2025屆江蘇省無錫市育才中學高一上數學期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．的值為（）A. B.C. D.2．已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.3．如圖，三棱柱中，側棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是A.平面B.與是異面直線C.D.4．將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（）A. B.C. D.5．如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G,已知△A'DE是△ADE繞DE旋轉過程中的一個圖形(A'不與A,F重合),則下列命題中正確的是()①動點A'在平面ABC上的射影在線段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱錐A'-FED的體積有最大值.A.① B.①②C.①②③ D.②③6．設函數的定義域為，若存在，使得成立，則稱是函數的一個不動點，下列函數存在不動點的是（）A. B.C. D.7．已知命題，則是（）A.， B.，C.， D.，8．現對有如下觀測數據345671615131417記本次測試中，兩組數據的平均成績分別為，兩班學生成績的方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，9．已知函數，則的概率為A. B.C. D.10．“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數，則___________.12．在中，，，且在上，則線段的長為______13．16/17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急，約翰納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數.后來天才數學家歐拉發現了對數與指數的關系，即.現在已知，，則__________.14．____.15．已知冪函數y=xα的圖象經過點2,8，那么16．已知，，當時，關于的不等式恒成立，則的最小值是_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）求的值；（2）若函數在區間是單調遞增函數，求實數的取值范圍；（3）若關于的方程在區間內有兩個實數根，記，求實數的取值范圍.18．已知圓C經過點A（0，0），B（7，7），圓心在直線上（1）求圓C的標準方程；（2）若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，求直線l的方程19．已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊經過點.（1）求，；（2）求的值.20．已知圓的方程為：（1）求圓的圓心所在直線方程一般式；（2）若直線被圓截得弦長為，試求實數的值；（3）已知定點，且點是圓上兩動點，當可取得最大值為時，求滿足條件的實數的值21．設函數（且）（1）若函數存在零點，求實數的最小值；（2）若函數有兩個零點分別是，且對于任意的時恒成立，求實數的取值集合.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據誘導公式以及倍角公式求解即可.【詳解】原式.故選：A2、B【解析】先對三個數化簡，然后利用指數函數的單調性判斷即可【詳解】，，，因為在上為增函數，且，所以，所以，故選：B3、D【解析】因為三棱柱A1B1C1-ABC中,側棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以對于A,AC與AB夾角為60°,即兩直線不垂直，所以AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A錯誤；對于B,CC1與B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B錯誤；對于C,A1C1，B1E是異面直線；故C錯誤；對于D,因為幾何體是三棱柱,并且側棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中點，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；故選D.4、C【解析】由題意可得，底面放三個鋼球，上再落一個鋼球時體積最小，于是把鋼球的球心連接，則可得到一個棱長為2的小正四面體，該小正四面體的高為，且由正四面體的性質可知，正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心是重合的，所以小正四面體的中心到底面的距離是，正四面體的中心到底面的距離是，所以可知正四面體的高的最小值為，故選擇C考點：幾何體的體積5、C【解析】【思路點撥】注意折疊前DE⊥AF,折疊后其位置關系沒有改變.解:①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC∴點A'在平面ABC上的射影在線段AF上.②BC∥DE,BC?平面A'DE,DE?平面A'DE,∴BC∥平面A'DE.③當平面A'DE⊥平面ABC時,三棱錐A'-FED的體積達到最大.6、D【解析】把選項中不同的代入，去判斷方程是否有解，來驗證函數是否存在不動點即可.【詳解】選項A：若，則，即，方程無解.故函數不存在不動點；選項B：若，則，即，方程無解.故函數不存在不動點；選項C：若，則，即或，兩種情況均無解.故函數不存在不動點；選項D：若，則，即設，則，則函數在上存在零點.即方程有解.函數存在不動點.故選：D7、C【解析】由全稱命題的否定是特稱命題即可得結果.【詳解】由全稱命題的否定是特稱命題知：，，是，，故選：C.8、C【解析】利用平均數以及方差的計算公式即可求解.【詳解】，，，，故，故選：C【點睛】本題考查了平均數與方差，需熟記公式，屬于基礎題.9、B【解析】由對數的運算法則可得：，當時，脫去符號可得：，解得：，此時；當時，脫去符號可得：，解得：，此時；據此可得：概率空間中的7個數中，大于1的5個數滿足題意，由古典概型公式可得，滿足題意的概率值：.本題選擇B選項.10、A【解析】由菱形和平行四邊形的定義可判斷.【詳解】解：四邊形是菱形則四邊形是平行四邊形，反之，若四邊形是平行四邊形則四邊形不一定是菱形，所以“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”充分不必要條件.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用函數的解析式由內到外逐層計算可得的值.【詳解】因為，則，故.故答案為：.12、1【解析】∵，∴，∴，∵且在上，∴線段為的角平分線，∴，以A為原點，如圖建立平面直角坐標系，則，D∴故答案為113、2【解析】先根據要求將指數式轉為對數式，作乘積運算時注意使用換底公式去計算.【詳解】∵，∴，∴故答案為2【點睛】底數不同的兩個對數式進行運算時，有時可以利用換底公式：將其轉化為同底數的對數式進行運算.14、.【解析】本題直接運算即可得到答案.【詳解】解：，故答案為：.【點睛】本題考查指數冪的運算、對數的運算，是基礎題.15、3【解析】根據冪函數y=xα的圖象經過點2,8，由2【詳解】因為冪函數y=xα的圖象經過點所以2α解得α=3，故答案：316、4【解析】由題意可知，當時，有，所以，所以點睛：本題考查基本不等式的應用．本題中，關于的不等式恒成立，則當時，有，得到，所以．本題的關鍵是理解條件中的恒成立三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】分析：(1)先根據二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數，再代入求值；(2)根據正弦函數性質確定單調性遞增區間，再根據區間之間包含關系列不等式，解得實數的取值范圍；(3)先根據正弦函數圖像確定a的取值范圍，再根據對稱性得，最后代入求實數的取值范圍.詳解：（1）∵∴（2）由，得，∴在區間上是增函數∴當時，在區間上是增函數若函數在區間上是單調遞增函數，則∴，解得（3）方程在區間內有兩實數根等價于直線與曲線有兩個交點.∵當時，由（2）知在上是增函數，在上是減函數，且，，，∴即實數的取值范圍是∵函數的圖像關于對稱∴，∴∴實數的取值范圍為.點睛:函數性質(1).(2)周期(3)由求對稱軸，最大值對應自變量滿足，最小值對應自變量滿足，(4)由求增區間;由求減區間18、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0【解析】（1）設圓心C（a，b），半徑為r，然后根據條件建立方程組求解即可；（2）分直線l經過原點、直線l不經過原點兩種情況求解即可.【小問1詳解】根據題意，設圓心C（a，b），半徑為r，標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圓C經過點A（0，0），B（7，7），圓心在直線上，則有，解可得，則圓C的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，小問2詳解】若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，分2種情況討論：①直線l經過原點，設直線l的方程為y＝kx，則有5，解得k，此時直線l的方程為yx；②直線l不經過原點，設直線l的方程為x+y﹣m＝0，則有5，解得m＝7+5或7﹣5，此時直線l方程為x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；綜合可得：直線l的方程為yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝019、（1），；（2）.【解析】（1）根據三角函數的定義，即可求出結果；（2）利用誘導公式對原式進行化簡，代入，的值，即可求出結果.【詳解】解：（1）因為角的終邊經過點，由三角函數的定義知，（2）誘導公式，得.20、（1）；（2）或；（3）.【解析】（1）配方得圓的標準方程，可得圓心坐標滿足，消去可得圓心所在直線方程；（2）由弦長、半徑結合勾股定理求出圓心到直線的距離，再由點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，兩者相等可解得m；（3）根據題意判斷出四邊形PACB是正方形，進而求得，由兩點間距離公式可求得m【小問1詳解】由已知圓C的方程為：，所以圓心為，所以圓心在直線方程為.【小問2詳解】（2）由已知r=2，又弦長為，所以圓心到直線距離，所以，解得或.【小問3詳解】由可取得最大值為可知點為圓外一點，所以，當PA、PB為圓的兩條切線時，∠APB取最大值.又，所以四邊形PACB為正方形，由r=2得到，即P到圓心C的距離，解得.21、（1）；（2）【解析】(1)由題意列出不等式組，令，求出對稱軸，若在區間上有解，則解不等式即可求得k的范圍；(2)由韋達定理計算得，利用指數函數單調性解不等式，化簡得，令，求出函數在