第三章因式分解（壓軸題專練）一、選擇題1．（2022·江蘇·七年級假期作業）在數學中為了書寫簡便，18世紀數學家歐拉就引進了求和符號“∑”，如記＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，則m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不確定【答案】B【分析】根據條件和新定義列出方程，化簡即可得出答案．【詳解】解：根據題意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），∴n﹣2＝9，m＝，∴n＝11，m＝63．故選：B．2．（2019下·浙江紹興·七年級統考期末）已知，，，則代數式的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】通過已知條件可求得a-b,b-c,a-c的值，將代數式適當變形，將a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.【詳解】∵，，，∴，，，∴故選D.3．（2018上·山東·八年級校考期末）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac兩兩結合為a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【詳解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）當a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013時，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故選D．4．（2021下·湖南株洲·七年級統考期中）已知滿足，則的值為（

）A．1 B．－5 C．－6 D．－7【答案】A【分析】三個式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，∴a+b-c=3-1-1=1．故選：A．5．（2021上·重慶萬州·八年級統考期末）已知滿足，，則的值為（

）A．4 B．1 C．0 D．-8【答案】C【分析】根據題目條件可用x來表示z，并代入代數式中，運用公式法因式分解可得，再根據平方數的非負性可分別求出x，z的值，最后運算即可．【詳解】解：，，又，，，，，，，代入得，=0．故選：C．二、填空題6．（2024上·四川內江·八年級校考期中）設為正整數，且，則等于．【答案】【分析】將，轉化為關于同一底數冪的形式，再代入中試解即可．【詳解】解：因為，所以只能是，只能是．（為整數）同理，（為整數）．由，得，，故，，所以，．因此，，．，．故答案為：．7．（2023上·重慶·九年級重慶南開中學校考期中）如果一個各數位上的數字均不為0的四位自然數，滿足，則稱這個四位數為“倍差等和數”．例如：四位數，，，是“倍差等和數”；又如：四位數，，不是“倍差等和數”．最大的“倍差等和數”為，將“倍差等和數”的個位數字去掉后得到一個三位數，該三位數和的個位數字之差能整除，令，若為整數，則滿足條件的數的最小值為．【答案】【分析】本題考查因式分解的應用，整式的乘法運算，根據題意找出數量關系，當“倍差等和數”為最大時，最高數位只能為，分析討論即可的結論；若為整數，根據已知條件分析討論即可．【詳解】解：當“倍差等和數”為最大時，則最高位上，設則，，舍去，此時設．則，則，時最大，此時四位數為；∵為整數，或或或或或，，，為奇數，是偶數，排除、兩種可能，①當時，，，，，，不合題意舍去，②當時，若，，則，，（不合題意舍去），③時，若，，則，，：，，不合題意舍去，若，．則，，，不合題意舍去，④當時，若，，則，，，，若，則，，（不合題意舍去），綜上所述、只有一種可能即，，此時，設，此時，不能被整除舍去，設，此時不能被整除舍去，設，，此時，，能被整除，的最小值為：，故答案為：，．8．（2021·浙江·九年級自主招生）已知，則．【答案】【分析】根據，代值求解即可得到答案．【詳解】解：，，故答案為：．9．（2019下·河北唐山·七年級統考期末）計算：.【答案】【分析】原式利用平方差公式分解，約分即可得到結果．【詳解】解：原式==，故答案為10．（2023下·浙江寧波·七年級寧波市海曙外國語學校校考期中）已知，為自然數，且，若，則，．【答案】82【分析】化簡原式可得：，設，則，再根據可求，．【詳解】，，，．設，則，，為自然數，，，，或，，不合題意，舍去或，，．故答案為：，．11．（2023下·浙江寧波·七年級校考期末）已知，且互不相等，則．【答案】【分析】通過已知條件，找到的關系：，，，即可獲得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，，∵，∴，∴，∴，∴故答案為：．12．（2014·七年級課時練習）如果為完全平方數，則正整數n為．【答案】2或14或11【分析】分情況討論，分別設為首項的平方，末項的平方，中間項，則可得出n的值即可．【詳解】設為首項的平方，則末項為，中間項為乘積兩倍為=2×，∴首項為2，首項平方為，∴n=2；設為末項的平方，則首項為，乘積兩倍為=2××，∴末項為，末項平方為，∴n=14；設為中間項，則=2××=，∴n=11，綜上所述，正整數n的值為2或14或11，故答案為：2或14或11．13．（2018上·湖南長沙·八年級校考階段練習）已知，則．【答案】0【分析】利用完全平方式的特點把原條件變形為，再利用幾個非負數之和為0，則每一個非負數都為0的結論可得答案．【詳解】解：因為：所以所以所以，解得所以故答案為0．14．（2018上·上海楊浦·七年級校考期末）若a,b,c滿足，則【答案】【分析】關鍵整式的乘法法則運算，并整體代入變形即可.【詳解】因為所以，即因為所以因為所以因為所以即因為即故答案為：15．（2015·福建泉州·統考一模）已知：，且則．【答案】14【詳解】試題分析：因為，所以，所以，所以a-b=0，a-c=0，b-c=0，所以a=b=c，又，所以6a=12，所以a=2，所以b=c=2，所以2+4+8=14．三、解答題16．（2024上·廣東汕頭·八年級統考期末）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【挑戰】（2）請用分組分解法將因式分解；（3）若，，請用分組分解法先將因式分解，再求值．【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）直接將前兩項和后兩項組合，利用平方差公式再提取公因式，進而分解因式即可；（2）先分組，利用完全平方公式再提取公因式，進而分解因式即可；（3）分組，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整體代入得出答案即可．此題主要考查了分組分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整體代入法求代數式的值，正確分組再運用提公因式法或公式法分解因式，是解決問題的關鍵．【詳解】（1）；（2）；（3）．當，時，原式．17．（2020上·福建泉州·八年級統考期中）閱讀材料：我們把多項式及叫做完全平方式．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式的最大值，最小值等．例分解因式：；又例如：求代數式的最小值：；又；當時，有最小值，最小值是．根據閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問題：(1)分解因式：___________；(2)已知的三邊長、、都是正整數，且滿足求邊長的最小值；(3)當、為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．【答案】(1)(2)5(3)時，最大值為16．【分析】（1）根據閱讀材料，先將變形為，再根據完全平方公式寫成，然后利用平方差公式分解即可；（2）根據配方法得出兩個完全平方式，再根據兩個非負數的和為0時，每一部分為0可得a，b的值，最后根據三角形三邊的關系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據題目中的例子，先將所求式子配方，再根據完全平方式的非負性即可得到當x、y為何值時，所求式子取得最大值，并求出這個最大值；【詳解】（1）解：原式=；故答案為：（2），，，解得：，、、是的三邊長，，又是整數，；邊長的最小值是5；（3），，；，當時,即時，取得最大值為16．18．（2018上·湖南長沙·七年級統考階段練習）閱讀下面材料，解答后面的問題：“十字相乘法”能將二次三項式分解因式，對于形如的關于，的二次三項式來說，方法的關鍵是將項系數分解成兩個因數，的積，即，將項系數分解成兩個因式，的積，即，并使正好等于項的系數，那么可以直接寫成結果：例：分解因式：解：如圖1，其中，，而所以而對于形如的關于，的二元二次式也可以用十字相乘法來分解．如圖2．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都滿足十字相乘規則，則原式例：分解因式解：如圖3，其中，，而，，所以請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）分解因式：①．②．（2）若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．【答案】（1）；；（2）61或-82．【分析】（1）結合題意畫出圖形，即可得出結論；（2）用十字相乘法把能分解的幾種情況全部列出求出m的值即可．【詳解】解：（1）①如下圖，其中，所以，；②如下圖，其中，而，所以，；（2）如下圖，其中，而或，∴若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，的值為61或-82．19．（2019下·浙江寧波·七年級統考期中）【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式進行因式分解呢？我們已經知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反過來，就得到：．我們發現，二次項的系數a分解成，常數項c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如圖①所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數b，那么就可以分解為a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即1=1×1，把常數項－6也分解為兩個因數的積，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按圖②所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次項的系數－1，于是就可以分解為(x2)(x3)．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：（1）=；（2）=．【探究與拓展】對于形如的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解．如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規則，則原式=mxpyjnxqyk，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰下列問題：（1）分解因式=；（2）若關于x，y的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求m的值；（3）已知x，y為整數，且滿足，請寫出一組符合題意的x，y的值．【答案】閱讀與思考：圖見解析，x-3x2；理解與應用：（1）x12x7；（2）2xy3x2y；探究與拓展：（1）x2y13xy4；（2）43或-78；（3）x=－1，y=0．【分析】【閱讀與思考】利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【理解與應用】（1）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；（2）利用十字相乘法，畫十字交叉圖，即可；【探究與拓展】（1）根據二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可得到答案；（2）根據二元二次多項式的十字相乘法，畫十字交叉圖，即可求解；（3）根據二元二次多項式的十字相乘法，對方程進行分解因式，化為二元一次方程，進而即可求解．【閱讀與思考】畫十字交叉圖：∴=x-3x2．故答案是：x-3x2；【理解與應用】（1）畫十字交叉圖：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）畫十字交叉圖：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究與拓展】（1）畫十字交叉圖：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如圖，∵關于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成兩個一次因式的積，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值為：43或－78；（3）∵，∴，畫十字交叉圖：∴，∴或，∵x，y為整數，∴x=－1，y=0是一組符合題意的值．20．（2022下·浙江杭州·七年級校考期中）配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等，請用配方法解決以下問題．(1)試說明：、取任何實數時，多項式的值總為正數；(2)分解因式：；(3)已知實數，滿足，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式與常數的和的形式，再利用非負數的性質進行解答；（2）先利用配方法再利用平方差公式進行因式分解即可；（3）先表示出，再表示出，再利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：==，∵，，∴x，y取任何實數時，多項式的值總為正數；（2）解：===；（3）解：∵，∴，∴，∴當a=2時，a+b有最小值為1，∴a+b的最小值為1．21．（2022下·山東濟南·八年級統考期末）【閱讀理解，自主探究】把代數式通過配湊等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數這一性質增加問題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．例1用配方法因式分解：a2＋6a＋8．原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，∴當a＝b＝1時，M有最小值1．請根據上述自主學習材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數項使之成為完全平方式：a2＋10a＋________；(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．(3)若M＝a2－3a+1，則M的最小值為________；(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，則a＋b＋c的值為________；【答案】(1)25；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）利用完全平方公式的結構特征判斷即可；（2）原式常數項35分為，利用完全平方公式化簡，再利用平方差公式分求解即可；（3）配方后，利用非負數的性質確定出最小值即可；（4）將已知等式利用完全平方公式配方后，再根據非負數的性質求出，，的值，代入原式計算即可．【詳解】（1）解：；故答案為：25；（2）解：；（3）解：，當，即時，取最小值，最小值為；故答案為：；（4）解：，，即，，，，，，，解得：，，則．故答案為：．22．（2022上·湖南長沙·八年級統考期末）方法探究：已知二次多項式，我們把代入多項式，發現，由此可以推斷多項式中有因式（x＋3）．設另一個因式為（x＋k），多項式可以表示成，則有，因為對應項的系數是對應相等的，即，解得，因此多項式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對于二次多項式，我們把x＝代入該式，會發現成立；(2)對于三次多項式，我們把x＝1代入多項式，發現，由此可以推斷多項式中有因式（），設另一個因式為（），多項式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對于多項式，用“試根法”分解因式．【答案】(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系數關系求a、b即可；（3）多項式有因式（x-2），設另一個因式為（x2+ax+b），則x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系數關系求a、b即可．【詳解】（1）解：當x=±2時，x2-4=0，故答案為：±2；（2）解：由題意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，∴1-a=1，b=-3，∴a=0，b=-3；（3）解：當x=2時，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，∴多項式有因式（x-2），設另一個因式為（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，∴a-2=4，2b=18，∴a=6，b=9，∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．23．（2023下·浙江·七年級專題練習）材料一：一個正整數x能寫成（a，b均為正整數，且），則稱x為“雪松數”，a，b為x的一個平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，則稱a，b為x的最佳平方差分解，此時．例如：，24為“雪松數”，7和5為24的一個平方差分解，，，因為，所以9和7為32的最佳平方差分解，；材料二：若一個四位正整數，它的千位數字與個位數字相同，百位數字與十位數字相同，但四個數字不全相同，則稱這個四位數為“南麓數”．例如4334，5665均為“南麓數”．根據材料回答：(1)請直接寫出兩個“雪松數”，并分別寫出它們的一對平方差分解；(2)試證明10不是：“雪松數”；(3)若一個數t既是“雪松數”又是“南麓數”，并且另一個“南麓數”的前兩位數字組成的兩位數與后兩位數字組成的兩位數恰好是t的一個平方差分解，請求出所有滿足條件的數t中的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)的最大值為14824013【分析】本題主要考查分解因式的應用，實數的運算，理解新定義，并將其轉化為實數的運算是解題的關鍵．（1）根據“雪松數”的特征即可得到結論；（2）根據題意即可得到結論；（3）設（a，b均為正整數，且），另一個“南麓數”為（m，n均為正整數，且），根據“南麓數”的特征即可得到結論．【詳解】（1）解：；（2）解：若10是“雪松數”，則可設（a，b均為正整數，且），則，又∵，∵a，b均為正整數，∴，∴，或，解得：或，與a，b均為正整數矛盾，故10不是“雪松數”；（3）解：設（a，b均為正整數，且），另一個“南麓數”為（m，n均為正整數，且），則，∴，整理得，∵a，b，m，n均為正整數，∴，經探究，，符合題意，∴t的值分別為：2772，5445，設，當時，，則，當時，，則，∴的最大值為14824013．24．（2023下·江蘇蘇州·七年級校考期中）我們定義：一個整數能表示成（a、b是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”．例如，5是“完美數”．理由：因為，所以5是“完美數”．[解決問題](1)已知29是“完美數”，請將它寫成（a、b是整數）的形式______；(2)若可配方成（m、n為常數），則______；[探究問題](3)已知，則______；(4)已知（x、y是整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．[拓展結論](5)已知實數x、y滿足，求的最值．【答案】(1)；(2)(3)(4)(5)最大值為：；【分析】（1）根據“完美數”可得答案；（2）利用完全平方公式可得，從而可得答案；（3）利用完全平方公式把左邊分組分解因式，再利用非負數的性質可得答案；（4）利用完全平方公式可得，再利用新定義可得答案；（5）由條件可得，代入計算可得：，再結合非負數的性質可得最大值．【詳解】（1）解：；（2）；∴，，∴；（3）∵，∴∴，∴，，解得：，，∴；（4），當為完美數時，∴，解得：．（5）∵，∴，∴，∵，∴；∴的最大值為：．25．（2019上·河南南陽·八年級統考期中）（1）填空：____________；（2）閱讀，并解決問題：分解因式解：設，則原式這樣的解題方法叫做“換元法”，即當復雜的多項式中，某一部分重復出現時，我們用字母將其替換，從而簡化這個多項式，換元法是一個重要的數學方法，不少問題能用換元法解決.請你用“換元法”對下列多項式進行因式分解：①②【答案】（1）9，3；（2）①，②【分析】（1）根據完全平方公式可得到結論；（2）①根據換元法設，根據完全平方公式可得結論；②先將原式x2－4x看作整體，根據換元法設x2－4x=a，化簡，再根據完全平方公式可得結論．【詳解】解：（1）a2+6a+9=(a+3)2，故答案為9，3；（2）①，設，則原式；②，設，.26．（2019上·山東威海·八年級統考期中）【閱讀材料】因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常用的一種思想方法.【問題解