2025屆江西省上饒市高一上數學期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.2．從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數學、外語3門統一高考成績和考生選考的3門普通高中學業水平考試等級性考試科目成績構成，等級性考試成績位次由高到低分為A、B、C、D、E，各等級人數所占比例依次為：A等級15%，B等級40%，C等級30%，D等級14%，E等級1%．現采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級的學生人數為（）A.30 B.60C.80 D.283．函數的零點所在區間是A. B.C. D.4．已知函數，且函數恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍是A. B.C. D.5．設，且，則（）A. B.10C.20 D.1006．已知扇形的圓心角為2弧度，其所對的弦長為2，則扇形的弧長等于A. B.C. D.7．已知函數若則的值為（）.A. B.或4C. D.或48．我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺體的體積公式）.A.2寸 B.3寸C.4寸 D.5寸9．已知棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1內部有一圓柱，此圓柱恰好以直線AC1為軸，則該圓柱側面積的最大值為（）A.92πC.23π10．已知是定義在上的奇函數，且，若對任意，都有成立，則的值為（）A.2022 B.2020C.2018 D.0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設函數是以4為周期的周期函數，且時，，則__________12．若在內無零點，則的取值范圍為___________.13．已知關于不等式的解集為，則的最小值是___________.14．要制作一個容器為4，高為無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）15．若函數有4個零點，則實數a的取值范圍為___________.16．已知函數，正實數，滿足，且，若在區間上的最大值為2，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數（且）為奇函數.（1）求n的值；（2）若，判斷函數在區間上的單調性并用定義證明；（3）在（2）的條件下證明：當時，.18．已知函數是奇函數，且；（1）判斷函數在區間的單調性，并給予證明；（2）已知函數（且），已知在的最大值為2，求的值19．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數.（2）若R＝45m，求當θ為何值時，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(取＝1.414)20．已知的部分圖象如圖.（1）求函數的解析式；（2）求函數在上的單調增區間.21．“綠水青山就是金山銀山”．某企業決定開發生產一款大型凈水設備，生產這款設備的年固定成本為600萬元，每生產臺需要另投入成本萬元．當年產量x不足100臺時，；當年產量x不少于100臺時，．若每臺設備的售價為100萬元時，經過市場分析，該企業生產的凈水設備能全部售完（1）求年利潤y（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系式；（2）當年產量x為多少臺時，該企業在這一款凈水設備的生產中獲利最大，最大利潤是多少萬元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據指數函數的性質求得，，根據對數函數的性質求得，即可得到答案.【詳解】由題意，根據指數函數的性質，可得，由對數函數的性質，知，即所以.故選：D2、C【解析】根據分層抽樣的概念即得【詳解】由題可知該樣本中獲得B等級的學生人數為故選：C3、B【解析】通過計算，判斷出零點所在的區間.【詳解】由于，，，故零點在區間，故選B.【點睛】本小題主要考查零點的存在性定理的應用，考查函數的零點問題，屬于基礎題.4、A【解析】函數恰有三個不同的零點等價于與有三個交點，再分別畫出和的圖像，通過觀察圖像得出a的范圍.【詳解】解：方程所以函數恰有三個不同的零點等價于與有三個交點記，畫出函數簡圖如下畫出函數如圖中過原點虛線l，平移l要保證圖像有三個交點，向上最多平移到l’位置，向下平移一直會有三個交點，所以，即故選A.【點睛】本題考查了函數的零點問題，解決函數零點問題常轉化為兩函數交點問題5、A【解析】根據指數式與對數的互化和對數的換底公式，求得，，進而結合對數的運算公式，即可求解.【詳解】由，可得，，由換底公式得，，所以，又因為，可得故選：A.6、A【解析】根據題意畫出圖形，結合圖形求出半徑r，再計算弧長【詳解】如圖所示，，，過點O作，C垂足，延長OC交于D，則，；中，，從而弧長為，故選A【點睛】本題考查了弧長公式的應用問題，求出扇形的半徑是解題的關鍵，屬于基礎題7、B【解析】利用分段討論進行求解.【詳解】當時，，（舍）；當時，，或（舍）；當時，，；綜上可得或.故選：B.【點睛】本題主要考查分段函數的求值問題，側重考查分類討論的意識.8、B【解析】根據題意可得平地降雨量，故選B.考點：1.實際應用問題；2.圓臺的體積.9、A【解析】由題知，只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況，即可得出結論【詳解】由題知，只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況，由圖形的對稱性可知，圓柱的上底面必與過A點的三個面相切，且切點分別在線段AB1，AC，AD1上，設線段AB1上的切點為E，AC1∩面A1BD＝O2，圓柱上底面的圓心為O1，半徑即為O1E=r，則AO2=13AC1=1332+32+3故選A【點睛】本題考查求圓柱側面積的最大值，考查正方體與圓柱的內切問題，考查學生空間想象與分析解決問題的能力，屬于中檔題10、D【解析】利用條件求出的周期，然后可得答案.【詳解】因為是定義在上的奇函數，且，所以，所以，所以即的周期為4，所以故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##0.5【解析】利用周期和分段函數的性質可得答案.【詳解】，.故答案為：.12、【解析】求出函數的零點，根據函數在內無零點，列出滿足條件的不等式，從而求的取值范圍.【詳解】因為函數在內無零點，所以，所以；由，得，所以或，由，得；由，得；由，得，因為函數在內無零點，所以或或，又因為，所以取值范圍為.故答案為：.13、【解析】由題知，進而根據基本不等式求解即可.【詳解】解：因為關于的不等式的解集為，所以是方程的實數根，所以，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是故答案為：14、160【解析】設底面長方形的長寬分別為和,先求側面積，進一步求出總的造價，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設底面長方形的長寬分別為和,則，所以總造價當且僅當的時區到最小值則該容器的最低總造價是160.故答案為：160.15、【解析】將函數轉化為方程，作出的圖像，結合圖像分析即可.【詳解】令得，作出的函數圖像，如圖，因為有4個零點，所以直線與的圖像有4個交點，所以.故答案為：16、【解析】先畫出函數圖像并判斷，再根據范圍和函數單調性判斷時取最大值，最后計算得到答案.【詳解】如圖所示：根據函數的圖象得，所以．結合函數圖象，易知當時在上取得最大值，所以又，所以，再結合，可得，所以.故答案為：【點睛】本題考查對數型函數的圖像和性質、函數的單調性的應用和最值的求法，是中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）在上單調遞增，證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）由奇函數的定義可得，然后可得，進而計算得出n的值；（2）由可得，則，然后利用定義證明函數單調性即可；（3）由（2）知，先可證得，又，可證得，最后得出結論即可.【詳解】（1）函數定義域為，且為奇函數，所以有，即，整理得，由條件可得，所以，即；（2）由，得，此時，任取，且，則，因為，所以，，，所以，則，所以，即，所以函數在上單調遞增；（3）由（2）知，函數在上單調遞增，當時，，又，從而，又，而當時，，，所以，綜上，當時，.【點睛】方法點睛：利用定義證明函數單調性的步驟：①取值，②作差、變形（變形主要指通分、因式分解、合并同類項等），③定號，④判斷.18、（1）函數在區間是遞增函數；證明見解析；（2）或【解析】（1）由奇函數定義建立方程組可求出，再用定義法證明單調性即可；（2）根據復合函數的單調性，分類討論的單調性，結合函數的單調性研究最值即可求解【詳解】（1）∵是奇函數，∴，又，且，所以，，經檢驗，滿足題意得，所以函數在區間是遞增函數證明如下：且，所以有：由，得，，又，故，所以，即，所以函數在區間是遞增函數（2）令，由（1）可得在區間遞增函數，①當時，是減函數，故當取得最小值時，（且）取得最大值2，在區間的最小值為，故的最大值是，∴②當時，是增函數，故當取得最大值時，（且）取得最大值2，在區間的最大值為，故的最大值是，∴或19、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當θ＝時，矩形ABCD面積S最大，最大面積為838.35m2.【解析】（1）設OM與BC的交點為F，用表示出，，，從而可得面積的表達式；（2）結合正弦函數的性質求得最大值【詳解】解：（1）由題意，可知點M為PQ的中點，所以OM⊥AD.設OM與BC的交點為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因為θ∈，所以2θ＋∈，所以當2θ＋，即θ＝時，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故當θ＝時，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數的應用，解題關鍵是利用表示出矩形的邊長，從而得矩形面積．利用三角函數恒等變換公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后結合正弦函數性質求得最大值20、（1）；（2）和.【解析】（1）由圖知：且可求，再由，結合已知求，寫出解析式即可.（2）由正弦函數的單調性，知上遞增，再結合給定區間，討論值確定其增區間.【詳解】（1）由圖知：且，∴.又，即，而，∴.綜上，.（2）∵，∴.當時，；當時，，又，∴函數在上的單調增區間為