第11節利用導數解決函數的極值最值基礎知識要夯實1．函數的極值(1)函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．(2)函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點、極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值.①函數fx在x0處有極值的必要不充分條件是f′x0＝0，極值點是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是極值點例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是極值點.②極值反映了函數在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數的局部性質.極值點是函數在區間內部的點，不會是端點.2．函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．3常用結論1.對于可導函數f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.2.求最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值.3.函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系.核心素養要做實考點一利用導數解決函數的極值問題考法(一)利用導數求函數的極值或極值點【例1】(2020·天津高考改編)設函數f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差為d的等差數列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若d＝3，求f(x)的極小值點及極大值．【方法技巧】求函數的極值或極值點的步驟(1)求導數f′(x)，不要忘記函數f(x)的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢查在方程的根的左右兩側f′(x)的符號，確定極值點或函數的極值．考法(二)已知函數極值點或極值求參數的值或范圍【例2】(2020·北京高考節選)設函數f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，若f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．【方法技巧】已知函數極值點或極值求參數的2個要領列式根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解驗證因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證根的合理性[題組訓練]1．設函數f(x)＝＋lnx，則()A．x＝為f(x)的極大值點B．x＝為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點 D．x＝2為f(x)的極小值點2．(2020·廣州高中綜合測試)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處的極值為10，則數對(a，b)為()A．(－3,3) B．(－11,4)C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)3．設函數f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．(1)當a＝1，且函數f(x)的圖象過點(0,1)時，求函數f(x)的極小值；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點，求a的取值范圍．考點二利用導數解決函數的最值問題【例2】(2020·北京高考)已知函數f(x)＝excosx－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)求函數f(x)在區間上的最大值和最小值．[解題技法]導數法求給定區間上函數的最值問題的一般步驟(1)求函數f(x)的導數f′(x)；(2)求f(x)在給定區間上的單調性和極值；(3)求f(x)在給定區間上的端點值；(4)將f(x)的各極值與f(x)的端點值進行比較，確定f(x)的最大值與最小值；(5)反思回顧，查看關鍵點，易錯點和解題規范．【跟蹤訓練】1.(2020·珠海摸底)如圖，將一張16cm×10cm的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則這個紙盒的最大容積是________cm3.2．已知函數f(x)＝lnx－.(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內的單調性；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求實數a的值．達標檢測要扎實一、單選題1．對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）．A． B．C． D．2．已知函數，若不等式對恒成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．若兩曲線與存在公切線，則正實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數有兩個不同的極值點，，若不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知函數有極值，則c的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．若函數的極大值點與極大值分別為a，b，則（

）A． B．C． D．7．若對任意的實數恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數，則（

）A．在上為增函數 B．在上為減函數C．在上有極大值 D．在上有極小值9．設函數，若的極小值為，則（

）A． B． C． D．210．已知若，則的最大值是(

)A． B． C． D．11．已知函數有兩個不同的極值點，且不等式恒成立，則實數t的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．已知函數，則“”是“有極值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題13．已知，若存在極小值，則的取值范圍是_______________________．14．，則的最大值為_____________.15．已知函數的定義域為，它的導函數的圖象如圖所示，則函數的極值點有______個.16．函數的最小值為______．三、解答題17．已知函數，.（1）求的單調區間，并求當時，的最大值；（2）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.18．已知函數．（1）若存在極值，求實數的取值范圍；（2）若，當時，恒成立，且有且只有一個實數解，證明：．19．已知函數f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設a>0時，討論函數g（x）=的單調性．20．已知函數在處的切線與