2.2幾種常用的窗函數43圖6.2-6四種窗口在同一指標下設計FIR低通濾波器的幅頻特性（N=49，

c=0.4

）6.2.2幾種常用的窗函數44表6.2-2幾個窗函數的性能參數窗函數主瓣寬度過渡帶旁瓣峰值衰減/dB阻帶最小衰減/dB矩形4

/N1.8

/N-13-21三角8

/N4.2

/N-26-25漢寧8

/N6.2

/N-31-44哈明8

/N6.6

/N-41-53布萊克曼12

/N11

/N-57-742.可變窗函數--凱澤（Kaiser）窗凱澤窗可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。式中I0(x)是零階貝塞爾函數，形狀參數β可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。β越大，w[n]窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取4<β<9。6.2.2幾種常用的窗函數45圖6.2-7凱澤窗（a）凱澤窗函數（b）凱澤窗頻譜當n=(N

1)/2時,凱澤窗處于最大值1。β=5.44接近哈明，β=8.5

接近布萊克曼，β=0為矩形。圖6.2-7(a)給出了β=4.5和β=8.5兩種情況下的凱澤窗函數時域序列的包絡圖，圖6.2-7(b)

給出了β=4.5和β=8.5兩種情況下的凱澤窗函數的歸一化幅度譜。6.2.2幾種常用的窗函數46凱澤窗設計有經驗公式可供使用，給出過渡帶△

，阻帶衰減

s(dB),則可求凱澤窗FIR濾波器的階數N和參數β，即例6.2-1用凱澤窗設計一個FIR低通濾波器，其性能指標為：解：根據上述濾波器的性能指標可知：濾波器通帶與阻帶的波動均為:（6.2-17）（6.2-18）6.2.2幾種常用的窗函數47濾波器的過渡帶為：濾波器的截止頻率為：

設計理想低通濾波器的頻響特性為：理想低通濾波器的單位脈沖響應為：實際低通濾波器的單位脈沖響為：6.2.2幾種常用的窗函數48例（補充）用窗函數設計線性相位高通FIRDF，要求通帶邊界頻率，通帶最大衰減，阻帶截止頻率，阻帶最小衰減。

解：（1）選擇窗函數因為阻帶最小衰減，可選擇漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗。這里選擇漢寧窗根據過渡帶寬高通，N為奇數，N=256.2.2幾種常用的窗函數49

（2）期望理想濾波器（3）確定期望濾波器的單位脈沖響應6.2.2幾種常用的窗函數50

全通濾波器低通濾波器（4）加窗6.2.2幾種常用的窗函數51

6.3頻率采樣設計法526.3.1頻率采樣法設計原理6.3.2頻率采樣法的設計步驟6.3頻率采樣設計法53工程上，常給定頻域上的技術指標，所以采用頻域設計更直接。基本思想使所設計的FIR數字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。內插公式頻率采樣法則是從頻域出發，對理想濾波器的頻響特性

進行采樣，然后利用采樣值來實現FIR數字濾波器的設計。6.3.1頻率采樣法設計原理54將理想濾波特性經單位圓上的N等分采樣后得到頻域采樣值：單位脈沖響應：其系統函數為：令

（6.3-4）（6.3-1）6.3.1頻率采樣法設計原理55

（6.3-4）在z平面單位圓上，即，可以得到頻響特性可以表示為：（6.3-5）其中

(

)是內插函數（6.3-6）由式(6.3-5)可以看出，在各頻率采樣點上，實際濾波器的頻響特性與理想濾波器頻響特性的數值嚴格相等。但是，在采樣點之間的頻響特性則是由各采樣點的加權內插函數疊加形成的，因而存在一定的逼近誤差。6.3.1頻率采樣法設計原理56

誤差大小則取決于理想頻響特性的曲線形狀和采樣點的密度。理想頻響特性變化越平緩，則內插值越接近理想值，逼近誤差越小。反之，如果采樣點之間的理想頻響特性變化越迅速，則內插值與理想值的誤差就越大。因此，在理想頻響特性的不連續點附近會形成振蕩特性。采樣點數愈多，即采樣頻率越高，誤差越小。圖6.3-1頻率采樣的逼近效果從圖中可以看出，其一，由頻率采樣法設計所得的頻響特性在采樣點之間出現了起伏振蕩；其二，在通帶和阻帶之間不連續處，變化較劇烈，出現肩峰。但在通帶和阻帶之間有過渡帶時，變化比較緩慢，對的逼近較好。6.3.2頻率采樣法的設計步驟57

頻率采樣法設計數字濾波器的步驟：(1)首先根據理想濾波器的性能指標，計算在通帶、阻帶中的采樣點數，確定所設計濾波器單位脈沖響應h[n]的對稱性(奇、偶)；(2)根據單位脈沖響應h[n]的對稱性，計算各采樣的幅度值和相位值；(3)利用理想濾波器的頻率采樣值Hd[k]=H

[k]ej(k)

，通過傅里葉逆變換IDFT，求所設計濾波器的單位脈沖響應h[n]，即h[n]=IDFT[Hd[k]]；(4)利用DTFT變換，求濾波器的頻響特性H

(ej

)=DTFT[h[n]]，檢驗是否滿足設計要求，若不滿足，可以在通帶和阻帶交界處安排一個或幾個不等于零的采樣過渡點，重復(1)，(2)，(3)步驟計算處理，直到滿足設計要求為止。6.3.2頻率采樣法的設計步驟58

1.類型1，h[n]=

h[N

1

n]

，N為奇數濾波器的幅度函數是偶對稱的，相位函數幅度及相位的采樣分別為2.類型2，

h[n]=

h[N

1

n]

，N為偶數濾波器的幅度函數是奇對稱的，相位函數幅度及相位的采樣分別為6.3.2頻率采樣法的設計步驟59

3.類型3，

h[n]=

h[N

1

n]

，N為奇數幅度及相位的采樣分別為4.類型4，

h[n]=

h[N

1

n]

，N為偶數濾波器的幅度函數是奇對稱的，相位函數幅度及相位的采樣分別為濾波器的幅度函數是偶對稱的，相位函數6.3.2頻率采樣法的設計步驟60例6.3-1用頻率采樣法設計一個線性相位FIR數字低通濾波器。要求單位脈沖響應滿足h[n]=

h[N

1

n]

，理想濾波器幅頻特性為要求截止頻率，采樣點數。解：（1）確定截止頻率所處的位置因為采樣點數33，采樣間隔，則，

,即截頻率位于第6個采樣與第7個采樣之間，取（2）確定各采樣點的幅度和相位大小6.3.2頻率采樣法的設計步驟61

（3）利用IDFT求FIR數字濾波器的單位脈沖響應

(4)最后計算所設計FIR數字濾波頻率響應6.3.2頻率采樣法的設計步驟62為了改善濾波器的頻響特性，可以在通帶和阻帶交界處安排一個或幾個在0到1之間的采樣值。首先，在k=8和k=26處，增設H[k]=0.5，這等效于加寬過渡帶增至4π/33。重新計算出的如圖6.3-2(b),其阻帶最小衰減約為-30dB。6.3.2頻率采樣法的設計步驟63為了進一步增加阻帶衰減，又不增加過渡帶帶寬，可以增加采樣點數。例如，用65點進行采樣，在k=14和k=52處，插進優化采樣值H[k]=0.6，在k=15和k=51處，插進優化采樣值H[k]=0.1，過渡帶寬為6π/65，并沒有增加，而阻帶最小衰減可達-60dB以上。見圖6.3-2(c)。所付出的代價是提高了濾波器的階數，因而運算量也隨之增加。需要說明，在總的采樣點不變的前提下，過渡帶的采樣值不同直接影響到濾波器的頻響特性。在圖6.3-2(b)中，過渡帶采樣點取0.5并非最優值。如果采樣最優的過渡帶采樣點取0.3904，最小阻帶衰減可以提高10dB。例6.3-1所設計的濾波器為類型1線性相位FIR濾波器。6.3.2頻率采樣法的設計步驟64

例6.3-2用頻率采樣法設計一個線性相位FIR帶通濾波器，設N=32，理想濾波器幅頻特性為解:

N=32為偶數，按類型2線性相位FIR濾波器設計頻率間隔為，求得6.3.2頻率采樣法的設計步驟65

根據上面設計可以得到帶通濾波器的頻率特性如圖6.3-3所示。6.3.2頻率采樣法的設計步驟66

小結：頻率采樣設計法優點：①

直接從頻域進行設計，物理概念清楚，直觀方便；②

適合于窄帶濾波器設計，這時頻率響應只有少數幾個非零值。典型應用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達接收機，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標的運動速度；缺點：截止頻率難以控制。

因頻率取樣點都局限在2π/N的整數倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板；充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復雜性增加。6.4FIR數字濾波器的等波紋設計67FIR濾波器設計的本質是尋找一種長度為N的單位脈沖響應h[n]，使h[n]的頻響特性與希望逼近的片段恒定常數濾波器頻響特性的誤差滿足指標要求。窗函數和頻率采樣設計方法，逼近誤差在整個頻域分布極不均勻，如果在誤差最大的頻段剛好達到指標，但是在誤差最小的頻段則遠遠優于指標，從而造成資源浪費。

等波紋最佳一致逼近法使最大誤差最小化，并在整個逼近頻段上均勻分布。用等波紋最佳一致逼近法設計的濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶都是等波紋的，這就是等波紋的含義，最佳一致逼近指在濾波器長度給定條件下使波紋幅度最小。由于這種設計法使誤差均勻分布，所以設計的濾波器性能價格比最高。指標相同時這種設計方法使濾波器階數最低；階數相同時，該設計法使濾波器的最大逼近誤差最小，即通帶衰減最

小，阻帶衰減最大。68

6.4.1等波紋最佳一致設計的基本思想

最優化設計的前提是最優準則的確定，在FIR濾波器最優化設計中，常用的準則有①最小均方誤差準則②最大誤差最小化準則。（1）

均方誤差最小化準則，若以E(ejω)表示逼近誤差，則

均方誤差為69

6.4.1等波紋最佳一致設計的基本思想

均方誤差最小準則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差，這一方法注重的是在整個-π～π頻率區間內總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，對于窗口法FIR濾波器設計，因采用有限項的h[n]逼近理想的hd[n]，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗706.4.1等波紋最佳一致設計的基本思想可以證明，這是一個最小均方誤差。所以，矩形窗窗口設計法是一個最小均方誤差FIR設計，根據前面的討論，我們知道其優點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大，或者說誤差分布不均勻。（2）

最大誤差最小化準則（也叫最佳一致逼近準則）表示希望逼近的幅度函數；表示實際設計的濾波器幅度函數；稱為誤差加權函數，用來控制不同頻段(一般指通帶和阻帶)的逼近精度。取值越大，表示相應頻段逼近精度越高。等波紋最佳一致逼近法就是在通帶和阻帶以|E(

)|的最大值最小化為準則，求解濾波器脈沖響應h[n]。把通帶和阻帶稱為逼近(或研究)區域，把過渡帶稱為無關區域。應當注意，設計過程中無關區寬度不能為零，即不能是理想幅度函數。71

6.4.1等波紋最佳一致設計的基本思想某濾波器的參數：等波紋濾波器幅頻特性72

6.4.1等波紋最佳一致設計的基本思想設希望逼近濾波器的通帶和阻帶分別為[0,

/4]和[5

/16，

]，對4種不同的性能指標參數，等波紋最佳一致逼近的增益響應曲線分別如圖(a)、(b)、(c)和(d)所示。N=33,W[1,10]；(b)N=33,W[10,1]；(c)N=33,W[1,1]；(d)N=63,W[1,1]誤差加權函數W(

)和濾波器階數N對逼近精度的影響73

6.4.2remez函數與remezord函數remez函數與remezord函數是Matlab工具箱函數的庫函數，編程時可以直接調用，下面簡單說明其調用方法。1．remez函數功能：采用remez算法實現線性相位FIR數字濾波器的等波紋最佳一致逼近設計。調用格式：hn=remez(N,f,m,w,’ftype’)返回單位脈沖響應向量hn。調用參數含義如下：N：FIRDF階數，設計結果hn長度為N+1；f、m：給出希望逼近的幅特性。f為邊界頻率向量，0≤f≤1，要求f為單調增向量。

調用參數f和m含義圖解w為誤差加權向量，其長度為f的一半。ftype用于指定濾波器類型。74

6.4.2remez函數與remezord函數2．remezord函數

功能：用于估算FIR數字濾波器的等波紋最佳一致逼近設計的最低階數N，誤差加權向量w，歸一化邊界頻率向量fo，從而使濾波器在滿足指標的前提下，濾波器階數最低。其返回參數作為remez函數的調用參數。調用格式：[N，fo，mo，w]=remezord(f，m，rip，Fs)參數說明：

返回參數作為remez函數的調用參數，Fs為采樣頻率，省略時默認為2Hz。解：調用remezord和remez函數求解。首先要根據性能指標確定remezord函數的調用參數，再直接寫程序調用remezord和remez函數得到濾波器的脈沖響應h[n]。75

6.4.2remez函數與remezord函數76

6.4.2remez函數與remezord函數用上述參數可以設計帶通濾波器，如圖6.4-4所示中，N

1=23，即h[n]長度為24，顯示了h[n]序列和增益響應曲線。等波紋最佳一致逼近設計方法可以使濾波器階數大大降低。例題可以看出，h[n]滿足偶對稱條件，所以必然具有嚴格線性相位特性。77

FIRIIR性能嚴格線性相位，但成本高，運算量大，信號延時也較大存儲單元少，運算量小，經濟高效設計結果可得到幅頻特性（可以多帶）和線性相位（最大優點）只能得到幅頻特性，相頻特性未知（一大缺點），如需要線性相位，須用全通網絡校準，但增加濾波器階數和復雜性穩定性極點全部在原點（永遠穩定）無穩定性問題有穩定性問題階數高

結構非遞歸遞歸結構設計工具只有計算程序可循可借助于AF的設計成果快速算法可用FFT實現，減少運算量無快速運算方法6.5FIR濾波器與IIR濾波器的比較78

6.6用Matlab函數設計FIR數字濾波器例6.6-1已知FIR濾波器的單位脈沖響應為：，畫出該濾波器的頻響特性，零極點分布圖。解：根據濾波器的單位脈沖響應可知，其h[n]具有對稱性，并且長度為12，所以該濾波器是類型2線性相位濾波器。b=[2,1,-1,3,5,-4,-4,5,3,-1,1,2];n=0:length(b)-1;a=[1];th=0:0.05:2*pi;[H,w]=freqz(b,a);zerophase(b,a,512,'whole');G=tf(b,a);subplot(1,4,1);stem(n,b);xlabel('n');ylabel('h[n]');title('單位脈沖響應');subplot(1,4,2);plot(w/pi,abs(H));xlabel('\omega/\pi');ylabel('(dB)');title('濾波器幅頻特性');subplot(1,4,3);plot(w/pi,angle(H)/pi);xlabel('\omega/\pi');ylabel('(rad/\pi)');title('濾波器相頻特性');subplot(1,4,4);pzmap(G);holdon;;title('濾波器零極點分布圖');x=cos(th);y=sin(th);plot(x,y,':');%畫單位圓6.6用Matlab函數設計FIR數字濾波器例6.6-3設計具有任意頻率響應的FIR濾波器。本例設計一個“多段濾波器”，它有三個頻帶，各自具有不同的理想幅度和不同的誤差波動，設計參數為：頻帶1：，理想幅度為0.3；頻帶2：，理想幅度為0.7；頻帶3：，理想幅度為1。畫出濾波器的幅頻特性。解：Matlab提供兩個窗函數設計FIR濾波器的函數。fir1可以設計標準頻率響應的濾波器；fir2可以設計任意頻率響應的多帶濾波器。本例利用fir2函數設計FIR濾波器，使用的窗函數為Hamming缺省值，fpts=[00.30.40.650.751];mval=[0.30.30.70.71.01.0];b=fir2(100,fpts,mval);[h,omega]=freqz(b,1,512);plot(omega/pi,abs(h));xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('濾波器幅頻特性');gridon;濾波器的幅頻特性呈現多帶特點，該濾波器不屬于標準的低通、高通等濾波特性。

796.6用Matlab函數設計FIR數字濾波器例6.6-4用等波紋切比雪夫法，設計一個線性相位數字帶通濾波器，設N=36，三段不同頻帶的加權值分別為1，2和0.5，邊界頻率如下:解：在窗函數設計中，不能精確指定通帶與阻帶頻率，并且通帶與阻帶區間上誤差不是均勻分布。靠近邊緣處誤差大；反之，遠離邊緣處誤差小。等波紋切比雪夫設計法是通帶與阻帶上誤差均勻分布，因而可以得到較低階數的濾波器。f=[00.20.30.60.71];m=[001100];N=36;W=[120.5];b=remez(N-1,f,m,W);[h,omega]=freqz(b,1,512);%UsingHammingWindowsubplot(1,2,1);plot(omega/pi,abs(h));xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('濾波器幅頻特性');axis([0101.1]);gridon;subplot(1,2,2);plot(omega/pi,20*log10(abs(h)));xlabel('\omega/\pi');ylabel('(dB)');itle('濾波器增益響應');axis([01-701]);gridon;806.6用Matlab函數設計FIR數字濾波器f=[00.20.30.60.71];m=[001100];N=36;W=[120.5];b=remez(N-1,f,m,W);[h,omega]=freqz(b,1,512);%UsingHammingWindowsubplot(1,2,1);plot(omega/pi,abs(h));xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度');title('濾波器幅頻特性');axis([0101.1]);gridon;subplot(1,2,2);plot(omega/pi,20*log10(abs(h)));xlabel('\omega/\pi');ylabel('(dB)');itle('濾波器增益響應');axis([01-701]);gridon;由于權系數不同，濾波器高頻段誤差較大。81小結線性相位FIR濾波器線性相位濾波器的條件4種類型線性相位濾波器的特性窗函數設計FIR濾波器設計步驟窗函數類型與特性頻率響應設計FIR濾波器設計原理設計步驟822024/10/28dsp-chap7-201883第7章

數字信號處理系統的實現7.4數字濾波器的系數量化效應7.3輸入信號的量化誤差7.2數的表示與量化誤差7.1數字濾波器結構7.6FFT實現中的量化效應7.5數字濾波器的運算量化效應7.7用Matlab分析數字信號處理系統與量化效應2024/10/28dsp-chap7-201884學習目標：熟練應用系統框圖或信號流圖描述數字信號處理的過程

（a）IIR數字濾波器的三種結構：直接型，級聯型和并聯型；

（b）FIR數字濾波器的結構：直接型，級聯型，線性相位型，

頻率取樣型，頻域快速卷積型；第7章

數字信號處理系統的實現2.了解數字信號處理中有限字長造成的影響和效應

（a）數的二進制表示法；

（b）A/D轉換器的量化誤差及量化效應統計分析；（c）數字濾波器系數量化所產生的誤差及統計分析模型；（d）數字濾波器實現時的運算量化誤差及統計分析模型；

極限環效應（e）FFT實現中的誤差分析2024/10/28dsp-chap7-201885數字濾波器可以用差分方程、單位脈沖響應和系統函數來描述，但對于研究系統的實現，即它的運算結構來說，用方框圖（或信號流圖）表示最為直接。7.1數字濾波器結構E1(z1)x[n]x[n1]單位延時器x1[n]

x2[n]x1[n]+x2[n]加法器x[n]aax[n]數乘器X(z)Y(z)=z

1X(z)z

1X(z)Y(z)=aX(z)aX1(z)Y(z)=X1(z)+X2(z)X2(z)2024/10/28dsp-chap7-201886例1某離散系統的信號流圖如下圖所示，分析系統的系統函數，

并求解其沖激響應。7.1數字濾波器結構z1Y(z)W(z)z1z1423X(z)53Y(z)解：W(z)=X(z)

(3z1+5z2+3z3)W(z)Y(z)=(2z2+4z3)W(z)如果收斂域：2024/10/28dsp-chap7-201887IIR數字濾波器：其沖激響應h[n]是無限長度序列

；

或者系統函數H(z)至少有一個非零的極點。7.1.2IIR數字濾波器結構IIR數字濾波器的結構主要有三種形式：直接型，級聯型，并聯型。2024/10/28dsp-chap7-2018887.1.2IIR數字濾波器結構1、IIR數字濾波器的直接I型結構（設M=N）圖7.1-3直接I型結構方框圖

b0x[n]

z

1

b1

z

1

b2

z

1bM

1++++

bM++

z

1

a1y[n]+

z

1

a2

z

1+

aN

1

aN圖7.1-4直接I型信號流圖aNy[n]a1z

1z

1z

1a2aN

1x[n]b0b1z

1z

1z

1b2bM

1bM特點：需要M+N個延時器

（存儲器）2024/10/28dsp-chap7-2018897.1.2IIR數字濾波器結構2、IIR數字濾波器的直接II型結構（設M=N）直接II性結構x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bN

1bNa2aN

1aNW(z)特點：需要max（M，N）

個延時器（存儲器）2024/10/28dsp-chap7-2018907.1.2IIR數字濾波器結構3、轉置型結構流圖將方框圖或信號流圖中所有支路方向顛倒成反向，且輸入輸出的位置互相調換一下，得到系統的轉置流圖。以前述的直接II型為例：圖7.1-6轉置的直接II型信號流圖

x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1aN2024/10/28dsp-chap7-2018917.1.2IIR數字濾波器結構3、轉置型結構流圖直接I、II型結構都稱為直接型結構。其優點是簡單直觀。缺點是：系數ai和bi對濾波器性能（零點和極點）的控制關系不直接，也就是說，當系數ai中有一個發生變化，則所有極點位置都會變化，系數bi對零點的影響也是如此。而且階數N越大，影響也越大。所以高階的IIR濾波器一般會采用級聯或并聯結構以減小上述影響。2024/10/28dsp-chap7-2018927.1.2IIR數字濾波器結構4、IIR數字濾波器的級聯型結構圖7.1-7級聯型的二階基本節Hi(z)1

1i

1iz

1z

1

2i

2i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A圖7.1-8IIR數字濾波器的級聯型結構2024/10/28dsp-chap7-2018937.1.2IIR數字濾波器結構5、IIR數字濾波器的并聯型結構r0ir1i

1iz

1z

1

2iAigiz

1

y[n]

x[n]

C0圖7.1-9IIR數字濾波器的并聯型結構H1(z)

H2(z)

HP(z)

2024/10/28dsp-chap7-2018947.1.2IIR數字濾波器結構例7.1-1分別畫出下式所描述系統的直接II型、并聯型和級聯型結構。解：(1)直接II型，如右圖所示120.75z

1z

10.125x[n]y[n]1(2)并聯型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

251882024/10/28dsp-chap7-2018957.1.2IIR數字濾波器結構(2)并聯型，也可以將上式的并聯型變換一下：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

2526

4(3)級聯型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1注意：（a）級聯和并聯的子系統階數必須低于整個系統的階數；

（b）級聯和并聯子系統的各項系數必須為實數。2024/10/28dsp-chap7-201896FIR數字濾波器：其沖激響應h[n]是有限長度序列，

通常取0

n

N

1

；

從而其系統函數H(z)的極點全是0。7.1.3FIR數字濾波器結構另外，如果FIR數字濾波器的單位沖激響應滿足對稱或反對稱特性，即h[n]=

h[N

1

n]，則FIR濾波器的相位響應具有線性特點。直接型，級聯型，線性相位型，快速卷積型，頻率取樣型。所以，FIR濾波器一般具有如下結構：2024/10/28dsp-chap7-2018971、IIR數字濾波器的直接I型結構（設M=N）

h[0]x[n]

z

1

h[1]

z

1h[2]

z

1h[N2]++++

h[N1]y[n]y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]7.1.3FIR數字濾波器結構y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]2024/10/28dsp-chap7-2018982、FIR數字濾波器的級聯型結構

1iz

1z

1

2i

0i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A7.1.3FIR數字濾波器結構圖7.1-16FIR濾波器的級聯型結構x[n]

01z

1z

1z

1

11

21z

1

02

12

22y[n]

z

1z

1

2L

1L

0L2024/10/28dsp-chap7-2018993、FIR線性相位數字濾波器的線性相位性結構7.1.3FIR數字濾波器結構h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1當N為奇數時，當N為偶數時，2024/10/28dsp-chap7-20181003、FIR線性相位數字濾波器的線性相位性結構7.1.3FIR數字濾波器結構h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1當N為奇數時，當N為偶數時，x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(a)z

1z

1z

1h[1]h[2]h[(N

1)/2]h[(N

3)/2]

1

1

1x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(b)z

1z

1z

1h[1]h[2]

1

1

1z

1

1h[(N/2)2]h[(N/2)1]2024/10/28dsp-chap7-20181014、FIR數字濾波器的快速卷積型結構7.1.3FIR數字濾波器結構假設輸入信號x[n]長度為N1，如果取N

N1+N2

1，并假設x[n]和h[n]的N點DFT分別為X[k]和H[k]，則根據DFT的圓周卷積定理，有y[n]

Y[k]=H[k]X[k]也即：

y[n]=IDFT[H[k]X[k]]x[n]0

n

N1

1補零N點DFTh[n]0

n

N2

1he[n]0

n

N

1H[k]0

k

N

1

N點IDFTy[n]0

n

N1+N2

2補零N點DFTxe[n]0

n

N

1X[k]0

k

N

1H[k]X[k]0

k

N

12024/10/28dsp-chap7-20181025、FIR數字濾波器的頻率采樣型結構7.1.3FIR數字濾波器結構設h[n]的N點DFT為H[k]，則圖7.1-18FIR濾波器的頻率采樣型結構x[n]y[n]

z

NH[N

1]z

1WN

(N

1)H[1]z

1WN

1H[0]z

1WN01/N（a）原理：2024/10/28dsp-chap7-20181035、FIR數字濾波器的頻率采樣型結構7.1.3FIR數字濾波器結構（b）特點：（1）Hc(z)是一個由N節延時單元組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有N個等分的零點，而一階濾波器Hk(z)在單位圓上有一個對應的極點；（2）系數H[k]和WN

k都是復數，增加了運算的復雜性；（3）所有諧振器的極點都在單位圓上，由于量化效應的影響，系統的穩定性不能保證。2024/10/28dsp-chap7-20181045、FIR數字濾波器的頻率采樣型結構7.1.3FIR數字濾波器結構（c）修正的頻率采樣型結構：當N為偶數時，當N為奇數時，其中：r0k=2Re[H[k]]，r1k=

2Re[rH[k]WNk]2024/10/28dsp-chap7-2018105例7.1-2已知FIR濾波器的系統函數為：

H(z)=(1+0.5z

1)(1+2z

1)(1

0.25z

1)(1

4z

1)

分別畫出它的直接型、級聯型、線性相位型和頻率采樣型結構。解：(1)直接型，如右圖所示(2)級聯型（一階節級聯）：7.1.3FIR數字濾波器結構H(z)=1

1.75z

1

8.625z

2

1.75z

3+z

4x[n]z

1y[n]

z

1z

1z

1

1.75

8.625

1.75(a)

x[n]z

1z

10.52y[n]

z

1

4z

1

0.25(b-1)2024/10/28dsp-chap7-2018106(2)級聯型，也可以將上式的級聯型變換為二階節的級聯：H(z)=(1+2.5z

1+z

2)(1

4.25z

1+z

2)----線性相位7.1.3FIR數字濾波器結構(b-2)x[n]z

1z

1z

12.5z

1

4.25y[n]

(3)線性相位型結構：：H(z)=(1+z

4)

1.75(z

1+z

3)

8.625z

2(c)x[n]z

1z

1

y[n]

z

1

1.75

8.625

z

12024/10/28dsp-chap7-2018107(4)頻率采樣型結構：取H(z)的8等分點采樣值為：H[k]={

10.125，j11.10，10.625，

j6.15，

3.125，j6.15，10.625，

j11.10}，0

k

77.1.3FIR數字濾波器結構設修正半徑r=1（即不修正極點位置）y[n]

x[n]

z

81/821.251.414

115.695

8.696z

1z

1

1z

1z

1

1

3.125z

1

10.125z

1

1.414

1z

1z

12024/10/28dsp-chap7-2018108數的記錄與表示：7.2數的表示與量化誤差如：123.456=1102+2101+3100+4101+5102+6103日常記數法：十進制，包含十個不同的數碼0，1，2，…，9；基：10；高位低位整數小數（尾數）權位數字信號處理中：二進制，包含二個不同的數碼0，1；基：2；如：11001.1101=124+123+022+021+120

+121+122+023+124為縮短二進制表示的長度或快速讀寫二進制數：八進制，十六進制如：11001.1101=（31.64）8=（1A.E）162024/10/28dsp-chap7-20181091.定點二進制數：小數點位置固定不動7.2.1二進制數的表示再如：（11001.1101）2=（25.8125）10，用定點小數（二進制）表示：（25.8125/32）10=（0.806640625）10=（0.110011101）2但為了運算方便，通常定點制都把數

a限制在

1之間，即

1<a<1。這時，小數點固定在分數的第一位二進碼之前，而整數位定義為“符號位”，代表數的正負(“0”表示正數，“1”表示負數)，小數部分稱為“尾數”。如：（0.101）2=（0.625）10定點數有三種編碼方式：（1）原碼：也稱“符號-幅度碼”；（2）補碼：也稱“2的補碼”；（3）反碼：也稱“1的補碼”；三種編碼對于正數來說，完全相同；但是對于負數，則有不同的表示。例：（

0.625）10=（

1.101）2原=（

1.011）2補=（

1.010）2反2024/10/28dsp-chap7-20181101.定點二進制數：小數點位置固定不動7.2.1二進制數的表示特點：定點數做加減法運算其結果可能或超出

1的范圍，稱為“溢出”。定點數做乘法運算不會造成溢出，但是字長卻要增加一倍，一般在定點乘法運算以后需要對尾數做截尾或舍入處理，以保證字長不變，但是這樣處理后會帶來截尾誤差或舍入誤差。2.浮點二進制數：x=M

2c，M是它的尾數部分，2c是它的指數部分，c是階數，稱為“階碼”。尾數和階碼都用帶符號的定點數表示，通常M的范圍是0.5

|M|<1特點：浮點數做加減法運算：需要對階，然后再做加減；其動態范圍很大，不會出現“溢出”。浮點數做乘法運算時：階碼相加，尾數相乘但不論做加減或乘法運算，都存在尾數的截尾或舍入處理而帶來誤差的問題。2024/10/28dsp-chap7-20181111.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差當定點系統采取截尾處理時，對于正數，三種碼的表示法是相同的，因而量化的影響也是相同的。設

x是(b1+1)位的正數：即其十進制的數值為：截尾后字長為b位，顯然b<b1，對x截尾后的量化值用QT[x]表示為截尾的量化誤差用ET表示，為當

i=0，i=b+1，b+2，

，b1時，取等號，即ET=0當

i=1，i=b+1，b+2，

，b1時，誤差達到最大值，即2024/10/28dsp-chap7-20181121.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差對于負數，三種碼的表示法各不相同，因而量化產生的誤差也各不相同。設

x是(b1+1)位的負數。（a）負數原碼：截尾的量化誤差用ET表示，為令q=2

b，它是(b+1)位(含符號位)字長正數的最小值，這個值稱為“量化寬度”或“量化階”。定點正數的截尾誤差為：

q<ET

0定點負數原碼的截尾誤差為：

0

ET<q2024/10/28dsp-chap7-20181131.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差對于負數，三種碼的表示法各不相同，因而量化產生的誤差也各不相同。設

x是(b1+1)位的負數。（b）負數反碼：截尾的量化誤差用ET表示，為定點負數反碼的截尾誤差為：

0

ET<q2024/10/28dsp-chap7-20181141.截尾誤差7.2.2定點制的量化誤差對于負數，三種碼的表示法各不相同，因而量化產生的誤差也各不相同。設

x是(b1+1)位的負數。（c）負數補碼：截尾的量化誤差用ET表示，為定點負數反碼的截尾誤差為：

q<ET

0歸結起來，定點表示法的截尾誤差為：正數及負數補碼的截尾誤差為負數，其范圍：

q<ET

0；負數原碼與負數反碼的截尾誤差為正數，其范圍：0

ET<q。2024/10/28dsp-chap7-20181152.舍入誤差7.2.2定點制的量化誤差對字長為(b1+1)位的定點數作舍入處理時，是通過對尾數的第(b+1)位加1，然后截取到b位實現的。舍入之后的量化間距為q=2

b，即兩個數間最小非零差是q。無論是原碼、反碼還是補碼，其誤差總是在

q/2之間。以QR[x]表示對x作舍入處理，ER表示舍入誤差，則有

q/2<ER

q/2例7.2-1

若寄存器字長b=2的數字系統，當經過運算處理后字長增加到b1=4。現有運算后的三個數：

負數原碼x1B=1.1001，負數反碼x2反=1.1010，和負數補碼x3補=1.1010（1）若采用截尾處理，分別求出上述三數所引起的誤差；（2）若采用舍入處理，分別求出上述三數所引起的誤