學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共7頁北京市海淀中學2025屆九年級數學第一學期開學質量檢測試題題號一二三四五總分得分批閱人A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖，分別是的邊上的點，將四邊形沿翻折，得到交于點則的周長為（）A． B． C． D．2、（4分）如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，點D在邊BC上，以AC為對角線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．53、（4分）某課外興趣小組為了了解所在學校的學生對體育運動的愛好情況，設計了四種不同的抽樣調查方案,你認為比較合理的是()A．在校園內隨機選擇50名學生B．從運動場隨機選擇50名男生C．從圖書館隨機選擇50名女生D．從七年級學生中隨機選擇50名學生4、（4分）在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=4,當平行四邊形ABCD的面積最大時,下結論正確的有()①AC=5②∠A+∠C=180°③AC⊥BD④AC=BDA．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④5、（4分）下列各選項中因式分解正確的是（）A． B．C． D．6、（4分）下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．7，24，25 B．，4，5 C．，1， D．40，50，607、（4分）函數y=x-1的圖象是（）A． B．C． D．8、（4分）我國在近幾年奧運會上所獲金牌數（單位：枚）統計如下：屆數23屆24屆25屆26屆27屆28屆金牌這組數據的眾數與中位數分別是（）A．32、32 B．32、16 C．16、16 D．16、32二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）先化簡：，再對a選一個你喜歡的值代入，求代數式的值．10、（4分）方程＝0的解是___．11、（4分）當________時，的值最小.12、（4分）當x＝1時，分式無意義；當x＝2時，分式的值為0，則a＋b＝_____．13、（4分）農科院對甲、乙兩種甜玉米各10塊試驗田進行試驗后，得到甲、乙兩個品種每公頃的平均產量相同，而甲、乙兩個品種產量的方差分別為，，則產量較為穩定的品種是_____________（填“甲”或“乙”）．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）已知關于x的方程x2-4x+3a-1=0（1）求實數a的取值范圍；（2）若a為正整數，方程的根為a、β.求：a15、（8分）如圖，平行四邊形ABCD中，，，AE平分交BC的延長線于F點，求CF的長．16、（8分）如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB（1）求證：△BCP≌△DCP；（2）求證：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=度．17、（10分）某商場銷售A，B兩款書包，己知A，B兩款書包的進貨價格分別為每個30元、50元，商場用3600元的資金購進A，B兩款書包共100個.（1）求A，B兩款書包分別購進多少個?（2）市場調查發現，B款書包每天的銷售量y(個)與銷售單價x(元)有如下關系：y=-x+90(60≤x≤90)．設B款書包每天的銷售利潤為w元，當B款書包的銷售單價為多少元時，商場每天B款書包的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?18、（10分）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點O，且AC+BD＝28，BC＝12，求△AOD的周長．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）實數在數軸上的對應點的位置如圖所示，則__________．20、（4分）若一次函數的圖象不經過第二象限，則的取值范圍為_________0.21、（4分）在新年晚會的投飛鏢游戲環節中，名同學的投擲成績（單位：環）分別是：，，，，，，，則這組數據的眾數是________．22、（4分）在三角形紙片ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AC＝10cm，將該紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在斜邊BC上的一點E處，折痕記為BD（如圖1），剪去△CDE后得到雙層△BDE（如圖2），再沿著過△BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長為_____cm．23、（4分）因式分解:______.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b的圖象分別與x軸和y軸交于點A、B(0，-2)，與正比例函數y=x的圖象交于點C(m，2)．(1)求m的值和一次函數的解析式；(2)求△AOC的面積；(3)直接寫出使函數y=kx+b的值大于函數y=x的值的自變量x的取值范圍．25、（10分）如圖，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點E、F，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．26、（12分）已知關于的一元二次方程，（1）求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根；（2）當m為何值時，該方程兩個根的倒數之和等于1.

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、C【解析】

根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，由平行線的性質得到∠AEG=∠EGF，根據折疊的性質得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等邊三角形，于是得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF是等邊三角形，∴EG=FG=EF=4，∴△GEF的周長=4×3=12，故選：C．本題考查了翻折變換的性質、平行四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質等知識；熟練掌握翻折變換的性質是解決問題的關鍵．2、B【解析】

由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當OD⊥BC時，DE線段取最小值.【詳解】在中，∴，，，∴．∴為直角三角形，且．∵四邊形是平行四邊形，∴，．∴當取最小值時，線段最短，此時．∴是的中位線．∴．∴．故選B.本題考查了勾股定理逆定理，平行四邊形的性質，三角形的中位線以及垂線段最短.此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用.3、A【解析】

抽樣調查中，抽取的樣本不能太片面，一定要具有代表性．【詳解】解：A、在校園內隨機選擇50名學生，具有代表性，合理；B、從運動場隨機選擇50名男生，喜歡運動，具有片面性，不合理；C、從圖書館隨機選擇50名女生，喜歡讀書，具有片面性，不合理；D、從七年級學生中隨機選擇50名學生，具有片面性，不合理；故選：A．本題考查了抽樣調查的性質：①全面性；②代表性．4、A【解析】

當?ABCD的面積最大時，四邊形ABCD為矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根據勾股定理求出AC，即可得出結論．【詳解】根據題意得：當?ABCD的面積最大時，四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD，∴∠BAD+∠BCD=180°，AC==5，①正確，②正確，④正確；③不正確；故選A．本題考查了平行四邊形的性質、矩形的性質以及勾股定理；得出?ABCD的面積最大時，四邊形ABCD為矩形是解決問題的關鍵．5、D【解析】

直接利用公式法以及提取公因式法分解因式進而判斷即可．【詳解】解：A.，故此選項錯誤；B.，故此選項錯誤；C.，故此選項錯誤；D.，正確．故選D．此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．6、D【解析】

根據勾股定理的逆定理依次計算各項后即可解答.【詳解】選項A，∵72+242＝252，∴7，24，25能構成直角三角形；選項B，∵42+52＝（）2，∴，4，5能構成直角三角形；選項C，∵12+（）2＝（）2，∴，1，能構成直角三角形；選項D，∵402+502≠602，∴40，50，60不能構成直角三角形．故選D．本題考查了勾股定理的逆定理，熟練運用勾股定理的逆定理是解決問題的關鍵.7、D【解析】

∵一次函數解析式為y=x-1，∴令x=0，y=-1．令y=0，x=1，即該直線經過點（0，-1）和（1，0）．故選D．考點：一次函數的圖象．8、C【解析】數據1出現了兩次最多為眾數，1處在第5位和第6位，它們的平均數為1．

所以這組數據的中位數是1，眾數是1，

故選C．【點睛】確定一組數據的中位數和眾數，注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求，如果是偶數個則找中間兩位數的平均數．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、；3【解析】

原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，將a=3代入計算即可求出值．【詳解】原式．∵且∴當a=3時，原式=此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．10、x＝5.【解析】

把兩邊都平方，化為整式方程求解，注意結果要檢驗.【詳解】方程兩邊平方得：（x﹣3）（x﹣5）＝0，解得：x1＝3，x2＝5，經檢驗，x2＝5是方程的解，所以方程的解為：x＝5.本題考查了無理方程的解法，解含未知數的二次根式只有一個的無理方程時，一般步驟是：①移項，使方程左邊只保留含有根號的二次根式，其余各項均移到方程的右邊；②兩邊同時平方，得到一個整式方程；③解整式方程；④驗根．11、【解析】

根據二次根式的意義和性質可得答案.【詳解】解：由二次根式的性質可知，當時，取得最小值0故答案為：2本題考查二次根式的“雙重非負性”即“根式內的數或式大于等于零”和“根式的計算結果大于等于零”12、3【解析】

先根據分式無意義的條件可求出的值,再根據分式值為0的條件可求出b的值,最后將求出的a,b代入計算即可.【詳解】因為當時,分式無意義,所以,解得:,因為當時,分式的值為零,所以,解得:,所以故答案為:3.本題主要考查分式無意義和分式值為0的條件,解決本題的關鍵是要熟練掌握分式無意義和分式值為0的條件.13、乙【解析】因為S甲2≈0.01＞S乙2≈0.002，方差小的為乙，所以本題中比較穩定的是乙．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）a≤5【解析】

（1）根據根判別式可得△=16-43a-1≥0；（2）因為a為正整數，又a≤53，所以a=1此時方程為【詳解】解：（1）由△=16-43a-1≥0（2）因為a為正整數，又a≤53，所以a=1此時方程為x所以α=考核知識點：根判別式，根與系數關系.理解相關知識即可.15、．

【解析】

由平行線性質得，，，再由角平分線性質得，故，由等腰三角形性質得，所以=5-3.【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，，，平分，，，，．本題考核知識點：平行四邊形性質,等腰三角形.解題關鍵點：先證等角，再證等邊.16、（1）詳見解析（2）詳見解析（3）1【解析】

（1）根據正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可．（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP，根據等邊對等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證．（3）根據（2）的結論解答：與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC=1°.【詳解】解：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）．（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP．∵PE=PB，∴∠CBP=∠E．∴∠CDP=∠E．∵∠1=∠2（對頂角相等），∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，即∠DPE=∠DCE．∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC．∴∠DPE=∠ABC．（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，

在△BCP和△DCP中，∴△BCP≌△DCP（SAS），

∴∠CBP=∠CDP，

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E，

∴∠DPE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DPE=∠ABC=1°，

故答案為：1．17、（1）A，B兩款書包分別購進70和30個；（2）B款書包的銷售單價為70元時B款書包的銷售利潤最大，最大利潤是400元【解析】

（1）此題的等量關系為：購進A款書包的數量+購進B款書包的數量=100；購進A款書包的數量×進價+購進B款書包的數量×進價=3600，設未知數，列方程求解即可.

（2）根據B款書包每天的銷售利潤=（B款書包的售價-B款書包的進價）×銷售量y，列出w與x的函數解析式，再利用二次函數的性質，即可解答.【詳解】（1）解：設購進A款書包x個，則B款為（100?x）個，由題意得：30x+50(100?x)=3600，解之：x=70，∴100-x=100-70=30答：A，B兩款書包分別購進70和30個.（2）解：由題意得：w=y(x?50)=?(x?50)(x?90)=-x2+140x-4500，∵?1<0，故w有最大值，函數的對稱軸為：x=70，而60?x?90，故：當x=70時，w有最大值為400，答：B款書包的銷售單價為70元時B款書包的銷售利潤最大，最大利潤是400元.考核知識點：二次函數y=a（x-h）2+k的性質，二次函數的實際應用-銷售問題.18、1【解析】

首先根據平行四邊形的性質和對角線的和求得AO+OD的長，然后根據BC的長求得AD的長，從而求得△AOD的周長．【詳解】解：如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC+BD＝28，∴AO+OD＝14，∵AD＝BC＝12，∴△AOD的周長＝AO+OD+AD＝14+12＝1．本題考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵是了解平行四邊形的對角線互相平分，難度不大．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、【解析】

首先根據數軸的含義，得出，然后化簡所求式子，即可得解.【詳解】根據數軸，可得∴原式=故答案為.此題主要考查絕對值的性質，熟練掌握，即可解題.20、【解析】

根據題意可知，圖象經過一三象限或一三四象限，可得b＝1或b＜1．【詳解】解：一次函數y＝2x＋b的圖象不經過第二象限，則可能是經過一三象限或一三四象限，經過一三象限時，b＝1；經過一三四象限時，b＜1．故b≤1．故答案是：≤．此題主要考查了一次函數圖象在坐標平面內的位置與k、b的關系．解答本題注意理解：k＞1時，直線必經過一、三象限；k＜1時，直線必經過二、四象限；b＞1時，直線與y軸正半軸相交；b＝1時，直線過原點；b＜1時，直線與y軸負半軸相交．21、1【解析】

直接利用眾數的定義得出答案．【詳解】∵7，1，1，4，1，8，8，中1出現的次數最多，∴這組數據的眾數是：1．故答案為：1．本題主要考查了眾數的定義，解題的關鍵是掌握眾數的定義：一組數據中，出現次數最多的數就叫這組數據的眾數．22、40或．【解析】

利用30°角直角三角形的性質，首先根據勾股定理求出DE的長，再分兩種情形分別求解即可解決問題；【詳解】如圖1中，，，，，，設，在中，，，，如圖2中，當時，沿著直線EF將雙層三角形剪開，展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，此時周長．如圖中，當時，沿著直線DF將雙層三角形剪開，展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形，此時周長綜上所述，滿足條件的平行四邊形的周長為或，故答案為為或．本題考查翻折變換、平行四邊形的判定和性質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．23、【解析】

首先把公因式3提出來，然后按照完全平方公式因式分解即可.【詳解】解：==故答案為：.此題考查利用提取公因式法和公式法因式分解，注意找出整式里面含有的公因式，然后再選用公式法．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、(1)m=1；y=1x﹣1；(1)S△AOC=1；(3)x＞1.【解析】

(1)把C(m，1)代入y=x得m=1，可得C的坐標，且已知B點的坐標，即可求得一次函數解析式為y=1x﹣1.(1)把y=0代入y=1x﹣1得x=1，則可得A點坐標，即可求得△AOC的面積.(3)根據一次函數圖形，可知y=kx+b的值大于函數y=x的值，即為自變量x的取值范圍是x＞1．【詳解】解：(1)把C(m，1)代入y=x得m=1，則點C的坐標為(