PAGE第一章數(shù)列§1數(shù)列1.1數(shù)列的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)列、通項(xiàng)公式的概念,能依據(jù)通項(xiàng)公式確定數(shù)列中的項(xiàng)(數(shù)學(xué)抽象)2.能依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(邏輯推理)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.{an}與an有什么區(qū)分?2.1,2,3,4與1,2,3,4,…是否是相同的數(shù)列?1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列:一般地,按肯定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列.(2)項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).(3)數(shù)列的表示:數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡(jiǎn)記為:{an}.數(shù)列的第1項(xiàng)a1也稱首項(xiàng),an是數(shù)列的第n項(xiàng),也叫數(shù)列的通項(xiàng).{an}與an有什么區(qū)分?提示:{an}與an是不同的概念.{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an…,而an僅表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng).2.數(shù)列的分類(1)項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列.(2)項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列.1,2,3,4與1,2,3,4,…是否是相同的數(shù)列?提示:兩數(shù)列不是相同的數(shù)列.1,2,3,4是有窮數(shù)列,1,2,3,4,…是無窮數(shù)列.3.數(shù)列的通項(xiàng)公式假如數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成an=f(n),那么這個(gè)式子叫作數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.4.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí),該函數(shù)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列.數(shù)列和函數(shù)值域有什么區(qū)分?提示:數(shù)列是一種特別的函數(shù),并且數(shù)列有序,函數(shù)值域是集合,具有無序性.1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)數(shù)列a1,a2,a3,…,an可以表示為{a1,a2,a3,…,an}. ()(2)數(shù)列看作函數(shù)時(shí),其定義域可以是正整數(shù)集的隨意子集. ()(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的. ()提示:(1)×.數(shù)列中的項(xiàng)是有次序的,集合中的元素是無序的.(2)×.數(shù)列看作函數(shù)時(shí),其定義域可以是正整數(shù)集的子集,但必需是從1起先,從小到大的正整數(shù).(3)×.不肯定,如數(shù)列1,0,1,0,…的通項(xiàng)公式可以是an=QUOTE也可以是an=QUOTE或an=QUOTE等.2.下列說法中,正確的是 ()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列中的項(xiàng)可以相等D.數(shù)列a,b,c和數(shù)列c,b,a肯定不是同一數(shù)列【解析】選C.{1,3,5,7}不表示數(shù)列,故A錯(cuò)誤;數(shù)列具有有序性,故B錯(cuò)誤;D中,當(dāng)a=c時(shí),數(shù)列a,b,c和數(shù)列c,b,a表示同一數(shù)列,故D錯(cuò)誤;數(shù)列中的項(xiàng)可以相等,故C正確.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)數(shù)列2,3,4,5,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為 ()A.an=n B.an=n+1C.an=n+2 D.an=2n【解析】選B.這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)都比序號(hào)大1,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+1.關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一數(shù)列的有關(guān)概念(數(shù)學(xué)抽象)1.下列說法正確的是 ()A.數(shù)列1,2,3,4,5,6與數(shù)列1,2,5,6,3,4是同一個(gè)數(shù)列B.數(shù)列1,2,3,4,5,6可以表示為QUOTEC.0,2,4,6,8,…,2n是無窮數(shù)列D.同一個(gè)數(shù)在一個(gè)數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)2.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于 ()A.11 B.12 C.13 3.下列說法正確的是 ()A.1,4,2,QUOTE,QUOTE不是數(shù)列B.數(shù)列QUOTE的第k項(xiàng)為1+QUOTEC.-1,1,3,5,…是數(shù)列D.數(shù)列0,2,4,6,8,…可記為{2n}【解析】1.選D.兩個(gè)數(shù)列只有元素相同,排列依次也相同時(shí),才是同一個(gè)數(shù)列,故A不正確;數(shù)列與集合不同,數(shù)列不能表示成集合的形式,故B不正確;當(dāng)n確定后,數(shù)列0,2,4,6,8,…,2n的項(xiàng)數(shù)就確定了,所以該數(shù)列是有窮數(shù)列,故C錯(cuò)誤;依據(jù)數(shù)列定義知D正確.2.選C.由前6項(xiàng)可知:從第3個(gè)數(shù)起,每一個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)的和.所以x=13.3.選C.A中的1,4,2,QUOTE,QUOTE是數(shù)列;B中,數(shù)列的第k項(xiàng)為1+QUOTE;D中,數(shù)列應(yīng)記為{2n-2},所以D不正確;很明顯C正確.數(shù)列概念的三個(gè)留意點(diǎn)(1)數(shù)列{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一個(gè)集合,與集合表示有本質(zhì)的區(qū)分.(2)從數(shù)列的定義可以看出,假如組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列;在定義中,并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必需不同,因此,同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).(3)數(shù)列中各項(xiàng)的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性,是理解、把握數(shù)列的關(guān)鍵.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法正確的是 ()A.數(shù)列3,5,7與數(shù)列7,5,3是相同數(shù)列B.數(shù)列2,3,4,4可以記為{2,3,4}C.數(shù)列1,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…可以記為QUOTED.數(shù)列{2n+1}的第5項(xiàng)是10【解析】選C.數(shù)列是有序的,選項(xiàng)A錯(cuò);數(shù)列與數(shù)集是兩個(gè)不同的概念,選項(xiàng)B錯(cuò);對(duì)于D,當(dāng)n=5時(shí),2×5+1=11,選項(xiàng)D錯(cuò),故C正確.類型二通項(xiàng)公式的應(yīng)用(邏輯推理)角度1由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的項(xiàng)

【典例】依據(jù)下面數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,寫出它的前5項(xiàng).(1)an=QUOTE;(2)an=(-1)n·QUOTE.【思路導(dǎo)引】把數(shù)列的通項(xiàng)公式中的序號(hào)n用1,2,3,4,5代替就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).【解析】(1)因?yàn)閍n=QUOTE,所以a1=QUOTE=0,a2=QUOTE=QUOTE,a3=QUOTE=QUOTE=QUOTE,a4=QUOTE=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)因?yàn)閍n=(-1)n·QUOTE,所以a1=(-1)1·QUOTE=0,a2=(-1)2·QUOTE=QUOTE,a3=(-1)3·QUOTE=-1,a4=(-1)4·QUOTE=QUOTE,a5=(-1)5·QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.角度2推斷一個(gè)數(shù)是否是數(shù)列中的項(xiàng)

【典例】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=QUOTE.試推斷QUOTE和QUOTE是否是該數(shù)列中的項(xiàng)?若是,求出它是第幾項(xiàng);若不是,說明理由.【思路導(dǎo)引】某一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng),則必對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式中的一個(gè)正整數(shù)n.【解析】令QUOTE=QUOTE,得n2=9,所以n=3(n=-3舍去),故QUOTE是該數(shù)列中的項(xiàng),并且是第3項(xiàng);令QUOTE=QUOTE,得n2=QUOTE,所以n=±QUOTE,由于QUOTE與-QUOTE都不是正整數(shù),因此QUOTE不是數(shù)列中的項(xiàng).已知:an=QUOTE,(1)求a3.(2)若an=QUOTE,求n.【解析】(1)將n=3代入an=QUOTE,得a3=QUOTE=QUOTE.(2)將an=QUOTE代入an=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,解得n=8.1.利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系,只要用序號(hào)代替公式中的n,就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).2.推斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng),然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù),則是數(shù)列的一項(xiàng);若方程無解或解不是正整數(shù),則不是該數(shù)列的一項(xiàng).1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2+2,則其第3,4項(xiàng)分別是 ()A.11,3B.11,15C.11,18D.13,18【解析】選C.a3=32+2=11,a4=42+2=18.2.已知數(shù)列1,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…,則3QUOTE是它的 ()A.第22項(xiàng) B.第23項(xiàng)C.第24項(xiàng) D.第28項(xiàng)【解析】選B.令QUOTE=3QUOTE=QUOTE,即2n-1=45,解得n=23.3.(2024·玉溪高一檢測(cè))已知數(shù)列QUOTE滿意a1=1,an+1=-QUOTE,n∈N*,則a2019=.

【解析】依據(jù)題干表達(dá)式得到a2=-QUOTE=-QUOTE,a3=-QUOTE=-2,a4=-QUOTE=1,a5=-QUOTE=-QUOTE,a6=-QUOTE=-2,a7=-QUOTE=1.所以數(shù)列具有周期性,周期為3,又2019÷3=673.故得到a2019=-2.答案:-2類型三求通項(xiàng)公式(數(shù)學(xué)抽象)角度1視察法求通項(xiàng)公式

【典例】把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫作三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示),則第七個(gè)三角形數(shù)是 ()A.27 B.28 C.29 【解析】選B.視察三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律,可以發(fā)覺每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是本身的序號(hào),所以依據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算即可,依據(jù)三角形數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律可知第七個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.如圖所示的是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖,圖中的“小黑點(diǎn)”表示原子,兩點(diǎn)之間的“短線”表示化學(xué)鍵,按圖中結(jié)構(gòu),第n個(gè)圖有化學(xué)鍵 ()A.6n個(gè) B.(4n+2)個(gè)C.(5n-1)個(gè) D.(5n+1)個(gè)【解析】選D.由題中圖形知,各圖中“短線”個(gè)數(shù)依次為6,6+5,6+5+5,…若把6看作1+5,則上述數(shù)列為1+5,1+2×5,1+3×5,…于是第n個(gè)圖形有(5n+1)個(gè)化學(xué)鍵.角度2歸納法求通項(xiàng)公式

【典例】依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…(2)QUOTE,2,QUOTE,8,QUOTE,…(3)-1,2,-3,4,…(4)2,22,222,2222,…【思路導(dǎo)引】視察、分析、歸納各個(gè)數(shù)列中前幾項(xiàng)與其序號(hào)之間的關(guān)系,把這個(gè)規(guī)律性的關(guān)系用通項(xiàng)公式表示出來.【解析】(1)分子均為偶數(shù),分母分別為1×3,3×5,5×7,7×9,…是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積.故an=QUOTE.(2)將分母統(tǒng)一成2,則數(shù)列變?yōu)镼UOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,其各項(xiàng)的分子為n2,所以an=QUOTE.(3)該數(shù)列的前4項(xiàng)的肯定值與序號(hào)相同,且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,故an=(-1)n·n.(4)數(shù)列各項(xiàng)可化為:QUOTE×9,QUOTE×99,QUOTE×999,…所以通項(xiàng)公式為an=QUOTE(10n-1).由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的思路(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等,然后通過視察、分析、聯(lián)想、比較,去發(fā)覺項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系.(2)假如關(guān)系不明顯,可將各項(xiàng)同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù),或分解、還原等,將規(guī)律呈現(xiàn),便于找通項(xiàng)公式.(3)要借助一些基本數(shù)列的通項(xiàng),如正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列等.(4)符號(hào)用(-1)n或(-1)n+1來調(diào)整.(5)分式的分子、分母分別找通項(xiàng),還要充分借助分子、分母的關(guān)系.(6)對(duì)于周期出現(xiàn)的數(shù)列,可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)潔數(shù)列和的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等求通項(xiàng).1.若數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別是QUOTE,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE,則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)正、負(fù)相間,且奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以可以用(-1)n+1限制,又各項(xiàng)的分母比數(shù)列的該項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)大1,所以an=QUOTE.2.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3-2n,則a2n=,QUOTE=.

【解析】因?yàn)閍n=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:3-4nQUOTE3.(2024·臨川高一檢測(cè))在數(shù)列QUOTE中,若a1=1,且對(duì)隨意的n∈N*都有an+1=an+n+1,則數(shù)列QUOTE的通項(xiàng)公式an=.

【解析】因?yàn)閍n+1=an+n+1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=QUOTE,(n≥2),因?yàn)閍1=1=QUOTE,所以an=QUOTE.答案:QUOTE課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.將正整數(shù)的前5個(gè)數(shù)排列如下:①1,2,3,4,5; ②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4; ④4,1,5,3,2.那么可以稱為數(shù)列的有 ()A.① B.①②C.①②③ D.①②③④【解析】選D.數(shù)列是按“肯定依次”排列著的一列數(shù).2.下面有三種說法:①假如已知一個(gè)數(shù)列{an}滿意an+2=an+an+1,a1=1,那么可以寫出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng);②數(shù)列QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的通項(xiàng)公式是an=QUOTE;③數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一數(shù)列.其中正確說法的個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】選D.①錯(cuò)誤,已知an+2=an+an+1,a1=1無法寫出a2;②錯(cuò)誤,an=QUOTE;③錯(cuò)誤,兩數(shù)列是不同的數(shù)列.3.數(shù)列0.8,0.98,0.998,0.9998…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=.

【解析】0.8=1-0.2=1-QUOTE,0.98=1-0.02=1-QUOTE,0.998=1-0.002=1-QUOTE,0.9998=1-0.0002=1-QUOTE,…歸納可得an=1-QUOTE.答案:1-QUOTE4.數(shù)列QUOTE,QUOTE,QUOTE,1,QUOTE,QUOTE,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.

【解析】將原數(shù)列變形為QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,所以an=QUOTE.答案:QUOTE5.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)視察下面數(shù)列的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空,并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)QUOTE,QU