2025屆上海華東師大三附中高二數學第一學期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數是區間上的可導函數，且導函數為，則“對任意的，”是“在上為增函數”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數第三個，第七個車位分別停著A車和B車，同時進來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.3．在四面體OABC中，點M在線段OA上，且，N為BC中點，已知，，，則等于（）A. B.C. D.4．設點P是雙曲線，與圓在第一象限的交點，、分別是雙曲線的左、右焦點，且，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.35．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.126．已知集合，，則A. B.C. D.7．設，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.8．已知在空間直角坐標系（O為坐標原點）中，點關于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.9．丹麥數學家琴生（Jensen）是世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設函數在上的導函數為，在上的導函數為，在上恒成立，則稱函數在上為“凹函數”.則下列函數在上是“凹函數”的是（）A. B.C. D.10．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．若拋物線的焦點與橢圓的左焦點重合，則m的值為（）A.4 B.-4C.2 D.-212．設是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，，使得成立，則實數a的取值范圍是___________.14．某天上午只排語文、數學、體育三節課，則體育不排在第一節課的概率為_________15．已知函數，有且只有一個零點，則實數的取值范圍是_______.16．已知函數，則不等式的解集為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程.18．（12分）已知點A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.19．（12分）已知拋物線，直線與交于兩點且（為坐標原點）（1）求拋物線的方程；（2）設，若直線的傾斜角互補，求的值20．（12分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值21．（12分）寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實數，若，則22．（10分）已知為直角梯形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據充分條件與必要條件的概念，由導函數的正負與函數單調性之間關系，即可得出結果.【詳解】因為函數是區間上的可導函數，且導函數為，若“對任意的，”，則在上為增函數；若在上為增函數，則對任意的恒成立，即由“對任意的，”能推出“在上為增函數”；由“在上為增函數”不能推出“對任意的，”，因此“對任意的，”是“在上為增函數”的充分不必要條件.故選：A2、B【解析】先求出基本事件總數，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數第三個，第七個車位分別停著車和車，同時進來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B3、B【解析】根據空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為N為BC中點，所以,因為M在線段OA上，且，所以，所以，故選：B4、C【解析】根據幾何關系得到是直角三角形，然后由雙曲線的定義及勾股定理可求解.【詳解】點到原點的距離為，又因為在中，，所以是直角三角形，即.由雙曲線定義知，又因為，所以.在中，由勾股定理得，化簡得，所以.故選：C.5、A【解析】模擬執行程序框圖，根據輸入數據，即可求得輸出數據.【詳解】當時，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.6、B【解析】由交集定義直接求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.7、C【解析】根據直線的一般式判斷平行的條件進行計算.【詳解】時，容易驗證兩直線不平行，當時，根據兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.8、B【解析】根據點關于坐標軸對稱的性質，結合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為點關于x軸的對稱點為，所以，設平面OAB的一個法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個方向向量為，設z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B9、B【解析】根據“凹函數”的定義逐項驗證即可解出【詳解】對A，，當時，，所以A錯誤；對B，，在上恒成立，所以B正確；對C，，，所以C錯誤；對D，，，因為，所以D錯誤故選：B10、A【解析】因為“若，則”是真命題，“若，則”是假命題，所以“”是“”成立的充分不必要條件．選A考點：充分必要條件的判斷【易錯點睛】本題主要考查了充分條件,必要條件,充要條件的判斷,屬于基礎題.對于命題“若,則”是真命題,我們說,并且說是的充分條件，是的必要條件，命題“若,則”是假命題,我們說,由充分條件，必要條件的定義，可以判斷出“”是“”成立的充分不必要條件．掌握充分條件，必要條件的定義是解題關鍵11、B【解析】根據拋物線和橢圓焦點與其各自標準方程的關系即可求解.【詳解】由題可知拋物線焦點為，橢圓左焦點為，∴.故選：B.12、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得，求導可得的單調性，將的最小值代入，即得.【詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當時，，∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，∴函數在區間上的最小值為又在上單調遞增，∴函數在區間上的最小值為，∴，即實數的取值范圍是故答案為：.14、【解析】寫出語文、數學、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節課的情況，利用概率公式計算即可.【詳解】所有可能結果如下：（語文，數學，體育）；（語文，體育，數學）；（數學，語文，體育）：（數學，體育，語文）；（體育，語文，數學）；（體育，數學，語文）,其中體育不排在第一節課的情況有四種，則體育不排在第一節課的概率15、【解析】由題知方程，，有且只有一個零點，進而構造函數，利用導數研究函數單調性與函數值得變化情況，作出函數的大致圖像，數形結合求解即可.【詳解】解：因為函數，，有且只有一個零點，所以方程，，有且只有一個零點，令，則，，令，則所以為上的單調遞減函數，因為，所以當時，；當時，；所以當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，且，時，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個零點等價于或.所以實數的取值范圍是故答案為：16、【解析】易得函數為奇函數，則不等式即為不等式，利用導數判斷函數得單調性，再根據函數得單調性解不等式即可.【詳解】解：函數得定義域為R，因為，所以函數為奇函數，則不等式即為不等式，，所以函數在R上是增函數，所以，解得，即不等式的解集為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】由拋物線的方程可得到焦點坐標，設，寫出向量的坐標，由向量間的關系得到，將點代入物線即可得到軌跡方程.【詳解】由拋物線可得：設①在上，將①代入可得：，即.【點睛】求軌跡方程，一般是求誰設誰的坐標然后根據題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉化為等式，例如，可以轉化為向量坐標進行運算也可以轉化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細.18、（1）（2）【解析】設出，由直線的斜率為求得，結合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點軸時，不合題意；當直線斜率存在時，設直線，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設，因為直線的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設由題意可設直線的方程為：，聯立消去得，當，所以，即或時.所以點到直線的距離所以，設，則，，當且僅當，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用韋達定理法即求；（2）由題可求，，再結合條件即得.【小問1詳解】設，，由，得，故，由，可得，即，∴，故拋物線的方程為：；【小問2詳解】設的傾斜角為，則的傾斜角為，∴由，得，∴，∴，同理，由，得，∴，即，故.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）利用直線的方向向量，平面的法向量，計算線面角的正弦值.【詳解】（1）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則.，，所以,由于，所以平面.（2），，設平面的法向量為，則，令，則，所以.設直線與平面所成角為，則.21、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）（2）根據逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問2詳解】解：逆命題：已知為實數，若，則；否命題：已知為實數，若或，則；逆否命題：已知實數，若，則或22、（1）證明見解析；（2）.【解析】建立空間直角坐標系.（1）方法一，利用向量的方法，通過計算，，證得，，由此證得平面.方法二，利用幾何法，通過平面證得，結合證得，由此