第十一章行列式與矩陣

第一節(jié)矩陣的概念及運算

定義1

由

m×n個數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)稱為m×n

矩陣.排成的m行n列數(shù)表,記成某學校印刷廠印制甲、乙、丙三種類型的作業(yè)本，一、二月份的生產(chǎn)與銷售情況如下表：的第一個下標稱為行標，第二個下標稱為列標。稱作矩陣的元素。

矩陣，一．矩陣的概念１．行矩陣（行向量）——只有一行的矩陣。等……２．列矩陣（列向量）——只有一列的矩陣。等……二．幾種特殊形式的矩陣等……４．零矩陣

——所有元素都為零的矩陣，簡記作。

３．方陣——行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。如：等……二階方陣三階方陣n階方陣如等……５．對角形矩陣——主對角線上的元素不全為零，其它的

元素都為0的方陣，簡記作。６．單位矩陣——主對角線上的元素都是1的對角形矩陣，

簡記作。如：等……７．上三角形矩陣——主對角線下方元素全為零、上方的

元素不全為0的方陣。如：等……８．下三角形矩陣——主對角線上方的元素全為零，下方

的元素不全為0的方陣。三、矩陣的相等定義2如果兩個矩陣A，B的行數(shù)和列數(shù)分別相同，且各對應元素相等，則稱矩陣A與矩陣B相等。即若，，且，，則A=B。且，例題：已知

求的值。，，關系式１．矩陣的加法

定義2

設A=(aij

),B=(bij

)都是m×n矩陣,矩陣A與B的和例1記成A+B,規(guī)定為四．矩陣的運算兩個印刷廠：

矩陣的加法運算滿足規(guī)律2.(A+B)+C=A+(B+C)(結合律)3.A+0=A4.設A=(aij

),記–A=(?aij

),規(guī)定A?B=A+(?

B)二數(shù)與矩陣的乘法

定義3

規(guī)定為

稱–A

為A

的負矩陣,1.A+B=B+A(交換律)

易知

A+(?A)=0例2若那么3A=A3數(shù)乘矩陣的運算滿足規(guī)律：A,B為矩陣.三矩陣與矩陣的乘法

定義4

設A=(aij)是一個m×s

矩陣,B=(bij

)是一個

s×nA

與B的乘積記成

AB，即C=AB.規(guī)定

A與B

的積為一個m×n

矩陣C=(cij

)，其中

AB=ABm×ss×nm×n

矩陣,例3

例4例5

例6一般來說，AB≠BA,

若矩陣

A、B

滿足AB=0,n階矩陣

稱為單位矩陣.如果A為

m×n

矩陣，那么

即矩陣的乘法不滿足交換律.未必有A=0或B=0

的結論.

n階矩陣稱為對角矩陣.兩個對角矩陣的和是對角矩陣，兩個對角矩陣的積也是對角矩陣.矩陣的乘法滿足下述運算規(guī)律２．矩陣的減法設，則稱矩陣為A的負矩陣，記作。若A、B為同型矩陣，則規(guī)定即，３．數(shù)乘矩陣如：若，則注意：數(shù)乘矩陣時，矩陣的每一元素都要乘以常數(shù)K。等……數(shù)量矩陣數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律：４．矩陣的乘法設則其中行列

左矩陣右矩陣A的列數(shù)B的行數(shù)例如：無意義！

左邊矩陣右邊矩陣的列數(shù)的行數(shù)注意：AB存在，BA無意義，例題：計算下列各題（1）（2）（1）一般地，，即乘法不滿足交換律。（2）當AB=BA時，稱A、B為可交換矩陣，或稱A、B可交換。此時，A、B必為同階方陣。小結與特別地，有：，即可交