第三講空間向量與立體幾何（推薦時(shí)間：50分鐘）一、選擇題1．已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,3)，且ka＋b與2a－b垂直，則k的值為 A.eq\f(12,5) B．1C.eq\f(7,5) D．22．以下命題中，不正確的命題個(gè)數(shù)為 ()①已知A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②若{a，b，c}為空間一個(gè)基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；③對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面．A．0 B．1C．2 D．33．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，O是空間任一點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OG,\s\up6(→))，則λ的值為()A．1 B．2C．3 D．44．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1A．30° B．45°C．60° D．90°5.如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF＝eq\f(\r(2),2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A—BEF的體積為定值D．異面直線AE，BF所成的角為定值6.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定7．S為正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角為 ()A．90° B．60°C．45° D．30°8．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A－BD－C，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的為 ()A．AC⊥BDB．△ACD是等邊三角形C．AB與平面BCD所成的角為60°D．AB與CD所成的角為60°二、填空題9．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，則異面直線A1B與AC10．已知2a＋b＝(0，－3，－10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，則〈b，c11．已知球的直徑SC＝4，A、B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為________．12.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________．三、解答題13.如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1求證：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK14．(·廣東)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE.(1)證明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

答案1．A2．B3．C4．C5．D6．B7．C8．C9.eq\f(\r(6),6)10.eq\f(π,3)11.eq\r(3)12．45°13．證明(1)如圖所示，連接NK.在正方體ABCD—A1B1C1D1∵四邊形AA1D1D，DD1C∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四邊形DD1KN為平行四邊形．∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K.∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)連接BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四邊形BC1KM為平行四邊形．∴MK∥BC1在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K∴平面A1MK⊥平面A1B1C14．(1)證明∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.同理由PC⊥平面BDE可證得PC⊥BD.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)解方法一如圖，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，連接OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE?平面BDE.∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即為二面角B－PC－A的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又OE、AC?平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD為正方形，∴BD＝AC＝2eq\r(2)，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2).由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD得PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.而PB?平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(5)，在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE得BE＝eq\f(2\r(5),3).在Rt△BOE中，OE＝eq\r(BE2－BO2)＝eq\f(\r(2),3).∴tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝3，即二面角B－PC－A的正切值為3.方法二如圖，分別以射線AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．由(1)知BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BD⊥AC.故矩形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2,0)．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·x＋0·y－z＝0，,0·x＋2·y＋0·z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z＝2x，,y＝0，))取x＝1得n＝(1,0,2)．∵BD⊥平面PAC，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2,0)為平面PAC的一個(gè)法向量．cos〈n，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(BD,\s\up6(→)),|n|·|\o(BD,\s\u