學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7(）,\s\do5（整體設計））教學分析在初中，學生已了解了整數指數冪的概念和運算性質．從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上,類比出正數的n次方根的定義，從而把整數指數推廣到分數指數，進而推廣到有理數指數冪,再推廣到無理指數冪，并將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪．本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想(指數冪運算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數指數冪逼近無理數指數冪）等,同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值．根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持．三維目標1．通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質．2．掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質．培養學生觀察分析、抽象類比的能力．3．掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想．通過運算訓練，養成學生嚴謹治學、一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務于生活的哲理．4．能熟練地運用實數指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力．重點難點教學重點：(1)分數指數冪和根式概念的理解．(2)掌握并運用分數指數冪的運算性質．(3)運用實數指數冪性質進行化簡、求值．教學難點：(1)分數指數冪及根式概念的理解．(2）實數指數冪性質的靈活應用．課時安排2課時eq\o(\s\up7（),\s\do5(教學過程))第1課時導入新課思路1.碳14測年法．原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平．而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5730年的半衰期開始衰變并消失．對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期：經過一定的時間,變為原來的一半)．引出本節課題．思路2.同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的．這就是本節的主講內容，教師板書本節課題．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)eq\a\vs4\al（（1）整數指數冪的運算性質是什么？,(2）觀察以下式子，并總結出規律：a＞0，，①\r(5，a10)＝\r(5，(a2)5）＝a2＝a\f（10，5);,②\r(a8)＝\r((a4）2)＝a4＝a\f(8,2)；,③\r（4，a12)＝\r(4,(a3)4）＝a3＝a\f(12,4)；,④\r（2,a10）＝\r（2,（a5)2）＝a5＝a\f（10,2).,（3)利用2的規律，你能表示下列式子嗎？，\r（4,53)，\r(3,75），\r（5，a7)，\r（n，xm）x>0，m、n∈N＋，且n>1.,（4）你能用方根的意義來解釋3的式子嗎？,(5)你能推廣到一般的情形嗎?）討論結果:（1）整數指數冪的運算性質：an＝a·a·a·…·a,a0＝1（a≠0)；00無意義；a－n＝eq\f（1,an)(a≠0)；am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(an）m＝amn；(ab）n＝anbn.其中n、m∈N＋.（2）①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．實質上①eq\r（5,a10）＝aeq\f（10，5)，②eq\r（a8)＝aeq\f(8，2），③eq\r（4,a12)＝aeq\f(12,4），④eq\r（2,a10）＝aeq\f（10,2）結果的a的指數是2，4,3,5分別寫成了eq\f（10,5）,eq\f（8，2），eq\f（12，4），eq\f(10，2），形式上變了，本質沒變．根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式(分數指數冪形式)．（3)利用（2)的規律,eq\r（4,53)＝5eq\f(3,4),eq\r(3，75)＝7eq\f（5,3)，eq\r(5,a7)＝aeq\f(7,5)，eq\r(n,xm）＝xeq\f（m，n）。(4）53的四次方根是5eq\f（3,4），75的三次方根是7eq\f(5,3）,a7的五次方根是aeq\f(7,5)，xm的n次方根是xeq\f(m,n）.結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的．（5）如果a＞0，那么am的n次方根可表示為eq\r(n，am)＝aeq\f(m，n),即aeq\f（m,n）＝eq\r(n,am）(a＞0，m，n∈N＋,n＞1）．綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：規定：正數的正分數指數冪的意義是aeq\f（m,n）＝eq\r(n,am）（a＞0,m，n∈N＋，n＞1)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題））①負整數指數冪的意義是怎樣規定的？②你能得出負分數指數冪的意義嗎？③你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？④綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？⑤分數指數冪的意義中，為什么規定a＞0，去掉這個規定會產生什么樣的后果？⑥既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理指數，那么整數指數冪的運算性質是否也適用于有理指數冪呢?討論結果：①負整數指數冪的意義是：a－n＝eq\f（1，an）（a≠0，n∈N＋)．②既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義．規定:正數的負分數指數冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f（1，a\f(m，n))＝eq\f（1,\r(n，am)）(a＞0，m、n∈N＋，n＞1）．③規定:零的分數指數冪的意義是:零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義．④教師板書分數指數冪的意義．分數指數冪的意義就是：有時我們把正分數指數冪寫成根式，即＝eq\r（n，am）（a＞0,m、n∈N＋),正數的正分數指數冪的意義是＝eq\r(n，am)(a＞0,m、n∈N＋,n＞1)，正數的負分數指數冪的意義是＝eq\f(1，a\f(m，n）)＝eq\f(1,\r(n，am））(a＞0，m、n∈N＋，n＞1）,零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義．⑤若沒有a＞0這個條件會怎樣呢?如＝eq\r(3,－1）＝－1，＝eq\r（6，－12)＝1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果,這只說明分數指數冪在底數小于零時是無意義的．因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大于零，如無a＞0的條件，比如式子eq\r(3，a2)＝|a｜eq\f（2,3)，同時負數開奇次方是有意義的,負數開奇次方時,應把負號移到根式的外邊,然后再按規定化成分數指數冪，也就是說，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數,而不是負數，負數只是出現在指數上．⑥規定了分數指數冪的意義后,指數的概念就從整數指數推廣到了有理指數．有理指數冪的運算性質：對任意的有理數r,s，均有下面的運算性質：(1）ar·as＝ar＋s（a＞0,r，s∈Q）,(2）(ar）s＝ars(a＞0,r，s∈Q），(3)(a·b)r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應用示例））思路1例1求值：(1);（2)；(3）（eq\f（1,2)）－5;(4)。活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23，25寫成52，eq\f（1,2)寫成2－1，eq\f（16，81)寫成（eq\f（2，3)）4，利用有理數冪的運算性質可以解答,完成后，把自己的答案用投影儀展示出來．解：（1）(2)(3)（4）點評：本例主要考查指數冪的運算，要按規定來解．在進行指數冪的運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如8eq\f(2,3)＝eq\r(3，82）＝eq\r(3,64)＝4.變式訓練求值：3eq\r(3)·eq\r(3，3）·eq\r（6,3）。解:3eq\r（3)·eq\r(3，3)·eq\r(6，3）＝3·3eq\f(1,2）·3eq\f（1,3）·3eq\f(1,6）＝31＋eq\f(1，2）＋eq\f（1,3）＋eq\f(1，6)＝32＝9.例2用分數指數冪的形式表示下列各式的b。(1）b5＝32；(2)b4＝35;(3）b－5n＝π3m(m、n∈N＋）．活動:學生觀察、思考，根據解題的順序，先化為根式,把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時,要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟,教師評價學生的解題情況,鼓勵學生注意總結．解:（1)b＝eq\r（5，32)＝；(2)b＝±eq\r(4,35）＝±；（3)b＝eq\r(－5n,π3m）＝(m，n∈N＋)．點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先化為根式,再把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算．對于計算的結果,不強求統一用什么形式來表示，沒有特別要求,就用分數指數冪的形式來表示,但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。變式訓練用分數指數冪的形式表示下列各式中的x.（1）x6＝5；(2）x3＝42；（3)x－3＝π2。答案：(1）x＝±;（2）x＝；(3）x＝思路2例1計算下列各式：(1）(eq\r（3,25)－eq\r(125）)÷eq\r(4,25）；（2)eq\f(a2，\r(a）·\r（3,a2）)（a＞0)．活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底．利用分數指數冪計算，在第（1）小題中，只含有根式，且不是同次根式,比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算,這樣就簡便多了，第（2）小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫出解答．解：（1）(2）eq\f（a2，\r(a)·\r（3，a2)）＝eq\f(a2,a\f（1，2）·a\f(2，3))＝a2－eq\f(1,2）－eq\f(2,3）＝aeq\f（5，6)＝eq\r（6，a5)。變式訓練求下列各式的值：(1)；(2)2eq\r(3）×eq\r(3,1。5)×eq\r（6，12）.活動：學生觀察以上幾個式子的特征,既有分數指數冪又有根式，應把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算,如果根式中根指數不同，也應化成分數指數冪，對(1）應由里往外，,對（2）化為同底的分數指數冪．例2計算下列各式的值：(1)［(a－eq\f(3，2)b2）－1·(ab－3)eq\f（1，2)·(beq\f(1,2)）7]eq\f(1，3);(2）；（3）(eq\r(a)eq\r（3，b2))－3÷eq\r(b－4a－1）.活動:先由學生觀察以上三個式子的特征,然后交流解題的方法，把根式用分數指數冪寫出,利用指數的運算性質去計算，教師引導學生，強化解題步驟，對（1)先進行積的乘方，再進行同底數冪的乘法，最后再乘方,或先都乘方，再進行同底數冪的乘法，對（2）把分數指數化為根式，然后通分化簡,對(3）把根式化為分數指數，進行積的乘方，再進行同底數冪的運算．變式訓練比較eq\r（5），eq\r(3，11)，eq\r(6，123）的大小．活動：學生努力思考，積極交流，教師引導學生解題的思路,由于根指數不同，應化成統一的根指數,才能進行比較，又因為根指數最大的是6，所以我們應化為六次根式，然后，只看被開方數的大小就可以了．解：因為eq\r（5)＝eq\r(6，53)＝eq\r（6，125)，eq\r（3，11)＝eq\r(6，121)，而125＞123＞121，所以eq\r（6,125)＞eq\r（6,123)＞eq\r（6，121)，所以eq\r(5）＞eq\r(6，123）＞eq\r(3，11).點評：把根指數統一是比較幾個根式大小的常用方法.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓練）)1．（1）下列運算中，正確的是（)A．a2·a3＝a6B．(－a2）3＝(－a3）2C．(eq\r(a)－1)0＝0D．（－a2)3＝－a6(2)下列各式①eq\r(4，(－4）2n），②eq\r(4,－4)2n＋1),③eq\r(5,a4），④eq\r(4，a5)（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是(）A．①②B．①③C．①②③④D．①③④(3）（eq\r（3,\r(4，a6）））2·(eq\r（4,\r(3,a6)））2等于（）A．aB．a2C．a3D．a4（4)把根式eq\r（5,（a－b)－2)改寫成分數指數冪的形式為（）A．(a－b)－eq\f（2，5)B．（a－b）－eq\f（5,2)C．(a－eq\f（2,5)－b－eq\f(2，5)）D．（a－eq\f（5，2)－b－eq\f(5，2））(5)化簡(aeq\f（2，3）beq\f(1,2)）（－3aeq\f(1,2)beq\f（1,3)）÷(eq\f（1,3)aeq\f(1,6)beq\f（5,6））的結果是(）A．6aB．－aC．－9aD．9a2．計算：(1)0。027－eq\f(1，3)－（－eq\f（1,7))－2＋256eq\f（3,4)－3－1＋（eq\r(2)－1）0＝__________.（2)設5x＝4,5y＝2，則52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．答案：1.（1）D（2）B(3)B(4）A（5）C2.（1)19（2)83。因為x＋y＝12，xy＝9，所以（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝144－36＝108＝4×27。又因為x＜y，所以x－y＝－2×3eq\r（3）＝－6eq\r(3)。所以原式＝eq\f（12－6，－6\r（3)）＝－eq\f(\r(3），3)。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升））化簡活動:學生觀察式子特點,考慮x的指數之間的關系可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點,注意到：eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結))活動：教師：本節課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上,同學們之間相互交流．同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點：(1)分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是＝eq\r(n,am）（a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，正數的負分數指數冪的意義是(a＞0,m、n∈N＋，n＞1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義．(2）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理指數．(3）有理指數冪的運算性質:對任意的有理數r、s，均有下面的運算性質:①ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q），②(ar)s＝ars（a＞0，r、s∈Q),③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．（4)說明兩點:①分數指數冪的意義是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關系．②整數指數冪的運算性質對任意的有理指數冪也同樣適用．因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用來計算．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業)）課本本節練習B2、3。eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設計感想)）本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規定，沒有合理的解釋,因此多安排一些練習，強化訓練,鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（備課資料）)［備選例題］例1已知，探究下列各式的值的求法．點評：對“條件求值"問題,一定要弄清已知與未知的聯系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值．例2已知a＞0，對于0≤r≤8，r∈N＋，式子（eq\r(a）)8－r·（eq\f(1，\r(4，a))）r能化為關于a的整數指數冪的情形有幾種？活動：學生審題,考慮與本節知識的聯系,教師引導解題思路，把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，即先把根式轉化為分數指數冪，再進行冪的乘方，化為關于a的指數冪的情形,再討論,及時評價學生的作法．16－3r能被4整除才行，因此r＝0，4,8時上式為關于a的整數指數冪．點評:本題中確定整數的指數冪時，可由范圍的從小到大依次驗證，決定取舍．利用分數指數冪進行根式運算時，結果可以化為根式形式或保留分數指數冪的形式．(設計者:郝云靜）第2課時導入新課思路1。同學們,既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理指數冪呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數(有理數)，有理數到實數．并且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數．對無理指數冪，也是這樣擴充而來．既然如此，我們這節課的主要內容是:教師板書本堂課的課題——無理指數冪．思路2.同學們，在初中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的了解,到了高中，我們又對函數的概念進行了進一步的學習,有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數,其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質,為此，我們必須把指數冪從有理指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習:無理指數冪．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題)）①我們知道eq\r(2)＝1.41421356…，那么1。41,1。414，1。4142,1。41421，…是eq\r（2)的什么近似值？而1.42,1.415，1.4143,1。41422,…是eq\r（2）的什么近似值？②多媒體顯示以下圖表：同學們從下面的兩個表中，能發現什么樣的規律？eq\r(2）的過剩近似值5eq\r(2)的近似值1.511.180339891。429。8296353281.4159.7508518081.41439.739872621。414229.7386186431。4142149.7385246021。41421369。7385183321.414213579.7385178621.4142135639。738517752……5eq\r(2)的近似值eq\r(2）的不足近似值9.5182696941.49.6726699731。419。7351710391.4149.7383051741。41429.7384619071.414219。7385089281。4142139。7385167651.41421359.7385177051.414213569。7385177361.414213562……③你能給上述思想起個名字嗎？④一個正數的無理數次冪到底是一個什么性質的數呢？如5eq\r(2），根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？⑤借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎?活動：教師引導，學生回憶,教師提問,學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容：問題①:從近似值的分類來考慮,一方面從大于eq\r(2）的方向，另一方面從小于eq\r(2)的方向．問題②：對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看,注意其關聯．問題③：上述方法實際上是無限接近，最后是逼近．問題④：對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋．問題⑤：在③④的基礎上,推廣到一般的情形，即由特殊到一般．討論結果:①1.41，1.414,1。4142，1。41421,…,這些數都小于eq\r(2），稱eq\r(2）的不足近似值,而1.42，1.415，1.4143,1。41422,…，這些數都大于eq\r（2)，稱eq\r(2)的過剩近似值．②第一個表：從大于eq\r（2)的方向逼近eq\r（2）時，5eq\r(2）就從51.5，51。42，51。415，51。4143,51。41422，…，即大于5eq\r(2）的方向逼近5eq\r(2)。第二個表：從小于eq\r(2）的方向逼近eq\r（2)時，5eq\r(2）就從51。4，51.41,51。414,51.4142，51。41421，…，即小于5eq\r（2）的方向逼近5eq\r(2）。從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面5eq\r(2）從51.4，51.41,51。414，51。4142，51。41421，…,即小于5eq\r（2）的方向接近5eq\r(2），而另一方面5eq\r(2)從51.5，51。42，51.415,51。4143,51。41422,…，即大于5eq\r（2）的方向接近5eq\r（2）,可以說從兩個方向無限地接近5eq\r(2)，即逼近5eq\r（2)，所以5eq\r(2)是一串有理數指數冪51。4，51。41，51。414，51.4142,51.41421，…和另一串有理數指數冪51。5，51。42，51.415，51。4143，51.41422,…，按上述變化規律變化的結果,事實上表示這些數的點從兩個方向向表示5eq\r(2）的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是5eq\r(2）一定是一個實數,即51。4＜51.41＜51。414＜51.4142＜51。41421＜…＜5eq\r(2)＜…＜51.41422＜51.4143＜51.415＜51.42＜51。5.充分表明5eq\r(2）是一個實數，再如（eq\f（1,2）)eq\r(3），3π等都是實數．③逼近思想，事實上里面含有極限的思想,這是以后要學的知識．④根據②③我們可以推斷5eq\r（2）是一個實數,猜測一個正數的無理數次冪是一個實數．⑤無理指數冪的意義：一般地，無理指數冪aα(a＞0，α是無理數）是一個確定的實數．也就是說無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣,在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數．我們規定了無理指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理指數冪,那么,指數冪就從有理指數冪擴充到實數指數冪．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al（1為什么在規定無理指數冪的意義時，必須規定底數是正數？,2無理指數冪的運算法則是怎樣的?是否與有理指數冪的運算法則相通呢？,3你能給出實數指數冪的運算法則嗎？)活動：教師組織學生互助合作,交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納．對問題(1）回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定,舉例說明．對問題（2)結合有理指數冪的運算法則,既然無理指數冪aα（a＞0,α是無理數）是一個確定的實數,那么無理指數冪的運算法則應當與有理指數冪的運算法則類似，并且相通．對問題（3)有了有理指數冪的運算法則和無理指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了．討論結果：（1）底數大于零的必要性,若a＝－1，那么aα是＋1還是－1就無法確定了,這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無理指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂．（2)因為無理指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算,也能進行冪的運算，有理指數冪的運算性質，同樣也適用于無理指數冪．類比有理指數冪的運算性質可以得到無理指數冪的運算法則：①ar·as＝ar＋s（a＞0,r，s都是無理數）．②（ar)s＝ars（a＞0，r，s都是無理數）．③（a·b）r＝arbr（a＞0，b＞0，r是無理數）．（3）指數冪擴充到實數后,指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪．實數指數冪的運算性質:對任意的實數r，s，均有下面的運算性質：①ar·as＝ar＋s（a＞0，r，s∈R)．②（ar)s＝ars（a＞0，r,s∈R)．③(a·b）r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應用示例)）思路1例1利用科學計算器計算(精確到0.001)：0．21。52；3。14－2；；5eq\r(2)。解：所以0.21。52≈0。087，3.14－2≈0。101,≈2.126,5eq\r(2）≈9.739.點評：不同的計算器，按鍵的功能和位置不一定相同.變式訓練利用科學計算器計算函數值．已知f（x）＝2。72x，求f（－3)，f(－2）,f（－1）,f（1），f（2），f(3)(精確到0。001)．解:就可分別得到：0.135164359，0。367647059,2.72，7。3984,20。123648.所以f（－2)≈0.135，f（－1)≈0.368,f(1)≈2.72，f(2）≈7。398，f（3）≈20.124。2化簡下列各式：點評：注意運算性質的應用。變式訓練化簡(式中字母均為正實數)：（1）3xeq\r（2）(2x－eq\r（2）yz）；（2）(xeq\f(1,α）y）α(4y－α)．活動：學生觀察，思考,所謂化簡，即若能化為常數則化為常數,若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子,應該把根式統一化為分數指數冪的形式,便于運算,教師有針對性地提示引導，對(1）(2）由里向外，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律．解：(1）3xeq\r（2）（2x－eq\r（2)yz)＝(3×2)xeq\r(2)－eq\r(2）yz＝6yz；（2)(xeq\f（1,α）y)α（4y－α)＝4xeq\f(1,α)·α·yα·y－α＝4xyα－α＝4x。思路2例計算：活動：學生觀察、思考，根式化成分數指數，利用冪的運算性質解題，另外要注意整體的意識，教師有針對性地提示引導，對(1）根式的運算常常化成冪的運算進行，對（2)充分利用指數冪的運算法則來進行，對(3)則要根據單項式乘法和冪的運算法則進行,對（4)要利用平方差公式先因式分解,并對學生作及時的評價．點評：在指數運算中，一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式.變式訓練化簡下列各式：（2)(a3＋a－3）（a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)（a－a－1）]．活動：學生觀察式子的特點，特別是指數的特點,教師引導學生考慮題目的思路，這兩題要注意分解因式,特別是立方和和立方差公式的應用，對有困難的學生及時提示:對（1）考查x2與xeq\f（2，3）的關系可知x2＝（xeq\f(2,3）)3，立方關系就出來了，公式便可運用，對（2)先利用平方差，再利用冪的乘方轉化為立方差，再分解因式，組織學生討論交流．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓練))解析：根據本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數的規律性，我們可以進行適當的變形．因為（1＋2－eq\f(1,32））（1－2－eq\f（1，32)）＝1－2－eq\f（1，16)，所以原式的分子、分母同乘（1－2－eq\f(1，32）），依次類推，所以eq\f（1－2－\f（1，2）1＋2－\f（1,2),1－2－\f(1,32）)＝eq\f(1－2－1,1－2－\f（1,32)）＝eq\f(1，2)(1－2－eq\f（1，32)）－1。答案：A3．計算eq\r(a＋2\r(a－1）)＋eq\r（a－2\r(a－1））（a≥1）．解：原式＝eq\r(\r(a－1）＋12)＋eq\r(\r（a－1)－12）＝eq\r(a－1）＋1＋｜eq\r（a－1)－1|(a≥1）．本題可以繼續向下做,去掉絕對值，作為思考留作課下練習．4．設a＞0,x＝eq\f（1，2)（）,則（x＋eq\r(1＋x2)）n的值為__________．答案：aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升））已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β,10α－β，10－2α，.活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應利用運算性質，然后再求值，要有預見性，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12;10α－β＝eq\f(10α，10β）＝eq\f（3,4)；10－2α＝（10α）－2＝3－2＝eq\f（1,9）；＝（10β）eq\f（1,5）＝4eq\f(1,5)。點評：運用整體思想和運算法則是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結))（1)無理指數冪的意義．一般地,無理指數冪aα(a＞0,α是無理數)是一個確定的實數．(2)實數指數冪的運算性質：對任意的實數r,s，均有下面的運算性質：①ar·as＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）．②（ar)s＝ars（a＞0，r，s∈R）．③（a·b）r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R）．(3)逼近的思想,體會無限接近的含義．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業)）課本習題3－1A1。eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設計感想））無理指數是指數概念的