4.4對數函數

園目標導航

1.理解對數函數的概念.

2.會求與對數函數有關的定義域同題.

3.初步掌握對數函數的圖象和性質.

4.掌握對數函數的圖象和性質的簡單應用.

5.了解反函數的概念及它們的圖象特點.

6.掌握對數型復合函數單調區間的求法及單調性的判定方法

7.會解簡單的對數不等式.

8.了解常用的描述現實世界中不同增長規律的函數模型.

9.了解直線上升、指數爆炸、對數增長等增長含義.

10.能根據具體問題選擇合適函數模型.

雌臀

贏點？對數函數的概念

一般地，函數叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是.

知識點二對數函數的圖象和性質

對數函數y=logux3>0,且在1）的圖象和性質如下表

y=log?x3>0,且〃羊1)

底數a>\0<?<1

>'=|0￡^(0>1)X=1

圖象(1.0)一

(1.0)X

7((Xfl<l)

定義域—

值域R

單調性在(0,+00）上是增函數在（0,+8）上是減函數

共點性圖象過定點______，即4=1時，）：=0

舊0,1）時，工￡（0』）時，

函數值特點：；

+oo）時，[1,+8）時，

___________________

函數與的圖象關于______對稱

對稱性y=logMy=log|x

a

知識點三反函數

指數函數3>0,且即)與對數函數y=logM>0且好1)互為反函數.它們的定義域與值域

正好互換.

知識點四對數型函數的性質及應用

1.y=lo*ZU)型函數性質的研究

(1)定義域：由yw>o解得x的取值范圍，即為函數的定義域.

(2)值域：在函數y=log/x)的定義域中確定/=外)的值域，再由尸10、的單調性確定函數

的值域.

(3)單調性：在定義域內考慮，=於)與y=log酒的單調性，根據同增異減法則判定.(或運用

單調性定義判定)

(4)奇偶性：根據奇偶函數的定義判定.

(5)最值：在4戲>0的條件下，確定，=/)的值域，再根據。確定函數y=log/的單調性，最

后確定最值.

2.log次v)vk)g遇(x)型不等式的解法

(1)討論。與1的關系，確定單調性.

(2)轉化為凡0與g(x)的不等關系求解，且注意真數大于零.

知識點五三種常見函數模型的增長差異

y=ay=log?xy=kx

M>1)31)(Q0)

在(0,+oo)

———

上的增減性

隨X的增大逐漸變隨X的增大逐漸趨于

圖象的變化隨X的增大勻速上升

“陡”穩定

增長速度

y=加的增長_____y=kx的增長，y=kx的增長_____y=logeAr的增長

增長后果會存在一個xo，當工>的時，有___________

N跟蹤訓練

一、單選題

1.已知函數/(x)=log.(x-。)(〃>0且4",。，力為常數)的圖象如圖，則下列結論正

確的是()

A.a>0,b<-lB.?>0,-1<Z?<0

C.0<?<1,Z?<-1D.0<a<l,-1<b<0

2.設。>0,b>0,則下列敘述正確的是()

A.^\na-2b>\nb-2a,則a>〃B.^\na-2b>\nb-2a,則

C.^\na-2a>\nb-2b?則a>/?D.^\na-2a>\nb-2b,則

3.函數/(x)=ln(x+l)+"^7的定義域為()

A.(-1,4]B.(-1,4)C.(-oo,4)

4.函數/(x)是定義在R上的偶函數，且在[0,+8)單調遞增，若〃=3°」"=0.13,。=1唱0.1,

貝I」()

A./(a)>/(b)>/(c)B.f(b)>f(c}>f(a)

C.f(c)>f(a]>f(b)D./(c)>/(/?)>/(?)

1*

5.已知函數/(x)=|log2(x—1)1，g(x)=(—)，則圖像交于A&,N)，8(孫必)兩點，

則()

A.xix2<1B.百+電>5C.K+/>為再D.x1+x2<x]x2

6.已知函數/(力=旭(x+l)|,若〃a)=/(b)(avA),則()

A.(a-l)(Z>-l)>lB.(tz-l)(Z>-l)=l

C.(a-l)(Z>-l)<lD.以上選項均有可能

7.已知a=206,b=e46,c=log20.6,則a,b,c的大小關系為()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

8.已知實數a,力￡(L+OO),filog267+log/,3=log2Z?+logrt2,貝ij()

A.a<y/b<bB.>/b<a<bC.b<\fa<aV).-Ja<b<a

二、多選題

9.下列函數為偶函數且在(0,+8)上是增函數的是()

A./(x)=log2|x|B./(x)=4■-1

C./(x)=2x+2AD.=

10.若0<a<8vl,0<cvl,貝IJ下列說法中正確的是（）

A.c“<c'B.logra<logrb

C.dCD.log“cvlog/

11.已知函數〃x）=log“x+陽>o,且〃Hl,beR）的圖象過A（l,2）,B（g,l）兩點，則下列函

數圖象（部分）正確的是（）

12.已知實數a,b,c滿足a<b<c,且acvO,則下列不等式不一定成立的是（）

A.ac<bcB.log,.（c-a）>log,（b-a）

C.ab2<cb2D.ca<cb

三、填空題

13.已知函數/（力=皿乂+/,設。=/（一2）,b=〃l）,c=/（203）,則的大小關系

14.設函數/（x）=a—fxve’若函數〃力的值域為人則實數。的取值范圍是一.

15.不等式logj（-x2-x+7）＞0的解集為

2

16.關于函數y=log2（f—2x+3）有以下4個結論：

①該函數是偶函數；

②定義域為（一8,-引51,+00）；

③遞增區間為“，+°°）；

④最小值為1；

其中正確結論的序號是一.

四、解答題

17.已知函數/（x）=log4（6'+65）.

⑴當切=-1時，求/（力的定義域；

⑵若/（同42對任意的恒成立，求機的取值范圍.

XX

18.己知函數/（X）=log2：4Og2

⑴求函數/（X）的值域：

⑵若/a）=/（W）=m,且再＞4芭＞0,求實數小的取值范圍.

19.已知函數y=f（x）是R上的偶函數，且當先0時，/W=log,（l-x）+x

⑴求了⑴的值；

⑵求函數y=/（x）的表達式，并直接寫出其單調區間（不需要證明）；

⑶若〃3）+2＜0,求實數。的取值范圍.

20.定義在。上的函數/（力，如果滿足：對任意xeO,存在常數MN0,都有|/（力歸M

成立，則稱/（同是。上的有界函數，其中M稱為函數/（力的一個上界，已知函數

/?=1+"[｝）'+（；）'，奇函數？3=log：（詈｝

「9

⑴求函數屋村在區間,3上的所有上界構成的集合；

（2）若函數/（“）在上是以5為上界的有界函數，求實數a的取值范圍

4.4對數函數

園目標導航

1.理解對數函數的概念.

2.會求與對數函數有關的定義域同題.

3.初步掌握對數函數的圖象和性質.

4.掌握對數函數的圖象和性質的簡單應用.

5.了解反函數的概念及它們的圖象特點.

6.掌握對數型復合函數單調區間的求法及單調性的判定方法

7.會解簡單的對數不等式.

8.了解常用的描述現實世界中不同增長規律的函數模型.

9.了解直線上升、指數爆炸、對數增長等增長含義.

10.能根據具體問題選擇合適函數模型.

雌臀

贏點？對數函數的概念

一般地，函數叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是.

【答案】y=logM（a〉0,且存1）（0：+8）

知識點二對數函數的圖象和性質

對數函數y=k>guX（4>0,且的圖象和性質如下表

y=log<K(a>0,且存1)

底數a>\0<^<1

>'=|0￡^(0>1)X=1

圖象（1。）一

7(1.0)x

定義域—

值域R

單調性在(0,+co）上是增函數在（0,+功上是減函數

共點性圖象過定點______，即％=1時，）=0

x￡(0,l)時，x￡(0,l)時，

函數值特點

__9_?_>'E_________；

xe[i,+8)時，XE[1,+8)時，

_______________

函數與的圖象關于_____對稱

對稱性y=logMy=log?x

a

【答案】(0,+oo)(l,0)(—oo,0)(0,+oo)[0?+co)(—oo,0]x軸

知識點三反函數

指數函數3>0,且時1)與對數函數y=logRa>0且時1)互為反函數.它們的定義域與值域

正好互換.

【答案】尸"

知識點四對數型函數的性質及應用

1.丁=1。劭/5)型函數性質的研究

(1)定義域：由兀。>0解得x的取值范圍，即為函數的定義域.

(2)值域：在函數y=log/x)的定義域中確定的值域，再由y=logai的單調性確定函數

的值域.

(3)單調性：在定義域內考慮與尸1。%的單調性，根據同增異減法則判定.(或運用

單調性定義判定)

(4)奇偶性：根據奇偶函數的定義判定.

(5)最值：在兀。>0的條件下，確定，=/)的值域，再根據。確定函數y=log”的單調性，最

后確定最值.

2.log/x)<log〃g(x)型不等式的解法

(1)討論。與1的關系，確定單調性.

(2)轉化為人工)與g(x)的不等關系求解，且注意真數大于零.

知識點五三種常見函數模型的增長差異

y=ay=log?xy=kx

\a>\)3>1)30)

在(0,+co)

———

上的增減性

隨X的增大逐漸變隨彳的增大逐漸趨于

圖象的變化隨X的增大勻速上升

“陡”穩定

增長速度y="的增長____y=匕的增長，y=Zr的增長______y=k>g〃的增長

增長后果會存在一個的，當”>無0時，有___________

【答案L單調遞增單調遞增單調遞增快于快于"MQlogd

跟蹤訓練

一、單選題

1.己知函數/（人）=1。8”（八一。）（0>0且“于1,。，。為常數）的圖象如圖，則下列結論正

確的是（）

A.a>0,b<-lB.a>0,-1<Z?<O

C.0<?<1,/?<—1D.Ovavl,—1</?<O

【答案】D

【分析】根據函數圖象及對數函數的性質可求解.

【詳解】因為函數/（x）=log〃（x-力）為減函數，所以Ovavl

又因為函數圖象與x軸的交點在正半軸，所以工=1+。>0,即人>—1

又因為函數圖象與丁軸有交點，所以。<0,所以

故選：D

2.設。>0,。>0,則下列敘述正確的是（）

A.^\na-2b>\nb-2a,則a>〃B.ln?-2b>\nb-2a,則

C.^\na-2a>\nb-2b,貝若Ina-2a>lnb-2b,則avb

【答案】A

【分析】利用函數的單調性分析判斷即可

【詳解】因為y=lnx和y=2x在（0,+oo）上均為增函數，

所以f（x）=lnx+2x在（0,+oo）上為增函數，

所以73）>/（勿時，得。>b>0,反之也成立，

即lna+2a>lnb+%時，a>b>0,反之也成立，

所以1114—2/?>1116—加時，a>b>0,反之也成立，

故選：A

3.函數/。）=111（》+1）+"^的定義域為（）

A.（-1,4]B.（-1,4）C.（-l,+oo）D.（-oo,4）

【答案】A

【分析】由對數的真數大于零和二次根式的被開方數非負求解即可

[x+l>0

【詳解】由題意得/、八，得-1VXW4,

4-x>0

所以函數的定義域為（-1,4],

故選：A

4.函數/(八)是定義在R上的偶函數，且在［0,十R)單調遞增，若〃=3°/，0=0.13,c=bg30?l，

則()

A./(a)>/(/>)>/(c)B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(c)>f(b)>f(a)

【答案】C

【分析】先由偶函數得/(c)=f(log310)，再比較log310,3°』，0f的大小，結合單調性即可

求解.

【詳解】由偶函數知/(c)=/(log.0.1)=/(-log30.1)=/(log310),又1va=3°」v2,

0v0=0.Fvl,log310>2,

顯然log,10>3。」>01,又在［0,用)單調遞增，則/?>/(〃)>/(0).

故選：C.

1》

5.已知函數，(x)=Mg2(x-l)|,g(x)=(—)，則圖像交于A(X［,y),B(X2,必)兩點，

則()

A.xtx2<IB.xi+x2>5c.X+.JAMWD.%+當〈為々

【答案】C

【分析】作出和g(x)的圖像，不妨設演j2，由對數的運算性質和指數的運算性質進

行計算后即可判斷.

【詳解】不妨設N<￡，

作出〃力和g(x)的圖像,由圖像知X<2,再>2,

則/(%)=|隆2(占一1)|=一噫(百一力/(/)=腕2HF卜隰HF，

則)一/(再)=log2(x2-l)+log2(^-l)=log2(x-l)(^-l)=§戶_(；尸V0,

即(玉一1)(9一1)vl,即%玉一(％+々)+1<1,即為+%2>不也，

故選：C.

6.己知函數/(力=旭(工+1)|,若/(a)"?(f),則()

A.(a-l)(/>-l)>lB.(4?-l)(Z?-l)=l

C.(?-l)(^-l)<lD.以上選項均有可能

【答案】C

【分析】作出函數/(力=旭(1+1)|的圖象結合〃。)=/伍)(。〈份可得到4萬的取值范圍以

及。力之間的關系式，整理變形即可判斷出答案.

【詳解】作出函數〃x)=|lg(x+l)|的圖象，如圖：

由題意可知，一吆(4+1)=愴伍+1),且由圖象可知，他<。，

所以即lg(a+l)+lg(b+l)=lg(a+l)僅+1)=0,

所以(a+l)(b+l)=l,即他+〃+b=0,a+b=-ab,

即(々一1)(人-1)="一〃-6+1=1+2"<1,

故選：C

7.已知。=206,b=c=log,0.6,則a,b,c的大小關系為()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】C

【分析】根據指數函數和對數函數的性質判斷〃=2叫b=e46,c=log20-6的范圍，即可判

斷大小，即得答案.

【詳解】由于a=2°6>2°=l,0<b=ef6<e°=l，c=log20.6<log2l=0,

故a>b>c，

故選：C

8.已知實數a,be(l,+oo),且叫2。+108匕3=1082匕+108a2,則()

A.a<\fb<bB.4b<a<bC.b<\[a<aD.-ja<b<a

【答案】B

【分析】對log2〃Tog"2<log2力7og〃2,利用換底公式等價變形，得

log2fl--!—<log2^--,結合y=x-L的單調性判斷同理利用換底公式得

log2alog2bx

1082a<l0g3r

~\^~a^-logTU[log2a>log3/?,再根據對數運算性質得log?”'log?〃‘

結合y=log?x單調性，a>R，繼而得解.

【詳解】Elllog2a+log^,3=log2b+logd2,變形可知]og?a.loga2<log?b.log/,2,

利用換底公式等價變形，得log?。-丁L<log20一17，

log2alog-,b

由函數f(x)=x--在(0,+a?)上單調遞增知，logzavlogzb,即a<〃，排除C,D；

其次，因為log?匕>b,得log?。+log,,3>log3b+log“2,即log2a-logrt2>log3b-log,,3,

同樣利用/(x)=x-i的單調性知，log?a>log3b,

又因為log3b=log&a>log2〃，得log2a>log?而,即a>6，所以揚<a<R

故選：B.

二、多選題

9.下列函數為偶函數且在(0,+8)上是增函數的是()

A./(x)=log2|x|B.f(x)=-^--l

C.f(x)=2x+2xD./(x)=Y+W

【答案】AD

【分析】根據各函數的性質直接判斷即可

【詳解】對A,f(x)=log2W為偶函數且在(0,+。。)上是增函數，故A正確；

對B,〃幻=城-1為偶函數目在(0,+的上是減函數，故B錯誤；

對C,〃x)=2x+2"不為偶函數，故C錯誤；

對D,〃力二丁+兇為偶函數且在(。，+8)上是增函數，故D正確

故選：AD

10.若0〈”人<l,0vc<l,則下列說法中正確的是()

ab

A.c<cB.logra<logfb

cc

C.a<bD.logac<\oghc

【答案】CD

【分析】直接利用指數函數，對數函數，基函數的單調性去判斷即可

【詳解】由于0<。<力<1,0<。<1

對于選項A：由于Ovcvl,所以函數丁=。*為減函數，所以。。>小，故選項A錯誤

對于選項B：由于Ovc<l,所以函數y=log,x為減函數，所以k）g,a>log,2,故選項B

錯誤

對于選項C：由于0<cvl,所以函數y=x0為增函數，所以相,故選項C正確

對于選項D：O<a<^<l,O<c<l,根據運算關系，當真數相同時，底數越大，對數越大,

所以log“c<logM，故選項D正確

故選：CD

11.已知函數/（"=1。。3+打。>0,且31,此陽的圖象過4（L2）,B（g,l）兩點，則下列函

數圖象（部分）正確的是（）

【答案】ABD

【分析】根據給定條件，求出常數小人的值，再逐項分析即可判斷作答.

f（X）=b=2

【詳解】由函數f（x）的圖象過AB兩點，則有1解得。=2/=2,

/（-）=-log2+Z?=l

to/7

對于A,函數y=-log/+2的圖象過點（1,2）,點（4,0）,A正確；

對于B,函數丁=唾2（工+2）的圖象過點（0,1）,點（2,2）,B正確；

對于C,函數了=2，+2的圖象不過點（2,2）,C不正確；

對于D,函數y=2'—2的圖象過點（-1,0）,點D正確.

故選：ABD

12.已知實數a,b,c滿足a<b<c,且ac<0,則下列不等式不一定成立的是（）

A.ac<bcB.logr（c-cz）>loge（b-a）

C.ab‘<cb'D.ca<cb

【答案】BCD

【分析】根據不等式性質可判斷則av0,c>0,匕的情況不定，由此可判斷A中ac<bc成

立，由于c與1的大小關系不確定，因此可判斷B,D;〃的情況不定，當6=0時，加〈曲不

成立，判斷C.

【詳解】實數a>b,c滿足a<b<c,且ac<0,

則a<0,c>0,b的情況不定，

故acvbc一定成立，

由題意可知。一。>0力一。>0，c-a>b-a.c^1的大小關系不確定，

當時，函數y7og,x單調性不確定，因此1。&（。-。）>10區.伍一々）不一定成立；

當6=0時，應不成立，

由于c與1大小關系不定，函數）單調性不確定，故不一定成立，

故選：BCD

三、填空題

13.已知函數〃力=1巾|+，，設。=/（—2）,b=。=/啰）則ac）的大小關系

【答案】a>c>b

【分析】首先判斷函數的奇偶性，再判斷函數的單調性，根據奇偶性與單調性比較函數值的

大小即可;

【詳解】解：因為〃x)=lnW+/定義域為{人|,-o},又

/(-x)=ln|-^+(-x)2=III|A|+A:2=/(x),

所以/(x)是偶函數，且x>0時“xblnx+x2,因為y=lnx與y=/在似+8)上單調遞增,

所以/(力在(0,+力)上單調遞增，

又2>2。3>2°=1，所以/⑵〉〃203)>f⑴，

即a>c>A.

故答案為：a>c>b

/、(\nxx>e/、

14.設函數/(力=_.2.<，若函數/(X)的值域為H，則實數a的取值范圍是

［a—xse

【答案】［LX0)

【分析】先分別求出x>e,xVe時函數的值域，在由條件可得出答案.

【詳解】x>e時，xK已時，,f(x)=a-f?a,

由函數f(x)的值域為R,.?.aNl,

所以實數。的取值范圍是［l,+o。).

故答案為：

15.不等式嘎』(一爐7+7)>0的解集為

2

【分析】運用對數函數的單調性，及二次不等式的解法，即得.

2

【詳解】由bgj-f-x+7)>0,nj^log,(-x-x+7)>log,lf

222

-X2-X+7<1

所以

-X2-X+7>0

—1—129or-1+129

解得：-------<xv—3或2cx<--------，

22

二不等式夠(*7+7)>0的解集為卜3M2「+盧

16.關于函數y=log2（/—2x+3）有以下4個結論：

①該函數是偶函數；

②定義域為（-8,-3]=（1,+00）;

③遞增區間為U，+8）；

④最小值為1；

其中正確結論的序號是—.

【答案】③④

【分析】利用函數有意義求得定義域，得②錯誤；利用偶函數定義得①錯誤，然后利用復合

函數的單調性得③正確.當X=1時函數取最小值為1.故④正確.

【詳解】函數丁=外力=1，2（/-2彳+3）的定義域為/?,故②錯誤；

2

=Iog2（x+2x+3）故人外不是偶函數，故①錯誤；

令，=/一21+3,則y=log2，，

由f=丁—2x+3的單調遞增區間為口，+8）；

y=log〃為增函數，故函數y=log2a2-2X+3）的遞增區間為[1,+8）,故③正確；

當”=1時函數取最小值為1,故④正確；

故正確結論的序號是：③④.

故答案為：③④

四、解答題

17.已知函數/（力=1陶（6'+"5）

⑴當切=-1時，求/（力的定義域；

⑵若/（力42對任意的恒成立，求機的取值范圍.

【答案】⑴（0,+。。）

⑵（T2]

【分析】（1）根據對數函數、指數函數的性質計算可得;

（2）依題意可得0<6'+〃?-5'小6對任意的恒成立，參變分離可得

對任意的工w［O,l］恒成立，再根據指數函數的性質計算可得;

【詳解】⑴解：當機=-1時f（x）=log4（6*-5）令6-5、>0,

即6、〉5。即閨>1，解得x>0,所以/（力的定義域為（0,+力）.

⑵解：由/（同二2對任意的x恒成立，

所以0v6,+%5r416對任意的x三［0』恒成立，

對任意的xe［0,l］恒成立,

因為y噂是單調遞減函數，是單調遞減函數,

所以8（力=孩一住）在［0川上單涮遞減，所以屋力由=86=2，

所以A（X）=-f|Y在［o,1］上單調遞減，所以刈6mLM0）=—1,

所以-1〈肛,2,即機的取值范圍為（-1,2］.

18.已知函數/。）=1叫去噫%

（I）求函數/5）的值域；

⑵若/（%）=/&）=，〃，且9>4占>0,求實數m的取值范圍.

【答案】（1）-（，+a）

⑵（-12）

4

【分析】（1）利用對數運算將函數化簡，再使用換元法即可求得函數值域;（2）用換元法得到兩

根的關系，再根據方程有兩根△>（），以及韋達定理，即可求得參數范圍.

【詳解】⑴因為定義域為xw（0,+8）,

2

貝ij/(x)=(log2x-l)(log2x-2)=(log,X)-3log2x+2

設log,x=twR,

令g⑺=/―3，+2=?-'|)2-；2一；,

所以/⑴值域為-；，+")

⑵設log?%=4，log2^=/2

因為9>4百>0

所以Iog2X2>10g24百

g|Jlog2x2>log2X1+2,

即G>%+2,所以J-。>2

則g(t)=t2-3f+2=/w的兩根為廿2

整理得『—3z+2—m=0

因為A=(_3)2_4X]X(2_"?)>0

解得

4

再由韋達定理可得：

則f2TL，&+，2)2-4，"2

解得加<2

綜上，me(-：,2)

4

19.已知函數y=/(x)是R上的偶函數，且當心0時，/(x)=logji)+x.

⑴求川)的值；

⑵求函數>=/(力的表達式，并直接寫出其單調區間(不需要證明)；

(3)若〃3)+2<0,求實數”的取值范圍.

【答案】⑴-2

⑵答案見解析

(3)。，春卜(1。,+8)

【分析】(1)根據偶函數的性質直接計算;

(2)當x>0時?，則-工<0,根據偶函數的性質即可求出；

(3)由題可得/(旭。|)</⑴，根據單調性可得|愴。心1,即可解出.

【詳解】⑴因為y=f(x)是A上的偶函數，所以〃l)=〃T)=log『7二-2.

⑵當x>0時，則T<0,則/(一力=1叫(1+力-彳=/(力，

2

故當x