試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁不動點與蛛網圖不動點與蛛網圖第一講實數數列的“不動點”一、相關的概念1、數列的“生成函數”：也叫數列的“特征函數”.得到的函數如：，把當作y，把當做；2、數列的迭代：根據初始值及遞推關系逐一計算數列各項的過程.前一次計算時的y，是后一次計算的x.3、數列的不動點：滿足的的數值.例1.己知.若是常數數列，求的值.解：∵，∴或，∴或1（1）數列的“不動點”其實不是點，而是數值；（2）若不動點，則數列是常數數列，不動點.二、進一步分析：滿足，的的數值，叫數列的“不動點”；任何實數數列都有不動點嗎？無實數解例2.已知數列滿足.若數列有不動點，則實數b的取值范圍是___________.（1）數列角度（2）函數角度：有解（3）函數圖象的角度：①數列有不動點生成函數的圖象與直線有交點；②生成函數圖象與直線的交點的橫（縱）坐標=不動點.例3、已知數列滿足，則（）A.當時，恒成立B.當時，恒成立C.當時，恒成立D.當時，恒成立解：（1）當時，數列有不動點，即有實數解；（2）圖象角度：當時，拋物線與直線有交點；（3）不動點的數值：①B中，由得：②C中，由得：或2③D中，由得：選項B中，取，則不成立；C，D同理可排除.實際不用算，看圖判斷出：不動點即可.問題：當，即時，無論取何值，為什么恒成立？1、觀察拋物線和直線的位置關系：（1）函數角度：恒成立；（2）數列角度：恒成立；嚴格單調遞增2、如何保證呢？∵∴∴∴∴∴，∴∴三、不動點的分類例4.已知.討論的單調性.解：（1）當時，為常數數列；（2）當時，用歸納法或同號法，可證明：∴∴遞增如時，…與不動點的差，隨n增大而增大.（3）當時，同理可證，且遞減如時，與不動點的差，也隨n增大而增大.總之，當時，隨著n增大，逐漸“遠離”不動點.這種不動點，叫“排斥不動點例5.己知.討論的單調性.解：（1）當時，為常數數列；（2）當時，如時，數列遞減，隨n增大，向不動點逐漸“靠攏”；（3）當時，如時，數列遞增，隨n增大，向不動點逐漸“靠攏”；這種不動點，叫“吸引不動點”，總之，不動點可分為“排斥不動點”、“吸引不動點”等，具體的判定方法和應用，我們下節課會結合“蛛網圖”討論.本講小結1、數列的迭代運算：逐個代入，計算各項的過程.如：前一次計算時的y，是后一次計算的x.蛛網圖的原理！2、數列的“生成函數”：得到的函數的生成函數是：3、數列的不動點：滿足的的數值，叫數列的“不動點”；（1）數列本身的角度：①當不動點時，為常數數列.②不動點分成：吸引不動點，排斥不等點等.（2）生成函數圖象的角度：①數列有不動點生成函數的圖象與直線有交點；②不動點=生成函數圖象與直線的交點的橫（縱）坐標.第二講“蛛網圖”的來歷和本質一、“蛛網圖”的來歷和本質上節課例4.已知.討論的單調性.當時，前一步的y，是后一步的x迭代計算是一個代數運算的過程；“蛛網圖”是把迭代過程→幾何（圖象）化處理.已知.討論的單調性.時，…時，，…剛才是在x軸、y軸上轉換的.我們也可以通過輔助線進行轉換.蛛網圖：利用數列的生成函數圖象，以及輔助線，對迭代過程進行圖象化處理.（1）畫出生成函數圖象和直線；（2）當x，當y，在生成函數圖象上畫出點；（3）向直線作水平線，得交點；（4）向生成函數圖象作鉛垂線線，得交點，…二、不動點的類型和性質上一課中，我們提到有“排斥不動點”和“吸引不動點”等.現在用“蛛網圖”來驗證不動點的以下性質：對于型的數列，若該數列有不動點，記某個不動點為，（1）若，則該不動點為“吸引不動點”；（其中不恒等于0）（2）若，則該不動點為“排斥不動點”；（3）若，則該不動點對一側吸引，對另一側排斥.1、，吸引不動點定理：當時，若，則數列遞增；若，則數列遞減.定理：當時，與單調性相反.每次都“吸引過頭”.2、，排斥不動點定理：當時，若，則數列遞增；若，則數列遞減.3、時數列單調遞增：；數列嚴格單調遞增：.數列是否嚴格單調遞增或嚴格單調遞減，與生成函數單調性以及初始值有關！本講小結1.不動點的分類相交型不動點：2.蛛網圖的原理借助于直線，把遞推數列的迭代過程，用圖象表示出來.優點：代數問題幾何化，形象、直觀；缺點：不能替代大題目的代數證明.第三講“不動點”和“蛛網圖”的應用（一）應用1、判定數列的單調性和極限例1.已知數列滿足.分別判斷和時數列的單調性；均單調遞減單調遞增例2已知.（1）判定數列單調性；（2）判斷是否恒成立.選項（1）：數列遞增；選項（2）：極限為1（4）不恒成立，存在，使得時，.應用2、已知數列的生成函數和單調性，求的取值范圍由例1，例2可知：生成函數確定的情況下，數列的單調性有時還與迭代初始值有關.例4首項為正數的數列滿足.若對一切，都有，求的取值范圍.解：∴或例5已知數列滿足，且對任意，有，則的取值范圍是____________.解：由得：，不動點畫出函數及直線的圖象（1）時，是吸引不動點，數列遞增；（2）時，吸引、1排斥數列遞減；（3）時，1排斥遞增到“高臺跳水”；（4）時，∴例6已知常數，數列滿足，首項為，前n項和為.若對任意成立，則的取值范圍為_________.解：（1）生成函數為在上方，數列遞增（2）恒成立是什么意思？；∴（3），∵∴∴法2：∵，∴，∴遞增法3：設，則，∴作圖或者作差數列遞增，記數列的前n項和為，則，∴且后面同理本講小結1、不動點和蛛網圖的應用應用1、判定數列的單調性和極限；應用2、已知數列的生成函數及單調性，求的取值范圍2、注意事項（1）靈活選用不動點的性質、蛛網圖法或代數方法；（2）生成函數不連續時，要注意間斷點兩側的不同情況.（3）碰到復雜而陌生的問題，要注意“退”的思想和“換元法”的應用.第四講“不動點”和“蛛網圖”的應用應用3、已知數列單調性，求生成函數中的參數范圍例1.數列滿足.若單調遞增，則實數c的取值范圍是______________.分析：生成函數，拋物線隨著c的變化而上下平移.（1）當時，從不動點角度：令相切從數列角度：時，（2）當時，拋物線在直線的下方遞減（3）當時，假如，蛛網圖判斷：（4）怎樣才能避免后面遞減？迭代過程落在遞增區域內！前一個y，是后一個x.對稱軸，即：頂點不得高于直線例2若數列滿足，若對任意正整數n都有，則實數m的最大值為（）A.0.5B.1C.2D.4解：生成函數，圖象是拋物線，開口向上（1）若，則數列遞增，∴的必要條件是：方程有解有解，∴（2）當時，拋物線與直線相切∵，∴在直線上方迭代，數列遞增，不動點為2，∴答案：C例3數列滿足，若對一切，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.解：生成函數為左加右減：，向右平移m個單位（1）當時，圖象在直線上方，沒有不動點，無限遞增，不合題意；（2）當時，相切型不動點2生成函數遞增，，符合題意；（3）當時，吸引不動點∵，，符合題意.答案：A例4.已知數列滿足.若，則的最小值是_______；若，且存在常數，使得任意，則實數k的取值范圍是__________.解：（1）∵，可知：，∴∴例4-2.己知數列滿足.若，且存在常數，使得任意，則實數k的取值范圍是___________.分析：生成函數含參考慮參數對圖象的影響坐標變換通過怎樣的坐標變換，才會得到？x不變，y變k倍（1）時，，符合題意；（2）時，k的取值對圖象的影響：動圖解：（1）時，，∴時，左側的排斥不動點法一、法二、算臨界狀態點在直線上，此時法三、不低于點∴，∴∴時，拋物線開口向上在直線的上方時，數列發散；∴，∴綜合以上分析可知：（1）時，2，0，0，0…，成立；（2）時，左側的排斥不動點即不低于點∴，∴（3）時，右側的排斥不動點即不高于點∴，∴綜上所述，第五講“不動點”和“蛛網圖”的應用應用4、判定與的大小關系判定單調性是比較與的大小，實際上可以推廣到與或其它形式.例1已知，.（2）判斷是否恒成立；解：初始值開始迭代，直線迭代區域在直線上方∴恒成立例2已知.（4）判斷是否恒成立.解：（1）當時，是否成立？（2）當時，是否恒成立？∴∴成立例3已知數列滿足.下列說法錯誤的是（）A.B.C.D.解：與直線對照：切線不等式A.正確：B.，正確；C正確；D.，錯誤.與比大小與比高低（迭代范圍內）【強化訓練】1．數列滿足：.若數列單調遞減，則c的取值范圍是________；若數列單調遞增，則c的取值范圍是__________.2．已知數列滿足：，.則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．3．數列滿足：，則（

）A． B． C． D．4．已知數列滿足：，，若對任意的正整數均有，則實數的最大值是_____.5．已知數列，滿足.若則的最小值是___________，若，且存在常數，使得任意，則的取值范圍是______________.6．設數列滿足.若存在常數，對于任意，恒有，則的取值范圍是_________.7．設數列滿足，若存在常數，使得對于任意的，恒有，則的取值范圍是________.8．已知數列若（且），若對任意恒成立，則實數t的取值范圍是_________.9．設，數列中，，,則A．當 B．當C．當 D．當10．數列滿足：，則（

）A． B．C． D．11．已知數列滿足0，且，則A． B．C． D．12．已知數列滿足，則下列結論成立的是（

）A． B．C． D．13．已知數列滿足：，，，是數列的前100項和，且滿足，則不可能是A． B．C． D．14．已知數列滿足，若存在實數，使單調遞增，則的取值范圍是A． B． C． D．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁共=sectionpages22頁參考答案：1．

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##【分析】若數列單調遞減，則恒成立，可得恒成立，由此可得c的范圍.若數列單調遞增，則，即，且母函數.數列有極限，其值為其不動點.又在上單調增加，故，所.于是只需要證明時滿足條件，時不滿足條件即可.【詳解】①若數列單調遞減，∵，∴，∴，∴恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，∴c＜0.②數列單調遞增，則當時，.當時，，而在上單調遞增，∴，即，假設當n＝k，k∈時，，則，即，故由數學歸納法可得，即數列單調遞增；當時，∵，∴，即，∴，，∵，∴，∴，∴.∴，令，故當時，，此時，而在上單調遞減，∴，即，與題意矛盾.綜上，的取值范圍是.2．B【解析】構造函數，求導判斷函數的單調性，判斷數列的單調性，結合單調性判斷的取值范圍.【詳解】設，因為，當時，得；則在和單調遞增，當時，，則函數在上單調遞減，且，可得，所以，即數列為單調遞增數列，又，，根據數列單調性可得：，所以.故選：B.【點睛】本題考查數列的單調性及判斷，考查數列的函數特性，難度一般，根據函數的性質判斷數列的單調性是關鍵.3．A【分析】由，變形為開方求解判斷.【詳解】因為，所以，因為，所以，則，故，因為，所以，。故選：A4．2【分析】根據遞推公式可考慮分析,再累加求出關于關于參數的關系,根據表達式的取值分析出,再用數學歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當時,,不滿足對任意的正整數均有.所以.當時,證明：對任意的正整數都有.當時,成立.假設當時結論成立,即,則,即結論對也成立.由數學歸納法可知,對任意的正整數都有.綜上可知,所求實數的最大值是2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了根據數列的遞推公式求解參數最值的問題,需要根據遞推公式累加求解,同時注意結合參數的范圍問題進行分析.屬于難題.5．

【分析】第一空：令,將問題轉化為函數問題,則表示點與原點連線的斜率，觀察圖象即可求解.第二空：將問題轉化為當,則，結合二次函數的最值以及翻折后圖象列式即可求解.【詳解】（1）令，，表示點與原點連線的斜率，因為，所以，由于為最高點，所以最小，等于.（2）當時，顯然存在；當時，由，則，由圖象可知，使得任意成立，則需即

又,所以,故的取值范圍是.【點睛】本題考查數列的綜合應用.數列是一種特殊的函數，所以在求解數列最值問題可以借助函數的思想解決.6．【分析】首先根據題意得到，當時，設，進而求出，然后判斷是否滿足題意，當時，得出數列和函數的單調性，進而判斷是否滿足題意.【詳解】由題意，，所以.若，令，則，，此時，存在M=2，使得；若，，即數列是遞增數列，而函數在上單調遞增，且值域為，故此時數列不滿足題意.綜上：的取值范圍是.故答案為：.7．【分析】由已知條件可得，得，結合已知可得，從而可求出的取值范圍【詳解】因為，所以，即，即，等價于，故只需，解得，所以，故，即，所以的取值范圍為故答案為：8．【分析】方法一，根據必要條件求出的取值范圍，再證明范圍內的滿足，即可確定的取值范圍；方法二，利用蛛網法，分和兩種情況，結合圖象列式即可求出的取值范圍.【詳解】法1：必要先行；.，得證.法2：蛛網法記函數，過定點.當時，迭代收斂于點A，只需位于直線下方，即；當時，迭代收斂于點A，由蛛網圖：單調遞減，故只需即綜上.9．A【解析】若數列為常數列，，則只需使，選項的結論就會不成立.將每個選項的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項B、C、D均有小于10的解，故選項B、C、D錯誤.而選項A對應的方程沒有解，又根據不等式性質，以及基本不等式，可證得A選項正確.【詳解】若數列為常數列，則，由，可設方程選項A：時，，，，故此時不為常數列，，且，，則，故選項A正確；選項B：時，，，則該方程的解為，即當時，數列為常數列，，則，故選項B錯誤；選項C：時，，該方程的解為或，即當或時，數列為常數列，或，同樣不滿足，則選項C也錯誤；選項D：時，，該方程的解為，同理可知，此時的常數列也不能使，則選項D錯誤.故選：A.【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數方程思想，通過研究函數的不動點，進一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.10．D【分析】根據題意設，利用導數討論函數的單調性，進而得出在上恒成立，作出圖象，結合圖象即可得出結果.【詳解】由題意知，設，則，所以函數在上單調遞增，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，畫出函數和的圖象，如圖，由圖象可得，，故選：D.11．A【分析】先取特殊值進行排除，再利用遞推關系計算前6項，進行猜測結論并證明.【詳解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜測，下面由圖說明：當時，由迭代蛛網圖：可得，單調遞增，此時不動點為，當n時，，則有，.當時，由迭代蛛網圖：可得，當n分別為奇數、偶數