更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生導數章節知識全歸納專題10導數含參單調性討論（詳述版）知識點歸納：核心知識：1.函數的單調性與導數（1）設函數在某個區間可導，如果，則在此區間上為增函數；如果，則在此區間上為減函數。如果在某區間內恒有，則為常函數。總結：含參單調性討論主要針對學生對于含有參數的函數進行單調性討論存在嚴重問題，時常分不清楚何時討論參數，以及先哪一步在哪一步：這里君哥給大家總結如下：第一類：簡單含參--獨立含參，先討論恒成立，再分類。第二類：多位置含參數：首先考慮是否可以進行十字相乘，在討論根的大小，再討論單調性。第三類：二次函數型含參：必考慮?，在討論根的大小，最后討論單調性。第四類：其他函數型含參：畫圖看交點。導數含參單調性討論典型例題：類型一：獨立含參討論：例：1．已知函數.（1）討論函數的單調性；例：2．已知函數.（1）討論的單調性；變式：1．函數（1）求函數的單調區間；變式：2．已知函數，其中.（1）討論函數的單調性；變式：3．已知函數，.（1）求函數的單調區間；類型二：獨立含參難：例：1.已知函數，.（1）討論函數的單調性；例2．已知函數.（1）討論的單調性；例3．已知函數，．（1）討論的單調性；變式：1．已知函數.（1）討論的單調性；變式：2．已知函數.（1）討論的單調性；類型三：二次函數類型含參：例：1.已知函數，．（1）討論函數的單調性；例2．已知函數.（1）時，求在處的切線方程；（2）討論的單調性；變式：1．已知函數，其中且（1）求函數的單調區間；變式：2．已知函數.（1）討論的單調性.變式：3．已知函數.（1）討論的單調性；類型四：多參函數討論：例：1.已知函數．（1）當時，求的極值；（2）若，求的單調區間．例2．已知函數.（1）若，求的最小值；（2）求函數的單調區間.變式：1．已知函數，．（1）當時，求證：；（2）當時，討論函數的單調性．變式：2．已知函數.（1）討論函數的單調性；變式：3．已知實數，函數，．（1）討論函數的單調性；類型五：其他函數含參討論：例：1.已知函數．（1）討論的單調性；例2.．已知函數，為自然對數的底數．（1）討論的單調性；例3．已知函數（）．（1）討論函數的單調性；變式：1．設，,其中，且.（1）試討論的單調性；變式：2．已知函數．（1）求討論函數的單調性；變式：3．已知函數，.（1）求的單調區間；更多精品資料請關注微信公眾號：超級高中生導數章節知識全歸納專題10導數含參單調性討論（詳述版）知識點歸納：核心知識：1.函數的單調性與導數（1）設函數在某個區間可導，如果，則在此區間上為增函數；如果，則在此區間上為減函數。如果在某區間內恒有，則為常函數。總結：含參單調性討論主要針對學生對于含有參數的函數進行單調性討論存在嚴重問題，時常分不清楚何時討論參數，以及先哪一步在哪一步：這里君哥給大家總結如下：第一類：簡單含參--獨立含參，先討論恒成立，再分類。第二類：多位置含參數：首先考慮是否可以進行十字相乘，在討論根的大小，再討論單調性。第三類：二次函數型含參：必考慮?，在討論根的大小，最后討論單調性。第四類：其他函數型含參：畫圖看交點。導數含參單調性討論典型例題：類型一：獨立含參討論：例：1．已知函數.（1）討論函數的單調性；解：【分析】求導，對參數進行分類討論判斷導函數的正負，最后判斷原函數的單調。【詳解】（1）解：函數的定義域為，，當時，恒成立，所以在內單調遞增；當時，令，得，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減，綜上所述，當時，在內單調遞增；當時，在內單調遞增，在內單調遞減.例：2．已知函數.（1）討論的單調性；解：【分析】（1）對參數a分類討論，分別求得對于范圍內的單調區間；【詳解】（1）函數的定義域為當時，恒成立，故函數f(x)在上單調遞增當時，令，得；令，得.故函數在上遞增，在遞減變式：1．函數（1）求函數的單調區間；解：【分析】（1）求導，分別討論和兩種情況的正負，即可求得的單調區間.【詳解】（1）當時，，所以在為增函數，當時，令，解得；當時，，為增函數，當時，，為減函數，綜上：當時，的單調增區間為，當時，的單調增區間為，單調減區間為.變式：2．已知函數，其中.（1）討論函數的單調性；解：【分析】對參數進行分類討論，根據導函數的正負判斷函數的單調性；【詳解】（1），，當時，，故在上單調遞增，當時，令，得，從而在上單調遞減，在上單調遞增.變式：3．已知函數，.（1）求函數的單調區間；解：【分析】（1）先求導得到，再分和兩種情況討論的單調性和單調區間；【詳解】解：（1）由題意知的定義域是，，當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，由得，所以在上單調遞增，由得，所以在上單調遞減.綜上所述，當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.類型二：獨立含參難：例：1.已知函數，.（1）討論函數的單調性；解：【分析】（1）求導，分，討論求解；【詳解】（1）∵，當時，在上恒成立，∴在上是遞增的.當時，令，則；令，則.∴在上遞減，在上遞增.綜上所述，當時，是上的增函數，當時，在是減函數，在上是增函數.例2．已知函數.（1）討論的單調性；解：【分析】（1）首先對函數進行求導，通過對a進行分類討論，可得的單調性；【詳解】（1）函數的定義域為，，當時，，所以在上單調遞增；當時，若，則；若，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上：當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；例3．已知函數，．（1）討論的單調性；解：【分析】（1）先寫定義域，對函數求導，再討論時和時導數的正負情況，即得函數的單調性；【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，，即在上單調遞減；②當時，，由解得，由解得，即在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．變式：1．已知函數.（1）討論的單調性；解：【分析】（1）先求導函數，然后分析導函數符號只與含參一次因式有關，所以對分三種情況進行討論；【詳解】解：（1）因為，所以.若，則，是上的增函數；若，則當時，；當時，.故的單調遞增區間為，單調遞減區間為；若，則當時，；當時，，故的單調遞減區間為，單調遞增區間為.變式：2．已知函數.（1）討論的單調性；解：【分析】（1）求導，分，，討論求解；【詳解】（1）函數，求導得：，當時，，所以在上遞減；當時，，令，則方程有兩個不同的根，.，，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增；當時，在上遞減，在上遞減，所以在遞減；類型三：二次函數類型含參：例：1.已知函數，．（1）討論函數的單調性；解：【分析】（1）先求函數的導數，，再分和兩種情況討論函數的單調性；【詳解】（1）由題意的定義域為，，①若，則，所以在上為單調遞增函數；②若，由解得，，的解為或，的解為，即的增區間為，，減區間為．例2．已知函數.（1）時，求在處的切線方程；（2）討論的單調性；解：【分析】利用導數的幾何意義，直接求切線方程；（2）首先求函數的導數，，分和兩種情況討論函數的單調性；【詳解】當時，，，，，，在處的切線方程是.（2），當時，，在上單調遞減，當時，令，解得：，令，解得：，的增區間是，減區間是，綜上可知：時，函數的減區間是，無增區間；時，函數的增區間是，減區間是.變式：1．已知函數，其中且（1）求函數的單調區間；解：【分析】（1）求出，然后分a>0、a<0兩種情況討論即可；【詳解】（1）函數的定義域為(0，+∞)，，當a>0時，，f(x)在(0，+∞)上單調遞增，此時的增區間為(0，+∞)；當a<0時，令，解得(舍去)，則時，，單調遞減；時，，單調遞增.此時的單調減區間是，單調增區間是綜上，當a>0時，的增區間為(0，+∞)；當a<0時，的單調減區間是，單調增區間是變式：2．已知函數.（1）討論的單調性.解：【分析】（1）求導，分，情況討論導函數的正負，可得原函數的單調性；【詳解】（1）解：.當，即時，，所以在上單調遞增.當，即或時，令，得.當時，兩根均為負數，則，所以在上單調遞增；當時，兩根均為正數，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.變式：3．已知函數.（1）討論的單調性；解：【分析】（1）明確函數的定義域，求出導函數，對參數分類討論，結合導函數與單調性的關系得到結果；【詳解】（1）的定義域是，求導得.記，①當時，令，當時，單調遞減，當時，單調遞增；②當時，，（負根舍去），當時，單調遞減，當時，單調遞增；③當時，令得，則在恒成立，于是在恒成立，在定義域上單調遞減.若，則，令，，有2個不相等正根，在上單調遞減，在單調遞增，在單調遞減.綜上，當時，函數增區間為，減區間為；當時，函數增區間為，減區間為；當時，函減區間為，無增區間；當時，函數增區間為，減區間為，；類型四：多參函數討論：例：1.已知函數．（1）當時，求的極值；（2）若，求的單調區間．解：【分析】（1）首先求函數的導數，，判斷函數的單調性后得到函數的極值；（2），分，和三種情況討論求函數的單調遞減區間.【詳解】解：（1）因為當時，，所以，由得或，當變化時，，的變化情況列表如下：1200單調遞增單調遞減單調遞增所以當時，取極大值；當時，取極小值．（2），①當時，當，，單調遞增，當，，單調遞減，當，，單調遞增．②當時，在恒成立，所以在上單調遞增；③當時，當，，單調遞增，當，，單調遞減，當，，單調遞增，綜上所述，①當時，單調遞增區間為，．單調遞減區間為；②當時，單調增區間為，無減區間；③當時，單調遞增區間為，，單調遞減區間為．例2．已知函數.（1）若，求的最小值；（2）求函數的單調區間.解：【分析】（1）若，利用導數得出在的單調性即可求解.（2）再討論、、、函數的單調區間即可.【詳解】（1）若，定義域為，，由可得，由可得，所以在單調遞減，在單調遞增，所以的最小值為；（2）①當時，，由可得，由可得，此時的單調遞減區間為，單調遞增區間為，②當時，由可得或由可得，此時的單調遞減區間為，單調遞增區間為和，③當時，恒成立，此時的單調遞增區間為，④當時，由可得或，由可得，此時的單調遞減區間為，單調遞增區間為和，綜上所述：當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為，當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為和，當時，的單調遞增區間為，當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為和，變式：1．已知函數，．（1）當時，求證：；（2）當時，討論函數的單調性．解：【分析】（1）當時，可得，利用導數求得，由此可證得結論成立；（2）求得，對實數的取值進行分類討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數單調遞增區間和遞減區間.【詳解】（1）當時，，該函數的定義域為，，當時，，此時函數單調遞減；當時，，此時函數單調遞增.所以，，因此，當時，求證：；（2）當時，函數的定義域為，.①當時，即當時，則.由可得，由可得.此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；②當時，即當時，由可得，由可得或.此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為、；③當時，即當時，則對任意的恒成立，此時，函數的單調遞增區間為；④當時，即當時，由可得，由可得或.此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為、.綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為、；當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為、.變式：2．已知函數.（1）討論函數的單調性；解：【分析】（1），，分，兩種情況，根據二次函數的性質,利用判別式結合函數的定義域，由導數的正負判斷；【詳解】（1），，若，則，函數在上單調遞減.若，則二次函數的判別式，當，即或時，若，則，等號不恒成立，函數在上單調遞增；若，則，等號不恒成立，函數在上單調遞減.當，即且時，令，即，此時，，，，若，則，，此時恒成立，函數在上單調遞減；若，則，當時，，當時，當時，，即函數在和上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增；當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減.變式：3．已知實數，函數，．（1）討論函數的單調性；解【分析】（1）求導后得；分別在和兩種情況下，根據的符號可確定的單調性；【詳解】（1）.，，.①當，即當時，，在上單調遞減；②當，即時，當時，；當時，，在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.類型五：其他函數含參討論：例：1.已知函數．（1）討論的單調性；解：【分析】（1）對函數求導，分和兩種情況，分別得出函數的單調性；【詳解】（1），當時，，在上單調遞減；當時，令，得，當時，；當時，．故在上單調遞減，在上單調遞增．例2.．已知函數，為自然對數的底數．（1）討論的單調性；解：【分析】（1）求導，分，，，討論求解.【詳解】（1），①當時，，，，單調遞減，，，單調遞增．②當時，，，，，單調遞增，，，，單調遞減，，，，單調遞增，③當時，，，單調遞增④當時，，，，，單調遞增，，，，單調遞減，，，，單調遞增．例3．已知函數（）．（1）討論函數的單調性；解：【分析】（1）求導后，分類討論，利用導數的符號可得函數的單調性；【詳解】（1）的定義域為，且．當時，，則在上單調遞增．當時，若，則，在上單調遞增；若，則，在上單調遞減．綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．變式：1．設，,其中，且.（1）試討論的單調性；