2022年考研數學二真題(含答案)一、選擇題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）1.設函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增2.設函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增3.設函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增4.設函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增5.設函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增6.設函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增7.設函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增8.設函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增9.設函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增10.設函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，則下列結論正確的是（）A.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞增B.$f(x)$在$(\infty,+\infty)$上單調遞減C.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞增，在$(0,+\infty)$上單調遞減D.$f(x)$在$(\infty,0)$上單調遞減，在$(0,+\infty)$上單調遞增二、填空題（本題共10小題，每小題5分，滿分50分）11.函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的定義域為______。12.函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的值域為______。13.函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$的導數為______。14.函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的二階導數為______。15.函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的積分表達式為______。16.函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$的積分表達式為______。17.函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$處的極限為______。18.函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$在$x=0$處的極限為______。19.函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$在$x=0$處的極限為______。20.函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$處的導數為______。三、解答題（本題共5小題，每小題10分，滿分50分）21.求函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$在$x=0$處的導數。22.求函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$在$x=0$處的導數。23.求函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$在$x=0$處的導數。24.求函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的積分表達式。25.求函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的積分表達式。2022年考研數學二真題(含答案)四、解答題（本題共5小題，每小題10分，滿分50分）26.設函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，求$f(x)$的極值點。27.設函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，求$f(x)$的極值點。28.設函數$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，求$f(x)$的極值點。29.求函數$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$的拐點。30.求函數$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$的拐點。五、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）31.證明：對于任意實數$x$，都有$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\geq0$。32.證明：對于任意實數$x$，都有$f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\leq1$。六、應用題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）33.設某商品的需求函數為$D(x)=100\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}$，其中$x$為商品的價格。求該商品的最大需求量。34.設某商品的供給函數為$S(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，其中$x$為商品的價格。求該商品的最小供給量。七、計算題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分）35.計算定積分$\int_{1}^{1}\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx$。36.計算定積分$\int_{1}^{1}\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$。答案部分：一、選擇題答案1.A2.B3.D4.C5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空題答案11.$(\infty,+\infty)$12.$[0,1]$13.$\frac{2x}{(1+x^2)^2}$14.$\frac{2(1x^2)}{(1+x^2)^3}$15.$\int\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx$16.$\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$17.018.019.020.0三、解答題答案21.$f'(0)=0$22.$f'(0)=0$23.$f'(0)=0$24.$\int\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\,dx=\sqrt{1+x^2}\arctan(x)+C$25.$\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$四、解答題答案26.極值點為$x=0$，極值為$f(0)=0$。27.極值點為$x=0$，極值為$f(0)=0$。28.極值點為$x=0$，極值為$f(0)=0$。29.拐點為$x=0$。30.拐點為$x=0$。五、證明題答案31.對于任意實數$x$，有$f(x)=\sqrt{1+x^2}\frac{1}{1+x^2}\geq0