上海市上外附屬大境中學2025屆高二數學第一學期期末復習檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（）A192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里2．設直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.3．設是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.484．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.5．若實數x，y滿足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.26．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．若數列1，a，b，c，9是等比數列，則實數b的值為（）A.5 B.C.3 D.3或8．某市要對兩千多名出租車司機的年齡進行調查，現從中隨機抽出100名司機，已知抽到的司機年齡都在[20,45]歲之間，根據調查結果得出司機的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個殘缺的頻率分布直方圖估計該市出租車司機年齡的中位數大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲9．數列的通項公式是（）A. B.C. D.10．雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線上，下列結論不正確的是（）A.該雙曲線的離心率為B.該雙曲線的漸近線方程為C.點P到兩漸近線的距離的乘積為D.若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為3211．已知點在平面α上，其法向量，則下列點不在平面α上的是（）A. B.C. D.12．彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內西南紫薇山下.某同學為測量彬塔高度，選取了與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得，，，在點測得塔頂的仰角為60°，則塔高（）A.30m B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.14．如圖，在棱長為2的正方體中，E為BC的中點，點P在線段上，分別記四棱錐，的體積為，，則的最小值為______15．某古典概型的樣本空間，事件，則___________.16．已知數列的通項公式，則數列的前5項為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，出現故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，每臺機器出現故障的概率為（1）若出現故障的機器臺數為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障時能及時維修，都產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？18．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點坐標；（2）若直線與直線垂直，求a的值.19．（12分）已知點A(-2，0)，B(2，0)，動點M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）若直線和曲線C相交于E，F兩點，求.20．（12分）已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，若，求k的值.21．（12分）設點P是曲線上的任意一點，k是該曲線在點P處的切線的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當k取最大值時，該曲線在點P處的切線方程22．（10分）在直角坐標系中，點到兩點、的距離之和等于，設點的軌跡為，直線與交于、兩點（1）求曲線的方程；（2）若，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由題可得此人每天走的步數等比數列，根據求和公式求出首項可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數構成為公比的等比數列，由題意和等比數列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B2、C【解析】先求出，的坐標，再求中點坐標，利用點滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯立，解得：，，所以中點坐標為，因為點滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題.3、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎題型.4、B【解析】構造函數，利用函數在上的單調性可判斷AB選項；構造函數，利用函數在上的單調性可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞增，因為、且，則，即，A錯B對；對于CD選項，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，故函數在上不單調，無法確定與的大小關系，故CD都錯.故選：B.5、A【解析】畫出可行域，令，則，結合圖形求出最小值，即可得解；【詳解】解：畫出不等式組，表示的平面區域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結合圖形可知當過點時，取得最小值，且，即故選：A6、B【解析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.7、C【解析】根據等比數列的定義，利用等比數列的通項公式求解【詳解】解：設該等比數列公比為q，∵數列1，a，b，c，9是等比數列，∴，，∴，故，解得，∴故選：C8、C【解析】先根據頻率分布直方圖中頻率之和為計算出數據位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數的原則求出中位數【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數據位于的頻率為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，中位數位于區間，設中位數為，則有，解得（歲），故選C【點睛】本題考查頻率分布直方圖的性質和頻率分布直方圖中中位數的計算，計算時要充分利用頻率分布直方圖中中位數的計算原理來計算，考查計算能力，屬于中等題9、C【解析】根據數列前幾項，歸納猜想出數列的通項公式.【詳解】依題意，數列的前幾項為：；；；……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數列通項公式的猜想，屬于基礎題.10、D【解析】根據雙曲線的離心率、漸近線、點到直線距離公式、三角形的面積等知識來確定正確答案.【詳解】由題意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故離心率e，故A正確；由雙曲線的性質可知，雙曲線線的漸近線方程為y＝±x，故B正確；設P（x，y），則P到兩漸近線的距離之積為，故C正確；若PF1⊥PF2，則△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D錯誤.故選：D11、D【解析】根據法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.故選：D12、D【解析】在△中有，再應用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為命題“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因為，當且僅當即時取等號，所以，即故答案：14、【解析】設，用參數表示目標函數，利用均值不等式求最值即可.【詳解】取線段AD中點為F，連接EF、D1F，過P點引于M，于N，則平面，平面，則，∴，設，則，，即，，∴，當且僅當時，等號成立，故答案為：15、##0.5【解析】根據定義直接計算得到答案.【詳解】.故答案為：.16、【解析】根據數列的通項公式可得答案.【詳解】因為，所以數列的前5項為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設出現故障的機器臺數為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設出現故障的機器臺數為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設“在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機器同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%當該廠雇傭3名工人時，設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當該廠雇傭4名工人時，4臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大18、（1）（2）【解析】（1）聯立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，直線，聯立，解得，即交點坐標為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.19、（1），曲線是一個雙曲線，除去左右頂點（2）【解析】（1）設，則的斜率分別為，，根據題意列出方程，化簡后即得C的方程，根據方程可以判定曲線類型，注意特殊點的去除；（2）聯立方程，利用韋達定理和弦長公式計算可得.【小問1詳解】解：設，則的斜率分別為，，由已知得，化簡得，即曲線C的方程為，曲線一個雙曲線，除去左右頂點.【小問2詳解】解：聯立消去整理得，設，，則，.20、（1）（2）【解析】（1）由離心率可得雙曲線的漸近線方程；（2）設，則的中點為，由，可得，然后的方程與雙曲線的漸近線方程聯立，利用韋達定理可得答案.【小問1詳解】設，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】由已知直線的傾斜角不是直角，，設，則的中點為，，由，可知，所以，即，因為的方程為，雙曲線的漸近線方程可寫為，由消去y，得，所以，，所以，因為，所以，即.21、（1）（2）【解析】（1）先求導數再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點，從而也確定的斜率就可以求切線.【小問1詳解】設，因為，所以，所以k的取值范圍為【小問2詳解】由（1）知，此時，即，所以此時曲線在點P處的切線方程為22、（1）