第十一章平面直角坐標系知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、平面直角坐標系1、坐標：數軸上每一個點都對應一個實數，這個實數叫做這個點在數軸上的坐標.2、平面直角坐標系：（1）定義：在平面內畫兩條互相垂直并且原點重合的數軸，組成平面直角坐標系.（2）相關概念：水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；垂直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向，兩軸交點O為原點.如圖11.1—1.【注意】1、平面直角坐標系的兩條數軸共原點，且互相垂直.2、一般情況下兩條數軸的單位長度是一致的，在有些實際問題中，兩坐標軸的單位長度可以不同，但在同一坐標軸上的單位長度必須相同.二、點的坐標1、點的坐標定義：若平面直角坐標系中有一點A，過點A作橫坐標的垂線，垂足在橫軸上表示的數為a，過點A作縱軸的垂線，垂足在縱軸上表示的數為b，則有序實數對(a，b)叫做點A的坐標，其中【注意】1、在寫點的坐標時，必須先寫橫坐標，再寫縱坐標，中間用逗號隔開，最后用小括號把它們括起來；2、點的坐標是有序實數對，(a，b)和3、已知點的位置可以讀出點的坐標，反之已知點的坐標可以在平面直角坐標系中標出點的位置.2、平面直角坐標系內的點與有序實數對的一一對應關系：（1）坐標平面內的任意一點，都有唯一的一個有序實數對（點的坐標）與它對應；（2）任意一個有序實數對（點的坐標）在坐標平面內都有唯一的一個點和它對應.三、平面直角坐標系中各區域的點的坐標1、象限的劃分：如圖11.1—2，建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成=1\*ROMANI，=2\*ROMANII，=3\*ROMANIII，=4\*ROMANIV四個部分，每個部分稱為象限，分別叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐標軸上的點不屬于任何一個象限.圖11.1—2【注意】1、象限的劃分是從“右上”開始的，按“逆時針”方向依次排列為第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名稱是一種規定，不能隨意更改；2、坐標原點既在x軸上，又在y軸上，它是兩條坐標軸唯一的公共點．2、平面直角坐標系中個區域的點的坐標特征．點M(坐標特征象限內的點點M(M點M(M點M(M點M(M坐標軸上的點點M(x，在x軸正半軸上：M在x軸負半軸上：M點M(x，在y軸正半軸上：M在y軸負半軸上：M四、特殊位置的點的坐標特征1、兩坐標軸夾角平分線上的點的坐標特征：（1）第一、三象限的角平分線上的點的橫、縱坐標相等；（2）第二、四象限的角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數．2、平行于x軸、y軸的直線上的點的坐標特征：圖11.1—3如圖11.1—3所示，直線l1//x軸，直線直線l2//y軸，因為由l1上的任意一點向y軸作垂線，垂足都是同一個點M（不與原點重合），所以l1上的所有點的縱坐標都相等且不為0；因為由l2上的任意一點向x3、若兩個點的橫坐標相等，則這兩個點之間的距離為縱坐標差的絕對值；若兩個點的縱坐標相等，則這兩個點之間的距離為橫坐標差的絕對值.【注意】1、若AB//x軸，則A(x1,yy1=y2≠0；反之，若A(x1,2、若CD//y軸，則C(m1，n1)，D(m2，n2)的橫坐標相等且不為0，縱坐標不相等，即五、用坐標表示點的平移點在坐標系中的平移：在平面直角坐標系中，某個點經過平移后，其位置發生了變化，其坐標也發生了變化.點的平移與坐標變化的關系：根據點的平移情況可以得到平移后點的坐標變化情況；反過來，根據點的坐標變化情況可以得到點的平移情況，即:【注意】1、將點左右平移，縱坐標不變；2、將點上下平移，橫坐標不變；3、點的平移遵循上加下減，右加左減.六、用點的坐標表示圖形的平移1、圖形在坐標平面中的平移：是指在坐標系中，在保持坐標軸不動的情況下，圖形的整體移動.【注意】圖形在坐標平面中平移變換的實質：（1）、圖形的位置及表示位置的坐標發生變化；（2）、圖形的性質、大小、方向不變.2、圖形的平移與圖形上各點的坐標變化的關系：（1）因為圖形的平移是圖形的整體平移，所以已知圖形的平移情況，即可得到圖形上個點坐標的變化情況；（2）平移時，因為圖形上各點的變化情況相同，所以已知圖形上某點的坐標變化情況，即可知道圖形的平移情況.【注意】1、圖形的平移首先應轉化為圖形頂點的平移，再按照點的平移規律進行平移；2、一般地，將一個圖形依次沿兩個坐標軸方向平移所得到的圖形，可以通過將原來的圖形作一次平移得到.0303題型歸納題型一在平面上確定點的位置例1.（23-24八年級下·貴州銅仁·期末）梵凈山是“貴州第一名山”，國家AAAAA級旅游景區，國家級自然保護區，中國十大避暑名山，小明想向外地網友介紹我市梵凈山的位置，以下幾種說法，對梵凈山的位置描述錯誤的是（

）A．梵凈山位于貴州省銅仁市的印江、江口、松桃（西南部）三縣交界處B．梵凈山地處北緯27°49'C．梵凈山位于貴陽市大約北偏東60°方向，距離貴陽約310千米D．梵凈山在距離北京大約2800千米的位置處【答案】D【分析】本題主要考查了實際生活中位置的確定，表示的方法有坐標表示位置，用方向角和距離確定物體的位置，根據方位描述確定物體的位置，根據題意一一判斷即可．【詳解】解：A．梵凈山位于貴州省銅仁市的印江、江口、松桃（西南部）三縣交界處，可以確定梵凈山的位置，故該選項不符合題意；B．梵凈山地處北緯27°49'5C．梵凈山位于貴陽市大約北偏東60°方向，距離貴陽約310千米，以確定梵凈山的位置，故該選項不符合題意；D．梵凈山在距離北京大約2800千米的位置處，無法確定梵凈山的位置，故該選項符合題意；故選：D．鞏固訓練1．（2024·河北唐山·二模）如圖是某街道的局部圖，小剛從A處走往B處(街道寬度忽略)，下列描述錯誤的是（

）A．向西走150m，再向南走80m B．向西走150m，再向左走80mC．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m【答案】D【分析】此題主要考查依據方向和距離判定物體位置的方法，結合示意圖，是解答此類題的關鍵．依據圖上標注的各種信息，以及地圖上的方向辨別方法“上北下南，左西右東”判斷即可．【詳解】解：A、向西走150m，再向南走80m，故本選項不符合題意；B、向西走150m，再向左走80m，故本選項不符合題意；C、向南走80m，再向西走150m；故本選項不符合題意；D、向南走80m，應該再向右走150m，故本選項符合題意．故選：D．2．（23-24八年級下·河北承德·階段練習）2023年9~10月，第19屆亞運會于中國杭州順利舉行，以下能夠準確表示杭州市地理位置的是（

）A．東經120.2°，北緯30.2° B．離北京市1250千米C．在浙江省 D．在中國南方【答案】A【分析】本題考查了坐標確定位置，根據點的坐標的定義，確定的一個位置需要兩個數據，根據選項判斷即可．【詳解】解：能夠準確表示杭州市地理位置的是東經120.2°，北緯30.2°，故選：A．3．（23-24九年級上·河北廊坊·期中）李雯同學約小明去電影院看電影，下面是他們在微信中的對話從上面的對話中，小明能從生活超市走到電影院的路線是（

）A．先向東走500米，再向南走100米 B．先向東走100米，再向南走500米C．先向東走200米，再向南走300米 D．先向東走300米，再向南走200米【答案】A【分析】此題主要考查了坐標確定位置，先根據對話話確定出生活超市與電影院的位置，再根據圖形解答即可．【詳解】解：依題意，小明能從生活超市走到電影院的路線是先向東走500米，再向南走100米故選：A．題型二平面直角坐標系的定義識別例2．（23-24八年級上·全國·單元測試）下列說法中，正確的是(

)A．平面直角坐標系是由兩條互相垂直的直線組成的B．平面直角坐標系是由兩條相交的數軸組成的C．平面直角坐標系中的點的坐標是唯一確定的D．在平面上的一點的坐標在不同的直角坐標系中的坐標相同【答案】C【分析】根據平面直角坐標系的定義即可知選項A、B錯誤；在平面上的一點的坐標在不同的直角坐標系中的坐標不一定相同，可得選項D錯誤，由此即可解答.【詳解】在平面內兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系，所以選項A、B錯誤；坐標平面內的點與有序實數對是一一對應，選項C正確；在平面上的一點的坐標在不同的直角坐標系中的坐標不一定相同，選項D錯誤.故選C.【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系的知識，熟知平面直角坐標系的定義及坐標平面內的點與有序實數對是一一對應是解決問題的關鍵.鞏固訓練1．（22-23七年級·全國·課后作業）下列選項中，平面直角坐標系的畫法正確的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據平面直角坐標系的定義判斷即可．【詳解】解：A．x軸與y軸不垂直，故本選項不符合題意；B．符合平面直角坐標系的定義，故本選項符合題意；C．x軸的正方向錯誤，故本選項不符合題意；D．x軸與y軸沒有標注正方向，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了點的坐標以及建立平面直角坐標系的方法：在同一平面內畫；兩條有公共原點且垂直的數軸．2．（21-22八年級上·廣西百色·期中）在圖中，所畫的平面直角坐標系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平面直角坐標系的定義判斷即可．【詳解】解：A、原點的位置錯誤，坐標軸上y的字母位置錯誤，錯誤；B、兩坐標軸不垂直，錯誤；C、符號平面直角坐標系的定義，正確；D、x軸和y軸的方向有錯誤，坐標系無箭頭，錯誤．故選：C．【點睛】本題考查平面直角坐標系，在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系，解題關鍵是掌握平面直角坐標系坐標軸的位置．3．（22-23七年級下·河北邯鄲·期中）下列說法中，正確的是（

）A．平面直角坐標系中(2,1)和(1,2)表示相同的點 B．x軸上的點的橫坐標為0C．坐標軸上的點不屬于任何象限 D．橫、縱坐標符號相同的點一定在第一象限【答案】C【分析】根據點與坐標，象限的概念依次進行判斷即可得．【詳解】解：A、平面直角坐標系中(2,1)和(1,2)表示不相同的點，選項說法錯誤，不符合題意；B、x軸上的點的縱坐標為0，選項說法錯誤，不符合題意；C、坐標軸上的點不屬于任何象限，選項說法正確，符合題意；D、橫、縱坐標符號相同的點在第一象限或第三象限，選項說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了點與坐標，點所在的象限，解題的關鍵是掌握點的坐標與點所在象限的特征．題型三平面直角坐標系中各象限內點的坐標特征例3.（23-24七年級下·吉林·期末）在平面直角坐標系中，點m2+5,?2一定在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題考查點橫縱坐標與所在象限的關系，判定點P的橫縱坐標的符號即可得解．【詳解】解：∵，∴m∵?2<0，∴點m2故選：D．鞏固訓練1．（23-24七年級下·內蒙古鄂爾多斯·期末）如圖，小手蓋住的點的坐標可能為（

）A．(2,3) B．(?5,3) C．(4,?6) D．(?2,?4)【答案】D【分析】本題主要考查了點在第三象限時點的坐標特征．注意四個象限的符號特點分別是：第一象限+，+；第二象限?，+；第三象限?，?；第四象限+，?．根據點在第三象限點的坐標特點，即可解答．【詳解】解：根據題意得：小手蓋住的點位于第三象限，A、(2,3)在第一象限，故本選項不符合題意；B、(?5,3)在第二象限，故本選項不符合題意；C、(4,?6)在第四象限，故本選項不符合題意；D、(?2,?4)在第三象限，故本選項符合題意；故選：D．2．（23-24八年級下·吉林長春·階段練習）已知點Aa,b在第二象限，則點B1?a,2b在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】本題考查了點的坐標，點的坐標的符號特征為：第一象限+,+，第二象限?,+，第三象限?,?，第四象限+,?，由點Aa,b在第二象限得出a<0，b>0，從而得出1?a>0，2b>0【詳解】解：∵點Aa,b∴a<0，b>0，∴1?a>0，2b>0，∴點B1?a,2b故選：A．3．（23-24七年級下·云南昆明·期末）在平面直角坐標系中，點Px,y的坐標滿足xy>0，則點P在（

A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二，四象限【答案】C【分析】本題考查了平面直角坐標系與點的坐標，根據點A為原點，則點A的橫縱坐標都為0，解答即可，解題的關鍵是熟練掌握平面直角坐標系中點的坐標特征，第一象限+,+，第二象限?,+，第三象限?,?，第四象限+,?．【詳解】∵點Px,y的坐標滿足xy>0∴x>0，y>0或x<0，y<0，∴據平面直角坐標系特點，點P在第一、三象限，故選：C．題型四平面直角坐標系中點與坐標特征例4.（23-24七年級下·山東濰坊·期末）已知點A?1,?5和點B?2,m，且AB⊥y軸，則B點坐標為（A．?2,?5 B．?2,5 C．?2,1 D．?2,?1【答案】A【分析】本題考查了垂直于y軸點坐標的特征．熟練掌握垂直于y軸點坐標的縱坐標相同是解題的關鍵．根據垂直于y軸點坐標的縱坐標相同求解作答即可．【詳解】解：∵AB⊥y軸，∴m=?5，∴B點坐標為?2,?5，故選：A．鞏固訓練1.（23-24七年級下·湖北省直轄縣級單位·期末）已知點P2m+4,m?1在過點A2,?4且與y軸平行的直線上，則點P坐標為（A．?2,?4 B．?2,?2 C．2,?2 D．2,2【答案】C【分析】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標的特征，熟練掌握平面直角坐標系中點的坐標的特征是解題的關鍵．根據點P2m+4,m?1在過點A2,?4且與y軸平行的直線上，得到點P2m+4,m?1【詳解】解：∵點P2m+4,m?1在過點A2,?4且與∴P2m+4,m?1∴2m+4=2，解得m=?1，∴P2,?2故選：C．2．（23-24七年級下·云南文山·期末）已知點Mm+5,m+2在x軸上，那么點M的坐標是（

A．3,?2

B．?5,0 C．?5,?3 D．【答案】D【分析】本題主要考查了直角坐標系中點的坐標特征，掌握x軸上點的坐標特征是解題的關鍵．直接利用x軸上點的坐標特點（縱坐標為0）得出m的值，即可得出答案．【詳解】解：∵點Mm+5,m+2在x∴m+2=0，解得：m=?2，∴m+5=?2+5=3，∴點M的坐標是3,0，故選：D．3．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知點Px，y在第二象限，且y≤2x+6，x，y為整數，則點P的個數是（

A．3 B．6 C．10 D．無數個【答案】B【分析】本題主要考查了不等式的解法及坐標系內點的坐標特點．熟練掌握根據未知數的范圍確定它所滿足的特殊條件的值是解題的關鍵．先根據第二象限點的坐標特征求出x，y的取值范圍，再根據y的取值范圍求出x的整數解，進而可求出符合條件的y的值．【詳解】解：∵點Px，y∴x<0，y>0，∴2x+6>0，解得，x>?3，∴當x=?2時，y≤2，此時點P為?2，1，?2，2，當x=?1時，y≤4，此時點P為?1，1，?1，2，?1，3，?1，4，綜上所述，點P的個數是6個，故選：B．題型五利用點到坐標軸的距離確定點的坐標例5.（23-24八年級下·廣西貴港·期末）第三象限內的點P到x軸的距離是7，到y軸的距離是8，那么點P的坐標是（

）A．?8,?7 B．?7,?8 C．?7,8 D．7,8【答案】A【分析】根據第三象限內點的橫坐標是負數，縱坐標是負數以及點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值解答．本題考查了點的坐標，熟記點到x軸的距離等于縱坐標的長度，到y軸的距離等于橫坐標的長度是解題的關鍵．【詳解】解：∵第三象限的點P到x軸的距離是7，到y軸的距離是8，∴點P的橫坐標是?8，縱坐標是，∴點P的坐標為(?8,?7)．故選：A．鞏固訓練1.（23-24七年級下·湖南長沙·期末）點P在第四象限內，點P到x軸的距離是6，到y軸的距離是2，那么點P的坐標為（

）A．?6,2 B．6,?2 C．?2,6 D．2,?6【答案】D【分析】本題主要考查點的坐標，熟練掌握點的坐標是解題的關鍵；由題意易得點P的橫坐標為2，縱坐標為?6，然后問題可求解．【詳解】解：∵P在第四象限內，點P到x軸的距離是6，到y軸的距離是2，∴點P的坐標為2,?6．故選D．2．（23-24七年級下·湖北襄陽·期末）點A在平面直角坐標系第二象限，距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，則點A的坐標是．【答案】?5,3【分析】本題考查了點的坐標，根據第二象限內的點橫坐標為負數，縱坐標為正數，點到x軸的距離是縱坐標的絕對值，到y軸的距離是橫坐標的絕對值即可求解，掌握各象限內點的坐標特征是解題的關鍵．【詳解】解：∵，點A在平面直角坐標系第二象限，距離x軸3個單位長度，距離y軸5個單位長度，∴點A的橫坐標為?5，縱坐標為3，∴點A的坐標為?5,3，故答案為：?5,3．3．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）已知第二象限的點P坐標為a?6,3+2a，且點P到兩坐標軸的距離相等，則點P的坐標是．【答案】?5,5【分析】本題考查了點的坐標特點和點到坐標軸的距離，根據第二象限內的點P坐標為a?6,3+2a，且P點到兩坐標軸的距離相等，得出a?6+3+2a=0即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】∵第二象限內的點P坐標為a?6,3+2a，且P點到兩坐標軸的距離相等，∴a?6+3+2a=0，解得a=1，∴點P?5,5故答案為：?5,5．題型六利用點的位置特征求字母的值（取值范圍）例6．（23-24八年級下·寧夏吳忠·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點P2a+6,a?3在第四象限，則a的取值范圍．【答案】?3<a<3【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征以及解不等式，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限+，+；第二象限?，+；第三象限?，?；第四象限+，?．【詳解】解：∵點P2a+6,a?3在第四象限，∴2a+6>0a?3<0解得?3<a<3，故答案為：?3<a<3．鞏固訓練1．36．（23-24七年級下·吉林白城·期末）點A2y+7,y?1在第二、四象限的角平分線上，則y=【答案】?2【分析】本題主要考查了第二、四象限平分線上的點．解決本題的關鍵是熟練掌握各個象限角平分線上的點的特點：第一，三角平分線上的點的橫縱坐標相等，二四象限角平分線上的點橫縱坐標互為相反數．根據二四象限角平分線上的點橫縱坐標互為相反數，建立方程解方程，即可得解．【詳解】∵點A2y+7,y?1∴2y+7+y?1=0，解得：y=?2．故答案為：?2．2．（21-22八年級下·河北邯鄲·期末）已知點P4,2a+10（1）若點P在x軸上，則a=；（2）若點P到x軸、y軸的距離相等，則a．【答案】?5?3或?7/?7或?3【分析】（1）利用x軸上點的坐標性質縱坐標為0，進而得出a的值；（2）利用點P到x軸、y軸的距離相等，得出橫縱坐標相等或互為相反數，進而得出a的值．【詳解】解：（1）∵點P4,2a+10在x∴，解得：；故答案為：?5；（2）∵點P到x軸、y軸的距離相等，∴2a+10=4或2a+10=?4，解得：a=?3或a=?7，故答案為：?3或．【點睛】此題主要考查了點的坐標性質，用到的知識點為：點到兩坐標軸的距離相等，那么點的橫縱坐標相等或互為相反數以及點在坐標軸上的點的性質．3．（22-23七年級下·河北石家莊·期末）點在第三象限，且到x軸的距離是3，則a=．【答案】0【分析】第三象限的橫縱坐標為負值，到x軸的距離就是縱坐標的絕對值，因此即可求解．【詳解】由題意知，點a?2,a?3在第三象限，且到x軸的距離是3，則該點的縱坐標是?3，∴a?3=?3．∴a=0．故答案為0．【點睛】本題考查了象限內坐標的正負符號，解題的關鍵是熟知點的坐標位置對應的正負值情況．題型七利用特殊位置點的坐標特征求值例7.（23-24七年級下·吉林·期末）在平面直角坐標系中，已知點，點．(1)若M在x軸上，求m的值；(2)若MN∥y軸，點M在點N的下方且MN=2，求出點M的坐標．【答案】(1)m=(2)M【分析】（1）根據x軸上的點的縱坐標為0即可求解．（2）根據MN∥y軸可得m=n?2，根據M在點N的下方且MN=2，可得3?2m?7=2，求出m、n的值即可得本題考查了“平面直角坐標系中x軸上的點的縱坐標為0，平行于y軸的直線上的點的橫坐標相同”，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵點在x軸上，，解得m=7（2）解：∵MN∥y軸，點M在點N的下方且MN=2，∴m=n?23?解得m=4，n=6，∴n?2=4，2m?7=1，∴M4,1鞏固訓練1．40．（23-24七年級下·四川自貢·階段練習）已知點P2a?2,a+5(1)點P在y軸上，求出點P的坐標；(2)點Q的坐標為4,5，直線PQ∥y軸；求出點P的坐標；(3)若點P在第一象限，且它到x軸、y軸的距離相等，求a的立方根【答案】(1)0,6(2)4,8(3)3【分析】本題考查圖形與坐標，立方根，掌握點的坐標特征是關鍵；（1）根據y軸上點的橫坐標都為零即可解決問題．（2）根據平行于y軸的直線上點的坐標特征即可解決問題．（3）根據第一象限內點的坐標特征及點到坐標軸的距離即可求出a的值，再根據立方根的定義解決問題．【詳解】（1）解：由點P在y軸上得，2a?2=0，解得a=1，則a+5=1+5=6．∴點P的坐標為0,6．（2）解：∵直線PQ∥y軸，∴直線上所有點的橫坐標都相等，則2a?2=4，解得a=3，則a+5=3+5=8．∴點P的坐標為4,8．（3）解：∵點P在第一象限，∴2a?2>0，a+5>0．∵點P到x軸和y軸的距離相等，∴2a?2=a+5，解得a=7．∴a的立方根是32．（23-24七年級下·遼寧大連·期末）已知點M2a?2,3a+6，分別滿足下列條件，求出點M(1)點M在x軸上；(2)點M在y軸上；(3)點N的坐標2,5，直線軸；(4)點M到兩個坐標軸的距離相等【答案】(1)(2)M(3)M(4)M?18,?18或【分析】本題考查的是坐標系內點的坐標特點，掌握坐標系內點的坐標特點是解本題的關鍵；（1）根據x軸上的點的縱坐標為0，再建立方程可得答案；（2）根據y軸上，橫坐標為0，再建立方程可得答案；（3）根據直線軸，可得M，N的縱坐標相等，再建立方程求解即可；（4）根據點M到兩個坐標軸的距離相等，則點M橫縱坐標相等或點M橫縱坐標互為相反數，再建立方程求解即可；【詳解】（1）解：∵點M2a?2,3a+6在x∴即3a+6=0，

∴a=?2，∴，∴點M?6,0（2）解：點M2a?2,3a+6在y即2a?2=0，∴a=1，∴，∴點M0,9（3）解：∵點M2a?2,3a+6，點N的坐標2,5，直線軸，∴M，N的縱坐標相等，即3a+6=5，∴a=?1∴2a?2=?8∴點M?（4）解：∵點M到兩個坐標軸的距離相等，點M在第一或第三象限，點M橫縱坐標相等，即2a?2=3a+6，∴a=?8，∴2a?2=3a+6=?18，∴點M?18,?18若點M在第二或第四象限，點M橫縱坐標互為相反數，即2a?2=?3a+6∴a=?4∴2a?2=?185，∴點M?3．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）已知點P2a+3,a?4(1)若點P在x軸上，求點P的坐標；(2)若點P在第四象限，求a的取值范圍．【答案】(1)P(2)?【分析】本題考查了坐標軸上點的特征和各象限內點的坐標的符號特征以及解不等式組，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限+，+；第二象限?，+；第三象限?，?；第四象限+，?．（1）根據點在x軸上，橫坐標為0解題即可；（2）根據點在第四象限，即滿足2a+3>0a?4<0【詳解】（1）解：∵點P2a+3,a?4在x∴a?4=0，

解得：a=4，∴P11,0（2）解：∵點P2a+3,a?4∴2a+3>0a?4<0解得：?3題型八利用坐標系解決幾何圖形的定點坐標問題例8.（23-24七年級下·山東濟寧·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知正方形ABCD的邊長為8，與y軸交于點M0,5，頂點C6,?3．將一條長為2024個單位長度且沒有彈性的細繩一端固定在點M處，從點M出發順時針將細繩緊繞在正方形ABCD的邊上，則細繩的另一端到達的位置點N的坐標為（A．?2,?3 B．?2,?4 C．6,5 D．6,3【答案】D【分析】本題利用點的坐標考查了數字變化規律，根據點的坐標和正方形ABCD一周的長度，從而確定2024個單位長度的細線的另一端落在第幾圈第幾個單位長度的位置是解題的關鍵．根據題意求出各點的坐標和正方形ABCD的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為8，∴CD=DA=BC=AB=8，∵M0,5，C∴A(?2,5),B(6,5),D(?2,?3)，∴AM=2,BM=6，∴繞正方形ABCD一周的細線長度為8×4=32，∵2024÷32=63...8，∴細線另一端在繞正方形第64圈的第8個單位長度的位置，即在BC邊上，∴點N的坐標為6,3，故選：D．鞏固訓練1.（2024·浙江·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知直線l：和直線m：y=?1，點Px,y的位置如圖所示，則（

）

A．x>2，y>?1 B．x>2，y<?1 C．x<2，y>?1 D．x<2，y<?1【答案】C【分析】本題考查坐標與圖形性質，根據所給平面直角坐標系，利用數形結合的數學思想即可解決問題．【詳解】解：根據所給圖象可知，點Px,y在直線l的左側，且直線l為，所以x<2．點Px,y在直線m的上方，且直線m為y=?1，所以y>?1故選：C．2．（23-24七年級下·山東濰坊·期末）如圖，將5個大小相同的正方形置于平面直角坐標系中．若頂點M，N的坐標分別為3,9，12,9，則頂點A的坐標為（）A．5,1 B．12,3 C．3,15 D．15,3【答案】D【分析】本題考查了平面直角坐標系，根據圖形和點的特征計算出點的坐標是解題的關鍵．先根據條件，算出每個正方形的邊長，再根據坐標的變換計算出點A的坐標即可．【詳解】解：∵點M，N的坐標分別為3,9，12,9，∴MN=12?3=9，∴每個正方形的邊長為9÷3=3，∵點N的坐標為12,9，∴9?3×2=3∴點B的坐標為12,3，∴12+3=15∴點A的坐標為15,3，故選：D．3．（23-24七年級下·山東菏澤·期末）在平面直角坐標系中有三個點：A?2,2，B3,4，(1)在如圖所示的平面直角坐標系內描出點A，B，C的位置；(2)求△ABC的面積；(3)求四邊形ABCO的面積．【答案】(1)見解析(2)10(3)13【分析】本題主要考查平面直角坐標系和三角形的面積公式，關鍵是要牢記三角形的面積公式，能根據圖形適當的選取三角形ABC的底和高．（1）根據平面直角坐標系的知識即可描出A，B，C的位置；（2）以BC為底邊，用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；（3）用割補法求四邊形ABCO的面積即可．【詳解】（1）點A，B，C的位置如圖所示；（2）S△ABC（3）S題型九利用等積法求平面直角坐標系中點的坐標例9.（22-23七年級下·上海奉賢·期末）已知點A1,0，點B?3,0，點C在y軸上，如果△ABC的面積是8，求點【答案】0,4或【分析】本題考查的是坐標與圖形面積，首先設點C的坐標，然后確定AB的長，再利用三角形的面積公式進行計算即可．【詳解】解：設點C的坐標C0,a∵點A1,0，點B∴AB=4，∵△ABC的面積是8，∴，解得：a=±4，故設點C的坐標0,4或．鞏固訓練1.45．（23-24七年級下·廣西南寧·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知三角形ABC，點A的坐標是5,0，點B的坐標為3,2，點C在x軸的負半軸，且AC=6(1)求點C的坐標；(2)在y軸上是否存在點P，使得三角形POB的面積等于三角形ABC的面積？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由【答案】(1)?1,0(2)P0,4或【分析】本題主要考查平面直角坐標中圖形的與坐標，掌握平面直角坐標系的特點，點坐標與線段的關系是解題的關鍵．（1）根據點A的坐標，線段AC的長即可求解；（2）根據題意可求出S△ABC，S【詳解】（1）∵點A的坐標是5,0∴OA=5，∵，AC=6，∴OC=6?5=1.∴點C的坐標是?1,0.（2）存在，如圖所示∵B3,2，AC=6∴S△ABC∴S設P0,m，則OP=∴S△POB∴m=4，解得：m=±4∴P0,4或P2．（23-24七年級下·山東濰坊·期末）已知：A?1,0，B?1,?3，

(1)在直角坐標系中描出各點，畫出△ABC；(2)求△ABC的面積；(3)設點P在x軸上，且△ABP與△ABC的面積相等，求點P的坐標．【答案】(1)見解析(2)6(3)3,0或?5,0【分析】本題考查了坐標與圖形，割補法求面積，絕對值方程，利用數形結合的思想解決問題是關鍵．（1）根據A、B、C三點坐標在直角坐標系中確定位置，依次連接，即可得到△ABC；（2）利用割補法即可求出△ABC的面積；（3）由已知可知，，設點P的坐標為x,0，則AP=x+1，再根據△ABC的面積，求出x的值，即可得到點P的坐標．【詳解】（1）解：如圖，△ABC即為所求作；

（2）解：△ABC的面積=4×4?1（3）解：∵A?1,0，B∴AB=3，設點P的坐標為x,0，∴AP=x+1由（2）可知，，∴1∴x+1∴x=3或x=?5，∴點P的坐標為3,0或?5,0．3．（23-24七年級下·河北石家莊·期末）如圖，在直角坐標平面內，已知A?1,2，B1,?2，C4,0，線段AB(1)求△ABC的面積；(2)在x軸上是否存在一點D，使S△ACD=S【答案】(1)8(2)?4,0或12,0【分析】本題考查了求平面直角坐標系中三角形的面積；（1）由S△ABC（2）設Dm,0，由三角形面積得1能根據點的坐標表示出三角形面積是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意得S==8；（2）解：設Dm,0∴1解得：m=?4或，∴D的坐標為?4,0或12,0．題型十利用割補法求平面直角坐標系中不規則圖形的面積例10.（23-24七年級下·內蒙古赤峰·期末）如圖，在平面直角坐標系內有四個點：A?2,0，B0,3，C2,4(1)求三角形AOB的面積；(2)求四邊形OBCD的面積；(3)若點P在x軸上，直線CP將四邊形ABCD的面積分成1:2兩部分，求點P的坐標．【答案】(1)3(2)9(3)1,0或?1,0【分析】本題考查了坐標與圖形，三角形的面積的計算，解題的關鍵是數形結合，用分割法求出不規則圖形的面積，再進行計算是解本題的關鍵．（1）根據A?2,0，B0,3，得出OA=2，（2）作CE⊥x軸于點E，利用割補法求出四邊形OBCD的面積即可；（3）先求出△PDC的面積，分兩種情況：當S△PCD:S四邊形ABCP=1:2時，S△PCD:S四邊形ABCD=1:3，當【詳解】（1）解：∵A?2,0，B∴OA=2，OB=3，∴；（2）解：作CE⊥x軸于點E，如圖所示：∵C2,4，D∴OE=2，CE=4，OD=3，DE=OD?OE=3?2=1，∴S梯形OECBS△EDC∴S四邊形OBCD（3）解：S四邊形ABCD∵S△PCD∴S△PCD①當S△PCD:S∴，解得：PD=2，∴點P的坐標為1,0；②當S△PCD:S∴，解得：PD=4，∴點P的坐標為?1,0；綜上所述，點P的坐標為1,0或?1,0．鞏固訓練1.49．（23-24七年級下·云南昆明·期末）如圖，描出A(?2,1)，B(2,?2)，C(2,3)，D(0,1)四個點，連接AB，BD，DC，CA．求所連線段圍成圖形的面積．

【答案】描點見解析，5．【分析】本題考查了坐標與圖形的性質，根據平面直角坐標系描出各點，然后根據面積公式列式計算即可得解，熟練掌握網格結構與平面直角坐標系準確描出四個點是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，

∴所連線段圍成圖形的面積為122．（23-24七年級下·四川廣元·期末）已知四邊形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，將四邊形ABCD先向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到四邊形A'

(1)畫出四邊形A'(2)求四邊形A'【答案】(1)見解析(2)11【分析】本題考查平移作圖，在網格中求四邊形的面積．（1）分別作出各頂點的對應點，依次連接即可解答；（2）運用割補法即可解答．【詳解】（1）解：如圖，四邊形A'

（2）解：四邊形A'B'3．（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD各頂點的坐標分別是A?3,4,B?4,?2,C2,0,D2,3，且AB與x【答案】49【分析】本題主要考查了坐標與圖形，過點B作x軸的垂線BP，過點A，點B分別作y軸的垂線，分別與直線CD交于點H,Q，根據進行求解即可．【詳解】解：如圖，過點B作x軸的垂線BP，過點A，點B分別作y軸的垂線，分別與直線CD交于點H,Q，∵A?3,4∴，∴，，∴．題型十一利用找規律法求運動中點的坐標例11.（23-24七年級下·河南省直轄縣級單位·期末）如圖，平面直角坐標系內，動點P按照圖中箭頭所示方向依次運動，第1次從點(?1,0)運動到點(0,1)，第2次運動到點(1,0)，第3次運動到點(2,?2)，…，按這樣的運動規律，動點P第2024次運動到達的點的坐標為（

）A．(2022,0) B．(2023,0) C．(2022,1) D．(2024,?2)【答案】B【分析】本題考查點的坐標規律探究．根據已知點的坐標，抽象概括出相應的數字規律，是解題的關鍵．據圖可以得出動點P的縱坐標按照1,0,?2,0，每四個一循環，橫坐標為運動次數減1，進行求解即可．【詳解】解：由圖可知：動點P的縱坐標按照1,0,?2,0，每四個一循環，橫坐標為運動次數減1，∵2024÷4=506，∴動點P第2024次運動后的縱坐標為0，橫坐標為2024?1=2023，∴動點P第2024次運動到點2023,0；故選：B．鞏固訓練1.（2024·河南新鄉·模擬預測）直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在邊長為1的小正方形的格點上，△ABC關于y軸的對稱圖形為△A1B1C，△ABC與△A1B1A．2023 B．2022 C．4048 D．4046【答案】D【分析】本題考查了軸對稱，平移與坐標的變化關系，根據圖中規律即可求解，弄清題意，找出規律是解題的關鍵．【詳解】由圖可知：A12,2，A26,2，A3B11,0，B23,0，B35,0，又C14,0，C28,0，C3當n為偶數時，A1與B2橫坐標相差1，即A1與B4橫坐標相差1，即橫坐標+1=B4A3與B6橫坐標相差1，即A3A4與B8橫坐標相差1，即A4?，A1012與橫坐標相差1，即A1012橫坐標+1=∴4×1012?2=4046，即A1012故選：D．2．（23-24七年級下·云南曲靖·期末）如圖，在平面直角坐標系中，長方形ABCD的四條邊與兩條坐標軸平行，已知A?1,2，C1,?1．點P從點A出發，沿長方形的邊順時針運動，速度為每秒2個單位長度；點Q從點A出發，沿長方形的邊逆時針運動，速度為每秒3個單位長度．記P，Q在長方形邊上第一次相遇時的點為M1，第二次相遇時的點為M2，……，則A．1,0 B．0,?1 C．?1,0 D．?1,2【答案】B【分析】本題考查了平面直角坐標系上點的坐標規律，求出長方形ABCD的周長為2+3×2=10，設經過t秒，P，Q第一次相遇，則點P走的路程為2t，點Q走的路程為3t【詳解】解：∵在平面直角坐標系中，長方形ABCD的四條邊與兩條坐標軸平行，已知A?1,2，C∴B?1,?1，D∴AD=BC=2，AB=CD=3，∴長方形ABCD的周長為：2+3×2=10設經過t秒，P，Q第一次相遇，則點P走的路程為2t，點Q走的路程為3t，由題意得：2t+3t=10，解得：t=2，∴當t=2時，P，Q第一次相遇，此時相遇點M1的坐標為1,0當t=4時，P，Q第二次相遇，此時相遇點M2的坐標為?1,0當t=6時，P，Q第三次相遇，此時相遇點M3的坐標為1,2當t=8時，P，Q第四次相遇，此時相遇點M4的坐標為0,?1當時，P，Q第五次相遇，此時相遇點M5的坐標為?1,2，當t=12時，P，Q第六次相遇，此時相遇點M6的坐標為1,0…，∴五次相遇為一循環，∵2024÷5=404…4，∴M2024的坐標為是0,?1故選：B．3．（23-24七年級下·黑龍江佳木斯·期末）如圖，點A在y軸正半軸及x軸正半軸上交替運動，點A從原點出發，依次跳動至點A10,1，A21,0，A32,0，A40,2，A50,3，A．0,1011 B． C．0,1012 D．1012,0【答案】C【分析】本題考查規律探索，根據已知的點坐標，對點分組找出規律是解題的關鍵．根據已知點的坐標特征，將連續的4個點看成一組，由第1組，第2組確定組內點的位置特征、點坐標與組序數的聯系；以此類推，2023=4×505+3，故點A2024是第506組的第4個點，則A2024在y軸上，其非零坐標即橫坐標為【詳解】解：根據題意，將連續的4個點A看成一組，第1組：A10,1，A21,0，A32,0，A40,2，其位置分別為y軸、x軸、第2組：A50,3，A63,0，A74,0，A80,4，其位置分別為y軸、x軸、……以此類推，2024=4×506，則點A2024是第506組的第4個點，則A2024在故點A2024的坐標是(0,1012)故選：C．題型十二點在坐標系中的平移例12.（22-23七年級下·海南省直轄縣級單位·期中）在平面直角坐標系中，點P(2,?3)向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到的點的坐標為（

）A．(1,1) B．?1，1 C．(1,?1) D．【答案】B【分析】本題考查了坐標與圖形的變化．根據“橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減”即可求解．【詳解】解：點P2,?3向左平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度得到的點的坐標是2?3，?3+4，即?1，1．故選：B．鞏固訓練1.（23-24七年級下·山東濟寧·期末）在平面直角坐標系中，直線l經過A?1,2，B1,?1兩點．現將直線l平移，使點A到達點1,?3處，則點B到達的點是（A．3,?6 B．?3,3 C．2,?3 D．4,?4【答案】A【分析】本題主要考查圖形的平移，由點A?1,2平移后1,?3可得坐標的變化規律，由此可得點B【詳解】解：由點A?1,2平移后1,?3∴點B1,?1的對應點的坐標為3,?6故選：A．3．（23-24七年級下·山東濱州·期末）在平面直角坐標系中，若將點P?3,1向左平移4個單位長度，再向上平移5個單位長度后，則得到的點P'的坐標是（A．1,6 B．?7,?4 C．1,?3 D．?【答案】D【分析】本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．根據向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加求解即可得到平移后的坐標．【詳解】解：將點P?3,1向左平移4個單位長度，得到?3?4,1=?7,1故選：D．4．（23-24七年級下·湖北十堰·期末）如果將點A3,m+2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度得n?4,6，則（

A．m=1，n=9 B．m=6，n=10C．m=6，n=9 D．m=2，n=10【答案】D【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—平移，根據“上加下減，左減右加”的平移規律可得3+3=n?4，m+2+2=6，解之即可得到答案．【詳解】解：∵將點A3,m+2向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度得n?4,6∴3+3=n?4，m+2+2=6，∴m=2，n=10，故選：D．題型十三圖形在坐標系中的平移例13.（23-24七年級下·江蘇南通·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為3,0，0,2，若將線段AB平移至CD，則a+b的值為（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】此題主要考查圖形的平移及平移特征．在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．利用平移中點的變化規律得到4?3=a?0，b?0=3?2，算出a、b的值，進而求解即可．【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為3,0，0,2，C4,b，∵將線段AB平移至CD，∴4?3=a?0，b?0=3?2，∴a=1，b=1∴a+b=2．故選A．鞏固訓練1.27．（23-24七年級下·四川南充·期中）如圖所示，△A'B'C'是由△ABC平移得到的，若A(?3，0)，B(?4，?2)，C(0，?2)，A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【答案】A【分析】本題考查坐標與圖形變化-平移，解題的關鍵是掌握平移變換的性質，屬于中考?？碱}型．判斷出m,n的值即可解決問題．【詳解】解：由平移變換的性質可知△A'B'C故A'∴m=1,n=1.5，∴m+n=2.5，故選：A．2．（23-24七年級下·福建福州·階段練習）如圖，把“QQ”笑臉放在直角坐標系中，已知左眼A的坐標是?2,3，右眼B的坐標為0,3，則將此“QQ”笑臉向右平移3個單位后，嘴唇C的坐標是（

）A．3,0 B．?2,1 C．1,3 D．2,1【答案】D【分析】本題考查了坐標系中點、線段的平移規律，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規律是：橫坐標右加，左減；縱坐標上加，下減．首先根據左眼，右眼坐標，得到嘴唇C的坐標，再根據平移的性質即可解題．【詳解】解：∵左眼A的坐標是?2,3，右眼B的坐標為0,3，∴嘴唇C的坐標為?2+02,3?2，即又∵將此“QQ”笑臉向右平移3個單位，∴將此“QQ”笑臉向右平移3個單位后，嘴唇C的坐標是2,1，故選：D．3．（22-23七年級下·四川綿陽·期中）如圖，線段AB經過平移得到線段A'B'，其中點A，B、A'、B'，這四個點都在格點上．若線段AB上有一個點P

A．a?2,b+3 B．a?2,b?3C．a+2,b+3 D．a+2,b?3【答案】A【分析】本題考查了坐標系中點、線段的平移規律，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同，平移的規律：橫坐標左減右加，縱坐標上加下減．【詳解】解：由題意可得線段AB向左平移2個單位，向上平移了3個單位，∴Pa?2,b+3故選：A．題型十四利用平移坐標系比較其坐標變化規律例14.（22-23八年級上·全國·課后作業）如圖(1)分別求出點A，A'和點B，B'的坐標，并比較A與A'，B(2)圖甲怎樣平移到圖乙？【答案】(1)A(?8,?1),A'(?3,4)，B(?3,?1),B'(2,4)，由A到(2)一次是向右平移5個單位，另一次是向上平移5個單位．【分析】（1）比較點A，A'和點B，B（2）根據圖形結合平面直角坐標系的平移規律進行解答即可．【詳解】（1）解：點A，A'的坐標分別為A(?8,?1),A'(?3,4)；點B，由A到A'由B到B'（2）由第（1）題知，A，B都向右平移5個單位，向上平移5個單位．從圖甲到圖乙，可以看作經過了兩次平移：一次是向右平移5個單位，另一次是向上平移5個單位．【點睛】本題考查了坐標與圖形－平移，熟知平面直角坐標系中點的平移規律為“橫坐標左減右加，縱坐標上加下減”是解本題的關鍵．鞏固訓練1.（20-21七年級下·新疆烏魯木齊·期中）平面直角坐標系中，三角形ABC的三個頂點的位置如圖，P為三角形ABC內一點，P的坐標為(a,b)(1)平移三角形ABC，使C點與原點重合，請畫出平移后的三角形A(2)直接寫出A,B,P的對應點A'A'（，B'（，P'（，(3)求三角形ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)；先向左平移1個單位，再向下平移2個單位(3)【分析】（1）根據題可得△ABC先向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到△A（2）根據平移的規律，即可求解；（3）利用△ABC所在的長方形的面積減去它周圍的三角形的面積，即可求解．【詳解】（1）解：∵平移三角形ABC，使C點與原點重合，點C（1，2），∴△ABC先向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到△A如圖，△A（2）解：由（1）得：△ABC先向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到△A∵點A（4，3），B（2，-1），，∴點，（3）解：．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變換——平移，熟練掌握平移的規律是解題的關鍵．2．（23-24七年級下·遼寧大連·期末）如圖，長方形ABCD四個頂點的坐標分別是A(2,22)，B(5,22)，C(5,2)，．將這個長方形向下平移2A．A'(2,42) B．B'(5,0)【答案】B【分析】本題考查坐標的平移．點的左右平移與點的橫坐標有關，左減右加；點的上下平移與點的縱坐標有關，上加下減．【詳解】解：∵長方形ABCD向下平移22個單位長度，得到長方形AA'2,0，B'(5,0)，C故選：B．3．（22-23七年級下·全國·課后作業）已知三角形ABC經過平移后得到三角形A1B1C1，點A與A1，點B與

(1)分別寫出點A與A1，點B與B1，點C與(2)若點P（2x，2y）通過上述的平移規律平移得到的對應點為，求x，y的值．【答案】(1)A（1，2），B（2，1），C（3，3），A1(?2,?1)，B(2)x=3【詳解】（1）A（1，2），B（2，1），C（3，3），A1(?2,?1)，B1（2）平移后的橫坐標為-3＋2x，縱坐標為-3＋2y，∴由題意，得?3+2x=y,?3+2y=x解得題型十五利用坐標的變化確定平移方式例15.（23-24七年級下·廣西南寧·期末）在平面直角坐標系中，將點A?2,3平移到點B?2,?2處，正確的移動方法是（A．向右平移5個單位長度 B．向左平移5個單位長度C．向下平移5個單位長度 D．向上平移5個單位長度【答案】C【分析】本題考查了坐標與圖形變化平移，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減；根據平移的規律即可求出平移方法．【詳解】解：∵3?5=?2，∴平移方法為將點A?2,3向下平移5個單位長度到點B故選：C．鞏固訓練1.（23-24七年級下·吉林四平·期末）如果將平面直角坐標系中的點平移到點(a,b)的位置，那么下列平移方法中正確的是（

）A．向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度B．向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度C．向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度D．向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度【答案】C【分析】本題考查了點的平移的性質，平移規律：橫坐標是左減右加，縱坐標是上加下減，據此即可作答．【詳解】解：∵將平面直角坐標系中的點平移到點(a,b)的位置，∴a?3+3=a,b+2?2=b∴平移方法是向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度故選：C2．（23-24七年級下·吉林白山·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點分別為A?2,4，B?5,2，C?1,0．將△ABC平移后得到△A1B1C1且點A的對應點是A(1)說明△A1B(2)寫出B1，C1的坐標并畫出【答案】(1)向右平移5個單位長度再向下平移3個單位長度得到的（答案不唯一）(2)B1的坐標為0,?1，C1的坐標為【分析】本題考查圖形平移、點的平移、平移作圖等知識，熟記點的平移、圖形平移是解決問題的關鍵．（1）由題中A?2,4與A（2）由（1）的平移方式作出圖形，數形結合即可得到B1，C【詳解】（1）解：∵點A?2,4的對應點是A∴點A向右平移5個單位長度再向下平移3個單位長度得到點A1∴△A1B（2）解：由（1）的平移方式，畫出△AB1的坐標為0,?1，C1的坐標為4,?3．3．（23-24七年級下·四川德陽·期中）如圖，正方形ABCD的頂點A，C的坐標分別為?5,6和?1,2．(1)畫出平面直角坐標系，并寫出點B，D的坐標；(2)將正方形ABCD平移，使4個頂點到原點的距離相等，畫出平移后的正方形EFGH，并寫出平移方式．【答案】(1)作圖見解析，B?5,2，D(2)作圖見解析，把正方形ABCD先向下平移4個單位，再向右平移3個單位得到正方形A【分析】本題考查了平移作圖，在坐標系中描點，平移的性質；（1）利用點A和點C的坐標建立平面直角坐標系，從而得到B、D點的坐標；（2）利用正方形的性質得到平移后的正方形的中心為坐標原點，然后畫出平移的正方形，從而得到平移的方向與距離．【詳解】（1）解：如圖，B?5,2，D（2）如圖，把正方形ABCD先向下平移4個單位，再向右平移3個單位得到正方形A'題型十六利用平移建立坐標系確定點的坐標例16.（23-24七年級下·黑龍江佳木斯·期末）如圖，四邊形AOCD所在的網格圖中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度.(1)建立以O為原點，AO邊所在直線為x軸的平面直角坐標系，并寫出點C的坐標；(2)求出四邊形AOCD的面積；(3)請畫出將四邊形AOCD向上平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度后所得的四邊形A'【答案】(1)畫圖見解析，C(2)9(3)畫圖見解析【分析】此題考查了平面直角坐標系及點的坐標、圖形的平移作圖、網格中圖形的面積等知識，準確建立平面直角坐標系是解題的關鍵．（1）按照要求建立平面直角坐標系，根據建立的坐標系寫出點C的坐標即可；（2）根據四邊形AOCD的面積=S（3）按照平移規律找出A、O、C、D平移后的對應的A'、O'、C'【詳解】（1）解：建立平面直角坐標系如下圖：由圖可得：點C的坐標為2,2；（2）解：由圖可得：四邊形AOCD的面積=S（3）解：如圖所示，四邊形A'鞏固訓練1．（23-24七年級下·山西呂梁·期末）如圖，在一個10×10的正方形DEFG網格中有一個△ABC．(1)在網格中畫出三角形ABC向下平移3個單位得到的△A(2)若以EF所在直線為x軸，ED所在的直線為y軸建立直角坐標系，寫出A1，B【答案】(1)見解析(2)A18,2【分析】本題考查了平移作圖，點坐標等知識．熟練掌握平移作圖，點坐標是解題的關鍵．（1）由平移的性質作圖即可；（2）根據題意建立平面直角坐標系，進而可得點坐標．【詳解】（1）解：由平移的性質作圖，如圖1，△A

圖1（2）解：建立平面直角坐標系如圖2，

圖2∴A18,2，2．（22-23八年級下·河北邢臺·期末）如圖，已知A，B兩點的坐標分別為6，2，(1)在網格圖中建立平面直角坐標系xOy，標出點B關于x軸的對稱點C，并寫出點C的坐標；(2)平移線段AB使點A移動到點C，畫出平移后的線段CD，并寫出點D的坐標；(3)若x軸上存在一點P，使得S△PAB=3，直接寫出點【答案】(1)見解析，C(2)見解析，D(3)點P的坐標為2,0或6,0【分析】本題主要考查平面直角坐標系中坐標與圖形，平移等知識；（1）根據點A，B的坐標建立平面直角坐標系，即可得點C的坐標．（2）根據平移的性質作圖，即可得出答案．（3）設點P的坐標為m，0，根據題意可列方程為12m?4×1+【詳解】（1）解：如圖，平面直角坐標系xOy、點C即為所求．由圖可得，C3,1（2）由題意知，線段AB是向左平移3個單位長度，向下平移1個單位長度得到的線段CD，如圖，線段CD即為所求．由圖可得，D0,?2（3）設線段AB與x軸交于點E，可知E4，0設點P的坐標為m，0，∴12m?4解得m=2或6，∴點P的坐標為2,0或6,0．3．（23-24七年級下·廣西欽州·期末）如圖，在邊長為1的正方形網格中，三角形ABC的三個頂點均在格點上，點A的坐標為?4,3．(1)將三角形ABC向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度后得到三角形A'B'C'，請畫出三角形A'B'C'(2)連結AA'，CC'，直接寫出【答案】(1)作圖見解析，B'?7,?4(2)A【分析】本題考查作圖—平移變換，坐標與圖形，（1）根據題意畫出平面直角坐標系，根據平移的性質分別確定A、B、C的對稱點A'、B'、（2）根據平移性質即可得出結論；解題的關鍵是掌握平移的性質：①平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置；②圖形上的每個點都平移了相同的距離，對應點之間的距離就是平移的距離；③連接各組對應點的線段平行（或在同一直線上）且相等．【詳解】（1）解：如圖建立平面直角坐標系，B'?7,?4，（2）AA'與CC

第十一章平面直角坐標系知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、平面直角坐標系1、坐標：數軸上每一個點都對應一個實數，這個實數叫做這個點在數軸上的坐標.2、平面直角坐標系：（1）定義：在平面內畫兩條互相垂直并且原點重合的數軸，組成平面直角坐標系.（2）相關概念：水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；垂直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向，兩軸交點O為原點.如圖11.1—1.【注意】1、平面直角坐標系的兩條數軸共原點，且互相垂直.2、一般情況下兩條數軸的單位長度是一致的，在有些實際問題中，兩坐標軸的單位長度可以不同，但在同一坐標軸上的單位長度必須相同.二、點的坐標1、點的坐標定義：若平面直角坐標系中有一點A，過點A作橫坐標的垂線，垂足在橫軸上表示的數為a，過點A作縱軸的垂線，垂足在縱軸上表示的數為b，則有序實數對(a，b)叫做點A的坐標，其中【注意】1、在寫點的坐標時，必須先寫橫坐標，再寫縱坐標，中間用逗號隔開，最后用小括號把它們括起來；2、點的坐標是有序實數對，(a，b)和3、已知點的位置可以讀出點的坐標，反之已知點的坐標可以在平面直角坐標系中標出點的位置.2、平面直角坐標系內的點與有序實數對的一一對應關系：（1）坐標平面內的任意一點，都有唯一的一個有序實數對（點的坐標）與它對應；（2）任意一個有序實數對（點的坐標）在坐標平面內都有唯一的一個點和它對應.三、平面直角坐標系中各區域的點的坐標1、象限的劃分：如圖11.1—2，建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成=1\*ROMANI，=2\*ROMANII，=3\*ROMANIII，=4\*ROMANIV四個部分，每個部分稱為象限，分別叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐標軸上的點不屬于任何一個象限.圖11.1—2【注意】1、象限的劃分是從“右上”開始的，按“逆時針”方向依次排列為第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名稱是一種規定，不能隨意更改；2、坐標原點既在x軸上，又在y軸上，它是兩條坐標軸唯一的公共點．2、平面直角坐標系中個區域的點的坐標特征．點M(坐標特征象限內的點點M(M點M(M點M(M點M(M坐標軸上的點點M(x，在x軸正半軸上：M在x軸負半軸上：M點M(x，在y軸正半軸上：M在y軸負半軸上：M四、特殊位置的點的坐標特征1、兩坐標軸夾角平分線上的點的坐標特征：（1）第一、三象限的角平分線上的點的橫、縱坐標相等；（2）第二、四象限的角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數．2、平行于x軸、y軸的直線上的點的坐標特征：圖11.1—3如圖11.1—3所示，直線l1//x軸，直線直線l2//y軸，因為由l1上的任意一點向y軸作垂線，垂足都是同一個點M（不與原點重合），所以l1上的所有點的縱坐標都相等且不為0；因為由l2上的任意一點向x3、若兩個點的橫坐標相等，則這兩個點之間的距離為縱坐標差的絕對值；若兩個點的縱坐標相等，則這兩個點之間的距離為橫坐標差的絕對值.【注意】1、若AB//x軸，則A(x1,yy1=y2≠0；反之，若A(x1,2、若CD//y軸，則C(m1，n1)，D(m2，n2)的橫坐標相等且不為0，縱坐標不相等，即五、用坐標表示點的平移點在坐標系中的平移：在平面直角坐標系中，某個點經過平移后，其位置發生了變化，其坐標也發生了變化.點的平移與坐標變化的關系：根據點的平移情況可以得到平移后點的坐標變化情況；反過來，根據點的坐標變化情況可以得到點的平移情況，即:【注意】1、將點左右平移，縱坐標不變；2、將點上下平移，橫坐標不變；3、點的平移遵循上加下減，右加左減.六、用點的坐標表示圖形的平移1、圖形在坐標平面中的平移：是指在坐標系中，在保持坐標軸不動的情況下，圖形的整體移動.【注意】圖形在坐標平面中平移變換的實質：（1）、圖形的位置及表示位置的坐標發生變化；（2）、圖形的性質、大小、方向不變.2、圖形的平移與圖形上各點的坐標變化的關系：（1）因為圖形的平移是圖形的整體平移，所以已知圖形的平移情況，即可得到圖形上個點坐標的變化情況；（2）平移時，因為圖形上各點的變化情況相同，所以已知圖形上某點的坐標變化情況，即可知道圖形的平移情況.【注意】1、圖形的平移首先應轉化為圖形頂點的平移，再按照點的平移規律進行平移；2、一般地，將一個圖形依次沿兩個坐標軸方向平移所得到的圖形，可以通過將原來的圖形作一次平移得到.0303題型歸納題型一在平面上確定點的位置例1.（23-24八年級下·貴州銅仁·期末）梵凈山是“貴州第一名山”，國家AAAAA級旅游景區，國家級自然保護區，中國十大避暑名山，小明想向外地網友介紹我市梵凈山的位置，以下幾種說法，對梵凈山的位置描述錯誤的是（

）A．梵凈山位于貴州省銅仁市的印江、江口、松桃（西南部）三縣交界處B．梵凈山地處北緯27°49'C．梵凈山位于貴陽市大約北偏東60°方向，距離貴陽約310千米D．梵凈山在距離北京大約2800千米的位置處【答案】D【分析】本題主要考查了實際生活中位置的確定，表示的方法有坐標表示位置，用方向角和距離確定物體的位置，根據方位描述確定物體的位置，根據題意一一判斷即可．【詳解】解：A．梵凈山位于貴州省銅仁市的印江、江口、松桃（西南部）三縣交界處，可以確定梵凈山的位置，故該選項不符合題意；B．梵凈山地處北緯27°49'5C．梵凈山位于貴陽市大約北偏東60°方向，距離貴陽約310千米，以確定梵凈山的位置，故該選項不符合題意；D．梵凈山在距離北京大約2800千米的位置處，無法確定梵凈山的位置，故該選項符合題意；故選：D．鞏固訓練1．（2024·河北唐山·二模）如圖是某街道的局部圖，小剛從A處走往B處(街道寬度忽略)，下列描述錯誤的是（

）A．向西走150m，再向南走80m B．向西走150m，再向左走80mC．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m【答案】D【分析】此題主要考查依據方向和距離判定物體位置的方法，結合示意圖，是解答此類題的關鍵．依據圖上標注的各種信息，以及地圖上的方向辨別方法“上北下南，左西右東”判斷即可．【詳解】解：A、向西走150m，再向南走80m，故本選項不符合題意；B、向西走150m，再向左走80m，故本選項不符合題意；C、向南走80m，再向西走150m；故本選項不符合題意；D、向南走80m，應該再向右走150m，故本選項符合題意．故選：D．2．（23-24八年級下·河北承德·階段練習）2023年9~10月，第19屆亞運會于中國杭州順利舉行，以下能夠準確表示杭州市地理位置的是（

）A．東經120.2°，北緯30.2° B．離北京市1250千米C．在浙江省 D．在中國南方【答案】A【分析】本題考查了坐標確定位置，根據點的坐標的定義，確定的一個位置需要兩個數據，根據選項判斷即可．【詳解】解：能夠準確表示杭州市地理位置的是東經120.2°，北緯30.2°，故選：A．3．（23-24九年級上·河北廊坊·期中）李雯同學約小明去電影院看電影，下面是他們在微信中的對話從上面的對話中，小明能從生活超市走到電影院的路線是（

）A．先向東走500米，再向南走100米 B．先向東走100米，再向南走500米C．先向東走200米，再向南走300米 D．先向東走300米，再向南走200米【答案】A【分析】此題主要考查了坐標確定位置，先根據對話話確定出生活超市與電影院的位置，再根據圖形解答即可．【詳解】解：依題意，小明能從生活超市走到電影院的路線是先向東走500米，再向南走100米故選：A．題型二平面直角坐標系的定義識別例2．（23-24八年級上·全國·單元測試）下列說法中，正確的是(

)A．平面直角坐標系是由兩條互相垂直的直線組成的B．平面直角坐標系是由兩條相交的數軸組成的C．平面直角坐標系中的點的坐標是唯一確定的D．在平面上的一點的坐標在不同的直角坐標系中的坐標相同【答案】C【分析】根據平面直角坐標系的定義即可知選項A、B錯誤；在平面上的一點的坐標在不同的直角坐標系中的坐標不一定相同，可得選項D錯誤，由此即可解答.【詳解】在平面內兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系，所以選項A、B錯誤；坐標平面內的點與有序實數對是一一對應，選項C正確；在平面上的一點的坐標在不同的直角坐標系中的坐標不一定相同，選項D錯誤.故選C.【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系的知識，熟知平面直角坐標系的定義及坐標平面內的點與有序實數對是一一對應是解決問題的關鍵.鞏固訓練1．（22-23七年級·全國·課后作業）下列選項中，平面直角坐標系的畫法正確的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據平面直角坐標系的定義判斷即可．【詳解】解：A．x軸與y軸不垂直，故本選項不符合題意；B．符合平面直角坐標系的定義，故本選項符合題意；C．x軸的正方向錯誤，故本選項不符合題意；D．x軸與y軸沒有標注正方向，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了點的坐標以及建立平面直角坐標系的方法：在同一平面內畫；兩條有公共原點且垂直的數軸．2．（21-22八年級上·廣西百色·期中）在圖中，所畫的平面直角坐標系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平面直角坐標系的定義判斷即可．【詳解】解：A、原點的位置錯誤，坐標軸上y的字母位置錯誤，錯誤；B、兩坐標軸不垂直，錯誤；C、符號平面直角坐標系的定義，正確；D、x軸和y軸的方向有錯誤，坐標系無箭頭，錯誤．故選：C．【點睛】本題考查平面直角坐標系，在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系，解題關鍵是掌握平面直角坐標系坐標軸的位置．3．（22-23七年級下·河北邯鄲·期中）下列說法中，正確的是（

）A．平面直角坐標系中(2,1)和(1,2)表示相同的點 B．x軸上的點的橫坐標為0C．坐標軸上的點不屬于任何象限 D．橫、縱坐標符號相同的點一定在第一象限【答案】C【分析】根據點與坐標，象限的概念依次進行判斷即可得．【詳解】解：A、平面直角坐標系中(2,1)和(1,2)表示不相同的點，選項說法錯誤，不符合題意；B、x軸上的點的縱坐標為0，選項說法錯誤，不符合題意；C、坐標軸上的點不屬于任何象限，選項說法正確，符合題意；D、橫、縱坐標符號相同的點在第一象限或第三象限，選項說法錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了點與坐標，點所在的象限，解題的關鍵是掌握點的坐標與點所在象限的特征．題型三平面直角坐標系中各象限內點的坐標特征例3.（23-24七年級下·吉林·期末）在平面直角坐標系中，點m2+5,?2一定在（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題考查點橫縱坐標與所在象限的關系，判定點P的橫縱坐標的符號即可得解．【詳解】解：∵，∴m∵?2<0，∴點m2故選：D．鞏固訓練1．（23-24七年級下·內蒙古鄂爾多斯·期末）如圖，小手蓋住的點的坐標可能為（

）A．(2,3) B．(?5,3) C．(4,?6) D．(?2,?4)【答案】D【分析】本題主要考查了點在第三象限時點的坐標特征．注意四個象限的符號特點分別是：第一象限+，+；第二象限?，+；第三象限?，?；第四象限+，?．根據點在第三象限點的坐標特點，即可解答．【詳解】解：根據題意得：小手蓋住的點位于第三象限，A、(2,3)在第一象限，故本選項不符合題意；B、(?5,3)在第二象限，故本選項不符合題意；C、(4,?6)在第四象限，故本選項不符合題意；D、(?2,?4)在第三象限，故本選項符合題意；故選：D．2．（23-24八年級下·吉林長春·階