33函數的單調性和凹凸性_第1頁
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文檔簡介

主要內容教學要求一、掌握用導數判別函數單調性的方法一、函數的單調性二、曲線的凹凸性和拐點二、會用導數判斷曲線的凹凸性三、會求曲線的拐點3.3函數的單調性與曲線的凹凸性如圖所示．OyxOxy(a)(b)定理3-4設函數在上連續，在內可導，則:（1）如果在內那么函數在上單調增加；（2）如果在內上單調減少．

那么函數在（1）如果將定理中的閉區間換成開區間或半開區間，結論仍然成立．（2）如果在，但等號只內限個點處成立，

那么函數在

上仍然是單調增加（或減少）的．注意：在有例1判定函數的單調性．實數，，解函數的定義域為一切因此，函數在且只有，上單調增加．例2求函數的單調區間．解

函數的定義域為一切實數，，令，得為表達簡潔明了，列表表示＋0－0+3由上可知，函數的單調增區間為和，單調減區間為1．曲線的凹凸定義和判定法知道了函數的單調性，對函數的變化情況有了初步的了解．但僅限于此還不夠，例如函數曲線與

在

內都是上升的，但它們上升的方式卻有明顯的區別xyO定義3-1

在某區間內，如果曲線弧位于其上任一點如果曲線弧位于其上任一點處的切線的下方，處的切線的上方，則稱曲線在該區間內是凹的；則稱曲線在該區間內是凸的．進一步分析上圖可得凹凸性的判定定理定理3-5設函數在區間內具有二階導數，時，恒有（1）如果，則曲線在內是凹的；時，恒有（2）如果，則曲線在內是凸的；例3判斷曲線的凹凸性．

解：

，在上，恒有故曲線在上為凹的。

定義3-2

連續曲線上凹與凸的分界點稱為曲線的拐點．既然拐點是曲線上凹與凸的分界點，那么在拐點的應為異號，左右近旁要滿足這一特征，拐點處的要么為零，要么不存在．例5求曲線的凹凸區間及拐點．解:

（1）函數的定義域為；

不存在的點；，得，無，令（2）表示凸的），如下表所示．（3）列表判斷（符

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