第22章相似形22.3相似三角形的性質教學目標1.理解并掌握相似三角形的對應線段(高、中線、角平分線)之間的關系和相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，掌握定理的證明方法.2.能靈活運用相似三角形的判定定理和性質，并能用來解決簡單的問題.教學重難點重點：相似三角形性質定理的探究及應用.難點：綜合應用相似三角形的性質與判定定理探索相似三角形中對應線段之間的關系和相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方.教學過程復習回顧【問題】如何判定兩個三角形相似？相似三角形有何性質？①相似三角形的對應角_____________；②相似三角形的對應邊______________.探究新知【活動】想一想：它們還有哪些性質呢?（1）一個三角形有哪三條重要線段？（2）如果兩個三角形相似，那么這些對應線段有什么關系呢？【互動】觀察（1）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為，對應高的比.（2）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為，對應中線的比.（3）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為，對應角平分線的比＝.當△ABC∽△A′B′C′，且相似比為時，可得：對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都是.觀察這些數據，你會有怎樣的猜想呢？定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比等于相似比.【活動】問題1如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中AD，A′D′分別為BC，B′C′邊上的高，△ABD與△A′B′D′相似嗎？問題2如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中AD，A′D′分別為BC，B′C′邊上的高，由△ABD∽△A′B′D′能否得到的值？發現：相似三角形對應高的比等于相似比.【探究】問題3如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中，AD，A′D′分別為BC，B′C′邊上的中線，則＝k.結論：相似三角形對應中線的比等于相似比.【探究】問題4如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中BE，B′E′分別為∠ABC，∠A′B′C′的平分線，則＝k.結論：相似三角形對應角平分線的比等于相似比.【歸納】教師引導，學生總結【練習】（學生口答）1.相似三角形對應邊的比為2∶3，那么相似比為_______，對應角平分線的比為_________.2.兩個相似三角形的相似比為1∶4，則對應高的比為_______，對應角平分線的比為_________.3.兩個相似三角形對應中線的比為1∶4，則相似比為________，對應高的比為_________.【探究】（師生互動）定理2：兩個相似三角形的周長比等于相似比.已知：如下圖，△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k.求證：△ABC，△A′B′C′的周長比等于k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∴＝k，即△ABC，△A′B′C′的周長比等于相似比.定理3：兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方.如上圖，△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，AD，A′D′分別是△ABC，△A′B′C′對應邊BC，B′C′上的高，求證：.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∴.【嘗試】（小組討論，教師引導）例1已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6.求B′D′的長.解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，，B′D′＝1.2.答：B′D′的長為1.2.例2如圖，DE∥BC，DE＝1，BC＝4，（1）△ADE與△ABC相似嗎？如果相似，求它們的相似比.（2）△ADE的周長∶△ABC的周長＝1∶4.（3）.（4）.課堂練習1.如果兩個三角形相似，相似比為3∶5，則對應角平分線的比等于______.2.相似三角形對應邊的比為2∶5，那么相似比為_______，對應角平分線的比為______，周長的比為_________，面積的比為_________.3.在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面積為4，四邊形BCED的面積為5，那么AB的長為_________.4.如圖，矩形EFGH內接于△ABC，且邊FG落在BC上.若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，則EH的長為________.5.如圖，已知△ABC∽△DEF，BG，EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝4.8cm.求EH的長.6.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.參考答案1.3∶52.2∶5；2∶5；2∶5；4∶253.34.5.3.2cm6.解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE∶S△EFC＝4∶9，∴AE∶EC＝2∶3，則AE∶AC＝2∶5，