專題13.5手拉手模型典例分析典例分析【典例1】（1）問題發現：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分別連接BD，CE．求證：BD=CE；（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數量關系及位置關系，并說明理由．（3）問題解決：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，若AE=7，BE=2，請直接寫出四邊形ABEC的面積．【思路點撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形、等腰直角三角形的性質、三線合一等性質，熟練掌握三角形的有關性質是解題的關鍵．（1）根據三角形全等的判定和性質即可解答．（2）根據（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性質可得BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因為△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°，從而可知∠BCE=90°，即（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，可證得CM=12DE=12(AE?AD)，根據（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△ACD≌△BCE，從而得【解題過程】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC?∠CAD=∠DAE?∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE．（2）BD與CE的數量關系是BD=CE，位置關系是BD⊥CE．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴CM=1∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠CBE+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠AEB=90°即四邊形ABEC的面積=S學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級下·貴州畢節·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結AD、BE和CF交千點P，則以下結論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023·吉林長春·模擬預測）兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點B、C、E依次在同一條直線上，連結CD．若BC=4，CE=2，則△DCE的面積是．3．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點，AD與BE相交于點P，AC與BE相交于點M，AD與CE相交于點，連接MN，PC，則下列四個結論：①∠BMC=∠BMA；②∠APB=60°；③AN=BM；④PC平分∠BPD．其中，正確的是（只填寫序號）

4．（23-24九年級上·河南周口·期中）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，直線AE，BD交于點F．（1）如圖1，當A，C，D三點在同一直線上時，∠AFB的度數為______，線段AE與BD的數量關系為______．（2）如圖2，當△ECD繞點C順時針旋轉α0°≤α≤360°（3）若AC=4，CD=3，當△ECD繞點C順時針旋轉一周時，請直接寫出BD長的取值范圍．5．（23-24七年級下·四川成都·期中）數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用基本途徑．通過探究圖形的變化規律，再結合其他數學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地．（1）發現問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數量關系：__________，∠BDC=；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，FC交于點D．請猜想BE與CF的數量關系及∠BDC的度數，并說明理由；（3）拓展應用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF，將△AEF繞它們共同的頂點A旋轉一定的角度后，若B，E，F三點剛好在同一直線上，求此時∠AFC的度數．6．（2024·河南·一模）如圖，

（1）問題發現：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點B、D、E在同一條直線上，連接AE．①∠AEC的度數為______；②線段AE、BD之間的數量關系為______；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數及判斷線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點B、D，E在同一條直線上，請直接寫出∠EAB+∠ECB的度數．7．（23-24八年級上·重慶萬州·階段練習）（1）問題情境如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE，求證：△ABD≌△ACE．（2）遷移應用如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點在同一條直線上，M是AD的中點，N是AC的中點，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P是BE的中點．（3）拓展創新如圖3，P是線段BE的中點，BE=9，在BE的下方作等邊△PFH（P，F，H三點按逆時針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當EF+BH的值最小時，直接寫出等邊△PFH邊長的最小值．8．（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）【問題提出】（1）如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，BE交AC于點O，延長BE交CF于點D．①試說明：BE=CF；②求∠BDC的度數．【問題探究】（2）如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，FC交于點D，請猜想BE與CF的數量關系及∠BDC的度數，并說明理由．9．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊在AD的右側作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①如圖1，當點D在線段BC上時（與點B不重合），請直接寫出線段CE與BD之間的數量關系：___________，位置關系：___________；（只寫結論，不用證明）②如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，①中的結論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，寫出結論并加以論證；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CE⊥BD（點C，E重合除外）？請寫出條件，并借助圖3簡述CE⊥BD成立的理由．10．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數量關系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數量關系及位置關系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點O，l2上有一點M在點O右側且OM=4，點N是l1上一個動點，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接11．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求證：△AEC≌△ADB；【嘗試應用】（2）如圖2，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E三點在一條直線上，AC與BE交于點F，若點F為AC中點，①求∠BEC的大小；②CE=2，求△ACE【拓展提高】（3）如圖3，△ABC與△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,BE與CA交于點F,DC=DF,△BCF的面積為32，求AF的長．12．（2023·甘肅張掖·模擬預測）在學習全等三角形的知識時，數學興趣小組發現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化時，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進行了如下操作：（1）觀察猜想：如圖①，已知△ABC,△ADE均為等邊三角形，點D在邊BC上，且不與點B、C重合，連接CE，易證△ABD≌△ACE，進而判斷出AB與CE的位置關系是___________（2）類比探究：如圖②，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC=60°，試說明點B，D，E在同一直線上；（3）解決問題：如圖③，已知點E在等邊△ABC的外部，并且與點B位于線段AC的異側，連接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，請求出BE的長．13．（23-24八年級上·河北滄州·期末）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），把線路AD繞著點A逆時針旋轉至AE（即AD=AE），使得∠DAE=∠BAC，連接DB、CE．（1）如圖1，點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=__________度．

（2）如圖2，當點D在線段BC上，如果∠BAC=60°，則∠BCE=__________度．

（3）如圖3，設∠BAC=α，∠BCE=β，當點D在線段BC上移動時，α，β的數量關系是什么？請說明理由．

（4）設∠BAC=α，∠BCE=β，當點D在直線BC上移動時，請直接寫出α，β的數量關系，不用證明．14．（24-25九年級上·廣東深圳·開學考試）【初步感知】（1）如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點D為邊BC上一動點（點D不與點B，點C重合）．以AD為邊向右側作等邊△ADE，連接CE．求證：△ABD≌△ACE；【類比探究】（2）如圖2，若點D在邊BC的延長線上，隨著動點D的運動位置不同，線段EC，AC，CD之間的數量關系為__________，請證明你的結論．【拓展應用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AB=5，點P是邊AC上一定點且AP=2，若點D為射線BC上動點，以DP為邊向右側作等邊△DPE，連接CE，BE．請問：PE+BE是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由．15．（23-24七年級下·陜西西安·期末）問題發現：學習三角形全等的知識時，小明發現重合兩個等腰直角三角形的頂點會產生一對新的全等三角形．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，連接AD，以AD為邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE問題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，△ABC和△ADE是等邊三角形，點B，D，E在同一直線．（1）證明：△ABD≌（2）探索線段BE，AE，CE三者間的數量關系，寫出結論并說明理由．問題拓展：經過上面的探究，小明聯想到幾天前一道不會的題，請你幫小明再想一想，是否有新的發現．如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，D是AC中點，BD=b，E是線段BD上一動點，連接AE，在AE右側作等邊△AEF，連接FD，求△AFD周長的最小值（用含a，b的代數式表示），并直接寫出取最小值時∠AFD的度數．

16．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）綜合與實踐問題情境：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在△ABC所在的平面內運動．探究圖形間存在的關系．特例探究：（1）如圖1，當點D在邊AB上運動，連接CD，以CD為邊在其右側作等腰直角三角形CDE，連接BE，發現BE⊥AB，請說明理由；求異探究：（2）如圖2，點E為AC的中點，點F為AB的中點，△AEF為等腰直角三角形，點D在△ABC外部時，連接ED，以ED為邊在其右側作等腰直角三角形EDH，連接DF和CH，判斷DF與CH的關系，并證明；拓展應用：（3）如圖3，當點D在直線AC上時，連接BD，在線段BD繞點B逆時針旋轉90°得到線段BE，連接AE．若CD=6，AE=10，求△ABD的面積．17．（22-23九年級上·安徽·階段練習）安安利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點F，求證：∠AFB=60°；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分線于點E，探究CE，DC和AC的數量關系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，當B，C，E三點共線時，連接PC，若BC=3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：①AP?3PDPC②AP+PC+2PDBD?PC+PE18．（23-24七年級下·江西吉安·期末）某數學小組在探究三角形之間的關系問題中，經歷了如下過程：問題發現如圖，A，B分別是鈍角∠MON的邊ON，OM上的點，P為∠MON內部的一點，分別以AP，BP為腰作等腰△APO和△BPC，且OP=AP，BP=CP，AC交OP于點D，∠OPA=∠BPC=∠BOP，請根據下圖的各角和點的位置情況．

（1）當∠OPA=∠BPC=∠BOP=50°時，ACOB的值為_______，∠CDO猜想論證（2）當∠OPA=∠BPC=∠BOP=α0<α<90°時，ACOB的值是否會發生變化?∠CDO的度數與拓展思考（3）當α為鈍角，且點C落在直線OM上時，（2）中的結論是否仍然成立?如果成立，直接寫出∠MON與∠BPA滿足的數量關系，不必說明理由；如果不成立，直接寫出結論，不必證明．19．（23-24七年級下·四川成都·期末）已知△ABC為等邊三角形，過點A的射線AM在△ABC的外部，D為射線AM上的一點，E為平面內的一點，滿足BE=BD．（1）如圖1，連接CD，若點E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求∠ADC的度數；（2）如圖2，連接DE交BC于點F，若∠DBE=120°，且F恰為BC的中點，求證：DF=AD+EF；（3）如圖3，若∠BAM=38°,∠DBE=120°，連接CE，當線段CE的長度最小時，在射線CE上截取一點H，在邊BC上截取一點I，使CH=BI，連接AH,AI,則當AH+AI的值最小時，請直接寫出∠HAB的度數．20．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）【問題提出】如圖1，△ABD、△ACE都是等邊三角形，求證：BE=DC．【方法提煉】這兩個共頂點的等邊三角形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，即△ADC≌△ABE．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，不妨稱之為“手拉手”基本圖形，當圖形中只有一個等邊三角形時，可嘗試在它的一個頂點作另一個等邊三角形，構造“手拉手”基本圖形，從而解決問題．【方法應用】

（1）等邊三角形ABC中，E是邊AC上一定點，D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊：等邊三角形DEF，連接CF．①如圖2，若點D在邊BC上，求證：CE+CF=CD．②如圖3，若點D在邊BC的延長線上，線段CE、CF、CD之間的關系為__________（直接寫出結論）（2）如圖4，等腰△ABC中，120°<∠BAC<180°，AB=AC，AD⊥BC，且交BC于點D，以AC為邊作等邊△ACE，直線BE交直線AD于點F，連接FC交AE于點M，寫出FE、FA、FC之間的數量關系，并加以說明．（3）如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，點D是BC的中點，點P是AC邊上的一個動點，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ，則CQ是否有最小值，如有，求出它的最小值，沒有，請說明理由．專題13.5手拉手模型典例分析典例分析【典例1】（1）問題發現：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規律的圖形稱為“手拉手”圖形，如圖1，△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分別連接BD，CE．求證：BD=CE；（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數量關系及位置關系，并說明理由．（3）問題解決：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，若AE=7，BE=2，請直接寫出四邊形ABEC的面積．【思路點撥】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形、等腰直角三角形的性質、三線合一等性質，熟練掌握三角形的有關性質是解題的關鍵．（1）根據三角形全等的判定和性質即可解答．（2）根據（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性質可得BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因為△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°，從而可知∠BCE=90°，即（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，可證得CM=12DE=12(AE?AD)，根據（1）問中，“手拉手”全等的證明，可得△ACD≌△BCE，從而得【解題過程】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC?∠CAD=∠DAE?∠CAD即∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE∴BD=CE．（2）BD與CE的數量關系是BD=CE，位置關系是BD⊥CE．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE．（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴CM=1∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠CBE+∠EAB+∠CBA=90°，∴∠AEB=90°即四邊形ABEC的面積=S學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級下·貴州畢節·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連結AD、BE和CF交千點P，則以下結論中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④PB+PC+PD=BE．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】證明△ABD≌△CBFSAS，△ACD≌△BCESAS，可得∠BAD=∠BCF，∠CAD=∠CBE，進一步可判斷①②，證明∠APC=60°，求出∠BPC=120°，進一步可判斷③，在PA上截取PG=PB，連接BG，證明∠BGA=∠BPC=120°，再證△BAG≌△BCPAAS，可得PC=GA【解題過程】解：∵△ABC，△BDF是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BF，∠ABC=∠DBF=60°，∴∠ABD=∠CBF，∴△ABD≌△CBFSAS∴∠BAD=∠BCF，AD=CF，同理可得△ACD≌△BCESAS∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，∠BEC=∠ADC，∴AD=BE=CF，故①②符合題意；∵∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC+∠CBE=∠BAD+∠ABE=120°，∴∠BPA=60°=∠DPE，同理可得∠APC=60°，∴∠BPC=120°，∠EPC=60°，∴∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，故③符合題意；如圖，在PA上截取PG=PB，連接BG，∴△BPG是等邊三角形，∴∠BGP=60°，∴∠BGA=120°，∴∠BGA=∠BPC，又∵∠BAG=∠BCP，AB=CB，∴△BAG≌△BCPAAS∴PC=GA，∴PA=PG+GA=PB+PC，∵AD=BE，∴PB+PC+PD=PA+PD=AD=BE；故④符合題意；故選D2．（2023·吉林長春·模擬預測）兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，點B、C、E依次在同一條直線上，連結CD．若BC=4，CE=2，則△DCE的面積是．【思路點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質等知識，根據SAS證明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性質得出∠ACD=∠B，【解題過程】解：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ACD≌△ABESAS∴∠ACD=∠B，∵∠B=45°，∴∠ACD=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵BC=4，CE=2，∴BE=6，∴CD=6，∴S故答案為：6．3．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點，AD與BE相交于點P，AC與BE相交于點M，AD與CE相交于點，連接MN，PC，則下列四個結論：①∠BMC=∠BMA；②∠APB=60°；③AN=BM；④PC平分∠BPD．其中，正確的是（只填寫序號）

【思路點撥】當M是AC的中點或者BM平分∠ABC時，∠BMC=∠BMA，故①錯誤；根據等邊三角形的性質得CA=CB,CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，則∠ACE=60°，可得△ACD≌△BCESAS，故∠CAD=∠CBE，再判斷△ACN≌△BCMASA，所以AN=BM；可以判斷③正確，根據三角形內角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，則∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形內角和定理即可得到∠BPD=120°，故∠APB=60°，故②正確；作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，即可證明△AQC≌△BHCAAS，故CQ=CH【解題過程】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴當M是AC的中點或者BM平分∠ABC時，∴∠BMC=∠BMA，但題中M的位置不確定，∴∠BMC和∠BMA不一定相等，故①錯誤；∵△ABC和△DEC都是等邊三角形，∴CA=CB,CD=CE，∠ACB=60°，∴∠ACE=60°，∴∠ACD=∠BCE=120°，在△ADC和△BCE中，CA=CB∴△ACD≌△BCESAS∴∠CAD=∠CBE，在△ACN和△BCM中，∠ACN=∠BCMCA=CB∴△ACN≌△BCMASA∴AN=BM，故③正確；∵∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，∴∠CBE+∠CDA=60°，∴∠BPD=120°，∴∠APB=60°，故②正確；作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖，

∵△ACD≌△BCE，∴AC=BC，∠CAD=∠CBE又∵∠BHC=∠AQC=90°∴△AQC≌△BHC∴CQ=CH，又∵∠CHP=∠CQP=90°，∴CP平分∠BPD，故④正確．綜上所述：正確的是②③④．故答案為：②③④．4．（23-24九年級上·河南周口·期中）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，直線AE，BD交于點F．（1）如圖1，當A，C，D三點在同一直線上時，∠AFB的度數為______，線段AE與BD的數量關系為______．（2）如圖2，當△ECD繞點C順時針旋轉α0°≤α≤360°（3）若AC=4，CD=3，當△ECD繞點C順時針旋轉一周時，請直接寫出BD長的取值范圍．【思路點撥】本題考查了等邊三角形性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，以及旋轉的性質，解答時證明三角形全等是關鍵．（1）利用等邊三角形的性質證明△ACE≌△BCD，結合三角形的外角就可以得出結論；（2）同（1）中方法證明△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠2=∠3，再根據三角形的內角和得出∠AFB=60°；（3）當B、C、D三點共線時得出BD的最大和最小值，即可得出結論．【解題過程】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵△ECD是等邊三角形，∴CE=CD，∠DCE=60°，∴∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠AFB=∠CAE+∠BDC，且∠ACB=60°∴∠AFB=∠CBD+∠BDC=∠ACB=60°（2）（1）中結論仍成立，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵△ECD是等邊三角形，∴CE=CD，∠DCE=60°，∴∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠1=∠DCE+∠1，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠2=∠3，∵∠AFB+∠3=∠ACB+∠2，且∠ACB=60°，∴∠AFB=60°；（3）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=4，當旋轉α=60°時，B、C、D三點共線，此時BD=BC+CD=7，當旋轉α=240°時，B、C、D三點共線，此時BD=BC?CD=1；∴1≤BD≤7．5．（23-24七年級下·四川成都·期中）數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用基本途徑．通過探究圖形的變化規律，再結合其他數學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地．（1）發現問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數量關系：__________，∠BDC=；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，FC交于點D．請猜想BE與CF的數量關系及∠BDC的度數，并說明理由；（3）拓展應用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF，將△AEF繞它們共同的頂點A旋轉一定的角度后，若B，E，F三點剛好在同一直線上，求此時∠AFC的度數．【思路點撥】本題考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定與性質，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．（1）設AC交BD于點G，由∠BAC=∠EAF=30°可得∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，而AB=AC、AE=AF，即可根據“SAS”證明△ABE≌△ACF，所以BE=CF，∠ABE=∠ACF，則∠BDC=∠AGD?∠ACF=∠AGD?∠ABE=∠BAC=30°即可解答；（2）根據等腰三角形的性質，利用SAS證明△ABE≌△ACF可得BE=CF,（3）根據等腰直角三角形的性質，利用SAS證明△ABE≌△ACF可得∠AFC=AEB,AE=AF，再說明∠AEB=135°即可．【解題過程】（1）解：如圖1，設AC交BD于點G，∵∠BAC=∠EAF=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°+∠CAE，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACFSAS∴∠ABE=∠ACF，BE=CF，∴∠BDC=∠AGD?∠ACF=∠ACD?∠ABE=∠BAC=30°．故答案為：BE=CF，30．（2）解：BE=CF，∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC?∠EAC=∠EAF?∠EAC，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACFSAS∴BE=CF,∵∠EAF=120°,∴∠AEF=∠AFE=30°，∴∠BDC=∠BEF?∠EFD=∠AEB+30°?∠AFC?30°（3）解：如圖3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB=∠EAF=90°，∴∠CAB?∠CAE=∠FAE?∠CAE，即：∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAF(SAS∴∠AFC=AEB,AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AEF=45°,∴∠AEB=180°?∠AEF=135°,∴∠AFC=∠AEB=135°．6．（2024·河南·一模）如圖，

（1）問題發現：如圖①，△ABC和△EDC都是等邊三角形，點B、D、E在同一條直線上，連接AE．①∠AEC的度數為______；②線段AE、BD之間的數量關系為______；（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點B、D、E在同一條直線上，CM為△EDC中DE邊上的高，連接AE，試求∠AEB的度數及判斷線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，點B、D，E在同一條直線上，請直接寫出∠EAB+∠ECB的度數．【思路點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，靈活運用這些性質是解題的關鍵．（1）①根據等邊三角形的性質可得∠BDC=120°，證明△ECA≌△DCBSAS（2）證明△ECA≌△DCBSAS，根據等腰直角三角形的性質可得∠CDB=135°，進而得到∠CEA=∠CDB=135°，∠AEB=∠CEA?∠CEB，即可得到∠AEB的度數；由△DCE是等腰直角三角形，CM為△EDC中DE邊上的高，可得BE=AE+2CM，即可得到線段CM、AE、BM（3）證明△ECA≌△DCBSAS，得到∠CEA=∠CDB=108°，推出∠EAC+∠ECA=72°，最后根據∠EAB+∠ECB=∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB【解題過程】（1）解：①∵△ABC和△EDC都是等邊三角形，∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=60°，∴∠BDC=180°?∠EDC=120°，∴∠ECD?∠ACD=∠ACB?∠ACD，即∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，CE=CD∠ECA=∠DCB∴△ECA≌△DCBSAS∴∠AEC=∠BDC=120°，故答案為：120°；②∵△ECA≌∴AE=BD，故答案為：AE=BD；（2）解：∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，EC=DC,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,∠CDE=∠CED=45°，∴∠ECD?∠ACD=∠ACB?∠ACD，∴∠ECA=∠DCB，

在△AEC與△BDC中，EC=DC∠ECA=∠DCB∴△AEC≌△BDC(SAS∴∠AEC=∠BDC,AE=BD，∵∠CDE=45°，點B、D、E在同一條直線上，∴∠BDC=135°，∴∠AEC=∠BDC=135°，∴∠AEB=∠AEC?∠CEB=135°?45°=90°，∵△EDC都是等腰直角三角形，CM⊥DE，∴CM=EM=MD，∴ED=2CM，∴BE=BD+DE=AE+2CM，∠AEB的度數為90°，線段CM、AE、BE之間的數量關系為：BE=AE+2CM；（3）解：根據（1）（2）中結論可知：△AEC≌△BDC，得∠AEC=∠BDC，∵△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，∴∠CDE=∠ABC=180°?36°∴∠AEC=∠BDC=180°?72°=108°，∴∠AEC+∠ABC=108°+72°=180°，∴∠EAB+∠ECB=360°?180°=180°．7．（23-24八年級上·重慶萬州·階段練習）（1）問題情境如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE，求證：△ABD≌△ACE．（2）遷移應用如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點在同一條直線上，M是AD的中點，N是AC的中點，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P是BE的中點．（3）拓展創新如圖3，P是線段BE的中點，BE=9，在BE的下方作等邊△PFH（P，F，H三點按逆時針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當EF+BH的值最小時，直接寫出等邊△PFH邊長的最小值．【思路點撥】（1）證出∠BAD=∠CAE，根據SAS證明△ABD≌△ACE；（2）在AE上取點K，使得AK=AM，連接KM，證明△AMN≌△KMP(SAS)，由全等三角形的性質得出AN=KP，證出（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，連接QE,QB，證明△EPF≌△QPH(SAS)，由全等三角形的性質得出EF=QH，則EF+BH=QH+BH，當點H在線段QB上時，【解題過程】（1）證明:∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE，∴∠BAC?∠ACD=∠DAE?∠ACD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS（2）證明:在AE上取點K，使得AK=AM，連接KM，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形.∴∠DAE=60°，AD=AE，AC=AB，∴△AMK是等邊三角形,∴AM=MK=AK，∠AMK=60°，∵△MPN是等邊三角形,∴MN=MP，∠PMN=60°，∴∠PMN=∠KMA，∴∠PMN?∠AMP=∠KMA?∠AMP，即∠AMN=∠KMP，在△AMN和△KMP中AM=KM∠AMN=∠KMP∴△AMN≌△KMP(SAS∴AN=KP，∴AM=AK=AP+AN，∵M為AD的中點,點N為AC的中點,∴AE=AD=2AM，AB=AC=2AN，設AP=x，AN=y，則AK=x+y，AB=2y，∴AE=2AK=2x+2y，BP=AB+AP=x+2y，∴EP=AE?AP=x+2y，∴EP=BP，∴點P為BE的中點；（3）作∠EPQ=60°，使PQ=PE，連接EQ,QB，∵△PFH是等邊三角形,∴PF=PH，∠FPH=60°，∴∠EPF=∠QPH，∴△EPF≌△QPHSAS∴EF=QH，∴EF+BH=QH+BH，當點H在線段QB上時，EF+BH的值最小，此時PH⊥BQ，PH的值最小，∵PQ=PB=PE，∴∠PBQ=∠PQB=30°，在Rt△PBH中，PH=即當EF+BH的值最小時，△PFH邊長的最小值為98．（23-24七年級下·陜西咸陽·期末）【問題提出】（1）如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，BE交AC于點O，延長BE交CF于點D．①試說明：BE=CF；②求∠BDC的度數．【問題探究】（2）如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，FC交于點D，請猜想BE與CF的數量關系及∠BDC的度數，并說明理由．【思路點撥】（1）①利用SAS證明△ABE≌△ACF，即可得出結論；（2）利用SAS證明△ABE≌△ACF，由全等三角形的性質即可得出BE=CF；然后，根據等腰三角形的性質，三角形的內角和定理以及三角形外角的性質即可求出【解題過程】解：（1）①∵∠BAC=∠EAF=30°∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌∴BE=CF；②如圖，設AC與BD交于點O，∵△ABE≌∴∠ABE=∠ACF，∵∠AOE=∠ABE+∠BAC，∠AOE=∠ACF+∠BDC，∴∠BDC=∠BAC=30°；（2）BE=CF，∠BDC=60°，理由如下：∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC?∠EAC=∠EAF?∠EAC，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌∴BE=CF，∠AEB=∠AFC，∵∠EAF=120°，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=1∴∠BDC=∠BEF?∠EFD==∠AEB?∠AFC+∠AEF+∠AFE=∠AEF+∠AFE=30°+30°=60°．9．（23-24七年級下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊在AD的右側作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．①如圖1，當點D在線段BC上時（與點B不重合），請直接寫出線段CE與BD之間的數量關系：___________，位置關系：___________；（只寫結論，不用證明）②如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，①中的結論是否仍然成立？若不成立，請說明理由；若成立，寫出結論并加以論證；（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CE⊥BD（點C，E重合除外）？請寫出條件，并借助圖3簡述CE⊥BD成立的理由．【思路點撥】本題主要考查了等腰直角三角形的旋轉．熟練掌握等腰直角三角形的判斷和性質，旋轉性質，全等三角形的判斷和性質，是解決問題的關鍵．（1）①根據等腰直角三角形性質得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，得到△ABD≌△ACESAS，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，CE⊥BD②根據等腰直角三角形性質得到∠B=∠ACB=45°,推出∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACESAS，得到CE=BD，∠ACE=∠B=45°，得到∠BCE=90°，即得CE⊥BD（2）當∠ACB=45°時，CE⊥BD．過點A作AF⊥AC交CB的延長線于點F，得到△AFC是等腰直角三角形，根據∠DAE=90°，AD=AE，推出∠FAD=∠CAE，得到△FAD≌△CAESAS，得到∠ACE=∠F=45°，得到∠BCE=90°【解題過程】（1）①當AB=AC，∠BAC=90°時，∠B=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；故答案為：CE=BD，CE⊥BD；②CE=BD，CE⊥BD仍然成立，理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°,∵∠DAE=90°，∴∠BAD?∠CAD=∠CAE?∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；（2）當∠ACB=45°時，CE⊥BD，理由：如答圖，過點A作AF⊥AC交CB的延長線于點F，則∠FAC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠F=90°?∠ACB=45°，∴AC=AF，∵∠DAE=90°，∴∠FAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠FAD=∠CAE，∴△FAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠F=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD．10．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）【綜合實踐】如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．（1）【初步把握】如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有△ABD≌；線段BD和CE的數量關系是；（2）【深入研究】如圖2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上．請判斷線段BD與CE存在怎樣的數量關系及位置關系，并說明理由；（3）【拓展延伸】如圖3，直線l1⊥l2，垂足為點O，l2上有一點M在點O右側且OM=4，點N是l1上一個動點，連接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，連接【思路點撥】本題考查四邊形綜合應用，涉及全等三角形判定與性質，等腰直角三角形性質等，解題的關鍵是掌握全等三角形判定定理．（1）由∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，根據SAS可得△ABD≌△ACE，則可得出結論；（2）由∠BAC=∠DAE=90°，得∠BAD=∠CAE，即可證△ABD≌△ACESAS，有BD=CE，∠ACE=∠ABC，而△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，知∠ABC=∠ACB=45°，故∠ACE=∠ABC=45°，即可得∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，BD⊥CE（3）證明∠O'MO=45°，當OP有最小，即O'P【解題過程】（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS故答案為：△ACE；BD=CE；（2）解：BD與CE的數量關系是BD=CE，位置關系是BD⊥CE∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE，∠ACE=∠ABC，∵△ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，∴BD⊥CE；（3）∵△MNP是等腰直角三角形，∴∠MNP=∠NPM=45°，將△OPM繞M點順時針旋轉90°得△O'P'M連接OO∴△PMO≌△P∴MO=MO'，∴∠O當OP有最小，即O'P'由∠O'O∴O'P'∴ON=4，OP最小值為4．11．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求證：△AEC≌△ADB；【嘗試應用】（2）如圖2，在△ABC與△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E三點在一條直線上，AC與BE交于點F，若點F為AC中點，①求∠BEC的大小；②CE=2，求△ACE【拓展提高】（3）如圖3，△ABC與△ADE中，AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,BE與CA交于點F,DC=DF,△BCF的面積為32，求AF的長．【思路點撥】（1）由SAS證△AEC≌△ADB即可；（2）①同（1）得△AEC≌△ADBSAS，得∠AEC=∠ADB=135°②過點A作AG⊥DE于點G，證△AGF≌△CEFASA，得AG=CE=2，GF=EF，再由等腰直角三角形的性質得DG=EG=AG=2，則GF=EF=1（3）連接CE，同（2）得△CDE≌△FDASAS，則CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，得∠ACE=90°，再證△ACE≌△BAFSAS，得CE=AF，S△ACE=S△BAF，然后證CE∥AB，得【解題過程】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠BAE=∠DAE?∠BAE，即∠CAE=∠BAD，在△AEC和△ADB中，AC=AB∠CAE=∠BAD∴△AEC≌△ADBSAS（2）解：①∵AD=AE，∠DAE=90∴∠ADE=∠AED=45°，∴∠ADB=180°?∠ADE=180°?45°=135°，同（1）得：△AEC≌△ADBSAS∴∠AEC=∠ADB=135°，∴∠BEC=∠AEC?∠AED=135°?45°=90°；②如圖2，過點A作AG⊥DE于點G，則∠FGA=90°，由①可知，∠FEC=90°，∴∠FGA=∠FEC，∵點F為AC中點，∴AF=CF，又∵∠AFG=∠CFE，∴△AGF≌△CEFAAS∴AG=CE=2，GF=EF，∵AD=AE，∠DAE=90∴DG=EG=AG=2，∴GF=EF=1∴S（3）解：如圖3，連接CE，同（2）得：△CDE≌△FDASAS∴CE=AF，∠DCE=∠DFA=135°，∴∠ACE=∠DCE?∠ACB=135°?45°=90°，在△ACE和△BAF中，AC=AB∠ACE=∠BAF=90°∴△ACE≌△BAFSAS∴S△ACE∵∠ACE=∠BAC，∴CE∥∴S∵S∴12∴AC?AF?AF?CF=64，∴AF(AC?CF)=64，∴AF∴AF=8，負值舍去，即AF的長為8．12．（2023·甘肅張掖·模擬預測）在學習全等三角形的知識時，數學興趣小組發現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成．在相對位置變化時，始終存在一對全等三角形．通過查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進行了如下操作：（1）觀察猜想：如圖①，已知△ABC,△ADE均為等邊三角形，點D在邊BC上，且不與點B、C重合，連接CE，易證△ABD≌△ACE，進而判斷出AB與CE的位置關系是___________（2）類比探究：如圖②，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC=60°，試說明點B，D，E在同一直線上；（3）解決問題：如圖③，已知點E在等邊△ABC的外部，并且與點B位于線段AC的異側，連接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，請求出BE的長．【思路點撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：（1）利用SAS證明△BAD≌△CAE，可求出∠BAC=∠ACE=60°，利用平行線的判定即可得出結論；（2）利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得出∠ADB=∠AEC=120°，進而得出∠ADB+∠ADE=180°，即可得證；（3）在線段BE上取一點H，使得BH=CE，設AC交BE于點O，先利用外角的性質證明∠ABH=∠ACE，再利用SAS證明△ABH≌△ACE，得出∠BAH=∠CAE，AH=AE，則可證明△AEH是等邊三角形，得出AE=EH，即可求解．【解題過程】（1）解：AB∥理由如下：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠B=∠ACE=60°，∴∠BAC=∠ACE=60°，∴AB∥故答案為：AB∥（2）證明：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=60°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵∠AED=60°，∠DEC=60°，∴∠AEC=120°，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠ADB+∠ADE=180°，∴點B，D，E在同一直線上；（3）解：如圖③，在線段BE上取一點H，使得BH=CE，設AC交BE于點O，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°，∵∠BEC=60°，∴∠BAO=∠OEC=60°，∵∠AOB=∠EOC，∴∠ABH=∠ACE，在△ABH和△ACE中，AB=AC∠ABH=∠ACE∴△ABH≌△ACESAS∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，∴∠HAE=∠BAC=60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE=EH，∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC，∵AE=3，CE=2，∴BE=3+2=5．13．（23-24八年級上·河北滄州·期末）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），把線路AD繞著點A逆時針旋轉至AE（即AD=AE），使得∠DAE=∠BAC，連接DB、CE．（1）如圖1，點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=__________度．

（2）如圖2，當點D在線段BC上，如果∠BAC=60°，則∠BCE=__________度．

（3）如圖3，設∠BAC=α，∠BCE=β，當點D在線段BC上移動時，α，β的數量關系是什么？請說明理由．

（4）設∠BAC=α，∠BCE=β，當點D在直線BC上移動時，請直接寫出α，β的數量關系，不用證明．【思路點撥】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度數；（2）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠ABC=∠ACE=60°，可求∠BCE的度數；（3）由“SAS”可證△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內角和即可得出結論；（4）由“SAS”可證△BAD≌△CAE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的內角和即可得出結論．【解題過程】（1）解：∵∠BAC=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；（2）∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠BAC=60°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=60°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD＝在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠B=60°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案為：120；（3）α+β=180°，理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ACE=∠B，∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB，∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=β，∴∠B+∠ACB=β，∵∠BAC=α，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；（4）如圖4，當點D在BC的延長線上時，α+β=180°，

證明方法同（3）；如圖5，當點D在CB的延長線上時，α=β，

理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，∴∠DAB=∠EAC，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，∵∠BAC=α，∴α=β．綜上，α+β=180°或α=β．14．（24-25九年級上·廣東深圳·開學考試）【初步感知】（1）如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點D為邊BC上一動點（點D不與點B，點C重合）．以AD為邊向右側作等邊△ADE，連接CE．求證：△ABD≌△ACE；【類比探究】（2）如圖2，若點D在邊BC的延長線上，隨著動點D的運動位置不同，線段EC，AC，CD之間的數量關系為__________，請證明你的結論．【拓展應用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AB=5，點P是邊AC上一定點且AP=2，若點D為射線BC上動點，以DP為邊向右側作等邊△DPE，連接CE，BE．請問：PE+BE是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由．【思路點撥】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，等邊三角形的判定與性質，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因為∠BAC=∠DAE，則∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，利用SAS證明△ABD≌△ACE即可；（2）證明△ABD≌△ACESAS，得出CE=BD，結合AC=BC，則CE=BD=BC+CD=AC+CD（3）在射線BC上截取PC=DM，連接EM，易證△EPC≌△EDM，則EC=EM，∠CEM=∠PED=60°，得出△CEM是等邊三角形，則∠ECM=60°，即點E在∠ACD角平分線上運動，在射線CD上截取CP'=CP，連接EP'，證明△CEP≌△CEP'SAS，得出PE=P'E，推出BE+PE=BE+P'【解題過程】（1）證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS（2）解：EC=AC+CD，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴CE=BD，∵AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD．（3）解：有最小值，在射線BC上截取PC=DM，連接EM，，∵△ABC和△DPE是等邊三角形，∴PE=ED，∠DPE=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°?∠ACB=120°，∴∠ACD+∠DEP=180°，∵∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠ECD+∠CDE+∠CED+∠PCE+∠CEP+∠EPC=360°，∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED?∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在△EPC和△EDM中，PE=ED∠EPC=∠EDM∴△EPC≌△EDMSAS∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴△CEM是等邊三角形，∴∠ECM=60°，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°?∠ECD?∠ACB=60°，即點E在∠ACD角平分線上運動，在射線CD上截取CP'=CP在△CEP和△CEPPC=P∴△CEP≌△CEP∴PE=P∴BE+PE=BE+P由三角形三邊關系可得，BE+P'E≥BP'，即當點E與點C重合時，BE+∵AP=2，AC=BC=AB=5，∴PC=AC?AP=3，∴BE+PE=BE+∴BE+PE的最小值為8．15．（23-24七年級下·陜西西安·期末）問題發現：學習三角形全等的知識時，小明發現重合兩個等腰直角三角形的頂點會產生一對新的全等三角形．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在邊BC上，連接AD，以AD為邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE問題探究：小明想，如果將上圖中的等腰直角三角形換成等邊三角形，那么這組全等三角形是否還存在？如圖2，△ABC和△ADE是等邊三角形，點B，D，E在同一直線．（1）證明：△ABD≌（2）探索線段BE，AE，CE三者間的數量關系，寫出結論并說明理由．問題拓展：經過上面的探究，小明聯想到幾天前一道不會的題，請你幫小明再想一想，是否有新的發現．如圖3，邊長為a的等邊△ABC中，D是AC中點，BD=b，E是線段BD上一動點，連接AE，在AE右側作等邊△AEF，連接FD，求△AFD周長的最小值（用含a，b的代數式表示），并直接寫出取最小值時∠AFD的度數．

【思路點撥】問題發現：由∠BAC=90°，∠DAE=90°，得到∠BAD=∠CAE，可證明△ABD≌△ACE，推出∠ABD=∠ACE，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC問題探究：（1）由△ABC和△ADE是等邊三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=AE=DE，推出∠BAD=∠CAE，即可證明；（2）由△ABD≌△ACE可得BD=CE，推出問題拓展：證明△ABE≌△ACF，得到∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF為定值，P在一條固定的線段上運動，延長CF至點P，使得BD=CP，推出點F在線段CP上運動，以直線CP為對稱軸，作點A的對稱點A'，得到AC=A'C，AF=A'F，根據三角形的三邊關系可得AF+DF=A'F+FD≥A'D，令A'D與CP交于點F'，則有【解題過程】解：問題發現：∵∠BAC=90°，∠DAE=90∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌∴∠ABD=∠ACE，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°；問題探究：（1）∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=AE=DE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌（2）BE=AE+CE，理由如下：∵△ABD≌∴BD=CE，∵AE=DE，∴BE=DE+BD=AE+CE；問題拓展：連接CF，∵△ABC和△AEF是等邊三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，AB=BC=AC，AE=AF=EF，∴∠BAC?∠EAD=∠EAF?∠EAD，即∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE∴∠ACF=∠ABE，由于∠ABE是定值，所以∠ACF為定值，P在一條固定的線段上運動，如圖3，延長CF至點P，使得BD=CP，∴點F在線段CP上運動，以直線CP為對稱軸，作點A的對稱點A'∴AC=A'C∴AF+DF=A令A'D與CP交于點F'∵BA=BC，DA=DC，∴BD⊥AC，∠ABD=1∵△ABE≌∴∠ACF=∠ABD=1∵∠ACF=12∠AC∴∠ACA∴△ACA∵CA=CB，CA=CA∴CA又∵BD⊥AC，∴DA∴C△AFD∵AD=CD，∴∠ADA延長AF'交A'∵AD=CD，∴A'∵△ACA∴AA'=AC又∵A'∴∠CAD'=綜上所述，△AFD周長的最小值為12a+b，此時16．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習）綜合與實踐問題情境：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在△ABC所在的平面內運動．探究圖形間存在的關系．特例探究：（1）如圖1，當點D在邊AB上運動，連接CD，以CD為邊在其右側作等腰直角三角形CDE，連接BE，發現BE⊥AB，請說明理由；求異探究：（2）如圖2，點E為AC的中點，點F為AB的中點，△AEF為等腰直角三角形，點D在△ABC外部時，連接ED，以ED為邊在其右側作等腰直角三角形EDH，連接DF和CH，判斷DF與CH的關系，并證明；拓展應用：（3）如圖3，當點D在直線AC上時，連接BD，在線段BD繞點B逆時針旋轉90°得到線段BE，連接AE．若CD=6，AE=10，求△ABD的面積．【思路點撥】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，旋轉的性質；熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．（1）根據旋轉的性質可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，進而證明△ACD≌△BCESAS，得出∠CBE=∠A=45°，可得∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°（2）連接AD，CF，先證明△DAE≌△HFESAS可得∠EAD=∠EFH，AD=FH，進而證明△ADF≌△FHC（3）分兩種情況討論，當點D在AC的延長線上時，過點B作FB⊥AB，交AD的延長線于點F，得出△ACB是等腰直角三角形，證明△ABE≌△FBDSAS，得出FD=AE=10，BC=CF=CA=16，AD=22，利用三角形面積公式可求解；當點D在CA【解題過程】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠ABC=45°，∵將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到CE，∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCESAS∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∴BE⊥AB；（2）DF=CH，DF⊥CH；如圖所示，連接AD，CF，∵以ED為邊在其右側作等腰直角三角形EDH，∴ED=EH，∠DEH=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵點E和F分別為AC和AB的中點，∴EF∥BC，EF=1∴∠AED=∠FEH，∴△DAE≌△HFESAS∴∠EAD=∠EFH，AD=FH，∵CF⊥AB，∠ACB=90°，CA=CB，∴CF=1又∵EF⊥AC，∴∠EFC=45°，∴∠EFC=∠EAF=45°，∴∠EAD?∠EAF=∠EFH?∠EFC，即∠FAD=∠CFH，在△ADF和△FHC中，AD=FH∠FAD=∠CFH∴△ADF≌△FHCSAS∴DF=CH，∠AFD=∠FCH，∵∠ACB=90°，AC=BC，點F為AB的中點，∴AF=CF=BF，∠AFC=90°，∴∠AFD+∠CFG=90°，∴∠FCH+∠CFG=90°，∴∠FGC=90°，∴DF⊥CH；（3）當點D在AC的延長線上時，如圖所示，過點B作FB⊥AB，交AD的延長線于點F，∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∵FB⊥AB，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BA=BF，∵將線段BD繞點B逆時針旋轉90°得到線段BE，∴DB=EB，∠DBE=90°，∴∠FBD=90°?∠ABD=∠ABE，∴△ABE≌△FBDSAS∴FD=AE=10，∵∠ACB=90°，BA=FB，∴BC=CF=CA=CD+DF=16，AD=CA+CD=22，∴△ABD的面積為12當點D在CA的延長線上時，如圖所示，過點B作FB⊥AB，交AD的延長線于點F，同理△ABF是等腰直角三角形，△ABE≌△FBDSAS∴FD=AE=10，∵∠ACB=90°，BA=FB，∴BC=CF=CA=DF?CD=4，AD=CD?CA=2，∴△ABD的面積為12綜上，△ABD的面積為4或176．17．（22-23九年級上·安徽·階段練習）安安利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連接AE交BD延長線于點F，求證：∠AFB=60°；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片△ABC的BC邊上取一點D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分線于點E，探究CE，DC和AC的數量關系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，△ABC和△DCE均為正三角形，當B，C，E三點共線時，連接PC，若BC=3CE，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：①AP?3PDPC②AP+PC+2PDBD?PC+PE【思路點撥】（1）證明△ACE?△BCD(SAS)，推出（2）如圖2，在AB上取一點G，使得BG=BD，證明△BDG是等邊三角形，