學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共3頁湖南省郴州市名校2024-2025學年數學九上開學質量檢測模擬試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）若順次連接四邊形ABCD各邊的中點所得四邊形是菱形．則四邊形ABCD一定是()A．菱形 B．對角線互相垂直的四邊形C．矩形 D．對角線相等的四邊形2、（4分）已知一次函數的圖象經過第一、三、四象限，則下列結論正確的是（）A． B．． C． D．3、（4分）對一組數據：2，1，3，2，3分析錯誤的是（）A．平均數是2.2 B．方差是4 C．眾數是3和2 D．中位數是24、（4分）下列說法：①實數和數軸上的點是一一對應的；②無理數是開方開不盡的數；③負數沒有立方根；④16的平方根是±4，用式子表示是=±4；⑤某數的絕對值，相反數，算術平方根都是它本身，則這個數是0，其中錯誤的是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5、（4分）設a=613，b=12-3，c=3+2，則a，A．b>c>a

B．b>a>c

C．c＞a＞b

D．a＞c＞b6、（4分）下列事件為隨機事件的是（）A．367人中至少有2人生日相同 B．打開電視，正在播廣告C．沒有水分，種子發芽 D．如果、都是實數，那么7、（4分）下列函數關系式：①y＝2x；②y＝2x+11；③y＝3﹣x；④y＝．其中一次函數的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8、（4分）若分式的值為0，則x的值是（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）化簡：_________．10、（4分）矩形、菱形和正方形的對角線都具有的性質是_____．11、（4分）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為圖1所示菱形，并測得，接著活動學具成為圖2所示正方形，并測得正方形的對角線，則圖1中對角線AC的長為_____．12、（4分）已知，則的值是_______．13、（4分）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（15，6），直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b=_____________．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）已知是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點點D不與B，C重合是以AD為邊的等邊三角形，過點F作BC的平行線交射線AC于點E，連接BF．如圖1，求證：≌；請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀，并說明理由；若D點在BC邊的延長線上，如圖2，其它條件不變，請問中結論還成立嗎？如果成立，請說明理由．15、（8分）△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示.（1）作△ABC關于點O成中心對稱的△A1B1C1；（2）作出將△A1B1C1向右平移3個單位，再向上平移4個單位后的△A2B2C2；（3）請直接寫出點B2關于x軸對稱的點的坐標.16、（8分）在平面直角坐標系xOy中,對于點P(x,y)和Q(x,y′),給出如下定義：若y′=,則稱點Q為點P的“可控變點”。例如：點(1,2)的“可控變點”為點(1,2).結合定義，請回答下列問題：(1)點(?3,4)的“可控變點”為點___.(2)若點N(m,2)是函數y=x?1圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標為___；(3)點P為直線y=2x?2上的動點,當x?0時,它的“可控變點”Q所形成的圖象如圖所示(實線部分含實心點).請補全當x<0時，點P的“可控變點”Q所形成的圖象.17、（10分）如圖，在中，，分別是邊，上的點，且．求證：四邊形為平行四邊形．18、（10分）為了從甲、乙兩名學生中選撥一人參加射擊比賽，對他們的射擊水平進行了測驗，兩人在相同條件下各射靶6次，命中的環數如下：甲：7，8，6，10，10，7乙：7，7，8，8，10,8，如果你是教練你會選撥誰參加比賽？為什么？B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）如圖，為直角三角形，其中，則的長為__________________________．20、（4分）矩形ABCD的面積為48，一條邊AB的長為6，則矩形的對角線_______．21、（4分）如果反比例函數的圖象在當的范圍內，隨著的增大而增大，那么的取值范圍是________.22、（4分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，若，，則AC的長為______．23、（4分）下圖是利用平面直角坐標系畫出的老北京一些地點的示意圖，這個坐標系分別以正東和正北方向為x軸和y軸的正方向，如果表示右安門的點的坐標為（-2，-3），表示朝陽門的點的坐標為（3，2），那么表示西便門的點的坐標為___________________．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）在□ABCD中，∠BCD的平分線與BA的延長線相交于點E，BH⊥EC于點H，求證：CH＝EH．25、（10分）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，E、F在菱形的邊BC，CD上．（1）證明：BE=CF．（2）當點E，F分別在邊BC，CD上移動時（△AEF保持為正三角形），請探究四邊形AECF的面積是否發生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．（3）在（2）的情況下，請探究△CEF的面積是否發生變化？若不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大值．26、（12分）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別是OB，OD的中點．（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形．（2）若AC＝2，AB＝1．若AC⊥AB，求線段BD的長．

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、D【解析】

根據三角形的中位線定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四邊形為菱形，得出EF=EH，即可得到答案．【詳解】解：∵E，F，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點，∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，∴EH∥FG，EF=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，假設AC=BD，∵EH=AC，EF=BD，則EF=EH，∴平行四邊形EFGH是菱形，即只有具備AC=BD即可推出四邊形是菱形，故選D．2、B【解析】

利用一次函數圖象性質，圖象經過第一、三、四象限，，即可解答.【詳解】一次函數，圖象經過第一、三、四象限，則，解得：故選B.本題考查了一次函數的圖象特征，熟練掌握函數圖象所經過象限與k、b之間的關系是解題關鍵.3、B【解析】

根據平均數、方差、眾數、中位數的定義以及計算公式分別進行解答即可．【詳解】解：A、這組數據的平均數是：（2＋1＋3＋2＋3）÷5＝2.2，故正確；B、這組數據的方差是：[（2?2.2）2＋（1?2.2）2＋（3?2.2）2＋（2?2.2）2＋（3?2.2）2]＝0.56，故錯誤；C、3和2都出現了2次，出現的次數最多，則眾數是3和2，故正確；D、把這組數據從小到大排列為：1，2，2，3，3，中位數是2，故正確．故選：B．此題主要考查了平均數、方差、眾數、中位數的含義和求法，熟練掌握定義和求法是解題的關鍵，是一道基礎題4、D【解析】

①實數和數軸上的點是一一對應的，正確；②無理數是開方開不盡的數，錯誤；③負數沒有立方根，錯誤；④16的平方根是±4，用式子表示是±=±4，錯誤；⑤某數的絕對值，相反數，算術平方根都是它本身，則這個數是0，正確．錯誤的一共有3個，故選D．5、B【解析】

先把a、b化簡，然后計算b-a，b-c，a-c的值即可得出結論．【詳解】解：a=613=23，b=12-3由b-a=2+3-23=2-3＞0，∴b＞a，由b-c=2+3-(3+2)=又∵a-c=23-(3+2)=3-2＞0，∴a＞故選B．本題考查了無理數比較大小以及二次根式的性質．化簡a、b是解題的關鍵．6、B【解析】

根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可．【詳解】A.367人中至少有2人生日相同，是必然事件，故A不符合題意；B.打開電視，正在播廣告，是隨機事件，故B符合題意；C.沒有水分，種子發芽，是不可能事件，故C不符合題意；D.如果、都是實數，那么，是必然事件，故D不符合題意.故選B.本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．7、C【解析】分析：根據一次函數的定義：形如（k、b為常數，且）的函數，叫做一次函數.詳解：①y=2x，是一次函數；②y=2x+11，是一次函數；③，是一次函數；④，不是一次函數，故選C.點睛：本題考查了一次函數的定義.熟練理解并掌握一次函數的概念是對一次函數進行正確辨別的關鍵.8、A【解析】

直接利用分式的值為零則分子為零進而得出答案．【詳解】∵分式的值為0，∴x1﹣4=0，解得：x=1或﹣1．故選A．此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、【解析】

分子分母同時約去公因式5xy即可．【詳解】解：．

故答案為．此題主要考查了分式的約分，關鍵是找出分子分母的公因式．10、對角線互相平分【解析】

先逐一分析出矩形、菱形、正方形的對角的性質，再綜合考慮矩形、菱形、正方形對角線的共同性質．【詳解】解：因為矩形的對角線互相平分且相等，菱形的對角線互相平分且垂直且平分每一組對角，正方形的對角線具有矩形和菱形所有的性質，所有矩形、菱形和正方形的對角線都具有的性質是對角線互相平分．故答案為對角線互相平分．本題主要考查了矩形、菱形、正方形的性質，解題的關鍵是熟知三者對角線的性質．11、【解析】

如圖1，2中，連接．在圖2中，利用勾股定理求出，在圖1中，只要證明是等邊三角形即可解決問題．【詳解】解：如圖1，2中，連接．在圖2中，四邊形是正方形，，，∵，cm，在圖1中，四邊形ABCD是菱形，，，是等邊三角形，cm，故答案為：．本題考查菱形的性質、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．12、【解析】

先對原式進行化簡，然后代入a,b的值計算即可．【詳解】，．，，∴原式=，故答案為：．本題主要考查二次根式的運算，掌握完全平方公式和平方差是解題的關鍵．13、0.5【解析】

經過矩形對角線的交點的直線平分矩形的面積．故先求出對角線的交點坐標，再代入直線解析式求解．【詳解】連接AC、OB，交于D點，作DE⊥OA于E點，∵四邊形OABC為矩形，∴DE=AB=3，OE=OA=7.5，∴D(7.5，3)，∵直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，∴直線經過點D，∴將(7.5，3)代入直線得：3=×7.5+b，解得：b=0.5，故答案為：0.5.本題考查了一次函數的綜合應用及矩形的性質；找著思考問題的突破口，理解過矩形對角線交點的直線將矩形面積分為相等的兩部分是正確解答本題的關鍵．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、(1)見解析;(2)四邊形BCEF是平行四邊形,理由見解析;(3)成立，理由見解析.【解析】

（1）利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AFB≌△ADC；（2）四邊形BCEF是平行四邊形，因為△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，進而證明∠ABF=∠BAC，則可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四邊形BCEF是平行四邊形；（3）易證AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可證明△AFB≌△ADC；根據△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，進而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形．【詳解】和都是等邊三角形，，，，又，，，在和中，，≌；由得≌，，又，，，又，四邊形BCEF是平行四邊形；成立，理由如下：和都是等邊三角形，，，，又，，，在和中，，≌；，又，，，，，又，四邊形BCEF是平行四邊形．本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定等，熟練掌握相關的性質與定理是解題的關鍵.15、作圖見解析.【解析】分析：（1）分別作出點A、B、C關于原點的對稱點，順次連接，即可得出圖象；（2）根據△A1B1C1將向右平移3個單位，再向上平移4個單位后，得出△A2B2C2；（3）直接寫出答案即可．詳解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求．（3）點B2關于x軸對稱的點的坐標為（4，﹣3）．點睛：本題考查的是作圖-旋轉變換和平移變換，熟知圖形旋轉的性質和平移的性質是解答此題的關鍵．16、（1）(?3,?4)；（2）（2）(3,2)或(?1,?2)；（3）見解析；【解析】

（1）根據“可控變點”的定義可得點（-3，4）的“可控變點”的坐標；（2）分兩種情況進行討論：當m≥0時，點M的縱坐標為2，令2=x-1，則x=3，即M（3，2）；當m<0時，點M的縱坐標為-2，令-2=x-1，則x=3，即M（-1，-2）；（3）根據P（x，2x-2），當x<0時，點P的“可控變點”Q為（x，-2x+2），可得Q的縱坐標為-2x+2，即Q的坐標符合函數解析式y=-2x+2，據此可得當x<0時，點P的“可控變點”Q所形成的圖象．【詳解】(1)根據“可控變點”的定義可得,點(?3,4)的“可控變點”為點(?3,?4)；故答案為：(?3,?4)；(2)∵點N(m,2)是函數y=x?1圖象上點M的“可控變點”，∴①當m?0時,點M的縱坐標為2,令2=x?1,則x=3,即M(3,2)；②當m<0時,點M的縱坐標為?2,令?2=x?1,則x=3,即M(?1,?2)；∴點M的坐標為(3,2)或(?1,?2)；故答案為：(3,2)或(?1,?2)；(3)∵點P為直線y=2x?2上的動點，∴P(x,2x?2)，當x<0時,點P的“可控變點”Q為(x,?2x+2)，即Q的縱坐標為?2x+2，即Q的坐標符合函數解析式y=?2x+2，∴當x<0時，點P的“可控變點”Q所形成的圖象如下圖；此題考查一次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵在于分情況討論理解題意.17、證明見解析．【解析】

由平行四邊形的性質，得到AD∥BC，AD=BC，由，得到，即可得到結論.【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，∴，．∵，∴．∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形．本題考查了平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質進行證明.18、應選乙參加比賽．【解析】分析：分別求出甲、乙兩名學生6次射靶環數的平均數和方差，然后進行比較即可求得結果.詳解：（1）甲=（7+8+6+10+10+7）=8；S甲2=[（7-8）2+（8-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（10-8）2+（7-8）2]=；乙=（7+7+8+8+10+8）=8；S乙2=[（7-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（10-8）2+（8-8）2]=1；∴因為甲、乙兩名同學射擊環數的平均數相同，乙同學射擊的方差小于甲同學的方差，∴乙同學的成績較穩定，應選乙參加比賽．點睛：本題考查一組數據的方差的意義，是一個基礎題，解題時注意平均數是反映數據的平均水平，而方差反映波動的大小，波動越小數據越穩定．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、.【解析】

由∠B=90°，∠BAD=45°，根據直角三角形兩銳角互余求得∠BDA=45°，因此AB=BD，由∠DAC=15°，根據三角形外角性質可求得∠C=30°，由AC=2，根據直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，求得AB=1，即BD=1，根據勾股定理求得BC=，從而得到CD的長.【詳解】解：∵∠B=90°，∠BAD=45°,∴∠BDA=45°，AB=BD，∵∠DAC=15°，∴∠C=30°，∴AB=BD=AC=×2=1，∴BC===，∴CD=BC-BD=-1.故答案為-1.本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識.20、10【解析】

先根據矩形面積公式求出AD的長，再根據勾股定理求出對角線BD即可．【詳解】解：∵矩形ABCD的面積為48，一條邊AB的長為6，∴AD=48÷6＝8，∴對角線BD=，故答案為：10.本題主要考查了勾股定理的應用，解決此題的關鍵是根據矩形面積求出另一邊的長．21、【解析】

根據反比例函數圖象在當x＞0的范圍內，y隨著x的增大而增大，可知圖象在第四象限有一支，由此確定反比例函數的系數（k-2）的符號．【詳解】解：∵當時，隨著的增大而增大，∴反比例函數圖象在第四象限有一支，∴，解得，故答案為：.本題考查了反比例函數的性質．對于反比例函數，（1）k＞0，反比例函數圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數圖象在第二、四象限內．22、1【解析】

根據矩形的對角線互相平分且相等可得，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出，然后根據直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．【詳解】解：在矩形ABCD中，，，，，又，．故答案為：1．此題考查矩形的性質，解題關鍵在于利用了矩形的對角線互相平分且相等的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質．23、（-3，1）【解析】

根據右安門的點的坐標可以確定直角坐標系中原點在正陽門，建立直角坐標系即可求解.【詳解】根據右安門的點的坐標為(?2,?3)，可以確定直角坐標系中原點在正陽門，∴西便門的坐標為(?3,1)，故答案為(?3,1)；此題考查坐標確定位置，解題關鍵在于建立直角坐標系.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、證明見試題解析．【解析】試題分析：由平行四邊形的性質得到BE∥CD，故有∠E＝∠2，由于CE平分∠BCD，得到∠1＝∠2，故∠1＝∠E，故BE＝BC，又因為BH⊥BC，由三線合一可得到CH＝EH．試題解析：∵在□ABCD中BE∥CD，∴∠E＝∠2，∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，∴BE＝BC，又∵BH⊥BC，∴CH＝EH（三線合一）．考點：1．平行四邊形的性質；2．等腰三角形的判定與性質．25、(1)見解析；（2）；（3）見解析【解析】試題分析：（1）先求證AB=AC，進而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；

（2）根據△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解題；（3）當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當A