廣東省廣州市越秀區實驗中學2025屆高二上數學期末學業質量監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過橢圓+=1左焦點F1引直線交橢圓于A、B兩點，F2是橢圓的右焦點，則△ABF2的周長是（）A.20 B.18C.10 D.162．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，3．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－94．函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.5．在公比為的等比數列中，前項和，則（）A.1 B.2C.3 D.46．如圖，過拋物線的焦點的直線依次交拋物線及準線于點，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.7．已知，，若，則（）A.6 B.11C.12 D.228．在四面體OABC中，點M在線段OA上，且，N為BC中點，已知，，，則等于（）A. B.C. D.9．已知函數的導數為，且，則（）A. B.C.1 D.10．在x軸與y軸上截距分別為，2的直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.90° D.180°11．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數為（）A. B.C. D.不能確定12．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方形的邊長為分別是邊的中點，沿將四邊形折起，使二面角的大小為，則兩點間的距離為__________14．如圖所示，高爾頓釘板是一個關于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時，將隨機的向兩邊等概率的落下．當有大量的小球都落下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現有5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率是______15．在下列所示電路圖中，下列說法正確的是____(填序號)（1）如圖①所示，開關A閉合是燈泡B亮的充分不必要條件；（2）如圖②所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件；（3）如圖③所示，開關A閉合是燈泡B亮的充要條件；（4）如圖④所示，開關A閉合是燈泡B亮的必要不充分條件16．已知數列的前項和為，且滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數，其中i是虛數單位，m為實數（1）當復數z為純虛數時，求m的值；（2）當復數在復平面內對應的點位于第三象限時，求m的取值范圍18．（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點作軸的平行線交軸于點，過點的直線與橢圓交于兩個不同的點、，直線、與軸分別交于、兩點，若，求直線的方程；（3）在第（2）問條件下，點是橢圓上的一個動點，請問：當點與點關于軸對稱時的面積是否達到最大？并說明理由.19．（12分）已知直線恒過拋物線的焦點F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點，且，求直線的方程20．（12分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為3，對角線，將△沿著對角線BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一點M，且平面ABCD，（1）求證：平面平面ABD；（2）求點M到平面ABE的距離；（3）求二面角的正弦值21．（12分）已知函數，.（1）若在單調遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.22．（10分）已知拋物線C的方程是.（1）求C的焦點坐標和準線方程；（2）直線l過拋物線C的焦點且傾斜角為，與拋物線C的交點為A，B，求的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據橢圓的定義求得正確選項.【詳解】依題意，根據橢圓的定義可知，三角形的周長為.故選：A2、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項.3、A【解析】根據平行直線的性質，結合平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以有，因為兩條平行直線：與：間距離為3，所以，或，當時，；當時，，故選：A4、B【解析】方程有兩個根，轉化為求函數的單調性與極值【詳解】函數定義域是，有兩個零點，即有兩個不等實根，即有兩個不等實根設，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B5、C【解析】先利用和的關系求出和，再求其公比.【詳解】由，得，，所以，，則.故選：C.6、D【解析】如圖根據拋物線定義可知，進而推斷出的值，在直角三角形中求得，進而根據，利用比例線段的性質可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過點，作準線的垂線，分別交準線于點，設，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D7、C【解析】根據遞推關系式計算即可求出結果.【詳解】因為，，，則，，，故選：C.8、B【解析】根據空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為N為BC中點，所以,因為M在線段OA上，且，所以，所以，故選：B9、B【解析】直接求導，令求出，再將帶入原函數即可求解.【詳解】由得，當時，，解得，所以，.故選：B10、A【解析】按照斜率公式計算斜率，即可求得傾斜角.【詳解】由題意直線過，設直線斜率為，傾斜角為，則，故.故選：A.11、B【解析】利用余弦定理結合橢圓的定義可求得、，即可得出結論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數為.故選：B.12、B【解析】不妨設點為第一象限的交點，結合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結合余弦定理得到，即，令然后結合三角函數即可求出結果.【詳解】不妨設點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】取BE的中點G，然后證明是二面角的平面角，進而證明，最后通過勾股定理求得答案.【詳解】如圖，取BE的中點G，連接AG,CG，由題意，則是二面角的平面角，則，又，則是正三角形，于是.根據可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，則平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.故答案為：.14、【解析】先研究一個小球從正上方落下的情況，從而可求出一個小球從正上方落下落到2號位置的概率，進而可求出5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號位置的有4種，所以每個球落入2號位置的概率為，所以5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率為，故答案為：15、（1）（2）（3）【解析】充分不必要條件是該條件成立時，可推出結果，但結果不一定需要該條件成立；必要條件是有結果必須有這一條件，但是有這一條件還不夠；充要條件是條件和結果可以互推；條件和結果沒有互推關系的是既不充分也不必要條件【詳解】（1）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充分不必要條件，選項（1）正確.（2）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的必要不充分條件，選項（2）正確.（3）開關閉合，燈泡亮；而燈泡亮時，開關必須閉合，所以開關閉合是燈泡亮的充要條件，選項（3）正確.（4）開關閉合，燈泡不一定亮；而燈泡亮時，開關不一定閉合，所以開關閉合是燈泡亮的既不充分也不必要條件，選項（4）錯誤.故答案為（1）（2）（3）.16、【解析】先求出，然后當時，由，得，兩式相減可求出，再驗證，從而可得數列為等比數列，進而可求出，再將問題轉化為在上恒成立，所以，從而可求出實數的取值范圍【詳解】當時，，得，當時，由，得，兩式相減得，得，滿足此式，所以，因為，所以數列是以為公比，為首項的等比數列，所以，所以對于任意的，不等式恒成立，可轉化為對于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以實數的取值范圍為故答案為：【點睛】關鍵點點睛：此題考查數列通項公的求法，等比數列求和公式的應用，考查不等式恒成立問題，解題的關鍵是求出數列的通項公式后求得，再將問題轉化為在上恒成立求解即可，考查數學轉化思想，屬于較難題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4（2）【解析】（1）根據純虛數，實部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據第三象限，實部小于零，虛部小于零，列式即可.【小問1詳解】因為為純虛數,所以解得或，且且綜上可得,當為純虛數時;【小問2詳解】因為在復平面內對應的點位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.18、（1）；（2）；（3）當點與點關于軸對稱時，的面積達到最大，理由見解析.【解析】（1）設，可得出，，將點的坐標代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，由已知可得，結合韋達定理可求得的值，即可得出直線的方程；（3）設與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯立，由判別式為零可求得，分析可知當點為直線與橢圓的切點時，的面積達到最大，求出直線與橢圓的切點坐標，可得出結論.【小問1詳解】解：因為，設，則，，所以，橢圓的方程可表示為，將點的坐標代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設線段的中點為，因為，則軸，故直線、的傾斜角互補，易知點，若直線軸，則、為橢圓短軸的兩個頂點，不妨設點、，則，，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，聯立，可得，，由韋達定理可得，，，，則，所以，解得，因此，直線的方程為.【小問3詳解】解：設與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，聯立，可得（*），，解得，由題意可知，當點為直線與橢圓的切點時，此時的面積取最大值，當時，方程（*）為，解得，此時，即點.此時，點與點關于軸對稱，因此，當點與點關于軸對稱時，的面積達到最大.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值19、（1）（2）或【解析】（1）把直線化為，得到拋物線的焦點為，求得，即可求得拋物線的方程；（2）聯立方程組，得到，，結合，列出方程求得的值，即可求得直線的方程【小問1詳解】解：將直線化為，可得直線恒過點，即拋物線的焦點為，所以，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】解：由題意顯然,聯立方程組，整理得，設，，則，，因為，所以，解得，所以或，所以直線的方程為或20、（1）證明見解析；（2）1；（3）.【解析】（1）過E作EO垂直于BD于O，連接AO，由勾股定義易得，由菱形的性質有，再根據線面垂直、面面垂直的判定即可證結論.（2）構建空間直角坐標系，確定相關點的坐標，進而求的坐標及面ABE的法向量，應用空間向量的坐標運算求點面距.（3）由（2）求得面MBA的法向量，結合（2）中面ABE的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值，進而求其正弦值.【小問1詳解】過E作EO垂直于BD于O，連接AO，因為，，故，同理，又，所以，即因為ABCD為菱形，所以，又，所以面ABD，又面EBD，所以面面ABD【小問2詳解】以O為坐標原點，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，面ABE的法向量為，所以，令，則又，則點M到面