第一章機械振動學基礎第一節引言機械振動學研究的問題包括以下幾個方面的內容1..建立物理模型建立數學模型方程的求解結果的闡述第二節接卸振動的運動學概念簡諧振動物體簡諧振動位移的三角函數式A/2n 2兀 、x=Acos（ t一甲）=Asm（ t+Q）物體簡諧振動速度和度的三角函數式. 兀v=x-Awcos(wt+Q)=Awsin(wt+Q+?)a二x二一Aw2sin(wt+p)二Aw2sin(wt+p+兀)周期振動x（t）="o+EAsin（nwt+屮）TOC\o"1-5"\h\z2 n n簡諧振動的合成（一）同方向振動的合成兩個同頻率振動的合成x二Asin(wt+屮)和x二Asin(w+屮 )111222合運動A=\KAcos屮+Acos屮)2+(Asin屮+Asin屮)2V11221122Asin屮+Asin屮tan申=―1 12 2-Acos屮+Acos屮1 12 2兩個不同頻率運動的合成x二Asinwt11合運動w<w12x=x+x二w<w12121122

w口w對于A二A二A1212wx=Acos(2對于A□Ax二Asinwtwx=Acos(2211二）兩垂直方向振動的合成1.同頻率真懂得合成w+wsin2( t)式中A=A1xw+wsin2( t)式中A=A1x2 y2 2xy合運動 +=—cos申—sm2申=0A2 B2 AB2.不同頻率振動的合成x二Asinwty二Bsin(w+申)12合運動nw二mwm,n=1,2,3-----12第三節構成機械振動系統的基本元素構成機械振動系統的基本元素有慣性、恢復性和阻尼。d2x慣性F=m恢復性F二—kx阻尼力F二—c'xdt2 s d第四節自由度與廣義坐標物體在這些約束條件下運動時，用于確定其位置所需的獨立坐標就是該系統的自由度數對于n個質點組成的質點系，各質點的位移可用3n個直角坐標（x,y,z，…，x,y,z）111nnn來描述。當有r個約束條件時，約束方程為f（x,y,z，…，x,y,z）二0 k=1,2,---,rk111nnn為了確定各質點的位置，可選取N=3n-r個獨立的坐標q=q（x,y,z，…，x,y,z） j=1,2,—,Njj111nnn來代替3n個直角坐標系。這種坐標叫做廣義坐標第二章單自由度系統第一節概述任何一個但自由度系統都可以用一個理論模型(圖中所示)，來描述：它是由理想的質量m,理想的彈簧k和理想的阻尼三個基本的元件組成的系統。系統的運動方向只有一個方向。研究單自由度系統振動的意義：從物理的角度看，一個系統受到一個外界的激勵(或輸入)Fl(t)時，可測得其響應(輸出)為X1(t)。而受到輸入F2(t)時，測得的響應為X2(t)。他們可表示為：F(t)Tx(t)11F(t)Tx(t)22如果受到的輸入是F(t)=a1F1(t)+a2F2(t)，對于線性系統，可以預測系統的響應為：X(t)=a1x1(t)=a2x2(t)。其中al，a2為任意常數。上述的公式中表示，幾個激勵函數共同作用的總響應時各個響應函數的總和。這一結果叫做疊加原理，是一個系統成為線性系統的必要條件。從數學角度看，線性系統由線性方程描述。對于時不變、集中參數的機構振動系統，由常數、線性常微分方程描述，即表示為：d2x dx+a 1+ax=F(t) (2.1-3)dt21dt011式中a0和a1是決定系統的系數。如果有激勵F1(t)和F2(t)分別輸出響應x1(t)和x2(t)，則有：d2x dx2。1-4）1+a 1+ax=尸（t）2。1-4）dt21dt011d2x dx 2+a—士+ax=F(t) (21-5)dt2 1dt022將上述兩式相加得：_(x+x)+a (x+x)+a(x+x)=F(t)+F(t) (2.1-6)dt2121dt1201212表明，系統對激勵的響應等于兩個單激勵響應之和。所以說:d對于線性方程。疊加原理成立；對于非線性方程，不成立。小結：線性系統是在一定條件下對非線性系統的近似。微幅運動則是線性化的重要前提第二節無阻尼自由振動

阻尼是一個很復雜的因素，有些系統阻尼的性質、大小很難確定。阻尼對抑制系統共振頻率的運動影響不大。為了大致確定系統的共振頻率和分析系統在共振頻率的運動，不考慮阻尼，使c=0,作為無阻尼系統研究是很有效的。stW=mg二k6st若給予系統某種擾動，比如把彈簧再往下壓x距離，彈簧的恢復力就要增大kx,有k(6+x)>W=mgst系統的靜平衡狀態遭到破壞。所以，為了對系統進行研究，就要建立坐標(按照圖示，簡單建立)若在某一時刻t,系統的位移為x(t)。由牛頓定理：W-k(6+x)二mxst于是有 mx+k并0這就是系統的無阻尼時的運動方程線性系統自由振動的頻率只決定于系統本身參數，與初始條件無關，因而叫做系統的固有頻率或無阻尼固有頻率。第三節能量法當一個無阻尼彈簧 質量系統中。如下圖

頻率的重要準則條件不變，則彈簧會律。頻率的重要準則條件不變，則彈簧會律。O第四節有阻尼自由振動在實際系統中總存在這阻尼，所以系統必定有能量的散失。系統不可能一直做等幅自由振動一．粘性阻尼對于一般系統。比如大氣中的飛行物。其阻尼力與速度成正比，方向與速度相反。其中必有一個系數可以反映他們之間的關系。這個系數就是阻尼系數。同時，也說明了粘性阻尼的概念。二．粘性阻尼自由振動如圖所示為一個震蕩系統。

其運動方程為：mx+cx+kx=0解上述方程的根可得：通解x(t)=Beat+Bebb12當式中的a和b為零時，有 c=Jk/m=e或c=2m=2Jmk2m n o n為臨界阻尼系數。于是可以得出下式：叫做阻尼比，使系統的實際阻尼與臨界阻尼系數的比值。而W=\：'l-g23d n叫做有阻尼固有頻率，它決定于系統的物理參數。同時，實際阻尼小于臨界阻尼的系數的系統叫做欠阻尼系統或弱阻尼系統。三．結構阻尼實驗表明，彈性材料，特別是金屬材料表示出一種結構阻尼的性質。這種阻尼是由于材料受力變形而產生的內摩擦力，力和摩擦之間產生離相位的滯后。結構阻尼雖然是常見的一種阻尼形式，由于它用能量損失來定義，且和振幅間有非線性的關系，所以在數學上難于處理。四．庫倫阻尼具有庫倫阻尼的系統，其運動是一個具有線性衰減的簡諧振動。自由振動的頻率不受阻尼的影響。最后，系統的運動并不一定停留在原來的靜止位置，這是因為當運動幅值為X時，恢復力kx比摩擦力uWx小，系統運動就逐漸靜止第五節簡諧激勵作用下的強迫振動一．簡諧激勵作用下的強迫振動在上節的圖示系統所示的運動方程中：mx+cx+kx=FsinwtF為激勵力振幅，w為激勵頻率。方程為一個非齊次方程。其通解為:x（t）二Ae-絢sin?+p）hd上述式子用復數的方法表示:F(k-w2m)2+w2c2其中r=改寫為：X=X= e=其中r=(1-r2)2+(2gr)2當r=1時，若g=0,在理論上M趨近于0。這就意味著，當系統中不存在阻尼時，激勵頻率和系統的固有頻率一致，振幅將趨于無窮大，這種現象叫做共振。二．旋轉不平衡質量引起的強迫振動。在許多旋轉系統，轉動部分總存在質量不平衡。由于這一點，系統將發生強迫振動，振動的頻率就是機器的角速度。系統的穩態響應的振幅決定于不平衡質量m,m與旋轉中心O的偏心距離e和角速度的平方。三．基礎運動引起的強迫振動事實上，在許多情況下，支撐或基礎是運動的，并引起了系統的振動，并且，基礎運動可能使系統受到兩個作用力或幾個作用力的作用。第六節簡諧激勵強迫振動理論的應用一．隔振隔振有兩種：把振源與地基隔離開來以減少它對周圍的影響而采取的措施叫做積極隔振；為了減少外界振動對設備的影響而采取的隔振措施叫做消極隔振。（1） 積極隔振：將機器安裝在合理設計的柔性支撐上，這一支撐叫做隔振裝置或隔著基礎。（2） 消極隔振：周圍的振動經過地基傳遞會是機器產生振動。在實際工作中，機器有個啟動過程，將通過共振區。因而，小量的阻尼是人們期望的。不過，零阻尼情況只是在理想情況，實際上小阻尼總是存在的。二．振動測試儀器振動測試儀器有三種基本形式：測試加速度、速度和位移的儀器。它們都是根據基礎運動引起系統振動的原理工作的。第七節非簡諧激勵作用下的系統響應

一．周期激勵作用下的強迫振動一個有阻尼彈簧----質量系統，受到周期激勵力F的作用，其運動方程為mx+cx+kx=F(t)且F(T+1)=F(t)把該周期激勵展成Fourier級數，把級數的每一項是做一簡諧激勵，確定穩態響應，并把每個穩態響應加起來，就得到了系統對該周期激勵的穩態響應。系統的穩態響應為：x(t)二a+藝 a cos(nrot-0)+藝 a sin(nrot-0)2kn=1kJ(a-r2)2+(2^r)2 ”=1kJ(a-r2)2+(2gr)2n n n n為一個無窮級數。二．非周期激勵作用下的系統響應非周期激勵力作用下的系統響應在許多工程問題中，會碰到對系統的激勵不是周期的，而是任意的時間函數。脈動就是指很短時間內非常大的力作用時的有限沖量。非周期基礎運動作用下的系統響應脈沖響應函數與頻響函數脈動函數h(t)是系統特性在時域中的表現，頻響應函數是系統特性在頻域中的表現。它們在現代機械機構動態特性分析中，有著重要的作用第三章兩自由度系統概述：系統的自由度數就是描述系統運動所必須的獨立坐標數。如果一個系統的運動需要兩個獨立的坐標來描述，那么這個系統就是一個兩自由度系統。第一節無阻尼自由振動1)凡需要要用兩個獨立坐標來描述其運動的系統都是兩自由度系統。系統運動方程的一般形式可表示為k)(x) (F(t))12k22丿22(第一節無阻尼自由振動1)凡需要要用兩個獨立坐標來描述其運動的系統都是兩自由度系統。系統運動方程的一般形式可表示為k)(x) (F(t))12k22丿22(2

廠m11im21rrn合與)兩自由度(k11lk21m12m)221IX2丿1lF2(t)丿又可以表示為：[m]{x}+[k]{x}={f(t)}式中：2丿常數矩陣［m］和［k］分別叫做質量矩陣和剛度矩陣。3)(ml0(k+k12lka-kb112111 22 1ka2+kb2II01121(0)0該式兩個方程不能單獨求解的l0丿狀況叫做坐標耦合。方程通過剛度項相互耦合叫做靜耦合。在矩陣方程中，質量矩陣IM]具有非零的對角元，兩運動方程通過慣性項而相互耦合的叫做慣性耦合‘結論：1).描述一個兩自由度系統的運動，所需要的獨立坐標數是確定的.唯一的，就是自由度數2，但描述系統運動可選擇的坐標不是只有唯一的一組。2).若方程中存在耦合，則各個方程不能單獨求解。(1o'q(w20、(q)(0'1+n11—<01丿Iq丿'2y10w2丿n2Iq丿2<0丿6)主坐標：能使系統運動方程不存在耦合，成為相互獨立方程的坐標。第二節無阻尼強迫振動第二節無阻尼強迫振動1)對于兩自由度系統，無阻尼強迫振動運動方程的一般形式為：'m11.m21m'm11.m21m12m22(kiiIk21kx\12k22丿22iIX2丿(F(t))1IF(t)丿'2y(2)簡諧外激勵力：F(t)二Fsinwt13)兩自由度系統在簡諧激勵力作用下的穩態響應將是與激勵力相同頻率的簡諧函數第三節無阻尼吸振器在激勵力J)二Fsdt的作用下，該系統發生了強迫振動。為了減小其振動強度，不能采用改變主參數m1和%的方法，而應設計安裝一個由質量m2和勺組成的輔助系統——吸振器。運動方程：(m1I00X\(k+運動方程：(m1I00X\(k+k12<—k2m丿2712丿—k)(x\2k2丿21IX2丿sinwt第四節有阻尼振動.自由振動：對于有阻尼系統，自由振動運動方程的一般形式可表示為[m] {x}+[c]{x}+[k]{x}={o}

m、rx)rcc、rx)rkk)rx)rf(t))121+11121+11121=1m丿22Ix?丿Ic21c丿22yIx丿Ik21k丿22yIx丿、2ZLF(t)丿、2z/m⑵.強迫振動： 11(m21第五節有阻尼振動吸振器有些設備的工作速度是在一個比較大的范圍變動，要消除器振動，就產生了有阻尼振動吸振器。為了在相當寬的工作范圍內，使主系統的振動能夠減小到要求的強度，設計了由質量m.2彈簧k2和粘性阻尼器C組成的系統’叫做有阻尼吸振器。運動方程：\~c1IX2運動方程：\~c1IX2丿'k+k12<—k2—krx)21k2丿Lx丿'2ysinwt第六節位移方程(1)系統的運動方程表示為：[m]{x}+[c]{x}+[k]{x}={f(t)}x⑵柔度影響系數：d== i,j=l,2 即，只在j點作用一單位力時，在i引起的位移ijFj的大小。⑶剛度影響系數：對于系統的剛度矩陣，其元素k..就叫做剛度影響系數。ijFk i,j=1,2......即，只在j點作用一單位力時，在i點需要施加的力的大小。ijxj第四章多自由度系統第一節lagrange方程

lagrange方程的一般形式可表示為dlagrange方程的一般形式可表示為d何、ST6D 6U()-++-dtSq Sq Sq Sqiiii=Fi=l,2,---,ni式中q是廣義坐標，對于n自由系統有n個廣義坐標。F沿廣義坐標q方向作用廣義力（力iii矩）。T是系統的動能函數，U是系統的勢能函數，D是系統的散逸函數（對于粘性阻尼）。對于線性系統，系統的勢能lu二2{q}T[k]{q}U=2工藝(-S^Ulu二2{q}T[k]{q}2 SqSqij2ijiji=1j=1ij i=1j=1對于線性系統，系統的動能T=1HKmqq或tJ{qT[M]{q}2 ijij 2i=1j=1對于線性系統，粘性阻尼的散逸函數為d=1HZqq或d=；{q}T[C]{q}2 ijij 2i=1j=1列出了系統的勢能、動能和散逸函數后，由lagrange方程可得n自由度系統的運動方程[M]{q+C]q（+}Kq=}F{t第二節無阻尼自由振動和特征值問題N自由度無阻尼系統自由振動的運動方程為：[M]{q}+[K]{q}={0}它表示由下面n個齊次微分方程組成的方程組工m+工kq=0 i=1,2,---,nij ijji=1 j=1首先，寫出系統的特征行列式 IK-九M=]I,0解該方程得出系統的固有頻率w,w，…w。n1n2 nn然后，將w,w，…w代入方程（[K]-X[M]）{u}={0}求得{u}，{u}叫做特征n1n2 nn r r rr向量、固有向量或模態向量。最后，求得方程的通解

{q(t)}={q(t)}=工{q(t)}=》rA{u}sin(wt+屮)rrnrrr=1 r=1=[u]{Asin(wt+屮)}n第三節特征向量的正交性和主坐標對于一個n自由度系統，其第r階特征值九=W2對應的特征向量為{u},其第s階特征TOC\o"1-5"\h\zrnr r值九=W2對應特征向量為{u}，它們都滿足方程([K]-X[M]){u}={0}，因而有sns s r r[K]{u}=w2[M]{u}r nr r\o"CurrentDocument"[K]{u}=w2[M]{u}s ns s經過一些列變換得到{u}t[M]{u}=0r豐ssr{u}t[K]{u}=0r豐ssr這兩個式子表示了系統特征向量的正交關系，是對質量矩陣[M],剛度矩陣[K]加權正交。方程[M]{q}+[K]{q}={0}存在著耦合，為了描述系統的運動，我們選擇另一組廣義坐標{q}有下面的線性變換關系{q}=[u]{p}得[M][u]{p}+[K][u]{p}={0}解方程得p=Asin(wt+屮)r=1,2,---,nrrwrr或 {p}={Asin(wt+屮)}n沿著第r個廣義坐標p(r=1,2,---,n)只發生固有頻率為w (r=1,2,---,n)的簡諧振動，這r wr組廣義坐標{p}叫做主坐標。這時對于廣義坐標{q}，系統的運動為{q(t)}=[u][p]=[u]{Asin(wt+屮)}n第四節對初始條件的響應和初值問題N自由度無阻尼系統的自由振動表達式為{q(t)}==￡A{u}sin(wt+屮)=[u]{Asin(wt+屮}rrnrr nrr=1為計算A和屮做下面的變換rrAsinW片屮 手Dcow+Esiwtrnrrrnrrnr解得 {D}二[u卜i{q},{E}二[w卜i[u卜i{q}0n0第五節半確定系統有一個或幾個固有頻率等于零的系統叫做半確定系統。并且具有半正定剛度矩陣［K］的系統是一個半確定系統。第六節具有等固有頻率的系統在微分振動時，系統的運動方程為mq+2kq二011mq+2kq二022它們有兩個相等的固有頻率，是一個退化的系統。線性代