2025屆安徽省池州市東至第二中學高二數學第一學期期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則的值為（）A. B.0C.1 D.2．若是函數的極值點，則函數（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值3．已知a、b是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若a∥α，a∥b，則b∥α B.若a∥α，a∥β，則α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D.若a⊥α，b⊥α，則a∥b4．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.45．已知正實數x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.6．拋物線上有兩個點，焦點，已知，則線段的中點到軸的距離是（）A.1 B.C.2 D.7．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數n的值是（）A. B.C. D.8．已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，準線為l，M是拋物線上一點，過點M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長為2的正三角形，則p=（）A. B.C.1 D.29．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.10．以橢圓＋＝1的焦點為頂點，以這個橢圓的長軸的端點為焦點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．在中，，滿足條件的三角形的個數為（）A.0 B.1C.2 D.無數多12．雙曲線的兩個焦點坐標是（）A.和 B.和C.和 D.和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準線方程是________14．已知函數的單調遞減區間是，則的值為______.15．若，，，四點中恰有三點在橢圓上，則橢圓C的方程為________.16．已知拋物線方程為，則其焦點坐標為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值18．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點為的中點.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離.19．（12分）已知數列的前n項積，數列為等差數列，且，（1）求與的通項公式；（2）若，求數列的前n項和20．（12分）設函數，且存在兩個極值點、，其中.（1）求實數的取值范圍；（2）若恒成立，求最小值.21．（12分）已知橢圓經過點，橢圓E的一個焦點為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點且與橢圓E交于A，B兩點.求的最大值22．（10分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點M，使得三角形MAB的面積為，求點M的坐標

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求導，代入，求出，進而求出.【詳解】，則，即，解得：，故，所以故選：B2、A【解析】對求導，根據極值點求參數a，再由導數研究其單調性并判斷其最值情況.【詳解】由題設，且，∴，可得.∴且，當時，遞減；當時，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A3、D【解析】根據空間線、面的位置關系有關定理，對四個選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，直線有可能平面內，故A選項錯誤.對于B選項，兩個平面有可能相交，平行于它們的交線，故B選項錯誤.對于C選項，可能相交，故C選項錯誤.根據線面垂直的性質定理可知D選項正確.故選:D.4、C【解析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，所以.故選：C5、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實數x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當且僅當時取等號，∴的最小值為.故選：A6、B【解析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，即可求出線段中點的橫坐標，即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準線方程為，設點的坐標分別為和，由拋物線的定義得，即，線段中點的橫坐標為，故線段的中點到軸的距離是.故選：.7、C【解析】首先根據拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點為，，因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C8、C【解析】根據正三角形的性質，結合拋物線的性質進行求解即可.【詳解】如圖所示：準線l與橫軸的交點為，由拋物線的性質可知：，因為若△MNF是邊長為2的正三角形，所以，，顯然，在直角三角形中，，故選：C9、A【解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優先考慮幾何法，避免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來10、B【解析】根據橢圓的幾何性質求橢圓的焦點坐標和長軸端點坐標，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標準方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點坐標為，，焦點坐標為，，∴雙曲線的焦點在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.11、B【解析】利用正弦定理得到，進而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個.故選：B12、C【解析】由雙曲線標準方程可得到焦點所在軸及半焦距的長，進而得到兩個焦點坐標.【詳解】雙曲線中，，則又雙曲線焦點在y軸，故雙曲線的兩個焦點坐標是和故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將拋物線方程化為標準形式，從而得到準線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線準線的求解，易錯點是未將拋物線方程化為標準方程.14、【解析】先求出，由題設易知是的解集，利用根與系數關系求m、n，進而求的值.【詳解】由題設，，由單調遞減區間是，∴的解集為，則是的解集，∴，可得，故.故答案為：15、【解析】由于，關于軸對稱，故由題設知C經過，兩點，C不經過點，然后求出a，b，即可得到橢圓的方程.【詳解】解：由于，關于軸對稱，故由題設知經過，兩點，所以.又由知，不經過點，所以點在上，所以.因此，故方程為.故答案為：.【點睛】求橢圓的標準方程有兩種方法：①定義法：根據橢圓的定義，確定，的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程②待定系數法：若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結合已知條件求出，；若焦點位置不明確，則需要分焦點在軸上和軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為16、【解析】先將拋物線的方程轉化為標準方程的形式，即可判斷拋物線的焦點坐標為，從而解得答案.【詳解】解：因為拋物線方程為，即，所以，，所以拋物線的焦點坐標為，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設直線方程后與橢圓方程聯立，由韋達定理表示弦長，將面積轉化為函數后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設的方程為，聯立方程得，設，，則由根與系數關系有，所以，根據橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數性質可知：當且僅當，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．18、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問1詳解】解：以點作坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設平面的一個法向量為，又，則，則可取，又，設直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問2詳解】解：因為所以點到平面的距離為，點到平面的距離為19、（1），.（2）.【解析】（1）由已知得，，兩式相除得，由已知得，求得數列的公差為，由等差數列的通項公式可求得；（2）運用錯位相減法可求得.【小問1詳解】解：因為數列的前n項積，所以，所以，兩式相除得，因為數列為等差數列，且，，所以，即，所以數列的公差為，所以，所以，【小問2詳解】解：由（1）得，所以，，所以，所以.20、（1）（2）【解析】（1）存在兩個極值點，等價于其導函數有兩個相異零點；（2）適當構造函數，并注意與關系，轉化為函數求最大值問題，即可求得的范圍.【小問1詳解】（），，函數存在兩個極值點、，且，關于的方程，即在內有兩個不等實根，令，，即，，實數的取值范圍是.【小問2詳解】函數在上有兩個極值點，由（1）可得，由，得，則，，，，，，，，令，則且，令，，，再設，則，，，即在上是減函數，（1），，在上是增函數，（1），，恒成立，恒成立，，的最小值為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導函數，函數的單調性，最值，不等式證明，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是將恒成立，轉化為恒成立，化簡，令，則化為，然后構造函數，利用導數求出其最大值即可，屬于較難題21、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結合焦點的坐標、橢圓中的關系進行求解即可；（2）根據直線l是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根的判別式、根與系數關系、弦長公式、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率存在時，設，，由得由得．由，得當且僅當，即時等號成立當直線l的斜率不存在時，，∴的最大值為22、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點式求AB所在直線的斜率，結合點坐標求AB的垂直平分線，根據已知確定圓心、半徑即可得