書目

編寫說明................................................................0

第一章解三角形.........................................................0

1.1正弦定理和余弦定理.............................................0

1.2應用舉例........................................................9

第二章數列............................................................11

2.1數列的概念與簡潔表示方法........................................11

2.2等差數列........................................................15

2.3等差數列的前n項和.............................................17

2.4等比數列.......................................................21

2.5等比數列的前n項和.............................................24

第三章不等式..........................................................27

3.1系

3.2一元二次不等式和其解法....................................30

3.3二元一次不等式（組）與簡潔的線性規劃問題.................33

3.4根本不等式................................................37

編寫說明

本書是高中數學必修課程5個模塊中的一個，包括解三角形、數列及不等式三章

內容。

“解三角形”的主要內容是介紹三角形的正、余弦定理，和其簡潔應用，旨在通

過對隨意三角形邊長和角度關系的探究，駕馭正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡

潔的三角形度量問題以和可以運用正弦定理、余弦定理等學問和方法解決一些及測量

和幾何計算有關的實際問題。

“數列”的主要內容是數列的概念及表示，等差數列及等比數列的通項公式及前

n項和。數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的根本數學模型。要求學生在探

究中駕馭及等差數列、等比數列有關的一些根本數量關系，感受這兩種數列模型的廣

泛應用，并利用它們解決一些實際問題。

“不等式”一章通過大量現實世界和日常生活中的詳細實例引入不等關系，扶植

學生理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值，進而引導學生結合一些實際

問題探究求解一元二次不等式的根本方法，用二元一次不等式組表示平面區域，以和

解決一些簡潔的二元線性規劃問題的方法，最終引導學生探討了根本不等式和其簡潔

應用。

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

正弦定理：

在AABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對邊，R為AABC的外接圓的半徑，則

abc__

W-——=--=-——=2R.

sinAsinBsinC

正弦定理的變形公式：

①。=2RsinA,b=27?sinB,c=2RsinC;

b._c

②sinA=-^-,sinB=,sinC-;

2R2R2R

③a:/?:c=sinA:sinB:sinC;

④a+b+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

【典型例題】

1、在△月3。中，角力、B\。的對邊分別為a、b>c,A=—fa=A/3,ZJ=1,求Co

2、在△Z。。中，是"sin/=sin。'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分又不必要條件

【練習】

1、AABC中,c=n,4=45°,。=26,求8、C、b.

2、在AA3C中，已知a=6,。=后，B=45°.求A、C和c.

3、已知AABC中，sinA:sinB:sinC=1:2:3,求

4、在AA3C中，已知下列條件解三角形；

(1)a=&,>=2,A=30°;(2)a=2油=0,A=45°;

(3)A=60\5=45°,tz=10(4)。=3/=4,4=30"

(5)a=2,b=5,A=120°(6)a=3,Z?=6,A=30°

5、在AA3C中,a=y/39h=4298=45°.求角A,C和邊c.

6、已知在AABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,。和8。

7、在AABC中，A=60°,〃=46,。=4應，求角8。

8、在AA3C中，已知AB=1O0,A=45°,BC=yV3,求角C。

9、在AA8C中，若號=上,求角B。

sinAcosB

10、在A43C中，若tanA=Lc=150°,BC=l,求AB。

11>在AA8C中，若b=5,=土，tanA=2,求sinA和。。

4

12、在△月3。中，若石a=28sin力，求角B。

13^在AA8C中，已知內角A=(,邊8c=26。設內角8=x,周長為y.

(1)求函數)，=/(])的解析式和定義域；(2)求〉的最大值。

余弦定理

在AABC中,有/=/+-2Z?ccosA,b2=a2+c2-2accosB,

余弦定理的變形公式：

余弦定理的應用范圍：

①已知三角形的隨意兩邊和它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的二條邊就可以求出其它角。

【典型例題】

1、在△ABC中，已知〃=2百，c=x/6+V2,8=60。，求b和A。

2、如圖，在AA8C中，AC=2,BC=\,cosC=-.

4AK

(1)求A5的值;

(2)求sin(24+C)的值.

【練習】B\------

1、在AABC中，若/=62+02+秘，則角A=o

2、AABC中，a=3,b=近，c=2,則角B=。

3、在AABC中，若。=7,b=8,cosC=g,則最大角的余弦值為。

4、已知在AA8C中,b=3,c=3瓜B=30°，則角A=、角C=、a=

5、已知在AABC中，b=3,c=2g,A=30°,則角8=、角。=、邊

6、a=4,力=3,NC=60°,則c=.

7、a=2,b=4,c=3,貝ljNB=L

8、在AABC中，已知/=。2+歷+02,則幺=

9、在MBC中,A=60。,邊長瓦c是方程3x2-27x+32=0的兩實根,則邊BC=.

10、在AABC中，^:Z?:c=2：V6:(V3+l),貝IJA=,B=,C=。

11、已知在A48C中，AB=31BC=y/13fAC=49則AC邊上的高為

12、已知〃、b、c是AA8C的三邊，5=60。，那么。?一比+/一從的值________

A.大于0B.小于0C,等于0D,不確定

13、在AA8C中，若。為鈍角，下列結論成立的是

A.a2+b2>c2B.a2+Z?2<c2C.a2+b2=c2D.一cosC<0

222

14、在AA8C中，a+b<c9且sinC=曰，則。=

15、在AA8C中，已知8=60°力2;4，則角A=

16、在中，角AB,C的對邊分別為"c,若從=m,且c=勿,則cosB.

17、在AABC中，b=4,c=3,BC邊上的中線長當一，則44=,。=.

18、在MBC中，A8=3,BC=舊,AC=4，則AC邊上的高為.

19、在MBC中，角A,民C的對邊分別為a,b,c,若川=皿,且c=2a，則cosB=

20、在AA3C中，若〃=7,b=8,cosC=^,則最大角的余弦值是________

21、已知三角形的三邊長分別是刁5內且加>。，這個三角形的

最大角為o

22、在AA8C中，A=60。，且最大邊長和最小邊長是方程的兩個根，第

三邊的長—o

44./?

23、在AA8C中，已知tanW^=sinC,給出以下四個論斷：

其中正確的是___________

24、在AA5C中,角A8,C的對邊分別為%b、c0若(4+。2T2)tanB=6〃c,則角B

的值為—

25、4ABe的內角A,3,C的對邊分別為久b.Co若以b、c成等差數列，且c=2a。則

cos5=

26、在AA8C中，若sinA:sin3:sinC=3:2:4,貝iJcosC的值為

27、在AA8c中，已知sinA=《,sinA+cosAv0,a=36,b=5,求c。

解三角形的進一步探討

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數

式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形態。特殊是有些條件既可用

正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。

(1)在已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等

情形；

(2)三角形各種類型的斷定方法；(3)三角形面積定理的應用。

已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，留意解的狀況.如已知a,b9A,貝ij

4為鈍角或

4為銳角

直角

c限值

圖形2"A

AB

關系bsinA<aa>

a<dsinAa=/jsinAa>bb

式<bb

解的

無解一解兩解一解一解無解

個數

三角形面積公式:S=—ahs\nC;S=-acsinB;S=-Z?csinA

222

【典型例題】

1、在AABC中，已知探討三角形解的狀況。

分析：先由sin8=生2可進一步求出B;則。=180。-(4+8),從而

a

1.當A為鈍角或直角時，必需才能有且只有一解；否則無解。

2.當A為銳角時，

假如那么只有一解；

假如"6,那么可以分下面三種狀況來探討：

(1)若a>Z?sin力，則有兩解；(2)若a=Z?sinH,則只有一解；(3)若avbsin力，

則無解。

評述：留意在已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角

且Asin八86時，有兩解；其它狀況時則只有一解或無解。

2、依據所給條件，推斷A43C的形態.

1)在AABC中，已知a=7,b=5,c=3o2)acosA=Z?cosB;3)——=—-—=—-—

cosAcosBcosC

3、在AA5C中，若NA=120,AB=5,BC=7,求AABC的面積。

4、在AABC中，證明：竺?一誓￡=勺一金.

ahab

5、設AA8C的內角C所對的邊長分別為a、b、c,且cos8=1,b=2o

(1)當A=30。時，求。的值；⑵當AABC的面積為3時，求a+c?的值.

6、在AA8C中，已知A8=g,8C=2。

(I)若COSB=—￡~,求sin。的值；(U)求角。的取值范圍.

6

【練習】

1、在AABC中，已知"80,6=100,4=45。，試推斷此三角形的解的狀況。

2、在△ABC中，若"1,c=|,NC=40。，則符合題意的b的值有個。

3、在AABC中，a=xcm,b=Am,Z.B=45°,假如利用正弦定理解三角形有兩解，求

X的取值范圍。

4、在z\ABC中，已知sin4:sin6:sinC=l:2:3,推斷△ABC的類型。

5、在△ABC中，4=60。，a=l,b+c=2,推斷^ABC的形態。

6、M8C中，切一"=2bccosA,推斷該三角形的形態。

7、M8C中，lg(sin4+sinC)=21gsinB-lg(sinC-sinA),推斷該三角形的形態。

8、在AABC中，sinAsinB<cosAcosB,推斷AABC的形態。

9、在AA8C中，若3=60。,26=〃+。，推斷的形態。

10、在AABC中，已知石缶推斷該三角形的形態。

11>在AABC中，已知(a+h+c)(a+0—c)=3而，且2cosAsinB=sinC,試確定AA8C的

形態。

12、AA8C中，假如lg"Igc=lgsin8=-lg正，并且8為銳角，試推斷此三角形的形

態。

13、AA8C中，COS2《="￡(a、尻c分別為角A,B,C所對的邊)，推斷此三角形的形

22c

心、o

14、依據所給條件，推斷△ABC的形態.

15、在AABC中，〃、b、c分別為內角A、B、C的對邊，且

2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC

(I)求A的大小；(II)若sinB+sinC=l,試推斷AA8C的形態.

16、在aABC中，AB=V3,AC=1,ZA=3O°,求△ABC面積。

面積為4,a+8+c

17、在△ABC中，力=60°,b=l,求的值

sin力+sin8+sinC

18、在AABC中，若"55,8=16,且此三角形的面積5=22。6,2求角C

在AABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積s=豈±K

19、,求角C

20、已知在AABC中，zB=30,b=6,c=6V3a和AABC的面積

21、在AOAB中，O為坐標原點，A(l,cose),8(sinai)/e(0,g,則當AO45的面積達最

大值時，0=

A.-B.-C.-D.-

6432

A

22、已知A8,C為AA8C的三個內角，其所對的邊分別為久枚c,且2cos?1+cosA=0。

⑴求角4的值；

(2)若a=2V§,Z?+c=4,求AA8C的面積.

23、AA8C內接于半徑為R的圓，且2R(sin2A-sin2c)=(。-0sin8,求AA3c的面積

的最大值。

24、三角形的某兩邊長分別為3的,5所,其夾角的余弦值是方程5爐-7工-6=0的根，求

此三角形的面積。

sin2A+sin*B

在AABC中，求證：(1)巴干

sin2C

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

25、已知在AA3C中，AB=3,BC=V13,AC=4,貝I」AC邊上的高為()

A.-V2B.-45C.-D.3G

222

26、在AA8C中，已知。比人長2,。比c長2,且最大角的正弦值為乎，則AA8C的

面積等于()

A.—43B.—C.—>/3D.—>/3

4444

27>在AA8C中，已知A=30°,且3〃=屜=12,貝Ijc的值為()

A.4B.8C.4或8D.無解

a

28、在AA8C中，4=60。,48=2,且AABC的面積Sj8c啜，則BC邊的長為()

A.6B.3C.不D.7

29、在AA3C中，若6〃=2以抽4,則/8=()

A30〃B60"C60〃或120〃D30"或150"

30>AA8C中，則A等于()

A.135°B.120°C.45°D.60°

31、在AA8C中，角AB,C所對的邊分別為a、3c。若(忌—c)cosA=acosC,則cosA=

32、已知在A48C中，sinA:sin8=VLl,c2=〃+J%c,則三個內角AS。的度數依

次是______

33、在AA8C中，已知S+c):(c+a):(a+0)=4:5:6,給出下列結論：

①由已知條件，這個三角形被唯一確定；②AABC肯定是鈍角三角形;

③sinA:sinB:sinC=7:5:3;④若"c=8,則AABC的面積是曳叵。

2

其中正確結論的序號是____________

34、AABC中，已知從-be-2c2=0,且=V6,cosA=—,則AABC的面積等于

8

AC

35、在銳角AABC中，BC=1,B=2A,則一、的值等于____,AC的取值范圍是_

cosA

36、如圖，在中，已知3=45°,。是BC邊上的一點，

AD=5,AC=7,DC=3,則A8=/\\

37、在M8C中，內角4優。所對邊的邊分別為。、b.co已知

(1)若AA8。的面積等于百，求〃,b；(2)若sin8=2sinAA3C小面

38、在AA8C中，內角4區C對邊的邊長分別是小b、c,已知c=2,C=5.Dc

⑴若AABC的面積等于百，求出b;

(2)若sinC+sin(8-A)=2sin2A,求AABC的面積.

39、AABC的內角A、B、C的對邊分別為。、3c.己知asinA+csinC-Jit7sinC=bsinB,

(I)求3;(II)若A=75°,b=2,求a,c.

40、在AABC中,A,B,C的對邊分別是a,瓦c,已知3acosA=ccos3+Z?cosC,求cosA的

值。

41、在AA3C中,?,Lc為角A,5,C所對的三邊,已知M-(…尸=加,求角A.

42、在AABC中，a、b、c分別是角4B、C的對邊，且段叱二-——.

cosC2a+c

(1)求角8的大小；

⑵若6=而，a+c=4,求&4BC的面積.

43、在AA3C中，內角A,仇。的對邊分別是凡仇c,設S為AA8C的面積，滿意

222

S=^l(a+b-c)

(1)求角c的大小；(2)求sin4+sinB的最大值。

44、/n=(2cosx+25/3sinn=(cosx,-y),滿意團〃=0。(1)將y表示為x的函數

f(x),并求/(x)的最小正周期。(2)已知AA8C內角A,氏C的對邊分別是〃也c,

若/任)=3,且。=2,求He的取值范圍

1.2應用舉例

解決實際測量問題的過程一般要充分仔細理解題意，正確做出圖形，把實際問題

里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數學模型來求解。

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型

測量間隔問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.

2.實際問題中的常用角

⑴仰角和俯角

在視線和程度線所成的角中，視線在程度線上方的角叫仰角，在程度線上方的角叫俯

角(如圖⑴).

(2)方位角

指從正北方向順時針轉到目的方向線的程度角，如6點的方位角為n(如圖(2)).

⑶方向角：相對于某正方向的程度角，如南偏東30°,北偏西45。，西偏東60。

等.

⑷坡度：坡面及程度面所成的二面角的度數.

間隔測量問題

【典型例題】

1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的間隔，測量者在A的同側，

在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的間隔是55m,NBAC=51。，ZACB=75%

求A、B兩點的間隔(準確到0.1m)

【練習】

1、兩燈塔A、B及海洋視察站C的間隔都等于akm,燈塔A在視察站C的北偏東

30°,燈塔B在視察站C南偏東60°,則A、B之間的間隔為多少？

2、如圖所示，為了測量河對岸48兩點間的間隔,在這岸定一基線C。，現已測出

CD-a和ZACD-6O0,Z^CD-30°,

ZBDC=105°,ZADC=60°,試求A8的長.

3、如圖，A8,C,。都在同一個及程度面垂直的平面

內B,Q為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測量船于水

面A處測得B點和。點的仰角分別為75,30°,

圖1.2-2

于水面。處測得3點和。點的仰角均為60。，AC=0.1&m.摸索究圖中8、。間間隔

及另外哪兩點間間隔相等，然后求8,。的間隔.

高度測量問題

【典型例題】

1、AB是底部B不行到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物

高度AB的方法。

分析：求AB長的關鍵是先求AE,在4ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A

的間隔CA,再測出由C點視察A的仰角，就可以計

算出AE的長。

【練習】

1、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯

角a=54°4(X,在塔底C處測得A處的俯角4=50，

已知鐵塔BC局部的高為27.3m,求出山高CD(準確

到1m)

2、如圖,一輛汽車在一條程度的馬路上向正東行駛，到

A處時測得馬路南側遠處一山頂D在東偏南

15。的方向上，行駛5km后到達B處,測得此

山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,，求此

山的高度CD.

3、如圖，山腳下有一小塔43,在塔底3測

得山頂。的仰角為6(r,在山頂。測得塔

頂A的俯角為45，已知塔高A8=20m,

求山高CD.

4、如圖所示，測量河對岸的塔高.4〃時，可以選及塔底e在同一程度面內的兩個測點C

及。，現測得/BCD=b,4BDC=B,CD=sy并在點。測得塔頂4的仰角為6,

求塔高AI3.

角度測量問題

【典型例題】

如圖，一艘海輪從A動身，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B燃

后從B動身，沿北偏東320的方向航行54.0nmile后到達海島C.假如下次航行干脆

從A動身到達C,此船應當沿怎樣的方向航行，須要航行多少間隔？（角度準確到0.1°,

間隔準確到O.Olnmile）

【練習】

1、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為外沿BE方向前進30m,至點C

處測得頂端A的仰角為2。，再接著前進lOV5m至D點，測得頂端A的仰角為4。，

求。的大小和建筑物AE的高。

2、某巡邏艇在A處發覺北偏東45,相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東

75。的方向以1。海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇馬上以14海里/小時的速

度沿著直線方向追去，問巡邏艇應當沿什么方向去追？須要多少時間才追逐上該走私

船？

3、在某海岸A處，發覺北偏東30方向，間隔A處（石+Dnmile的3處有一艘走私船

在A處北偏西15的方向，間隔A處Knmile的C處的緝私船奉命以5VJnmile/h

的速度追截走私船.此時，走私船正以5nmile/h的速度從8處依據北偏東30、方

向逃跑，問緝私船至少經過多長時間可以追上走私船，并指出緝私船航行方向.

注：在求解三角形中，我們可以依據正弦函數的定義得到兩

個解，但作為有關現實生活的應用題，必需檢驗上述所求的解是

否符合實際意義，從而得出實際問題的解。

第二章數列

2.1數列的概念及簡潔表示方法

數列的概念及簡潔表示方法

定義：按肯定次序排列的一列數叫數列，其中數列中的每一個數都是函數值，將數列

中的每個數稱為數列的項，和它在數列中的次序對應起來，稱為第1項，第2

項，…，第n項，…。

數列的一般形式：…當，…，簡記為{%}

數列的分類：

(1)按項數來分：

有窮數列：項數有限的數列；

無窮數列：項數無限的數列叫。

(2)按項的大小來分：

遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列

遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列

常數列：各項相等的數列

搖擺數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的

數列

數列｛冊｝的第n項及序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這

個數列的通項公式。

【典型例題】

1、已知數列｛凡｝滿意―=勺+3,則這個數列是。

A遞增數列B遞減數列C搖擺數列D不確定

2、數列一號-爭號,…的一個通項公式是。

n2+n+3)(_l)n5+1)

A4=(7"B%=(一1)"CD

2n+l2n+12〃一1

"2/2+1

3、數列?、,2啦,而,…的一個通項公式是______________

【練習】

1、下列數列是遞增、遞減、搖擺還是常數列？

(1)J,…(2)1,2,2?,…2"；(3)1-1，…(4)6,6,6,…

23n

2、已知數列｛凡｝滿意：4〉0,也二，則數列a｝是0

凡2

A.遞增數列B.遞減數列C.搖擺數列D.不確

定

3、已知數列a｝滿意：%=4+3,則數列a｝是（）

A.遞增數列B.遞減數列C.搖擺數列D.不確

定

4、數列;…中，第10項是_________

345n

5、已知數列0段，|彳，…，其中0.9是它的第一項。

6、1,1,2,3,5...,這個數列的第八項是_______________

7、視察下列的圖形中小正方形的個數，則第7個圖中有個小正方形。

8、上述關于星星的圖案構成一個數列，該數列的一個通項公式是（）

（）

2/??-1

A.an=n-n+\3,4=%

a」（〃+l）/?（/?+2）

VC?an~2

9、設數列正，石，2夜，而,-,則2石是這個數列的（）

A.第6項B.第7項C.第8項D.第9項

10、數列7,77,777,7777,77777,……的通項公式為

11、已知數列｛/+小，那么（）

A.0是數列中的一項B.21是數列中的一項

C.702是數列中的一項D.以上答案都不對

12、若則〃〃及J的大小關系是（）

?不能確定

Aan>an+lB.an<an+iC.an=a,^D.

13、依據下列數列的前幾項寫出數列的一個通項公式

(2)1,-3,5,?7,9,…;

(3)5,353,5,3,…;

(4)9,99,999,9999,…；

14、寫出下列數列的一個通項公式：

(1)

(2)-1,2,-3,4,…；

(3)1,3,5,7,…；

(4)7,77,777,7777,…;

15、一給定函數y=/(x)的圖象在下列圖中，并且對隨意囚￡(0,1),由關系式

%=/(〃“)得到的數列｛〃“｝滿意％〉明(〃￡“)，則該函數的圖象可能是()

ABCD

23

1D11cl1nl11

AA■---------B?—+------------C.-----------F---------D?—H-----------------1--------------

3nI23n3nI13nI13nI23n3nI13nI2

20、已知數列｛冊｝滿意。/〃T=4T+(-1)”(〃N2),且《=1,則”的值是_______

。3

21、數列｛〃”｝中，且---1——=—5wN,nN2),則4二_________.

3勺+1見

22、已知數列5｝的第1項是1,第2項是2,以后各項由勺=%+%-2(〃〉2)給出，

(1)寫出這個數列的前5項；(2)利用上面的數列｛%｝,通過公式a=4包構造一個

a..

新的數列版｝的前5項。

2.2等差數列

等差數列：一般地，假如一個數列從第二項起，每一項及它前一項的差等于同一個常

數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差(常

用字母“d”表示).

等差中項:假如a,A,b這三個數成等差數列，那么人=空.我們把人=孚叫

22

做a和b的等差中項.

等差數列的通項公式：4=%+(/t-l)d[變式:an=am+(n-m)d]

性質：若｛4｝是等差數列，且m+〃=p+4(次、八p、qwN，),貝=〃p+〃q

【典型例題】

1、已知數列1,4,7,10,…，3n+7,其中后一項比前一項大3.

(1)指出這個數列的通項公式；(2)指出1+4+…+(3n-5)是該數列的前幾項

之和.

2、將一個等差數列的通項公式輸入計算器數列〃.中，設數列的第s項和第t項分別

為心和吃，計算”二乜的值，你能發覺什么結論？并證明你的結論.

s-t

【練習】

1、(1)求等差數列3,7,11,……的第4項及第1。項.

(2)求等差數列10,8,6,……的第20項.

(3)100是不是等差數列2,9,16,……的項？假如是，是第幾項？假如不是，

說明理由.

(4)-20是不是等差數列0,—3：,-7,……的項？假如是，是第幾項？假如

不是，說明理由.

2、在等差數列｛%｝中，(1)已知。4=10,%=19,求生及4

(2)已知。3=9,。9=3,求生「

3、在等差數列｛4｝中，已知牝=10,陽=31,求%

4、梯子最高一級寬33cm,最低一級寬為110cm,中間還有10級，各級的寬度成

等差數列，計算中間各級的寬度.

5、已知數列｛明｝的通項公式%=p〃+g,其中〃、4是常數，那么這個數列是否肯定

是等差數列？若是，首項及公差分別是什么？

6、已知｛%)為等差數列，以1+以3+?5=105,劭+4+%=99,則以20等于

A.-1B.1C.3D.7

7、已知｛q｝為等差數列，且%—2出=-1,%=。，則公差＜1=

A.-2B.-lC.-D.2

22

8、等差數列｛%｝中,4+生+…+%=81且生+4+…+《o=171,則公差d=

9、各項不為零的等差數列&｝中,2%-存+2%=0,則%的值為()

A.0B,4C.0或4D.2

10、已知等差數列｛%｝中，%+/=16必=L貝必12的值是()

A.15B.30C.31D.64

11、等差數列｛%｝中，4+4=30,%=7,則4的值為

A.15B.23C.25D.37

、設｛凡｝是公差為正數的等差數列，若貝

124+4+43=15,a1a2a3=80,lJ%+42+43=

0

A120B105C90D75

13、若一個等差數列前3項和為34,后3項和為146,且全部項的和為390,求這個數

列項數.

14、在等差數列｛aj中4=〃z,則%的值為0

Arn-\-nB—(，〃+〃)Q—｛rn—ri)D0

15、已知在等差數列"｝中，Ss=a5,a4^0,求出：4=

16、在等差數列｛氏｝中，若。3，。”是方程/+10x+16=0的兩根，則的=

17、若〃。力，兩個等差數列兄再,電力及。，%，、2，/3，力的公差分別為八“2，則

A-

18、等差數列?｝的前10項的和品=100,前100項的和S3=10，求前110項的和S.

19、《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數學著作之一，請解答書中的一道題目，把

100個面包分給5個人，使每個人所得成等差數列，且是較多的三分之和的g是較少

的兩份之和，求最少一份的量。

20、已知數列｛%｝的前n項和為S”，點不氏,_」-)(〃￡%*)在曲線/Q)=4+二，且

4+1V廠

4=lq〉0,求證：數列;是等差數列，并求知。

lAJ

21、假如外,4,…，%為各項都大于零的等差數列，公差貝匹)

Aa｛>a4a5B^]<a4a5Ca｝+a^>a4+asDa^=a4as

22、已知丁⑶是一次函數，其圖象過點(3,5),又〃2)J(5),15成等差數列，求

/(1)+/(2)+.?.+/(〃)的值.

23、已知數列1—1^]成等差數列，且。3=-?嗎=-；，求心的值。

an+2\67

2.3等差數列的前n項和

等差數列的前〃項和的公式：①去二、，；②

等差數列的前〃項和的性質：

s

①若項數為2小eN"),則S?”=〃(%+%),且S偶-S奇二小管=\

)偶an+\

②若項數為2〃一1(〃wN*),則Sa,”=(2〃一1”〃，且S奇-S偶=勺，》=-^―(其中S奇=,

S偶=(〃T)/)。

【典型例題】

1、已知等差數列｛凡｝的前n項之和記為Sn,S10=10,S30=70,則S40等于

2、已知一個等差數列"｝的通項公式為=25—511,求數列｛|。.|｝的前n項和；

【練習】

1、等差數列-10,-6,-2,2,…前一項的和是54?

2、(1)求正整數列前n個偶數的和；(2)求正整數列前n個奇數的和。

3、假如等差數列｛(｝的前4項的和是2,前9項的和是-6,求其前n項和的公式。

4、依據下列各題中的條件，求相應的等差數列｛〃“｝的有關未知數：

(1)=5,求n和勺；(2)d=2/=15,4=70,求q及S”

66

5、等差數列L｝、h｝的前n項和為Sn、Tn.若興=普)55),求魯；

6、已知一個等差數列的前10項的和是310,前20項的和是1220,求前n項和。

7、設S”是等差數列｛《,｝的前n項和，已知出=3,4=11，則邑等于()

A.13B.35C.49D.63

8、等差數列｛%｝的前n項和為S.,且S3=6,a=4,則公差d等于。

A.1B-C.-2D3

3

9、等差數列｛4｝的前n項和為已知/7+--用=。，S2M=38,則〃?=()

A.38B.20C.10D.9

10、若等差數列｛可｝的前5項和$5=25,且生=3,則%=()

A.12B.13C.14D.15

11、已知以)是等差數列，4+4=4,生+%=28,則該數列前10項和￡。等于()

A.64B.100C.110D.120

12、記等差數列｛%｝的前〃項和為S”，若4=754=20,則56=()

A.16B.24C.36D.48

13、等差數列｛4｝的前n項和為5,若〃2=1.=3,則5產()

A.12B.10C.8D.6

14、設等差數列僅“｝的前〃項和為S〃，若§3=9,S6=36,則%+/+。9=()

A.63B.45C.36D.27

15、已知兩個等差數列｛q｝和的』的前〃項和分別為4和4，且今=2千，則使得

⑶為整數的正整數〃的個數是()

A.2B.3C.4D.5

16、等差數列｛3｝中，^=1,53+55=14,其前A項和S『100,則n=()

A.9B.10C.11D.12

17、設等差數列｛為｝的前〃項和為s.，若spioavis,則為的最大值為

18、設&=是等差數列｛&｝的前白項和，團2=-8￡=-9,則Sv.

19、已知等差數列｛q｝的前〃項和為S.,若$=21,貝1」3+%+/+%=.

20、若數列飽｝的前〃項和S”=/-10〃(〃=L2,3,...),則此數列的通項公式為

；數列｛?〃｝中數值最小的項是第項.

21、各項均不為零的等差數列⑸｝中，若4-%—-=05wN\〃N2),則S200g等于

()

A.0B.2C.2009D.4018

22、已知等差數列4｝的前n項和為Sn,若S7=14,則%+a的值為()

A.2B.4C.7D.8

23、在等差數列｛(｝中，/+6=4,則其前9項的和Sg等于()

A.18B27C36D9

24、在等差數列&｝中，q+4+%=39,生+4+%=27,則數列｛為｝的前9項之和

S。等于()

A.66B.99C-144D.?297

25、設等差數列｛/｝的前n項和為S”,若$4=8應=20,則a”+a｛2+a13+a14=

()

A.18B.17C.16D.15

26、已知等差數列a｝共有10。項，前三項的和為7,最終三項和為3,那么前100

項和為

27、等差數列｛4｝前